Phương trình schrodinger cho hệ nhiều hạt

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== TRƢƠNG THỊ MINH HOA PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO HỆ NHIỀU HẠT Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô giáo khoa Vật lý, trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội dạy dỗ bảo truyền đạt kiến thức cho em suốt trình học tập rèn luyện trƣờng nhƣ trình thực khóa luận Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh tận tình hƣớng dẫn giúp đỡ em suốt trình thực khóa luận tốt nghiệp Là sinh viên lần nghiên cứu khoa học nên khóa luận em không tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận đƣợc đóng góp ý kiến thầy cô bạn bè để khóa luận đƣợc hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày 18 tháng năm 2017 Sinh viên Trƣơng Thị Minh Hoa LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài khóa luận cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân với giúp đỡ nhiệt tình PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh Công trình không trùng lặp với kết luận văn tác giả Nếu sai sót em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 18 tháng năm 2017 Sinh viên Trƣơng Thị Minh Hoa MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc đề tài NỘI DUNG CHƢƠNG : CÁC TÍNH CHẤT CHUNG CỦA HỆ NHIỀU HẠT 1.1 Khái niệm hệ nhiều hạt 1.1.1 Đặc điểm chung hệ nhiều hạt 1.1.2 Hệ nhiều hạt học 1.1.3 Hệ nhiều hạt nhiệt động 1.1.4 Hệ nhiều hạt nhiệt độ T = 0K 1.2 Hệ nhiều hạt đồng 1.2.1 Nguyên lý không phân biệt hạt đồng học lƣợng tử 1.2.2 Hàm sóng hệ hạt đồng 1.3 Các đại lƣợng bảo toàn hệ nhiều hạt 12 1.3.1 Toán tử Hamilton hệ nhiều hạt 12 1.3.2 Bảo toàn động lƣợng hệ nhiều hạt 13 1.3.3 Bảo toàn mô men động lƣợng hệ nhiều hạt 13 1.4 Các biểu diễn toán tử hàm sóng cho hệ nhiều hạt…………….15 1.4.1 Biểu diễn Schodinger 15 1.4.2 Biểu diễn Heisenberg 15 1.4.3 Biểu diễn tƣơng tác………………………………………………… 16 KẾT LUẬN CHƢƠNG 23 CHƢƠNG 2: PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO HỆ 24 CÁC ELECTRON VÀ CÁC ION TRONG VẬT RẮN TINH THỂ 24 2.1 Phƣơng trình schrodinger tổng quát cho hệ electron ion 24 2.2 Gần đoạn nhiệt phƣơng trình schrodinger cho hệ electron cho hệ ion 25 KẾT LUẬN CHƢƠNG 28 CHƢƠNG 3: PHƢƠNG TRÌNH SCHODINGER CHO HỆ 29 CÁC ELECTRON TRONG LIÊN KẾT MẠNH VÀ LIÊN KẾT YẾU 29 3.1 Phƣơng trình Schrodinger cho hệ electron trƣờng hợp liên kết mạnh 30 3.2 Phƣơng trình Schodinger cho electron trƣờng hợp liên kết yếu 33 KẾT LUẬN CHƢƠNG 36 CHƢƠNG 4: DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ 37 4.1 Phƣơng trình Schodinger cho dao động mạng tính thể biểu diễn tọa độ 37 4.2 Phƣơng trình Schodinger cho phonon biểu diễn lƣợng tử hóa lần thứ hai 38 KẾT LUẬN CHƢƠNG 43 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong