Dưới vi phân của hàm lồi và ứng dụng (LV00373)

LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình thực hiện luận văn. Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện để tôi có thể hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 10 năm 2010 Nguyễn Thị Thanh LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm. Hà Nội, tháng 10 năm 2010 Nguyễn Thị Thanh Mục lục Mở đầu 1 Chương 1. Tập lồi và hàm lồi 3 1.1. Định nghĩa tập lồi và các tính chất . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Định nghĩa hàm lồi và các tính chất . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2. Các phép toán về hàm lồi . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3. Tính liên tục của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . 13 1.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. Dưới vi phân hàm lồi 16 2.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . 16 2.2. Một số phép toán dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Chương 3. Ứng dụng của dưới vi phân hàm lồi 32 3.1. Một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 BẢNG KÍ HIỆU R n không gian Euclid n chiều trên tập số thực R tập số thực (R = R 1 ) R = R ∪{−∞, +∞} tập số thực suy rộng x =  n  i=1 x i 2 chẩn Euclide của x F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị từ X vào Y domf miền hữu hiệu của f epif trên đồ thị của f int Ω phần trong của Ω ri Ω phần trong tương đối của Ω cone Ω nón lồi sinh bởi Ω N(¯x, Ω) nón pháp tuyến của Ω tại ¯x ∇f(x) hay f  (x) đạo hàm của f tại x f  (x; v) đạo hàm theo hướng v của f tại x ∂f(x) dưới vi phân của f tại x MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Những hàm số không khả vi xuất hiện thường xuyên và được biết đến từ lâu trong Toán học và các khoa học ứng dụng khác. Vì lý thuyết vi phân cổ điển không thể ứng dụng được cho việc khảo sát những đối tượng không khả vi, nên các lý thuyết vi phân suy rộng đã ra đời và đã được xây dựng. Lý thuyết vi phân suy rộng đầu tiên là lý thuyết vi phân suy rộng cho các hàm lồi. Với những cống hiến quan trọng của T. R. Rockafellar và một số nhà toán học khác, ngày nay Giải tích lồi đã trở thành một bộ phận quan trọng và đẹp đẽ của Giải tích toán học, góp phần giải quyết được nhiều bài toán trong thực tế ([1], [7]). Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về sự phát triển của phép tính vi-tích phân và ứng dụng của nó, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “Dưới vi phân của hàm lồi và ứng dụng”. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu các kết quả đạt được về dưới vi phân của hàm lồi và một số ứng dụng vào bài toán tối ưu. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Việc nghiên cứu luận văn với nhiệm vụ hệ thống, làm rõ khái niệm dưới vi phân của hàm lồi và một số tính chất, từ đó trình bày ứng dụng của nó trong một số bài toán. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Dưới vi phân của hàm lồi và một số tính chất. Ứng dụng của dưới vi phân hàm lồi. 2 5. Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến đề tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích, giải tích lồi, giải tích đa trị, tối ưu hoá. 6. Những đóng góp của đề tài Trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về dưới vi phân của hàm lồi và một số tính chất. Nghiên cứu ứng dụng của dưới vi phân hàm lồi trong một số bài toán. Chương 1 Tập lồi và hàm lồi Trong chương này chúng ta sẽ trình bày những khái niệm cơ bản nhất của tập lồi và hàm lồi cùng với những tính chất đặc trưng của nó. 1.1. Định nghĩa tập lồi và các tính chất Định nghĩa 1.1.1. ([3], tr 3, định nghĩa 1.1) Tập A ⊂ R n được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ A và mọi λ ∈ R sao cho 0 ≤ λ ≤ 1 thì λx + (1 − λ)y ∈ A. Định lý 1.1.1. ([7], tr 10, định lý 2.1) Giao của một họ tùy ý các tập lồi trong R n là một tập lồi trong R n . Chứng minh. Giả sử A α ∈ R n (α ∈ I) là các tập lồi với I là tập chỉ số bất kì, ta cần chứng minh tập A = ∩ α∈I A α là lồi. Lấy tùy ý x 1 , x 2 ∈ A. Khi đó x 1 , x 2 ∈ A α , với mọi α ∈ I. Do A α là lồi cho nên λx 1 +(1−λ)x 2 ∈ A α với mọi λ ∈ [0, 1], do đó λx 1 +(1−λ)x 2 ∈ A. Vì vậy A là tập lồi. Hệ quả 1.1. ([7], tr 10, hệ quả 2.1.1) Cho b i ∈ R n ; β i ∈ R; i ∈ I với I là tập chỉ số tùy ý. Khi đó A = {x ∈ R n | x; b i  ≤ β i ; i ∈ I} là một tập lồi trong R n . Định nghĩa 1.1.2. Cho A và B là hai tập hợp tuỳ ý trong R n A + B = {a + b | a ∈ A; b ∈ B}; αA = {αa | a ∈ A}. 4 Định lý 1.1.2. ([3], tr 4, mệnh đề 1.2) Giả sử A i ⊂ R n lồi; λ i ∈ R (i = 1, 2, , m). Khi đó λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + + λ m A m là lồi. Định nghĩa 1.1.3. Vectơ x ∈ R n được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ x 1 , , x m ∈ R n nếu tồn tại λ i ≥ 0 (i = 1, 2, , m) m  i=1 λ i = 1 sao cho x = m  i=1 λ i x i . Định lý 1.1.3. ([7], tr 11, định lý 2.2) Một tập trong R n là lồi khi và chỉ khi nó chứa tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử của nó. A là tập lồi trong R n khi và chỉ khi A = {x = m  i=1 λ i x i | x i ∈ A; m  i=1 λ i = 1; λ i ≥ 0; i = 1, m, ∀m ∈ N}. Chứng minh. ⇐ / Chọn m = 2, khi đó A là tập lồi theo định nghĩa. ⇒ / Giả sử A là tập lồi, ta lấy tùy ý x 1 , x 2 , , x m ∈ A; λ 1 , , λ m ≥ 0 và m  i=1 λ i = 1 ; x = m  i=1 λ i x i . Ta chứng minh x ∈ A bằng quy nạp theo m. Với m = 1 : x 1 ∈ A; λ 1 = 1, khi đó x = x 1 ∈ A. Với m = 2 : x 1 , x 2 ∈ A; λ 1 +λ 2 = 1 mà A lồi suy ra x = λ 1 x 1 +λ 2 x 2 ∈ A theo định nghĩa. Giả sử x ∈ A đúng với m − 1 , ta có m  i=1 λ i x i ∈ A; ∀x i ∈ A; m  i=1 λ i = 1; λ i ≥ 0; i ∈ N. Xét x = m  i=1 λ i x i = m−1  i=1 λ i x i + λ m x m . Nếu λ m = 0 thì x ∈ A theo giả thiết quy nạp. Nếu λ m = 1 thì λ 1 = = λ m−1 = 0 khi đó x = x m ∈ A. Nếu 0 < λ < 1 ta có 1 − λ m = λ 1 + + λ m−1 > 0 5 λ i 1 − λ m ≥ 0 (i = 1, , m − 1). Vì m−1  i=1 λ i 1 − λ m = 1 nên theo giả thiết quy nạp y = m−1  i=1 λ i 1 − λ m x i ∈ A, từ đó với y ∈ A, x m ∈ A, 1 − λ m > 0 và (1 − λ m ) + λ m = 1 suy ra x = (1 − λ m )y + λ m x m ∈ A do A là tập lồi. Định lý 1.1.4. Một tập A trong R là lồi khi và chỉ khi A liên thông. Chứng minh. ⇒ / Giả sử A không liên thông , khi đó A là hợp của hai tập mở rời nhau. Giả sử A = B ∪ C; B ∩ C = ∅; B, C mở, với B = (x, y); C = (z, t), ở đó y < z. Suy ra y + z 2 /∈ A, mâu thuẫn vì A lồi. ⇐ / Giả sử A không lồi, khi đó tồn tại α ∈ (0, 1) và x, y ∈ A, x < y sao cho αx + (1 − α)y /∈ A Lấy z ∈ A suy ra z = αx + (1 − α)y ⇒  z > αx + (1 − α)y z < αx + (1 − α)y Lại do x < αx + (1 − α)y < y nên A = B ∪ C với B = {s ∈ A : s < αx + (1 −α)y} C = {s ∈ A : s > αx + (1 −α)y} Điều này mâu thuẫn với tính chất A liên thông. Ví dụ 1.1.1. Các tập lồi trong R: ∅, {x}, (a, b), (a, b] , [a, b) , [a, b] , R 6 1.2. Định nghĩa hàm lồi và các tính chất 1.2.1. Hàm lồi Định nghĩa 1.2.1. ([1], tr 78) Cho hàm f : S → R, trong đó S ⊂ R n ; R = R ∪ {−∞, +∞}, các tập dom f = {x ∈ S | f(x) < +∞}, epi f = {(x, α) ∈ S × R | f(x) ≤ α}, được gọi lần lượt là miền hữu hiệu và trên đồ thị của hàm f. Định nghĩa 1.2.2. ([3], tr 39, định nghĩa 2.4) Hàm f : S → R được gọi là lồi nếu trên đồ thị của nó là một tập lồi trong S ×R. Nếu dom f = ∅ và f(x) > −∞ với mọi x ∈ S ta nói hàm f là chính thường. Ví dụ 1.2.2. a) Hàm f : R → R f(x) = x 2 epi f =  (x; µ) ∈ R × R |f(x) = x 2 ≤ µ  là tập lồi trong R × R. Thật vậy, lấy hai điểm bất kỳ (x 1 , µ 1 ) ∈ epi f, (x 2 , µ 2 ) ∈ epi f, tức là µ 1 ≥ x 1 2 , µ 2 ≥ x 2 2 . Ta cần chứng minh λ (x 1 , µ 1 ) + (1 − λ) (x 2 , µ 2 ) ∈ epi f; 0 ≤ λ ≤ 1 Điều này tương đương với (λx 1 + (1 − λ)x 2 , λµ 1 + (1 − λ)µ 2 ) ∈ epif ⇔ λµ 1 + (1 − λ)µ 2 ≥ (λx 1 + (1 − λ)x 2 ) 2 ⇔ λµ 1 + (1 − λ)µ 2 ≥ λ 2 x 1 2 + (1 − λ) 2 x 2 2 + 2λ(1 − λ)x 1 x 2 . Mà λµ 1 + (1 − λ)µ 2 ≥ λx 1 2 + (1 − λ)x 2 2 . [...]... phân là tìm cực trị của các phiếm hàm Tuy nhiên khi tìm cực trị của một số phiếm hàm không trơn (không khả vi) tại một số điểm thì lý thuyết vi phân nêu trên không vận dụng được Do đó, trong chương tiếp theo ta sẽ mở rộng khái niệm vi phân cho dưới vi phân của hàm lồi Chương 2 Dưới vi phân hàm lồi Trong chương này chúng ta sẽ trình bày những kiến thức cơ bản của dưới vi phân của hàm lồi cần dùng trong... dưới vi phân của hàm lồi để giải bài toán tối ưu Chương 3 Ứng dụng của dưới vi phân hàm lồi Trong chương trình giải tích cổ điển, ta thấy điều kiện cần và đủ để một hàm lồi khả vi đạt cực trị tại một điểm là đạo hàm của nó triệt tiêu tại điểm đó Trong chương này chúng ta sẽ trình bày ứng dụng của dưới vi phân hàm lồi để tìm cực trị của hàm lồi nhiều biến, không nhất thiết khả vi 3.1 Một số tính chất... (x) và x > y thoả mãn (2.9) Nếu y ∗ − 1 < 0 thì tồn tại x∗ = 1 ∈ ∂f (x) và x < y thoả mãn (2.9) Từ đó suy ra T là cực đại 2.3 Kết luận Trong chương này ta đã trình bày định nghĩa và một số tính chất cơ bản của dưới vi phân hàm lồi Ta cũng đã trình bày một số quy tắc tính toán cho phép toán dưới vi phân cùng với một số ví dụ Chương tiếp theo sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu ứng dụng của dưới vi phân của hàm. .. x − α với a ≤ γ; α ∈ R Ta xét một số ví dụ về dưới vi phân hàm lồi 19 Ví dụ 2.1.7 ([8], tr 63, ví dụ 2.1) Cho f : Rn → R là một hàm lồi thuần nhất dương, nghĩa là f : Rn → R là hàm lồi thỏa mãn f (λx) = λf (x), λ > 0 Khi đó ∂f (x0 ) = {x∗ ∈ Rn | x∗ , x0 = f (x0 ), x∗ , x ≤ f (x), ∀x} (2.2) Thật vậy, sử dụng dưới vi phân hàm lồi ta tính dưới vi phân của hàm trên Lấy x∗ ∈ ∂f (x0 ) nên f (x) − f (x0... này chứng minh cho tính Lipschitz của f trên C (iv) ⇒ (v) và (v) ⇒ (i) : là rõ ràng 15 Ví dụ 1.2.5 Hàm f (x) = x2 , x ∈ R là hàm lồi liên tục trên R Hàm f (x) = −∞, x ∈ R là hàm lồi không liên tục trên R 1.3 Kết luận Trong chương này chúng ta đã trình bày định nghĩa, một số tính chất cơ bản của tập lồi và hàm lồi cùng với một số ví dụ minh họa Một trong những ứng dụng chính của lý thuyết vi phân là... trơn 2.