Một số phương pháp giải phương trình schrodinger một electron

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ - - PHẠM THỊ NGA MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER MỘT ELECTRON Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ - - PHẠM THỊ NGA MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER MỘT ELECTRON Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học TS PHẠM THỊ MINH HẠNH HÀ NỘI, 2018 LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu, tơi hồn thành khóa luận với đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình Schrodinger electron” Trong trình thực khóa luận, tơi nhận nhiều giúp đỡ từ thầy cô, bạn bè gia đình Trước hết, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới giáo – TS Phạm Thị Minh Hạnh, người giúp đỡ suốt q trình xây dựng hồn thiện đề tài Tôi xin cảm ơn sâu sắc tới thầy cô khoa Vật Lý – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tận tình dạy dỗ tơi suốt năm đại học Mặc dù cố gắng, thời gian có hạn nên khóa luận tơi khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy để đề tài hồn thiện mang lại hiệu cao Tôi xin trân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2018 Sinh viên Phạm Thị Nga LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu khóa luận trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực khóa luận cảm ơn thơng tin trích dẫn khóa luận rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2018 Sinh viên Phạm Thị Nga MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục khóa luận CHƯƠNG 1: CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN 1.1 Các loại liên kết vật rắn 1.2 Mạng tinh thể 1.2.1 Khái niệm mạng tinh thể lý tưởng 1.2.2 Ô sơ cấp 1.2.3 Phân loại tinh thể theo liên kết hóa học 1.2.4 Phép tịnh tiến 1.2.5 Mạng không gian, gốc mạng cấu trúc tinh thể 1.2.6 Mạng Bravais không gian ba chiều KẾT LUẬN CHƯƠNG Chương 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER MỘT ELECTRON 10 2.1 Phương trình Schorodinger tinh thể lý tưởng 10 2.2 Hàm sóng lượng electron trường tinh thể tuần hoàn 13 2.2.1 Năng lượng electron trường tinh thể tuần hoàn 13 2.2.2 Hàm Block chuẩn xung lượng 18 2.3 Một số phương pháp giải phương trình Schrodinger electron 20 2.3.1 Mơ hình Kronig – Penney 20 2.3.2 Phương pháp gần electron gần tự 25 2.3.3 Phương pháp gần liên kết mạnh 29 KẾT LUẬN CHƯƠNG 38 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Phương trình Schrodinger phương trình động lực học học lượng tử phi tương đối tính Phương trình có vai trò phương trình định luật II Newton học cổ điển Đây phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc theo thời gian đạo hàm riêng bậc hai theo tọa độ, giúp ta khảo sát biến đổi trạng thái hệ theo thời gian Trong trường hợp hệ khơng có tương tác với trường ngồi biến thiên theo thời gian, ta có phương trình Schrodinger dừng có nghiệm hàm sóng mơ tả trạng thái hệ xét trị riêng phương trình lượng hệ mà ta xét Từ hàm sóng lượng sau giải phương trình Schrodinger, cho phép tính tốn đặc tính mong muốn, từ tìm tính chất hình dung cách tổng quan phổ lượng tốn Vì vậy, việc giải phương trình Schrodinger vấn đề học lượng từ Hơn nữa, phương trình Schrodinger tốn tương tác hệ chưa chịu