học lƣợng tử Phƣơng trình Schodinger phƣơng trình vật lý lƣợng tử mô tả biến đổi trạng thái lƣợng tử hệ vật lý theo thời gian, thay cho định luật Niuton biến đổi Galile học cổ điển.Trong học lƣợng tử, trạng thái lƣợng tử hệ vật lý đƣợc mô tả đầy đủ vecto trạng thái thí dụ nhƣ hàm sóng không gian cấu hình, nghiệm phƣơng trình Schodinger Nghiệm phƣơng trình Schodinger không mô tả hệ nguyên tử hạ nguyên tử (nguyên tử, phân tử, hạt nhân, điện tử hạt khác) mà hệ vi mô, trí toàn vũ trụ Phƣơng trình đƣợc đặt theo tên nhà vật lý ngƣời Áo Erwin Schrodinger, ngƣời lần thiết lập vào năm 1926 Việc sử dụng phƣơng trình Schodinger cho hệ nhiều hạt giúp giải toán đơn giản Với mong muốn tìm tòi, mở rộng hiểu biết thân phƣơng pháp giải tập vật lý, em lựa chọn đề tài “phƣơng trình Schodinger cho hệ nhiều hạt“ làm đề tài tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phƣơng trình Schodinger cho hệ nhiều hạt Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng trình Schodinger cho hệ nhiều hạt Nhiệm vụ nghiên cứu Xây dựng phƣơng pháp giải tập áp dụng phƣơng trình Schrodinger Áp dụng để giải số tập Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp vật lý lý thuyết vật lý toán - Đọc tài liệu tra cứu - Tham khảo ý kiến giáo viên hƣớng dẫn Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo dề tài bao gồm phần: Chƣơng 1: Các tính chất chung hệ nhiều hạt 1.1 Khái niệm hệ nhiều hạt 1.2 Hệ nhiều hạt đồng 1.3 Các đại lƣợng bảo toàn hệ nhiều hạt 1.4 Các biểu diễn toán tử hàm sóng cho hệ nhiều hạt Chƣơng 2:Phƣơng trình schodinger cho hệ electron ion vật rắn tính thể 2.1 Phƣơng trình Schodinger tổng quát cho hệ electron ion 2.2 Gần đoạn nhiệt phƣơng trình Schodinger cho hệ electron cho hệ ion Chƣơng 3: Phƣơng trình Schodinger cho hệ electron liên kết mạnh liên kết yếu 3.1 Phƣơng trình Schodinger cho hệ electron trƣờng hợp liên kết mạnh 3.2 Phƣơng trình Schodinger cho electron trƣơng hợp liên kết yếu Chƣơng 4: Dao động mạng tinh thể 4.1 Phƣơng trình Schodinger cho dao động mạng tinh thể biểu diễn tọa độ 4.1 Phƣơng trình Schodinger cho phonon biểu diễn lƣợng tử hóa lần thứ hai NỘI DUNG CHƢƠNG : CÁC TÍNH CHẤT CHUNG CỦA HỆ NHIỀU HẠT 1.1 Khái niệm hệ nhiều hạt 1.1.1 Đặc điểm chung hệ nhiều hạt Một cách chung hệ nhiều hạt hệ gồm từ hai hạt trở lên Việc tăng thêm số hạt hệ tạo nên đặc điểm cho hệ Trƣớc hết đề giải hệ phƣơng trình Hamiton (cho hệ cổ điển) phƣơng trình Shrodinger (cho hệ lƣợng tử) Với hệ nhiều hạt số biến hệ phƣơng trình Hamilton phƣơng trình Shrodinger tăng lên so với trƣờng hợp hạt Hơn yếu tố quan trọng hơn, việc có thêm thành phần tƣơng tác hàm Hamilton toán tử Hamilton làm cho việc giải xác phƣơng trình Hamilton phƣơng trình Shrodinger thêm khó khăn.Với phƣơng pháp tính số nhờ máy tính, khó khăn có tính kĩ thuật vấn đề nguyên tắc Tuy nhiên vấn đề trở nên khác hoàn toàn số hạt hệ tăng đến mức làm thay đổi chất tính chất hệ: hạt hệ chuyển động hỗn loạn, trạng thái hạt không cho biết tính chất chung hệ Với hệ nhƣ nhƣ biết cần dùng đến phƣơng pháp Vật lý Thống kê tính chất vĩ mô hệ đƣợc đặc trƣng giá trị trung bình đại lƣợng vật lý 1.1.2 Hệ nhiều hạt học Hệ nhiều hạt học hệ có số hạt nhiều nhƣng chƣa làm thay đổi tính chất chuyển động hạt Trường hợp hệ gồm hạt cổ điển (hệ cổ điển): Tọa độ (1.1a) Và động lƣợng (1.1b) Của tất hạt hệ đƣợc xác định hệ phƣơng trình Hamilton: ̇ = ; ̇ =- (1.2a) k = 1,2,….,3N; ̇ ̇ lần lƣợt đạo hàm theo thời gian t thành phần tọa độ động lƣợng; H hàm Hamilton hệ: = với = + động (1.2b) hệ Nghiệm hệ phƣơng trình (2.2): (t,q(0),p(0)) , (t,q(0),p(0)),… , (t,q(0),p(0)) (1.3a) (t,q(0),p(0)) , (t, q(0),p(0)),…., (t,q(0),p(0)) (1.3b) xác định thái hệ Các kí hiệu q(0) p(0) công thức (1.3) biểu thị hai tập đại lƣợng tƣơng ứng : { } q(0) { } (1.3c) xác định trạng thái ban đầu hệ Một cách tƣơng đƣơng trạng thái hệ mô tả quỹ đạo tất hạt đƣợc xác định từ (1.3) Dùng khái niệm không gian pha ,tức không gian 2s = 6N chiều (p,q) hệ có s bậc tự ,chúng ta thấy trạng thái hệ biểu diễn điểm pha Với thời gian đại lƣợng q ,p thay đổi điểm pha vẽ nên quĩ đạo pha Nhƣ quĩ đạo pha cho biết thay đổi trạng thái hệ theo thời gian Dùng khái niệm không gian pha ,tức không gian 2s =6N chiều (q,p) hệ có s bậc tự do, thấy trạng thái hệ đƣợc biểu diễn điểm pha Với thời gian đại lƣợng q, p thay đổi điểm pha vẽ nên quỹ đạo pha Nhƣ quỹ đạo pha cho biết thay đổi trạng thái hệ theo thời gian Trường hợp hệ gồm N hạt lượng tử ( hệ lượng tử ): Trạng thái hệ đƣợc xác định hàm sóng trƣờng hợp lƣợng E hệ không đổi: = (q)exp[-iEt / ] (1.4) q tập biến xác định trạng thái hệ Hàm sóng (1.4) nghiệm phƣơng trình Schrodinger Trung bình đại lƣợng vật lý tƣơng ứng với toán tử ̂ (q) đƣợc xác định ̅=∫ (q,t) ̂ (q) (q,t)dq (1.5) đại lƣợng không phụ thuộc thời gian 1.1.3 Hệ nhiều hạt nhiệt động Khi số hạt hệ tăng đến mức đáng kể , thƣờng lớn số phần tử không khí điều kiện chuẩn (khoảng phân tử / ), tính chất chuyển động hạt hệ thay đổi: hạt chuyển động hỗn loạn Hệ trở thành hệ nhiệt động, chuyển động hỗn loạn hạt gọi chuyển động nhiệt Biểu chuyển động hỗn loạn không giống hệ cổ điển hệ lƣợng tử Đối với hệ cổ điển, nguyên tắc tọa độ động lƣợng hạt xác định đƣợc việc giải hệ phƣơng trình Hamilton (1.2) Với hệ nhiệt động xác định, hàm Hamilton (1.2b) H hệ xác định, nghiệm hệ phƣơng trình (1.2) có dạng xác định Tuy nhiên hệ phƣơng trình Hamilton hệ phƣơng trình vi phân nên nghiệm (1.3) hệ phƣơng trình phụ thuộc vào điều kiện ban đầu (1.3c): tùy theo điều kiện ban đầu, thời điểm t có tập giá trị (1.3a) (1.3b) khác nhau; tập ứng với với điều kiện ban đầu điểm pha, tức ứng với trạng thái vi mô hệ thời điểm t Khi t biến thiên tập vẽ nên quỹ đạo pha Do tính đơn trị nghiệm hệ phƣơng trình (1.2), quỹ đạo pha ứng với điều kiện ban đầu khác không cắt ý đến tƣơng tác với ion electron nguyên tử khác, lƣợng electron thay đổi; thay đổi phụ thuộc vào trạng thái electron; trƣớc mức lƣợng có 2(2l+1) electron có 2(2l+1) mức khác mức có electron Tuy nhiên số lƣợng tử spin ảnh hƣởng đến việc tách mức nên thực tế số mức sau bị tách có (2l+1) mức có electron có spin ngƣợc chiều Đồng thời ý vật rắn có N nguyên tử (hoặc phân tử) giống nhau, số mức lƣợng (2l+1)N Nguyên tử cô lập Tinh thể f l=3 7N d l=2 5N p l=1 3N S l=0 1N a) b) Hình 3.1: Các mức lƣợng electron a) Trong nguyên tử cô lập b) Trong tinh thể 31 Xuất phát từ giả thiết lƣợng tƣơng tác electron với nguyên tử lớn nhiều so với động nó, dễ dàng thấy đƣợc mức lƣợng tách từ mức nguyên tử cô lập có giá trị gần (vào cỡ eV) hợp thành miền gọi miền cho phép Các miền cho phép tách từ mức nguyên tử cô lập cách khoảng trống mà giá trị lƣợng electron có đƣợc Khoảng trống tạo thành miền cấm Để chuyển từ miền cho phép sang miền cho phép khác electron phải có lƣợng đủ để vƣợt qua miền cấm Độ rộng miền cho phép vào cỡ eV phụ thuộc vào giá trị sô lƣợng tử n trạng thái nguyên tử cô lập 4s 3p Hình 3.2: Hiện tƣợng chồng miền Ở lớp xa hạt nhân, n lớn, miền lƣợng cho phép có độ rộng lớn, chúng trùng lên nhau, chẳng hạn miền tạo nên từ mức 3p 4s (hình 3.2) Hàm sóng electron nguyên tử cô lập khác không lân cận nguyên tử (hoặc phân tử), nghĩa eletron chủ yếu chuyển động vùng gần nguyên tử Sự ý thành phần khác (3.2) dẫn đến thay đổi hàm sóng, hàm sóng trở nên khác không vùng nguyên tử lân cận, thời gian electron cố định nút mạng 32 từ s nguyên tử cô lập giảm tới s nhỏ, nên nói electron bị tập thể hóa, nghĩa electron chuyển từ nguyên tử sang nguyên tử khác Nói cách khác, nguyên tử cô lập eletron chuyển từ mức lƣợng sang mức lƣợng mức cách xa; nhƣng tạo thành mạng tinh thể mức lƣợng electron cách khoảng eV, lƣợng nhiệt vào cỡ eV nên electron dễ dàng chuyển từ mức sang mức 3.2 Phƣơng trình Schodinger cho electron trƣờng hợp liên kết yếu Trong trƣờng hợp động electron lớn tƣơng tác electron với nguyên tử (liên kết yếu) electron tách khỏi nguyên tử nó, chuyển động hầu nhƣ tự mạng tinh thể bị tác dụng đến gần nút mạng Trong trƣờng hợp thành phần vế phải biểu thức (3.2) ( ⃗ electron đóng vai trò chủ yếu ⃗ ) xác định (3.3), tổng theo Biểu thức cho spin hai electron chiều ( khác ) ⃗ ) phải đƣợc xác định cách Về nguyên tắc hàm sóng hạt tự hợp từ phƣơng trình schodinger (3.1) phƣơng trình (3.3) Kết cho thấy trƣờng hợp hàm sóng có dạng hàm Bloch: ⃑⃗ ⃑⃗ ( ⃗) ⃗ ⃑⃗ ⃑⃗)exp(i ⃑⃗ ⃗) (3.5) hàm tuần hoàn với chu kỳ số mạng a: ⃑⃗ ( ⃗ ⃗) = ⃑⃗ ( ⃑⃗ ) (3.6) Từ (3.5) (3.6) ta thấy (3.3) có tính chất tuần hoàn Thông thƣờng thành phần thứ hai (3.3) chiếm khoảng 10% đến 20% hiệu dụng ⃗) (ngoại trừ trƣờng hợp sắt linh động), electron trƣờng hợp có dấu dƣơng 33 ⃗) >0 đẩy Kronig Penney đƣa mô hình đơn giản hóa để giải toán trƣờng hợp gọi mô hình Kronig-Penney V b c x O a Hình 3.3: sơ đồ mô hình Kronig-Penney Mô hình Kronig-Penney xét hệ electron chiều, electron chuyển động tự với khoảng nút mạng Chuyển động electron bị cản trở khác gần nút mạng (⃗ ⃑⃗) Điều có nghĩa tƣơng tác nguyên tử có dạng tuần hoàn theo phƣơng X (hình 3.3): ( ) (3.7) Với a=b+c; b khoảng cách hai nút mạng, c độ rộng lân cận nút mạng khác Kronig Penney giả thiết c, lớn khoảng c, c tiến tới cho c =const ⃗)>0 có dạng: Nói cách khác, ( ) Trong ( ∑ (3.8) hàm delta, J, n, tên nút mạng thứ J, n có giá trị nguyên (dƣơng âm), sô trƣớc dấu tổng bằng: = (3.9) 34 Phƣơng trình (3.1) cho electron mạng tinh thể trƣờng hợp viết dƣới dạng: [- ( )] (3.10) Với giả thiết mô hình Kronig-Penney phƣơng trình (3.10) giải dễ dàng cho kết giống trƣờng hợp electron tƣơng tác mạnh với nguyên tử nó; nghĩa lƣợng electron tách thành miền cho phép miền cấm, có tƣợng chồng miền cho phép Cả hai trƣờng hợp giới hạn (electron tƣơng tác mạnh tƣơng tác yếu với nguyên tử nó) cho kết nhƣ tạo thành miền luợng cho phép miền lƣợng cấm Bằng cách nội suy coi kết cho trƣờng hợp trung gian khác Đó lý thuyết miền lƣợng electron mạng tinh thể Lý thuyết miền lƣợng thực tế phù hợp tốt với thực nghiệm 35 KẾT LUẬN CHƢƠNG Trong chƣơng 3, em trình bày phƣơng trình Schodinger cho hệ electron trƣờng hợp liên kết mạnh liên kết yếu Đây nội dung quan trọng để em tiếp tục nghiên cứu hoàn thiện khóa luận 36 CHƢƠNG 4: DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ 4.1 Phƣơng trình Schodinger cho dao động mạng tính thể biểu diễn tọa độ Phƣơng trình [-∑ ⃑⃗ ( ⃑⃗ )+ + ⃑⃗)] ( ⃑⃗ )=W ( ⃑⃗ ) mô tả dao động mạng tinh thể Trong đó, phƣơng trình trên: ( ⃑⃗ ) ( ⃑⃗ ) ⃑⃗ (4.1) Chính tƣơng tác nguyên tử (hoặc phân tử) nút mạng.Ở trạng trạng thái cân mạng tinh thể, tƣơng tác có tác dụng nhƣ đàn hồi, tạo nên lực khác tác dụng lên nguyên tử (hoặc phân tử) rời khỏi vị trí cân nút mạng Do tính chất tuần hoàn mạng tinh thể, (4.1) có tính chất tuần hoàn chúng không cần quan tâm đến phụ thuộc vào vị trí nút mạng mà cần quan tâm đến phụ thuộc vào độ lệch nguyên tử (hoặc phân tử) khỏi vị trí cân nút mạng Ký hiệu độ lệch nguyên tử (hoặc phân tử) khỏi vị trí cân nút , (4.1) khai triển theo lũy mạng thứ n ⃑⃗ thừa ⃑⃗ : ⃑⃗)= ⃑⃗ ∑ ( ∑ ) ( ) ∑ ⃑⃗ (4.2) ⃑⃗ ⃑⃗ ⃑⃗ ; ký hiệu dấu (…) đƣợc xác định với 37 giá trị Không làm tính tổng quát, thay đổi gốc tính lƣợng để coi Mặt khác trạng thái cân ứng