Hàm lồi véc tơ và ứng dụng (LV01815)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHAN VĂN TUYỀN HÀM LỒI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHAN VĂN TUYỀN HÀM LỒI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN HÀ NỘI, 2015 i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình, nghiêm túc thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường bạn học viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn này! Hà Nội, ngày 03 tháng năm 2015 Tác giả Phan Văn Tuyền ii LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày 03 tháng năm 2015 Tác giả Phan Văn Tuyền iii DANH MỤC KÍ HIỆU x∈M Phần tử x thuộc tập M y∈ /M Phần tử y không thuộc tập M ∅ Tập rỗng M ⊂N M tập N M ∪N Hợp hai tập hợp M N M ∩N Giao hai tập M N M ×N Tích Đề-các hai tập M N ∀x Với x ∃x Tồn x supx∈K f (x) supremum tập {f (x)|x ∈ K} inf x∈K f (x) infimum tập {f (x)|x ∈ K} co D Bao lồi tập D coD Bao lồi đóng tập D int D Phần tập D x Chuẩn X không gian định chuẩn X Rn Không gian Euclide n chiều clD, D Bao đóng tập D L(Rn , Rm ) Không gian ma trận cấp n × m x, y Tích vô hướng x, y không gian Hilbert coneA Nón sinh A K∗ Nón cực nón K dom(f ) Miền xác định f epi(f ) Trên đồ thị f iv Mục lục LỜI CẢM ƠN i LỜI CAM ĐOAN ii DANH MỤC KÍ HIỆU iii LỜI MỞ ĐẦU 1 Hàm lồi vô hướng ứng dụng 1.1 Định nghĩa tập lồi, hàm lồi tính chất 1.1.1 Tập lồi 1.1.2 Hàm lồi 1.2 Tính liên tục 1.3 Tính liên tục Lipschitz 1.4 Hàm liên hợp 1.4.1 Phép biến đổi Young-Fenchel 1.4.2 Tính chất hàm liên hợp 10 Dưới vi phân 11 1.5 Hàm lồi vectơ ứng dụng 2.1 Giới thiệu 17 17 v 2.2 Định nghĩa, khái niệm kết bổ trợ 19 2.3 Tính liên tục 25 2.4 Các đặc trưng hàm lồi vectơ 32 2.5 Ánh xạ lùi xa 40 2.6 Một số ứng dụng 50 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hàm lồi vectơ đóng vai trò quan trọng giải tích phi tuyến, đặc biệt tối ưu Trong trường hợp vectơ, hàm lồi vectơ quan tâm trọng nhiều để làm sáng tỏ cấu trúc lớp hàm vectơ ứng dụng vào tối ưu vectơ, đặc trưng tính lồi biểu diễn thông qua phép vô hướng hóa thông qua bậc hàm suy rộng Một tính chất hữu ích hàm lồi vectơ tính liên tục Lipschitz cục phần tương ứng miền xác định Tuy nhiên quan tâm đến điều kiện để tính liên tục điểm biên Trong tối ưu, để có điều kiện đủ cho nghiệm tối ưu, cần điều kiện bậc hai giả thuyết lồi Bên cạnh phương pháp nghiên cứu điều kiện tồn nghiệm tối ưu dựa ánh xạ lùi xa Khó khăn mở rộng nghiên cứu ánh xạ lùi xa trường hợp vectơ cấu trúc đa trị ánh xạ Việc nghiên cứu tính chất hàm lồi véctơ nhiều tác giả nước quan tâm nghiên cứu ứng dụng như: GS.TSKH Đinh Thế Lục; GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn; PGS.TS Phan Nhật Tĩnh; GS