Phương trình schrodinger cho hệ nhiều hạt

Các biểu diễn của toán tử và hàm sóng cho hệ nhiều hạt Chương 2:Phương trình schodinger cho hệ các electron và các ion trong vật rắn tính thể 2.1.. Một cách tương đương trạng thái của hệ

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy dỗ chỉ bảo và truyền đạt kiến thức cho em trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tại trường cũng như trong quá trình thực hiện khóa luận này

Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp này

Là một sinh viên lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên khóa luận của

em không tránh khỏi thiếu sót, vì vậy em rất mong nhận được những đóng góp ý kiến của các thầy cô và bạn bè để khóa luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, Ngày 18 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Trương Thị Minh Hoa

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan đề tài khóa luận này là do sự cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân với sự giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh Công trình này không trùng lặp với các kết quả luận văn của các tác giả

Nếu sai sót em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017 Sinh viên

Trương Thị Minh Hoa

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 1

6 Cấu trúc đề tài 2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1 : CÁC TÍNH CHẤT CHUNG CỦA HỆ NHIỀU HẠT 3

1.1 Khái niệm về hệ nhiều hạt 3

1.1.1 Đặc điểm chung của hệ nhiều hạt 3

1.1.2 Hệ nhiều hạt cơ học 3

1.1.3 Hệ nhiều hạt nhiệt động 5

1.1.4 Hệ nhiều hạt ở nhiệt độ T = 0K 7

1.2 Hệ nhiều hạt đồng nhất 8

1.2.1 Nguyên lý không phân biệt các hạt đồng nhất trong cơ học lượng tử 8

1.2.2 Hàm sóng của hệ các hạt đồng nhất 9

1.3 Các đại lượng bảo toàn của hệ nhiều hạt 12

1.3.1 Toán tử Hamilton của hệ nhiều hạt 12

1.3.2 Bảo toàn động lượng của hệ nhiều hạt 13

1.3.3 Bảo toàn mô men động lượng của hệ nhiều hạt 13

1.4 Các biểu diễn của toán tử và hàm sóng cho hệ nhiều hạt……….15

1.4.1 Biểu diễn Schodinger 15

1.4.2 Biểu diễn Heisenberg 15

1.4.3 Biểu diễn tương tác……… 16

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 23

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO HỆ 24

CÁC ELECTRON VÀ CÁC ION TRONG VẬT RẮN TINH THỂ 24

2.1 Phương trình schrodinger tổng quát cho hệ các electron và ion 24

2.2 Gần đúng đoạn nhiệt và các phương trình schrodinger cho hệ các electron và cho hệ các ion 25

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 28

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH SCHODINGER CHO HỆ 29

CÁC ELECTRON TRONG LIÊN KẾT MẠNH VÀ LIÊN KẾT YẾU 29

3.1 Phương trình Schrodinger cho hệ electron trong trường hợp liên kết mạnh 30

3.2 Phương trình Schodinger cho electron trong trường hợp liên kết yếu 33

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 36

CHƯƠNG 4: DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ 37

4.1 Phương trình Schodinger cho các dao động mạng tính thể trong biểu diễn tọa độ 37

4.2 Phương trình Schodinger cho các phonon trong biểu diễn lượng tử hóa lần thứ hai 38

KẾT LUẬN CHƯƠNG 4 43

KẾT LUẬN 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO 45

mô tả đầy đủ nhất bởi một vecto trạng thái thí dụ như hàm sóng trong không gian cấu hình, nghiệm của phương trình Schodinger Nghiệm của phương trình Schodinger không chỉ mô tả các hệ nguyên tử và hạ nguyên tử (nguyên

tử, phân tử, hạt nhân, điện tử và các hạt cơ bản khác) mà cả các hệ vi mô, thậm trí có thể là toàn bộ vũ trụ Phương trình này được đặt theo tên nhà vật

lý người Áo Erwin Schrodinger, người đã lần đầu tiên thiết lập nó vào năm

1926 Việc sử dụng phương trình Schodinger cho hệ nhiều hạt giúp giải quyết các bài toán đơn giản hơn

Với mong muốn tìm tòi, mở rộng hiểu biết của bản thân về các phương pháp giải các bài tập trong vật lý, em lựa chọn đề tài “phương trình Schodinger cho hệ nhiều hạt“ làm đề tài tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu phương trình Schodinger cho hệ nhiều hạt

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Phương trình Schodinger cho hệ nhiều hạt

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Xây dựng phương pháp giải bài tập khi áp dụng phương trình Schrodinger

Áp dụng để giải một số bài tập

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp vật lý lý thuyết và vật lý toán

2

- Đọc tài liệu và tra cứu

- Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn

6 Cấu trúc đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo dề tài bao gồm 4 phần:

Chương 1: Các tính chất chung của hệ nhiều hạt

1.1 Khái niệm về hệ nhiều hạt

1.2 Hệ nhiều hạt đồng nhất

1.3 Các đại lượng bảo toàn của hệ nhiều hạt

1.4 Các biểu diễn của toán tử và hàm sóng cho hệ nhiều hạt

Chương 2:Phương trình schodinger cho hệ các electron và các ion trong vật rắn tính thể

2.1 Phương trình Schodinger tổng quát cho hệ các electron và các ion

2.2 Gần đúng đoạn nhiệt và các phương trình Schodinger cho hệ các electron

4.1 Phương trình Schodinger cho các dao động mạng tinh thể trong biểu diễn tọa độ

4.1 Phương trình Schodinger cho các phonon trong biểu diễn lượng tử hóa lần thứ hai

3

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 : CÁC TÍNH CHẤT CHUNG CỦA HỆ NHIỀU HẠT 1.1 Khái niệm về hệ nhiều hạt

1.1.1 Đặc điểm chung của hệ nhiều hạt

Một cách chung nhất hệ nhiều hạt là hệ gồm từ hai hạt trở lên Việc tăng thêm số hạt của hệ tạo nên những đặc điểm mới cho hệ Trước hết là vẫn

đề giải hệ phương trình Hamiton (cho hệ cổ điển) hoặc phương trình Shrodinger (cho hệ lượng tử) Với hệ nhiều hạt số biến của hệ phương trình Hamilton hoặc của phương trình Shrodinger tăng lên so với trường hợp một hạt Hơn nữa một yếu tố quan trọng hơn, đó là việc có thêm thành phần thế năng tương tác trong hàm Hamilton hoặc toán tử Hamilton làm cho việc giải chính xác các phương trình Hamilton hoặc phương trình Shrodinger thêm khó khăn.Với phương pháp tính số nhờ máy tính, khó khăn có tính kĩ thuật này không phải là vấn đề nguyên tắc

Tuy nhiên vấn đề sẽ trở nên khác hoàn toàn khi số hạt trong hệ tăng đến mức làm thay đổi về chất các tính chất của hệ: các hạt trong hệ chuyển động hỗn loạn, trạng thái của các hạt không cho biết các tính chất chung của

hệ Với các hệ như vậy như chúng ta đã biết cần dùng đến phương pháp của Vật lý Thống kê và các tính chất vĩ mô của hệ được đặc trưng bởi các giá trị trung bình của các đại lượng vật lý

4

Của tất cả các hạt trong hệ được xác định bởi hệ phương trình Hamilton:

trong đó k = 1,2,….,3N; ̇ và ̇ lần lượt là đạo hàm theo thời gian t của

thành phần tọa độ và động lượng; còn H là hàm Hamilton của hệ:

= = + (1.2b) với là động năng và là thế năng của hệ Nghiệm của hệ phương trình (2.2):

(t,q(0),p(0)) , (t,q(0),p(0)),… , (t,q(0),p(0)) (1.3a) (t,q(0),p(0)) , (t, q(0),p(0)),…., (t,q(0),p(0)) (1.3b) xác định thái của hệ Các kí hiệu q(0) và p(0) trong công thức (1.3) biểu thị hai tập các đại lượng tương ứng :

{ } q(0) và { } (1.3c) xác định các trạng thái ban đầu cả hệ

Một cách tương đương trạng thái của hệ được mô tả bởi quỹ đạo của tất cả

các hạt được xác định từ (1.3)