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản Định nghĩa 2.1.1 ([3], tr 110, định nghĩa 4.2) Cho f là hàm lồi chính thường trên Rn ; khi đó vectơ x∗ ∈ Rn được gọi là vectơ dưới gradient của f tại điểm x0 nếu f (x) − f (x0 ) ≥ x∗ , x − x0 ∀x ∈ Rn (2.1) Tập tất cả các dưới gradient của f tại x0 được gọi là dưới vi phân của f tại x0 và được kí hiệu là ∂f (x0 ) Hàm f được gọi là dưới khả vi tại x0 nếu ∂f (x0... , do f lồi, chính thường và λ > 0 thì λf cũng là lồi, chính thường và x ∈ dom(λf ) Ta có (λf ) (x, ) = λf (x, ) Từ định lý 2.1.3 suy ra ∂(λf )(x) = λ∂f (x) Nếu x ∈ domf thì ∂(λf )(x) = λ∂f (x) = ∅ / Ta sử dụng định lý sau cho vi c chứng minh các phép toán của dưới vi phân Định lý 2.2.1 ([8], tr 59, định lý 2.4) Cho f1 , f2 , , fm là những hàm lồi hữu hạn trên tập lồi khác rỗng D trong Rn , và cho A... 2.1.4 ([1], tr 133) Cho một hàm f xác định trên một lân cận của x ∈ Rn Hàm f được gọi là khả vi tại x nếu tồn tại x∗ sao cho f (z) − f (x) − x∗ ; z − x lim = 0 z→x z−x Khi đó điểm x∗ nếu tồn tại sẽ duy nhất và được gọi là đạo hàm của f tại x Thông thường đạo hàm này được kí hiệu là f (x) hoặc f (x) 25 2.2 Một số phép toán dưới vi phân Cho hàm f : Rn → R lồi, chính thường và λ > 0, ta có ∂(λf )(x) =... họ của những tập con đơn điệu của R × R Ta nói rằng một toán tử đơn điệu T là đơn điệu cực đại khi đồ thị của nó là một tập đơn điệu cực đại Định lý 2.2.4 ([6], tr 27, định lý 2.25) Nếu f là hàm lồi và liên tục trên R, thì ánh xạ dưới vi phân của nó là đơn điệu cực đại Chứng minh Để chứng minh ∂f là cực đại theo định nghĩa ta sẽ chứng minh rằng với y, y ∗ ∈ R mà y ∗ ∈ ∂f (y), thì tồn tại x ∈ R và x∗... epi f Vậy epi f đóng đối với phép cộng và phép nhân vô hướng Hay λ(x1 , r1 ) + (1 − λ)(x2 , r2 ) ∈ epi f với mọi λ ∈ [0; 1] Từ đó suy ra epi f là lồi, suy ra f là hàm lồi Định lý 1.2.4 Một hàm thực một biến ϕ(t) khả vi trong một khoảng mở (a, b) ⊂ R lồi khi và chỉ khi ϕ (t) là hàm tăng Chứng minh ⇒ / Lấy t1 < t2 < t3 với t1 , t2 , t3 ∈ (a, b), bởi vì hàm ϕ(t) lồi và t2 = t3 − t2 t2 − t1 t1 + t3 t3 − . chất, từ đó trình bày ứng dụng của nó trong một số bài toán. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Dưới vi phân của hàm lồi và một số tính chất. Ứng dụng của dưới vi phân hàm lồi. 2 5. Phương pháp. triển của phép tính vi- tích phân và ứng dụng của nó, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: Dưới vi phân của hàm lồi và ứng dụng . 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu các kết quả đạt được về dưới vi. vi) tại một số điểm thì lý thuyết vi phân nêu trên không vận dụng được. Do đó, trong chương tiếp theo ta sẽ mở rộng khái niệm vi phân cho dưới vi phân của hàm lồi. Chương 2 Dưới vi phân hàm lồi Trong