TSKH Do Sang Kim Lý thuyết đối ngẫu toán quy hoạch lồi véctơ xây dựng cho nhiều kết môn giải tích lồi cổ điển mở rộng cho trường hợp véctơ ứng dụng toán thực tế với lý chọn đề tài Hàm lồi vectơ ứng dụng 2 Mục đích nghiên cứu Trình bày kiến thức giải tích lồi đặc biệt tính chất: - Tính liên tục hàm lồi vectơ - Tính Lipschitz địa phương hàm lồi vectơ - Bài toán quy hoạch lồi Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm, đọc tài liệu liên quan đến hàm lồi đưa số ứng dụng toán quy hoạch lồi Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu số tính chất hàm lồi vectơ số ứng dụng vào tối ưu vectơ Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp, phân tích, đánh giá sử dụng kết giải tích lồi vô hướng tìm cách mở rộng kết cho trường hợp véctơ Đóng góp đề tài Tổng quan quy hoạch lồi vô hướng mở rộng số kết từ vô hướng sang vectơ tìm ứng dụng Chương Hàm lồi vô hướng ứng dụng Trong năm gần giải tích lồi môn học phát triển ứng dụng mạnh mẽ toán vào thực tế toán tối ưu, toán vận trù học, toán kinh tế ngành kỹ thuật Mục đích chương giới thiệu khái niệm tập lồi, hàm lồi, tính chất: liên tục, Lipschitz địa phương, tính khả vi phân hàm lồi ứng dụng lý thuyết tối ưu Chương viết dựa tài liệu [1] 1.1 Định nghĩa tập lồi, hàm lồi tính chất 1.1.1 Tập lồi Cho X không gian tô pô tuyến tính thực, X ∗ = f : X → R tuyến tính liên tục không gian đối ngẫu X, R tập số thực, ký hiệu R = R ∪ {±∞} Ta nhắc lại, tập lồi định nghĩa sau Định nghĩa 1.1 Tập A ⊂ X tập lồi ∀a, b ∈ A, với λ ∈ [0, 1] ta có λa + (1 − λ)b ∈ A 44 Mệnh đề 2.5 Cho f hàm lồi vectơ từ tập lồi khác rỗng D ⊂ Rn tới Rm Khi epi(f∞ ) = (epi f )∞ Chứng minh Cho (x, u) ∈ Rn × Rm tùy ý Theo Mệnh đề 2.4, (2.13) Định lý 2.1, ta có (x, u) ∈ epi(f∞ ) ⇔ u ∈ f∞ (x) + C ⇔ u ∈ sup{f (y + x) − f (y)| y ∈ D} + C ⇔ u ∈ Ub{f (y + x) − f (y)| y ∈ D} ⇔ u ∈ Sx ⇔ (u, x) ∈ (epi f )∞ Điều phải chứng minh Ta ý rằng, từ Mệnh đề 2.5, dom f∞ nón lồi dom f∞ ⊂ D∞ Điều ngược lại nói chung không Ví dụ, cho f : R → R xác định f (x) := x2 , ∀x ∈ R Khi dom f∞ = {0} D∞ = R Theo mệnh đề thấy Định nghĩa 2.5 mở rộng khái niệm ánh xạ lùi xa cho hàm lồi vô hướng sang trường hợp vectơ Bổ đề 2.11 Cho f hàm lồi vectơ từ tập lồi khác rỗng D ⊂ Rn tới Rm Cho x0 ∈ D, x ∈ D∞ tùy ý Lấy x0 ∈ D, x ∈ D∞ tùy ý Khi tập f (x0 +λx)−f (x0 ) | λ λ > thứ tự tuyến tính Chứng minh Cho λ ≥ λ′ > tùy ý Ta có x0 + λ′ x = − λ′ λ′ + (x0 + λx) λ λ 45 Khi f lồi ′ f (x0 + λ x) λ′ λ′ f (x0) + f (x0 + λx) 1− λ λ kéo theo f (x0 + λ′ x) − f (x0) λ′ Do tập f (x0 +λx)−f (x0 ) | λ f (x0 + λx) − f (x0) λ λ > thứ tự tuyến tính Điều phải chứng minh Nói chung, ánh xạ lùi xa hàm vectơ có cấu trúc đa trị Tuy nhiên, điều