Dùng khái niệm không gian pha ,tức không gian 2s = 6N chiều (p,q) đối với

hệ có s bậc tự do ,chúng ta thấy mỗi trạng thái của hệ được biểu diễn bằng

một điểm pha Với thời gian các đại lượng q ,p thay đổi và do đó điểm pha vẽ

nên quĩ đạo pha Như vậy quĩ đạo pha cho biết sự thay đổi trạng thái của hệ theo thời gian

Dùng khái niệm không gian pha ,tức không gian 2s =6N chiều (q,p) đối với

hệ có s bậc tự do, chúng ta thấy mỗi trạng thái của hệ được biểu diễn bằng một điểm pha Với thời gian các đại lượng q, p thay đổi và do đó điểm pha vẽ

nên quỹ đạo pha Như vậy quỹ đạo pha cho biết sự thay đổi trạng thái của hệ

theo thời gian

Trường hợp hệ gồm N hạt lượng tử ( hệ lượng tử ):

Đối với hệ cổ điển, về nguyên tắc tọa độ và động lượng của các hạt có thể xác định được bằng việc giải hệ phương trình Hamilton (1.2) Với một hệ nhiệt động xác định, hàm Hamilton (1.2b) H của hệ là xác định, do đó nghiệm của hệ phương trình (1.2) cũng có dạng xác định Tuy nhiên vì hệ phương trình Hamilton là hệ các phương trình vi phân nên nghiệm (1.3) của hệ phương trình này phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu (1.3c): tùy theo điều kiện ban đầu, ở mỗi thời điểm t chúng ta có các tập giá trị (1.3a) và (1.3b) khác nhau; mỗi tập ứng với với một điều kiện ban đầu và một điểm pha, tức là

ứng với một trạng thái vi mô của hệ ở thời điểm t Khi t biến thiên mỗi tập

này vẽ nên một quỹ đạo pha Do tính đơn trị của nghiệm của hệ phương trình (1.2), các quỹ đạo pha ứng với các điều kiện ban đầu khác nhau không cắt

6

nhau; nghĩa là ở mỗi thời điểm chúng ta có một tập các trạng thái vi mô khác nhau, số lượng các trạng thái vi mô không phụ thuộc vào số lượng các điều kiện ban đầu Như vậy bằng cơ học Hamilton về nguyên tắc chúng ta có thể

mô tả được hệ bằng cách xác định các tập trạng thái vi mô của nó Tuy nhiên

trên thực tế, vì các hạt tạo nên hệ chuyển động hỗn loạn không ngừng nên các

điều kiện ban đầu (các giá trị tọa độ và động lượng của tất cả các hạt ở một thời điểm nào đó coi là ban đầu (t=0)) không thể xác định được cả về giá trị

lẫn số lượng, nghĩa là các điều kiện ban đầu có tính ngẫu nhiên, và do đó số

lượng tập các trạng thái vi mô của hệ (các tập giá trị tọa độ và động lượng của các hạt (1.3)) là vô cùng lớn và cũng có tính ngẫu nhiên Điều đó có nghĩa là chuyển động hỗn loạn của các hạt trong hệ đã dẫn đến tình trạng là chúng ta không thể mô tả hệ bằng các trạng thái vi mô của hệ (tức là tập các tọa độ và động lượng của các hạt) như trong trường hợp hệ cơ học

Bây giờ chúng ta sẽ xem đối với hệ lượng tử tính chất chuyển động hỗn loạn của các hạt thể hiện như thế nào Như đã biết do tính chất sóng của hạt, trạng thái của hạt không được mô tả bằng tọa độ và động lượng của nó, nên sự biểu hiện của tính chất chuyển động hỗn loạn của hạt lượng tử không thể hiện ở tính ngẫu nhiên của các giá trị tọa độ và động lượng của hạt như trong trường hợp hệ cổ điển, vì bản thân tọa độ và động lượng của các hạt ngay trong hệ lượng tử cơ học đã không đặc trưng cho trạng thái của hệ