tác dụng trường quan trọng Nó xem điều kiện ban đầu, có vai trò định để xét hệ thời điểm trình tương tác Do đó, việc giải xác phương trình Schrodinger dừng có ý nghĩa vật lí quan trọng Xuất phát từ lý đó, chúng tơi lựa chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình Schrodinger electron” Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu số phương pháp giải phương trình Schrodinger electron, từ xác định trạng thái phổ lượng tập hợp số lớn hạt tinh thể Nhiệm vụ nghiên cứu - Cấu trúc tinh thể vật rắn - Một số phương pháp giải phương trình Schrodinger electron Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: phương trình Schodinger - Phạm vi nghiên cứu: phương trình Schrodinger electron Phương pháp nghiên cứu - Thống kê, lập luận diễn giải - Sưu tầm tài liệu tham khảo Bố cục khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo khóa luận gồm chương sau: Chương 1: Cấu trúc tinh thể vật rắn Chương 2: Một số phương pháp giải phương trình Schrodinger electron CHƯƠNG 1: CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN Theo quan điểm đại, vật chất tồn hai trạng thái trạng thái ngưng tụ trạng thái khí Trạng thái ngưng tụ gồm trạng thái rắn (gọi chất rắn hay vật rắn) trạng thái lỏng (gọi chất lỏng) Ta dùng từ “chất rắn” hay “vật rắn” để chất mà nguyên tử, ion, phân tử tạo chúng (gọi chung hạt thành phần) có vị trí tương đối cố định, trừ dao động nhiệt quanh vị trí cân chúng “Chất lỏng” để chất mà hạt thành phần chúng trạng thái chuyển động tịnh tiến không ngừng [4] Vật rắn chia thành ba loại: + Vật rắn tinh thể + Vật rắn đa tinh thể (bán tinh thể) + Vật rắn vơ định hình (phi tinh thể) 1.1 Các loại liên kết vật rắn Ở vật rắn kết tinh, nguyên tử phân tử đặt cách có trật tự, tuần hồn khơng gian Các vật rắn có tính chất khác phân bố electron hạt nhân nguyên tử có đặc điểm riêng Sự phân bố electron nguyên tử phụ thuộc vào liên kết tinh thể Các liên kết tinh thể giữ cho lõi nguyên tử electron hóa trị nằm cân tinh thể Tính chất vật rắn phụ thuộc nhiều vào chất liên kết Do đó, vào dạng liên kết, người ta phân loại vật rắn thành loại: tinh thể ion, tinh thể cộng hóa trị, tinh thể kim loại, tinh thể phân tử, tinh thể có liên kết Hidro [5] 1.2 Mạng tinh thể Vật chất trạng thái rắn chia thành hai loại: chất rắn vơ định hình chất rắn kết tinh Chất rắn kết tinh từ tinh thể nguyên tử, ion, phân tử (sau gọi chung hạt) xếp cách đặn không gian Ta nói chất rắn có cấu trúc mạng tinh thể [2] 1.2.1 Khái niệm mạng tinh thể lý tưởng Mạng tinh thể lý tưởng tập hợp số lớn hạt xếp cách đặn khơng gian Như vậy, ta hình dung mạng tinh thể lý tưởng mạng lưới không gian vô tận mà nút mạng hạt tạo nên tinh thể Các nút mạng gọi gốc mạng, gốc mạng đồng thành phần quy luật xếp Nếu gọi r r ' bán kính vector đặc trưng cho vị trí hai nút mạng tinh thể ta có mối liên hệ: , với na  n1 a1  n2 a2  n3 a3 r '  r  na đó: a1 , a2 , a3 vector không đồng phẳng n1, n2, n3 số nguyên Các vector a1, a2 , a3 vector sở Độ lớn vector sở gọi chu kỳ dịch chuyển số mạng [2] 1.2.2 Ô sơ cấp Nếu từ vector sở a1 , a2 , a3 dựng hình hộp hình hộp gọi sơ cấp Như ta xem sơ cấp "viên gạch đồng nhất" tạo nên mạng tinh thể Thể tích sơ cấp là:   (a1[a2 , a3 ])  (a2 [a3 , 1a ])  (a [a ,1 a ]) 1.2.3 Phân loại tinh thể theo liên kết hóa học Trong tinh thể, liên kết nguyên tử, phân tử, ion giống phân tử Ngoài tinh thể, cấu trúc xác định có dạng liên kết đặc biệt Trong tinh thể tồn dạng liên kết sau đây: liên kết đồng hoá trị, liên kết ion, liên kết kim loại, liên kết Van Der Waals, liên kết Hydro [2] Đồ thị phổ lượng electron tinh thể xem trường tuần hồn có giá trị bé mơ tả hình (2.6) Từ đồ thị ta nhận thấy lân cận tâm vùng Brillouin lượng biến thiên theo k, theo quy luật Parabol giống trường hợp electron tự Tại lân cận biên vùng Brillouin đồ thị lượng có điểm uốn Tại biên vùng lượng chịu bước nhảy Trục lượng chia thành đoạn tương ứng với giá trị cho phép giá trị cấm lượng Hay ta nói lượng electron tinh thể có cấu trúc vùng [2] 2.3.3 Phương pháp gần liên kết mạnh Trường hợp tác dụng trường mạng tinh thể lên electron khơng coi bé phép gần electron liên kết yếu không áp dụng Ta cần sử dụng phép gần electron liên kết mạnh Ý tưởng phương pháp là: Để giải phương trình Hˆ  E đó: Hˆ  ( , / 2m) (2.3.38) r) V ( Ta dùng lý thuyết nhiễu loạn, phương trình cho phép gần bậc khơng phương trình cho ngun tử cô lập r )ˆ  H E( (r ) Hˆ0  / 2m) , r) V0 ( , (2.3.39) ( với V0 (r ) electron nguyên tử cô lập Đặt Hˆ  Hˆ  Wˆ Khi tốn tử nhiễu loạn có dạng Wˆ  Hˆ  Hˆ  V (rˆ) V0 ( r ) (2.3.40) Từ (2.3.40) thấy rằng, toán tử nhiễu loạn hiệu trường tuần hoàn mạng tinh thể trường nguyên tử cô lập nơi cho Để tìm lượng electron tinh thể ta cần xuất phát từ hàm sóng electron nguyên tử cô lập Ta chọn gốc toạ độ nút mạng Vị trí electron ngun tử nút thứ n xác định bán kính vectơ r gốc chọn Khoảng cách từ electron đến hạt nhân nguyên tử thứ n | r  an | Hàm sóng electron trạng thái nguyên tử thứ n có dạng  0 (| r  an |) Trong mẫu tinh thể có N ngun tử trạng thái lượng En suy biến bội N Do hàm sóng electron tinh thể phép gần bậc khơng có dạng: 0 (r )  c  n n (r  an ) (2.3.41) Chọn c cho hàm k0 thoả mãn điều kiện tịnh tiến n kai k0 (r  an )  e  (r ) k n Từ cn  Hàm (2.3.41) trở thành ikan e N e N k0 (r ) ik an  (r  an ) n Ta tìm lượng phép gần bậc (0) E=E E (1) (1) +E , (2.3.42) bổ lượng phép gần bậc nhất, E (0) lượng electron nguyên tử cô lập Theo kết lý thuyết nhiễu loạn (1) E   N N   e ika m n  e m (r n a ika ) e  (r n a )dr 0 (r  am ) V (rˆ) V n m r ik (am an ) n (2.3.43)  0 (m ) V (r ) V0 (n )0n (  )dr r ta đặt r  an n Vì nút mạng tương đương nên biểu thức (2.3.43) không phụ thuộc vào số m n cách riêng lẻ, mà phụ thuộc vào hiệu số chúng, tức phụ thuộc vào vị trí tương đối nút mạng Nếu đặt m = am  , m  r , E  E(0)   N * ka i n (số nút), biểu thức (2.3.42) thành: m  e  r) V (r ) V (  ) ( r n n (2.3.44) (  )dr n a) Xét trường hợp n= 0, lúc EE  (0) r) (V (r ) (r )  (r )dr  E  * r  V (0) W  E (0)  (2.3.45) C Do trị trung bình tốn tử nhiễu loạn số nên ta đặt = C Như ta chuyển từ nguyên tử cô lập sang nguyên tử tinh thể lượng electron dịch chuyển đoạn C = - chưa tính đến ảnh hưởng nguyên tử lân cận [2] b) Xét trường hợp n ≠ 0, có nghĩa tính đến ảnh hưởng nguyên tử khác lên nguyên tử xét (nguyên tử thứ m) Nếu n lớn khơng có chồng phủ lên hàm sóng ngun tử xa nhau, tích phân (2.3.44) khơng Như vậy, xét nguyên tử lân cận, nghĩa n bé Đặt  * r (r) V (r ) V (n ) 0  n (  )dr  (2.3.46) A(n) Tích phân gọi tích phân trao đổi, xác định chồng phủ lên hàm sóng nguyên tử lân cận cách khoảng an nhiễu loạn V (r ) V0 (r ). Điều ứng với trao đổi electron nguyên tử cách khoảng a n Hay nói cách khác electron không định xứ nguyên tử riêng lẻ mà dịch chuyển tự tinh thể nhờ hiệu ứng trao đổi Đây hiệu ứng lượng tử tính khơng thể phân biệt electron Như vậy, lượng electron tinh thể là: E  E (0)  C   A(n)ei ka n (2.3.47) n Vì nút tinh thể đồng nên A(n) = A = const, từ (2.3.47) trở thành E  E (0)  C  A ei ka (2.3.48) n n Ta xét mạng cụ thể: - Mạng lập phương đơn giản: Các nguyên tử gần nguyên tử cho có toạ độ (tính theo đơn vị số mạng) (1, 0, 0) (1, 0,  a  (0,1, 0)  0) (0, 1, 0)  n (0, 0,1) (0, 0, 1)    Biểu thức (2.3.48) trở thành E  E (0) C  A(e hay ikx a e ikx a ik y a e e ik y a  eikz a  e ikz a ), (0) E=E – C – 2A[ coskxa + coskya + coskza ] (2.3.49) - Mạng lập phương tâm khối: Ta chứng minh (0) E=E – C – 8A[ cos(kxa/2) cos(kya/2) cos(kza/2) ] (2.3.50) - Mạng lập phương tâm diện EE (0) – C – 4A[cos  xk a /  cos y k a /   cos k x  k a /  cos z a / 2 cos  k y a /  cos  k z a /  ] (2.3.51) Vì –1 ≤ coskia ≤ 1, nên lượng có hai cực trị Emin Emax Đối với mạng lập phương đơn giản (0) – C – 6|A|, (0) – C + 6|A| Emin = E Emax = E (2.3.52a) Đối với mạng lập phương tâm khối (0) – C – 8|A|, (0) – C + 8|A| Emin = E Emax = E (2.3.53a) Đối với mạng lập phương tâm diện (0) – C – 12|A|, (0) – C + 12|A| Emin = E Emax = E (2.3.54a) Như vậy, tạo thành tinh thể từ nguyên tử tự cách đưa chúng lại gần nhau, mức lượng electron nguyên tử dịch chuyển lượng C tách thành vùng có bề rộng ∆E Giá trị bề rộng phụ thuộc vào loại mạng Đối với mạng lập phương đơn giản ∆E = 12|A| , mạng lập phương tâm khối ∆E = 16|A|, lập phương tâm diện ∆E = 24|A| Nếu tinh thể vơ hạn lượng vùng biến thiên liên tục Nếu tinh thể hữu hạn k gián đoạn nên giá trị lượng vùng biến thiên gián đoạn Hay nói cách khác, vùng lượng chứa số lớn mức (Hình 2.7) Từ hình (2.7) ta thấy lượng tăng độ lớn C lớn, có nghĩa mức lượng phía hạ xuống mạnh tách thành vùng có bề rộng lớn Từ cơng thức (2.3.52) đến công thức (2.3.54) ta nhận thấy giá trị cực đại lượng Emax ứng với coskia = –1, nghĩa ki = ±π/a Đây biên vùng Brillouin thứ Trong giá trị cực tiểu lượng Emin ứng với coskia = +1, có nghĩa ki = Đây tâm vùng Brillouin thứ Từ đó, tương tự phép gần liên kết yếu ta vẽ sơ đồ vùng lượng giới hạn vùng Brillouin hình (2.8) [2] Từ lý thuyết vùng lượng, rút kêt luận sau: 1) Phổ lượng electron tinh thể bao gồm dãy vùng Khoảng giá trị lượng gọi vùng cho phép Khoảng giá trị cấm lượng ngăn cách vùng cho phép gọi vùng cấm Phép gần electron liên kết yếu phép gần electron liên kết mạnh dẫn đến cấu trúc vùng lượng vật rắn Trong thuyết electron liên kết yếu, tạo thành vùng lượng liên quan đến phản xạ Bragg sóng điện tử biên vùng Brillouin Trong phép gần electron liên kết mạnh, vùng lượng tạo thành tách mức lượng nguyên tử gây tương tác nguyên tử [2] 2) Đối với tinh thể có kích thước hữu hạn chứa N ngun tử vùng có N mức Khoảng cách mức tỉ lệ nghịch với số nguyên tử tinh thể [2] 3) Khi lượng tăng bề rộng vùng cho phép tăng bề rộng vùng cấm lại giảm 4) Các electron làm đầy mức lượng vùng cho phép