kiện định chúng suy biến thành ánh xạ đơn trị Một điều kiện tính đóng mệnh đề sau Mệnh đề 2.6 Cho f hàm lồi vectơ từ tập lồi khác rỗng D ⊂ Rn tới Rm Khi ánh xạ lùi f∞ dương Ngoài ra, f đóng, f∞ suy biến thành hàm đóng đơn trị với x0 ∈ D, f∞ cho công thức sau f∞ (x) = ISup f (x0 + λx) − f (x0) λ > , ∀x ∈ dom f∞ λ Chứng minh Tính lồi f∞ suy trực tiếp từ Mệnh đề 2.5 Theo ý sau Mệnh đề 2.4 bất đẳng thức sau Sλx = λSx , ∀x ∈ Rn , λ > 0, Min(λA) = λ Min A, ∀A ⊂ Rm , λ > 0, f∞ dương Bây giờ, giả sử f đóng Theo Bổ đề 2.10 Mệnh đề 2.5 bên trên, epi f∞ đóng Do đó, f∞ đóng Cuối cùng, lấy 46 x0 ∈ D, x ∈ Rn u ∈ Rm tùy ý Bởi epi f đóng lồi, ta có u ∈ Sx ⇔ (x, u) ∈ (epi f )∞ ⇔ (x0, f (x0)) + λ(x, u) ∈ epi f, ∀λ > f (x0 + λx) − f (x0) u, ∀λ > λ f (x0 + λx) − f (x0) λ>0 ⇔ u ∈ Ub λ ⇔ Do Sx = Ub f (x0 + λx) − f (x0) λ>0 λ (2.14) (x0 ) | Nếu x ∈ dom f∞ , theo Mệnh đề 2.4, Sx = ∅ Từ (2.14), tập { f (x0 +λx)−f λ (x0 ) λ > 0} bị chặn Mặt khác, theo Bổ đề 2.11, tập { f (x0 +λx)−f | λ > 0} λ (x0 ) thứ tự tuyến tính Theo Mệnh đề 2.1, tồn ISup{ f (x0 +λx)−f | λ λ > 0} Từ định nghĩa cận đúng, ánh xạ lùi xa (2.14) với ý sau Định nghĩa 2.2 ta có f∞ (x) = Min Sx f (x0 + λx) − f (x0) λ>0 λ f (x0 + λx) − f (x0) = sup λ>0 λ f (x0 + λx) − f (x0) λ>0 = ISup λ = Min Ub (x0 ) Bởi C nhọn, ISup{ f (x0 +λx)−f | λ > 0} điểm đơn Do f∞ ánh λ xạ đơn trị Điều phải chứng minh Ví dụ 2.5.2 Cho R2 thứ tự nón Orthan dương R2+ cho f : (0, +∞) → R2 xác định Ví dụ 2.5.1, tức f (x) = (x, x+ 21 ) 47 Với tập mức khác rỗng leva f ta có leva f = {x ∈ (0, +∞)| f (x) a} = {x ∈ (0, +∞)| x ≤ a1 , x + ≤ a2 } x = (0, a1] ∩ [α1, α2 ] (trong đó, αi > 0, i = 1, 2, nghiệm phương trình x + x = a2 ) Do leva f đóng Theo Bổ đề 2.4, f đóng Áp dụng Mệnh đề 2.6, với x ∈ dom f∞ = R+ , ta có f (1 + λx) − f (1) λ>0 λ 1 = IIsup x, x − + |λ>0 λ λ(1 + λx) f∞ (x) = IIsup Theo định nghĩa IIsup, ta kiểm tra IIsup x, x − 1 | λ > = {(x, x)} + λ λ(1 + λx) Do f∞ (x) =   {(x, x)}, x ≥ 0,  ∅, x < Nó trùng với kết Ví dụ 2.5.1 Một hàm φ : A ⊂ R → Rm gọi giảm (đối với nón C) ∀r, s ∈ A, r > ⇒ φ(r) φ(s) Mệnh đề 2.7 Cho f hàm lồi vectơ từ tập lồi khác rỗng D ⊂ Rn tới Rm cho x0 ∈ D∞ Khi f (y + λx0 ) hàm đơn điệu giảm 48 theo λ (λ ≥ 0) với y ∈ D f∞ (x0) ∩ (−C) = ∅ Chứng minh ⇒: Vì f (y + x0) − f (y) với y ∈ D, ta có ∈ Ub{f (y + x0) − f (y)| y ∈ D} Theo Định lý 2.1, ta có sup{f (y + x0) − f (y)| y ∈ D} ∩ (−C) = ∅ Từ Mệnh đề 2.4, suy f∞ (x0) ∩ (−C) = ∅ ⇐: Lấy y ∈ D tùy ý lấy λ, λ′ ∈ R thỏa mãn λ > λ′ ≥ Vì f∞ dương ta có f∞((λ − λ′ )x0) ∩ (−C) = ∅ (2.15) Theo Mệnh đề 2.4 f∞ ((λ − λ′ )x0) = sup{f (z + (λ − λ′ )x0) − f (z)| z ∈ D} kết hợp với (2.15) định nghĩa cận suy f (z + (λ − λ′ )x0) − f (z) 0, ∀z ∈ D Do f (y + λx0 ) − f (y + λ′ x0) = f (y + λ′ x0 + (λ − λ′ )x0) − f (y + λ′ x0) 49 nên ta có f (y + λx0) − f (y + λ′ x0) Do f (y + λx0) hàm đơn điệu giảm theo λ ∈ R+ Điều phải chứng minh Hệ 2.3 Cho f hàm lồi vectơ từ tập lồi khác rỗng D ⊂ Rn tới Rm cho x0 ∈ D∞ Nếu tồn điểm y¯ ∈ D có tính chất f (¯ y +λx0 ) hàm đơn điệu giảm theo λ (λ ≥ 0), tính chất với y ∈ D Chứng minh Vì f lồi đóng tập f (¯ y+λx0 )−f (¯ y) | λ λ > bị chặn 0, ta có Sx0 = ∅ theo (2.14), x0 ∈ dom f∞ Từ Mệnh đề 2.6 định nghĩa ISup, ta có f∞ (x0) = ISup f (¯ y + λx0 ) − f (¯ y) |λ>0 λ Áp dụng Mệnh đề 2.7 ta có điều phải chứng minh Tập vectơ x ∈ Rn cho f∞(x) ∩ (−C) = ∅ gọi nón lùi f ký hiệu Rec(f ) Dễ thấy nón lồi Chiều vectơ Rec(f ) gọi chiều lùi f Mệnh đề 2.8 Cho f hàm lồi vectơ từ tập lồi khác rỗng D ⊂ Rn tới Rm Khi tất tập mức khác rỗng f có nón lùi, gọi nón lùi f , tức là, với a ∈ Rm cho leva f = ∅ ta có (leva f )∞ = Rec(f ) Chứng minh Giả sử a ∈ Rm cho leva f = ∅ giả sử y ∈ leva f Khi (y, a) ∈ epi f Vì f đóng, theo Bổ đề 2.4, leva f đóng Nên với 50 x ∈ Rn , ta có x ∈ (leva f )∞ ⇔ y + λx ∈ leva f, ∀λ > ⇔ f (y + λx) a, ∀λ > ⇔ (y, a) + λ(x, 0) epi f, ∀λ > ⇔ (x, 0) ∈ (epi f )∞ ⇔ (x, 0) ∈ epi(f∞), (theo Mệnh đề 2.5) ⇔ ∈ f∞ (x) + C ⇔ f∞(x) ∩ (−C) = ∅ ⇔ x ∈ Rec(f ) Điều phải chứng minh 2.6 Một số ứng dụng Trong phần ta nghiên cứu điều kiện đủ cho tồn phương án tối ưu toán tối ưu hóa vectơ dựa phương lùi xa hàm mục tiêu Cho f hàm vectơ từ tập khác rỗng D ⊂ Rn tới Rm , Rm thứ tự nón lồi C Đầu tiên, ta xét toán tối ưu vectơ không ràng buộc sau   Min f (x)  sao cho x ∈ D (VP) 51 Ta cần tìm điểm x∗ ∈ D, gọi phương án tối ưu (hay nghiệm cực tiểu, hay nghiệm hiệu quả) (VP), cho f (x∗) ∈ Min(f (D)|C) Trong phần lại mục này, ta giả sử nón thứ tự C ⊂ Rm lồi, đóng nhọn với int C = ∅ Bổ đề 2.12 Lấy c ∈ int C tùy ý Tồn k ∈ N cho −kc x Chứng minh Vì ∈ −c + int C, tồn r > cho hình cầu mở B(0, r) ⊂ −c + int C Khi ta tìm số k ∈ N cho x k ∈ B(0, r) Điều kéo theo x ∈ −kc + k int C ⊂ −kx + C Vậy bổ đề chứng minh Định lý 2.6 Giả sử f lồi đóng Nếu f có phương lùi xa khác 0, tức Rec(f ) = {0}, toán tối ưu vectơ (VP) có phương án tối ưu Chứng minh Lấy y ∈ f (D) tùy ý Đặt B := (y − C) ∩ f (D) Rõ ràng Min B ⊂ Min f (D) Nên để hoàn thành chứng minh định lý, ta cần Min B = ∅ Để làm việc này, gọi S tập thứ tự tuyến tính khác rỗng B Ta S bị chặn Thật vậy, giả sử ngược lại S không bị chặn Lấy c ∈ int C Theo quy nạp, ta xây dựng 52 dãy số {yk }k ⊂ S cho − kc yk+1 (2.16) yk , (2.17) yk , với k Vì Rec(f ) = {0}, theo Mệnh đề 2.8, Bổ đề 2.3 Bổ đề 2.10, levyk f tập compact khác rỗng, với k Từ (2.17) ta có levyk+1 f ⊂ levyk f, ∀k Do ∞ levyk f = ∅ k=1 ∞ levyk f Khi f (x) Lấy x ∈ yk , với k Nên theo (2.16) k=1 −kc f (x), ∀k Vì c ∈ int C, theo Bổ đề 2.12 tồn k0 cho −k0c (2.18) f (x) mâu thuẫn với (2.18) Do S bị chặn Theo Mệnh đề 2.1 ý sau đó, IInf S tồn tồn dãy số giảm {f (xk )}k ⊂ S hội tụ tới IInf S Vì levy f compact {xk }k ⊂ levy f , không tính tổng quát, ta giả sử {xk }k hội tụ tới x0 ∈ levy f Do tính đóng f , ta có (x0, IInf S) epi f Do S bị chặn từ f (x0) ∈ B Áp dụng bổ đề Zorn ta thu Min B = ∅ Định lý chứng minh Ví dụ 2.6.1 Cho R2 thứ tự nón góc phần dương R2+ Xét 53 toán vectơ   Min f (x)   cho x ∈ (0, +∞), đó, f : (0, +∞ → R2 ) xác định Ví dụ 2.5.1 Vì f∞ (x) =   {(x, x)}, x ≥ 0,  ∅, x < Ta có Rec(f ) = {0} Khi đó, theo Định lý 2.6 toán có phương án tối ưu Ở ta thấy x = phương án tối ưu toán Bây giờ, ta khảo sát toán tối ưu hóa vectơ sau với tập ràng buộc tổng quát     Min f (x)    s.t x ∈ D      x ∈ E (SVP) E tập Rn Ký hiệu S tập chấp nhận (SVP), nghĩa S = {x ∈ D| x ∈ E} Ta ý f E đóng fD∩E đóng, fD∩E ký hiệu thu hẹp f D ∩ E Hệ 2.4 Giả sử f E lồi đóng tập chấp nhận S khác rỗng Nếu Rec(f ) ∩ E∞ = {0} toán tối ưu vectơ (SVP) có nghiệm tối ưu Chứng minh Ta cần Rec(fD∩E ) = Rec(f ) ∩ E∞ 54 áp dụng Định lý 2.6 để thu kết Lấy x ∈ Rec(fD∩E ) y ∈ D ∩ E tùy ý Khi x ∈ (D ∩ E)∞ theo Mệnh đề 2.7, f (y + λx) hàm đơn điệu giảm theo λ (λ ≥ 0) Theo Hệ 2.3, x ∈ Rec(f ) Mặt khác từ tính đóng E, áp dụng Bồ đề 2.10 ta có x ∈ E∞ Ngược lại, lấy x ∈ Rec(f ) ∩ E∞ lấy y ∈ D ∩ E tùy ý Khi x ∈ (D ∩ E)∞ (theo Bổ đề 2.12) f (y + λx) đơn điệu giảm theo λ (λ ≥ 0) Theo Mệnh đề 2.7, x ∈ Rec(fD∩E ) Vậy hệ chứng minh Cuối cùng, ta xét toán tối ưu vectơ với ràng buộc bất đẳng thức sau     Min f (x)    s.t x ∈ D      x ∈ Di , fi(x) (IVP) Ci 0, i ∈ I f : D ⊂ Rn → Rm , fi : Di ⊂ Rn → Rmi , i ∈ I, hàm vectơ với I tập số với i ∈ I, Rmi thứ tự nón đóng, nhọ lồi Ci với int Ci = ∅ Đặt Ei := {x ∈ Di |fi(x) Ci 0}, ∀i ∈ I, E := ∩i∈I Ei Ký hiệu T tập chấp nhận (IVP), tức T = {x ∈ D| x ∈ Di , fi(x) Ci 0, ∀i ∈ I} Hệ 2.5 Giả sử tập chấp nhận T khác rỗng hàm f, fi, i ∈ I lồi đóng Nếu f, fi, i ∈ I chiều lùi, tức Rec(fi) = {0}, Rec(f ) ∩ i∈I toán (IVP) có nghiệm tối ưu 55 Chứng minh Theo Bổ đề 2.4, Ei đóng với i ∈ I Theo Bổ đề 2.10, ta có E∞ = ∩i∈I (Ei)∞ Áp dụng Mệnh đề 2.8, ta có E∞ = ∩i∈I Rec(fi) Sử dụng Hệ 2.4 ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2.6.2 Cho X = R2 thứ tự nón góc phần dương C = R2+ cho X1 = R2 thứ tự nón C1 = {α(1, 1) + β(−1, 1)| α, β ≥ 0} Xét toán vectơ với ràng buộc bất đẳng thức sau    Min f (x)        cho x ∈ R2    f1(x)      f (x) C1 C 0, f, f2 : R2 → X, f1 : R2 → X1 định nghĩa sau f (x, y) = (x+y, ex −y), f1(x, y) = (−x, −2y), f2(x, y) = (y−x, e−x−1−y) Tính