Tương ứng với tọa độ và động lượng của các hạt, trong hệ lượng tử cơ học người ta dùng hàm sóng Vậy tính ngẫu nhiên của tọa độ và động lượng của các hạt trong hệ nhiệt động cổ điển sẽ thể hiện như thế nào trong hệ nhiệt động lượng tử? Có thể chứng minh được rằng số mức năng lượng của hệ nhiều hạt phụ thuộc vào số hạt N và tỷ lệ với , nghĩa là khoảng cách giữa hai mức năng lượng liền nhau cũng là một con số cực kì bé Do tương tác của

hệ với môi trường xung quanh (trên thực tế không thế nào có được một hệ

7

tuyệt đối kín, cho dù năng lượng tương tác của môi trường với hệ khảo sát rất nhỏ tới mức không hề ảnh hưởng đến các tính chất khác của hệ, năng lượng tương tác này vẫn rất lớn so với khoảng cách giữa các mức năng lượng liền nhau của hệ), do đó hệ luôn luôn chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác ứng với các mức năng lượng và hàm sóng khác nhau, và chúng ta không thể nói chính xác rằng ở một thời điểm t nào đó hệ đang ở trạng thái nào Nói một cách khác, những điều chúng ta biết về hệ không phù hợp với một tập đầy đủ

các điều cần biết để thiết lập một hàm sóng cho hệ, tức là trạng thái của toàn

hệ không thể mô tả bằng hàm sóng hoặc bằng trạng thái vi mô của hệ Tình

hình tương tự như đối với hệ nhiệt động cổ điển: do chúng ta không thể chú ý đầy đủ các điều kiện ban đầu vì chúng có tính ngẫu nhiên nên cũng không thể

mô tả đơn thuần cơ học các trạng thái của toàn hệ, nghĩa là không thể mô tả

trạng thái của toàn hệ bằng tập các tọa độ và động lượng của các hạt hoặc bằng trạng thái vi mô của hệ Trạng thái của toàn hệ nhiệt động được gọi là trạng thái vĩ mô để phân biệt với trạng thái vi mô xác định xác định bởi các

tập (q,p) hoặc bằng hàm sóng

Qua những điều đã trình bày trên chúng ta thấy không thể chỉ dùng cơ học đơn thuần để mô tả hệ nhiều hạt nhiệt động, mà phải dùng phương pháp của Vật lý Thống kê, nghĩa là kết hợp giữa mô tả cơ học với lý thuyết xác xuất sẽ được trình bày ở các phần sau

1.1.4 Hệ nhiều hạt ở nhiệt độ T = 0K

Đương nhiên là đối với hệ nhiều hạt cơ học không có khái niệm nhiệt

độ, vì nhiệt nhiệt độ là một đại lượng vật lý đặc trưng cho mức độ chuyển động hỗn loạn của các hạt trong hệ, trong khi các hạt trong hệ cơ học không chuyển động hỗn loạn Vấn đề đặt ra là với hệ nhiệt động ở nhiệt độ T = 0K

cổ điển khi T = 0K thì W = 0, có nghĩa là không có chuyển động hỗn loạn (trên thực tế không tồn tại hệ nhiệt động cổ điển ở 0K); trong khi đối với hệ lượng tử năng lượng của hệ đạt giá trị cực tiểu ở nhiệt độ T = 0K Có thể chứng minh được rằng trạng thái của hệ ở T = 0K là trạng thái cơ bản và không suy biến, nghĩa là ứng với mức năng lượng cực tiểu chỉ có một trạng thái và trạng thái của hệ ở 0K hoàn toàn được xác định bằng hàm sóng, nghĩa

là các hạt trong hệ không chuyển động hỗn loạn Chúng ta có thể xem xét bài toán đơn thuần cơ học lượng tử

1.2 Hệ nhiều hạt đồng nhất

1.2.1 Nguyên lý không phân biệt các hạt đồng nhất trong cơ học lượng tử

Các hạt đồng nhất là các hạt giống hệt nhau về mọi phương diện Trong cơ học cổ điển có thể phân biệt được các hạt giống hệt nhau vì chúng chuyển động theo các quỹ đạo khác nhau Trong cơ học lượng tử trạng thái của hạt không đặc trưng bằng quỹ đạo mà bằng hàm sóng nên các hạt giống hệt nhau có cùng hàm sóng và chúng ta không thể phân biệt được chúng