theo nguyên lý Pauli: mức lượng vùng khơng thể có hai electron Vì số electron tinh thể hữu hạn nên electron lầm đầy vùng từ thấp đến cao Vùng làm đầy (hồn tồn khơng hồn tồn) gọi vùng Vùng cho phép hoàn toàn trống gọi vùng tự Để hiểu trình xảy chất rắn,ta cần khảo sát tính chất hai vùng bề rộng vùng cấm Sau đây, ta dựa tính chất để phân biệt kim loại, bán dẫn điện môi theo lý thuyết vùng lượng Ta phân biệt hai trường hợp: -Trường hợp I: Khi vùng làm đầy phần electron mức vùng cần lượng lượng nhỏ (bằng khoảng cách mức con) để electron nhảy lên mức cao trở thành electron tự sẵn sàng tham gia vào trình dẫn điện Vật rắn có cấu trúc vùng gọi kim loại Lưu ý vùng bị lấp đầy phần tạo thành chồng lên phần vùng hoàn toàn đầy vùng tự phía (Hình 2.9) [2] -Trường hợp II: Khi vùng lấp đầy hoàn tồn vùng tự hồn tồn trống, chuyển electron mức vùng (gọi vùng hóa trị) bị cấm theo nguyên lý Pauli Muốn có electron tự phải có chuyển electron từ vùng hóa trị lên vùng tự (gọi vùng dẫn) Điều thực electron có lượng lớn bề rộng vùng cấm Tuỳ thuộc vào bề rộng vùng cấm Eg mà chia vật rắn thành hai loại: bán dẫn điện môi (chất cách điện) Chất bán dẫn thường có Eg nhỏ eV Ví dụ Si có Eg = 1,08 eV, InSb: 0,17 eV Chất cách điện có Eg lớn Ví dụ Kim cương có Eg = 5,2 eV, Al2O3: eV Cần ý phân chia vật rắn thành bán dẫn điện mơi có tính tương đối phụ thuộc lớn vào nhiệt độ (Hình 2.10) [2] KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương 2, khóa luận tập trung trình bày vấn đề sau: - Phương trình Schrodinger tinh thể lý tưởng - Hàm sóng lượng electron trường tinh thể tuần hoàn - Một số phương pháp giải phương trình Schrodinger KẾT LUẬN Từ mục đích nhiệm vụ đề tài, q trình thực hiên khóa luận, chúng tơi hồn thành vấn đề sau: - Tìm hiểu cấu trúc tinh thể vật rắn: liên kết vật rắn, mạng tinh thể - Tìm hiểu số phương pháp giải phương trình Schrodinger electron, để xác định trạng thái phổ lượng tập hợp số lớn hạt tinh thể như: mô hình Kronig – Penney, Phương pháp gần electron gần tự do, phương pháp gần liên kết mạnh TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đào Trần Cao (2007), Cơ sở vật lý chất rắn, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Lê Đình (1999), Bài giảng vật lý chất rắn bán dẫn, Nhà xuất Đại học Sư phạm Huế [3] Nguyễn Văn Hùng (2000), Lý thuyết chất rắn, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [4] Nguyễn Ngọc Long (2007), Vật Lý chất rắn, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [5] Nguyễn Hữu Mình (1992), Nguyễn Thế Khơi, Vật lý chất rắn, Nhà xuất Giáo dục [6] Born M., Oppenheimer J R., Ann (1927), Phys 84, p 457 ... chương 2, tơi tập trung trình bày số phương pháp giải phương trình Schrodinger electron Chương 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER MỘT ELECTRON 2.1 Phương trình Schorodinger tinh... số phương pháp giải phương trình Schrodinger electron, từ xác định trạng thái phổ lượng tập hợp số lớn hạt tinh thể Nhiệm vụ nghiên cứu - Cấu trúc tinh thể vật rắn - Một số phương pháp giải phương. .. điểm q trình tương tác Do đó, việc giải xác phương trình Schrodinger dừng có ý nghĩa vật lí quan trọng Xuất phát từ lý đó, lựa chọn đề tài Một số phương pháp giải phương trình Schrodinger electron