toán ta Rec(f ) = {α(−1, 0) + β(−1, 1)| α, β ≥ 0} 1 Rec(f1) = {α(−1, ) + β(−1, )| α, β ≥ 0} 2 Rec(f2) = {α(1, 0) + β(1, 1)| α, β ≥ 0} Nên Rec(f ) ∩ Rec(f1) ∩ Rec(f2) = {0} Theo Hệ 2.5 ta biết nghiệm bên nghiệm tối ưu 56 Kết luận Luận văn Hàm lồi vectơ ứng dụng trình bày vấn đề sau: Chương giới thiệu lại kiến thức giải tích lồi, bao gồm: định nghĩa tập lồi, hàm lồi tính chất; Tính liên tục; Tính liên tục Lipschitz; Hàm liên hợp tính chất; Dưới vi phân hàm lồi Chương trình bày mở rộng tính chất, kết hàm lồi vô hướng cho hàm vectơ lồi Cụ thể gồm: Định nghĩa, khái niệm kết bổ trợ; Tính liên tục; Các đặc trưng hàm lồi; Dưới vi phân hàm lồi vectơ; Ánh xạ lùi xa; Một số ứng dụng 57 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Xuân Tấn Nguyễn Bá Minh, Lý thuyết tối ưu không trơn, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2006 [2] G Cheng, X Huang and X Yang, Vector optimization, Lecture notes in Economics and Mathematical Systems, 541, Springer, Berlin , 2005, pp 1–360 [3] D T Luc, Theory of vector optimization, Lecture notes in Economics and Mathematical Systems, 319, Springer, Berlin, 1989, pp 1–175 [4] D T Luc, N X Tan and P N Tinh, Convex vector functions and their subdifferential, Acta Math Viet 28 (1998), 107–127 [5] R T Rockafellar, Convex Analysis, Princeton Univ Press, Princeton, New Jersey, 1970 [6] P N Tinh, On a representation of convex vector functions and the maximal cyclical monotonicity of their subdifferential, Acta Math Viet 24 (1999), 183–191 [7] P N Tinh, N X Tan and D T Luc, Subdifferential characterization of quasiconvex and convex vector functions, Viet J Math 26 (1998), 53–69 58 [8] P N Tinh and N X Tan, On conjugate maps and directional derivatives of convex vector functions, Acta Math Viet 25 (2000), 315–345 [9] P N Tinh and D S Kim, Convex vector Functions and some applications, Journal Nonlinear anh Convex Analysis, Volume 14, Number 1, (2013), 139-161 [...]... đó và áp dụng vào chứng minh điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu có ràng buộc và không có ràng buộc 2.1 Giới thiệu Hàm lồi đóng vai trò quan trọng trong giải tích phi tuyến, đặc biệt trong tối ưu Trong trường hợp vectơ, hàm lồi vectơ được quan tâm chú trọng rất 18 nhiều để làm sáng tỏ cấu trúc của lớp hàm vectơ và ứng dụng vào tối ưu vectơ ( [9]) Trong ([3], [4]), các đặc trưng của tính lồi. .. từ Rn vào Rm trong đó, C ⊂ Rm là một nón lồi Đặc trưng bậc nhất qua tính đơn điệu, qua đạo hàm theo hướng Tổng quát các khái niệm của ma trận nửa xác định dương cho ta đặc trưng cấp hai của tính lồi của các hàm lồi véc tơ Đối với tính liên tục, ta chỉ ra