9

Nghĩa là về nguyên tắc không thể phân biệt đƣợc các hạt đồng nhất Đó chính

là nguyên lý không phân biệt các hạt đồng nhất trong cơ học lƣợng tử

1.2.2 Hàm sóng của hệ các hạt đồng nhất

1.2.2.1 Tính đối xứng của hàm sóng

Xét hệ N hạt đồng nhất Trạng thái của hệ đặc trƣng bằng hàm sóng

khi tác động lên ) sẽ làm hoán vị các biến thứ i và thứ j:

1.2.2.2 Đặc điểm tính đối xứng của hàm sóng

- Một đặc điểm quan trọng của tính chất này là tính đối xứng là nhƣ nhau đối với tất cả các cặp biến, nghĩa là nếu hàm sóng là đối xứng đối với sự hoán vị của một cặp biến ( , ) thì cũng là đối xứng đối với sự hoán vị của tất cả các cặp biến khác, hoặc nếu hàm là phản đối xứng đối với sự hoán vị của một cặp biến , ) thì cũng là phản đối xứng đối với sự hoán vị của tất

cả các cặp biến khác Có thể chứng minh khẳng định này bằng phản chứng: giả dụ hàm sóng đối xứng đối với sự hoán vị các cặp biến (1;3) và (2;3),

- Tính đối xứng của hàm sóng phụ thuộc vào spin: Người ta đã chứng minh rằng spin của hạt xác định tính chẵn-lẻ của hàm sóng của hệ: Nếu hạt có spin nguyên (0;1;2;…) thì hàm sóng là chẵn và hệ hạt đồng nhất tuân theo phân bố Bose-Einstein

Nếu hạt có spin bán nguyên (1/2;3/2;5/2;…) thì hàm sóng là lẻ và hệ hạt đồng nhất tuân theo phân bố Fermi-Dirac

- Tính đối xứng của hàm sóng là vĩnh cửu: vì các hạt là đồng nhất nên toán tử Hamilton H của hệ là bất biến đối với tất cả các hoán vị (  ), có nghĩa là ̂ giao hoán với H và do đó phép hoán vị ứng với toán tử ̂ là bảo toàn, nói một cách khác nếu ̂ có trị riêng bằng 1 thì trị riêng này sẽ bằng mãi, hoặc nếu ̂ có trị riêng bằng -1 thì trị riêng này sẽ bằng -1 mãi

1.2.2.3 Dạng của hàm sóng của hệ hạt đồng nhất không tương tác

Để thiết lập dạng của hàm sóng của hệ hạt đồng nhất không tương tác, chúng ta kí hiệu ( ) là hàm sóng một hạt mô tả trạng thái trong đó chỉ

có một hạt thứ i tồn tại với tập các biến mô tả hạt i nào đó Các hàm ) có dạng:

11

Trong đó ( ⃗) là hàm sóng phụ thuộc tọa độ xác định trạng thái một hạt ni trong đó có một hạt thứ i, còn ( ) là hàm sóng spin với spin ở trạng thái spin Các biến lượng tử = ( ⃗ , ) xác định trạng thái = (ni , ) của hạt thứ i Hàm sóng một hạt (1.9) là trực chuẩn, thỏa mãn công thức chuẩn hóa sau:

∫ ( ) ( )d =∫ ⃗ ∑ ( ⃗) ( ) ( ⃗) ( )

trong đó: d ⃗ = d d d

Hàm sóng ( ) của toàn hệ là tổ hợp của các hàm sóng

( ) Về nguyên tắc hàm sóng của hệ gồm các hạt không tương tác phải được tổ hợp từ tích của tất cả các hàm của từng hạt ( ) vì xác xuất hiện trạng thái của hệ chính là xác suất tồn tại đồng thời của tất cả các hạt trong hệ Ngoài ra hàm sóng còn phải thỏa mãn tính chất chẵn lẻ như đã viết ở trên

Trường hợp hệ các hạt boson, hàm sóng của hệ là hàm chẵn, nghĩa là không đổi khi hoán vị bất kì hai hạt nào Do đó hàm sóng có dạng:

( ) = c∑ ( ) ( )… ( ) (1.11a) tổng lấy theo tất cả hoán vị có thể có, hằng số c được xác định từ điều kiện chuẩn hóa

Với hệ có 2 hạt:

( ) =

√ [ ( ) ( ) + ( ) ( )] (1.11b) Trường hợp các hạt fermion hàm sóng của hệ là hàm lẻ, nghĩa là đổi dấu khi hoán vị bất kỳ hai hạt nào Do đó hàm sóng có dạng định thức Slater:

12

( ) =

√ ||

|| (1.12a) Rõ ràng là việc hoán vị hai cột bất kỳ của định thức Slater đều làm đổi dấu định thức Với hệ có 2 hạt: ( ) =

√ [ ( ) ( )- ( ) ( )] (1.12b) Trạng thái của các hạt fermion xác định bằng định thức Slater chứa đựng Nguyên lý loại trừ Pauli: nếu trong sô các có hai số nào đó giống nhau (định thức có hai hàng giống nhau) thì định thức bằng 0, do đó hàm sóng của hệ bằng 0 Định thức có hai hàng giống nhau có nghĩa là có hai hạt khác nhau trong một trạng thái ( ) Điều đó không thể xảy ra vì trái với nguyên lý loại trừ Pauli: không có quá một hạt trong một trạng thái 1.3 Các đại lượng bảo toàn của hệ nhiều hạt 1.3.1 Toán tử Hamilton của hệ nhiều hạt Xét hệ có N hạt Toán tử Hamilton của hệ có dạng : ∑ ( ) ⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗ (1.13a) hoặc trong các biến của hệ tọa độ cầu: ∑

(∑ )

(

) (1.13b) trong đó: ( ) ( )

Toán tử thế năng tương tác trong biểu diễn tọa độ bằng chính nó: ( ̂ ⃑⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗ )

13

Nếu thế năng tương tác giữa các hạt trong hệ V không chứa tường minh thời gian, năng lượng E của hệ có giá trị xác định, chúng ta có thể xét các đại lượng bảo toàn

1.3.2 Bảo toàn động lượng của hệ nhiều hạt

1.3.3 Bảo toàn mô men động lượng của hệ nhiều hạt

Toán tử mô men động lượng của hệ N hạt có dạng: ⃑⃗̂ ∑ ⃑⃑⃑⃗̂, với ⃑⃑⃑⃗̂

là toán tử momen động lượng của hạt thứ k Thành phần z của toán tử momen động lượng của hệ có dạng ̂ ∑ ̂ thay ̂=

, chúng ta được:

Vì ( ⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃗) ⃑⃑⃑⃑⃑⃗, suy ra

15

Nếu thế tương tác V=0 hoặc có dạng đối xứng cầu ( tức ) thì

do đó và từ (1.17) được bảo toàn

1.4 Các biểu diễn của toán tử và hàm sóng cho hệ nhiều hạt

Biểu diễn của toán tử và hàm sóng là một vấn đề rất quan trọng trong việc giải quyết các bài toán cụ thể, đặc biệt là đối với hệ nhiều hạt Trong cơ học lượng tử thường sử dụng ba biểu diễn là biểu diễn Schrodinger, biểu diễn Heisenberg và biểu diễn tương tác Trong phần này chúng ta sẽ đề cập đến các biểu diễn nói trên và tập trung chú ý nhiều đến biểu điễn tương tác là biểu diễn được sử dụng trong nghiên cứu hệ nhiều hạt có tương tác, đặc biệt là

trong phương pháp hàm Green lượng tử

1.4.1 Biểu diễn Schrodinger

Xét phương trình Schrodinger theo thời gian

trong đó là hàm sóng không phụ thuộc vào thời gian

Biểu thức (1.19) có thể suy ra được từ (1.18) vì toán tử Hamilton H không phụ thuộc vào thời gian Đây chính là biểu diễn Schrodinger , là biểu diễn trong đó hàm sóng phụ thuộc vào thời gian, còn toán tử Haminlton không phụ thuộc vào thời gian

1.4.2 Biểu diễn Heisenberg

Thành phần ma trận của một toán tử ̂ được xác định bởi:

〈 ̂ 〉 thay hàm sóng (t) từ (1.19) chúng ta có:

〈 ̂

16

Đặt ̂ ̂ (1.21) chúng ta được: 〈 ̂ 〉 (1.20b)