với hàm bậc ( nên đạo : ) =0 (4.3) Thành phần thứ ba khai triển (4.2) ứng với lực đàn hồi dẫn đến dao động điều hòa mạng tinh thể, thành phần thứ 0, thành phần ứng với dao động tử phi điều hòa 4.2 Phƣơng trình Schodinger cho phonon biểu diễn lƣợng tử hóa lần thứ hai Các dao động mạng tinh thể từ góc độ lƣợng tử coi nhƣ hệ phonon Để thấy rõ điều dƣới cúng ta viết lại phƣơng trình [-∑ ⃑⃗ ( ⃑⃗ )+ + ⃑⃗)] ( ⃑⃗ )=W ( ⃑⃗ ) cách đƣa vào toán tử sinh hủy phƣơng pháp lƣợng tử hóa lần hai Để đơn giản, xét trƣờng hợp dao động điều hòa chiều, (4.2) viết dƣới dạng: ( ⃑⃗) ∑ (4.4a) ý (4.3), viết lại (4.4a) nhƣ sau: ( ⃑⃗ ) ∑ (4.5a) Toán tử Hamilton dao động mạng tinh thể viết dƣới dạng: ∑ [ ̂ ̂ ̂ ̂ /2]=∑ (4.6a) (4.7a) Bài toán quy toàn hệ dao từ điều hòa, dao tử với toán tử Hamilton Để đơn giản, xét trƣờng hợp dao động điều hòa chiều (giả dụ theo phƣơng x), (4.4a) viết dƣới dạng: 38 ( ⃑⃗ ) ∑ (4.4b) ý (4.3), viết lại (4.4b) nhƣ sau: ( ⃑⃗ ) ∑ (4.5b) Toán tử Hamilton dao động mạng tinh thể viết dƣới dạng: =∑ (4.6b) ̂ Trong ̂ (4.7b) Là toán tử Hamilton dao tử điều hòa chiều với tần số dao động Để đơn giản dƣới không viết số n Đƣa vào toán tử sinh hủy toán tử hủy: ̂ ̂ – i(1/√ √ ̂=√ ̂ ) ̂ (4.8a) ) ̂ √ (4.8b) ý hệ thức Heisenberg ̂ ̂ - ̂ ̂ = -iħ có hệ thức giao hoán ̂̂ ̂ ̂=ħ (4.9) Khi toán tử Hamilton (4.7b) có dạng: ( ) H= ̂ ̂ (4.10) Để thấy rõ ý nghĩa toán tử sinh hủy định nghĩa theo công thức (4.8) ký hiệu hàm riêng toán tử H , tức (4.11) làm nhƣ sau: ( ̂ ̂ ) = ( ) ̂ ̂ ̂̂ ̂ ̂̂ ̂̂ ̂ ( ) ̂ (̂ ̂ ̂̂ ̂ ̂̂ )̂ ̂ suy ra: ̂ ̂ ̂ ̂ (4.12) 39 ̂ ̂ Kết cho thấy ̂ hàm sóng ứng với lƣợng , tức tác động toán tử ̂ lên hàm sóng cho ta hàm sóng ứng với trạng thái có lƣợng giảm lƣợng Một cách tƣơng ứng đƣợc: ̂ ̂ (4.13) Tức tác động toán tử ̂ lên hàm sóng cho ta hàm sóng ứng với trạng thái có lƣợng tăng thêm lƣợng Điều nghĩa toán tử ̂ ̂ tƣơng ứng toán tử sinh hủy hạt với lƣợng Đó hạt phonon Để tìm biểu thức lƣợng phonon ký hiệu hàm sóng ứng với trạng thái bản, trạng thái có lƣợng nhỏ Khi ̂ (4.14) Vì trạng thái với lƣợng nhỏ lƣợng tối thiểu Năng lƣợng tối thiểu xác điịnh từ phƣơng trình trị riêng toán tử H xác định (4.10): Chúng ta đƣợc : ̂ ̂ ( ) ( ) suy ra: (4.15) Theo tính chất toán tử ̂ ̂ từ (4.13) có: ̂ Vì ̂ , với hàm sóng ứng với trạng thái có lƣợng : (4.16a) Một cách tƣơng tự, từ (4.13) đƣợc ̂ ̂ 40 Vì ̂ hàm sóng ứng với trạng thái có lƣợng , với , từ (4.11) đƣợc: (4.16b) Tiếp tuc làm tƣơng tự nhận đƣợc kết quả: (4.17) ứng với trạng thái có lƣợng Cho hàm sóng , ý (4.12): (4.18) với n=0,1,2,3,… Để tìm hàm sóng viết: ̂ (4.19) suy ra: | ̂ | | ̂ |̂ | ̂ | > (4.20) ý (4.9) biến đổi vế phải (4.20) nhƣ sau: ̂ ̂ ̂ ̂̂ ̂ ̂ ̂̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (̂̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ … …… ………………………………… ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ý (4.14) cuối ta đƣợc: | |̂ | ̂ Từ (4.19): Và | ̂ | | | , suy √ | | | | | (4.21) 41 Cuối cùng: ̂ (4.22) √ √ với toán tử ̂ xác định từ công thức (4.8a) Để xác định hàm sóng trạng thái , viết dạng tƣờng minh (4.14) : ̂ [√ Hay [√ ( √ ̂] √ ) ( )] (4.23) Phƣơng trình (4.23) phƣơng trình vi phân quen biết, có nghiệm: [ ] (4.24) số xác định từ điều kiện chuẩn hóa hàm :∫ | | , kết , đó: [ Thay tìm đƣợc hàm sóng ] (4.25) từ (4.25) vào (4.22) sử dụng biểu thức (4.8a), dễ dàng trạng thái 42 KẾT LUẬN CHƢƠNG Trong chƣơng 4, em trình bày dao động mạng tinh thể với nội dung: phƣơng trình Schodinger cho dao động mạng tinh thể biểu diễn tọa độ, phƣơng trình Schodinger cho phonon biểu diễn lƣợng hóa lần hai Đây vấn đề quan trọng để em tiếp tục nghiên cứu giải toán phƣơng trình Schodinger cho hệ nhiều hạt 43 KẾT LUẬN Trong khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Phƣơng trình Schodinger cho hệ nhiều hạt ” Sau thời gian nghiên cứu tìm tòi, em thu đƣợc số kết sau: Giới thiệu đƣợc tính chất chung hệ nhiều hạt: khái niệm hệ nhiều hạt, hệ nhiều hạt đồng nhất, đại lƣợng bảo toàn hệ nhiều hạt, biểu diễn toán tử hàm sóng cho hệ nhiều hạt…Trình bày đƣợc phƣơng trình Schodinger tổng quát cho hệ electron ion vật rắn tinh thể Phƣơng trình Schodinger cho hệ electron trƣờng hợp liên kết mạnh liên kết yếu … Nghiên cứu phƣơng trình Schodinger cho dao động mạng tinh thể biểu diễn tọa độ, phƣơng trình Schodinger cho phonon biểu diễn lƣợng tử hóa lần thứ Do thời gian có hạn, lần làm quen với nghiên cứu khoa học, khả vốn kiến thức thân nhiều thiếu sót Em hy vong nhận đƣợc đóng góp ý kiến thầy cô bạn đọc Hy vọng với nội dung đƣợc trình bày khóa luận tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn đọc, góp phần nghiên cứu toán hệ nhiều hạt vật lí Em xin chân thành cảm ơn thầy cô! 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Thái Hoa, Cơ học lƣợng tử ,NXBĐHSPHN II 2014 [2] Phạm Quý Tƣ, Đỗ Đình Thanh Cơ học lƣợng tử , NXBGD Hà Nội 1995 [3] Đỗ Trần Cát, Lý thuyết hệ nhiều hạt , NXB ĐH Bách Khoa Hà Nội 2009 [4] Phan Đình Kiến, Giáo trình học lƣợng tử, NXB ĐH Sƣ Phạm 45 ... chung hệ nhiều hạt 1.1 Khái niệm hệ nhiều hạt 1.2 Hệ nhiều hạt đồng 1.3 Các đại lƣợng bảo toàn hệ nhiều hạt 1.4 Các biểu diễn toán tử hàm sóng cho hệ nhiều hạt Chƣơng 2:Phƣơng trình schodinger cho. .. CHUNG CỦA HỆ NHIỀU HẠT 1.1 Khái niệm hệ nhiều hạt 1.1.1 Đặc điểm chung hệ nhiều hạt 1.1.2 Hệ nhiều hạt học 1.1.3 Hệ nhiều hạt nhiệt động 1.1.4 Hệ nhiều hạt nhiệt... Khái niệm hệ nhiều hạt 1.1.1 Đặc điểm chung hệ nhiều hạt Một cách chung hệ nhiều hạt hệ gồm từ hai hạt trở lên Việc tăng thêm số hạt hệ tạo nên đặc điểm cho hệ Trƣớc hết đề giải hệ phƣơng trình Hamiton