Chúng ta đã chuyển sang một biểu diễn mới, gọi là biểu diễn Heisenberg, trong đó toán tử ̂ phụ thuộc vào thời gian được xác định bởi công thức (1.21), còn hàm sóng không phụ thuộc thời gian và được xác định từ (1.19):

1.4.1 Biểu diễn tương tác

Để đi đến biểu diễn tương tác chúng ta viết toán tử Hamilton H dưới dạng:

trong đó ̂ là phần tương tác của toán tử Haminlton H

Chọn toán tử biến đổi là chúng ta có:

Đó cũng là lý do biểu diễn đang xét có tên là biểu diễn tương tác Để thuận tiện cho các tính toán về sau, chúng ta viết lại phương trình (1.26) dưới 1 dạng khác bằng cách lấy tích phân hai vế phương trình này từ đến t (t > ):

∫ ̂ (1.28) Nghiệm của phương trình (1.28) có thể viết dưới dạng chuỗi theo lũy thừa của ̂ :

(1.29) trong đó gần đúng bậc không chọn hàm sóng tại t0

18

( ) ∫ ̂ ∫ ̂ ∫ ̂

Trong chuỗi (1.35) toán tử tương tác ̂ ở thời điểm sớm hơn bao giờ cũng đứng sau toán tử tương tác ̂ ở thời điểm muộn hơn, vì

t >t1 > t2 >….> tn > t0

biểu thức (1.35) có thể viết dưới dạng gọn hơn Chẳng hạn chúng ta xét thành phần bậc hai:

̂ ( ) ∫ ∫ ̂ ̂ (1.36a) Sau khi thay đổi biến tích phân t1 t2 chúng ta được:

19

∫ ∫ ̂ ̂ ∫ ∫ ̂ ̂

∫ ∫ ̂ ̂ ∫ ∫ ̂ ̂ (1.38) Kết hợp (1.36) và (1.38) chúng ta nhận được:

̂ ( ) ∫ ∫ ̂[ ̂ ̂ ] (1.39) Với thành phần bậc 3 chúng ta có 3 biến tích phân, có 3! = 6 cách thay đổi biến tích phân ti tj ; i,j=1,2,3, trong đó có 6 biểu thức loại (1.36) cho ̂ và 6 thành phần loại (1.38) trong biểu thức cho

∫ ∫ ∫ ̂[ ̂ ̂ ̂ ] (1.40) Lập luận một cách tương tự trong thành phần bậc n chúng ta thay đổi biến tích phân bằng cách thay đổi các kí hiệu t1 t2 ;…; ti tj ;…, tất nhiên là giá trị tích phân không thay đổi Thực hiện tất cả n! cách thay đổi biến có thể, chúng ta có được n! tích phân bằng nhau, cộng tất cả các tích phân đó lại rồi chia cho n! chúng ta được biểu thức cho thành phần bậc n của (1.35) sau khi

mở rộng khoảng lấy tích phân cho tất cả các biến từ đến t bằng cách sử dụng toán tử sắp xếp thứ tự thời gian ̂ Kết quả là chúng ta có thể viết thành phần bậc n của (1.35) như sau:

20

Giả thiết ở thời điểm xác định không có tương tác (V=0), sau đó tương tác bắt đầu xuất hiện từ từ một cách đoạn nhiệt và đạt được giá trị của tương tác của hệ khảo sát ở thời điểm coi là ban đầu, nghĩa là trạng thái của hệ ứng với hàm riêng của toán tử Hamilton toàn phần với H với

(1.48) Thay trong (1.34) và chú ý (1.44) chúng ta có

̂ Suy ra:

Các công thức (1.43), (1.45), (1.49), (1.50) sẽ được sử dụng để nghiên cứu hàm Green ở đoạn sau Để chuẩn cho việc này chúng ta viết biểu thức tính giátrị trung bình M ở trạng thái cơ bản của một tích các toán tử sắp xếp theo

trật tự thời gian giảm dần trong biểu diễn Heisenberg Ký hiệu là hàm sóng ứng với trạng thái cơ bản trong biểu diễn Heisenberg chúng ta có:

〈 ̂[ ̂ ̂ ̂ ] 〉 (1.51) Giả thiết