rằng tính đóng là đủ cho một hàm vectơ lồi liên tục tương đối trên miền định nghĩa Cuối cùng, định nghĩa ánh xạ lùi xa của các hàm lồi véc tơ được... f1, f2 là các hàm lồi chính thường trên X Khi đó ∂f1(x) + ∂f29x) ⊆ ∂f (f1 + f2)(x), ∀x ∈ X ii) Nếu tại x0 ∈ domf1 ∩ domf2 một trong hai hàm là liên tục thì ∂f1(x) + ∂f2(x) = ∂f (f1 + f2 )(x), ∀x ∈ X 17 Chương 2 Hàm lồi vectơ và ứng dụng Hàm lồi vectơ có thể định nghĩa trong không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương Để cho dễ hình dung, trong chương này ta chỉ trình bày các khái niệm và kết quả trong... nói rằng f là lồi (tương ứng, đóng) đối với C nếu epi f là lồi (tương ứng, đóng) trong Rn × Rm Có thể thấy rằng f lồi khi và chỉ khi D là lồi và với mọi x, y ∈ D, λ ∈ [0, 1], ta có f (λx + (1 − λ)y) λf (x) + (1 − λ)f (y) f được gọi là lồi chặt đối với C nếu f (λx + (1 − λ)y) ≪ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ D, x = y, λ ∈ (0, 1) Mối quan hệ giữa hàm lồi vô hướng và hàm lồi vectơ được biểu diễn trong... Bổ đề 2.3 ([3], Bổ đề 2.1) Giả sử rằng trật tự nón C ⊂ Rm là đóng và lồi Cho f là một hàm vectơ từ tập lồi khác rỗng D ⊂ Rn tới Rm Khi đó i) f là lồi đối với C khi và chỉ khi ξf là lồi và với mọi ξ ∈ C ′\{0}; ii) Giả sử int C = ∅, f là lồi chặt đối với C khi và chỉ khi ξf là lồi chặt, với mọi ξ ∈ C ′\{0} Tập hợp mức của một hàm vectơ f : D ⊂ Rn → Rm tại a ∈ Rm đối với 24 nón C được định nghĩa là tập... (D, x) là một nón lồi Mệnh đề 1.8 ([1]) Cho f là một hàm lồi từ một tập con lồi không rỗng D ⊆ X vào R và x ∈ D, d ∈ T (D, x) khi đó i) f có đạo hàm theo hướng d khi và chỉ khi tập f (x + λd) − f (x) , λ > 0, x + λd ∈ D λ bị chặn dưới và f ′ (x, d) = inf f (x + λd) − f (x) , λ > 0, x + λd ∈ D ; λ ii) f ′(x, ·) là hàm thuần nhất dương, lồi khi domf ′ (x, ·) lồi Hệ quả 1.5 f (x, ·) là hàm thuần nhất dương... gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ Rn tới Rm và C ⊂ Rm là một nón lồi Tổng quát khái niệm của ma trận nửa xác định dương, ta chỉ ra đặc trưng cấp hai cho tính lồi của hàm vectơ khả vi liên tục hai lần Đối với tính liên tục, ta chỉ ra rằng tính đóng là điều kiện đủ để hàm lồi vectơ liên tục Cuối cùng, định nghĩa ánh xạ lùi xa của các hàm lồi vectơ được đề xuất và nghiên cứu tính chất của ánh xạ này ta... của tất cả các tập lồi đóng chứa tập A được gọi là bao lồi đóng của A, ký hiệu là coA Ta dễ dàng chứng minh được các khẳng định sau: 1) A là tập lồi khi và chỉ khi A = coA; 2) coA là tập lồi nhỏ nhất chứa A; 3) coA là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa A; 4) A là tập lồi đóng khi và chỉ khi A = coA Mệnh đề 1.1 Giả sử A ⊂ X là một tập lồi, khi đó i) Phần trong intA và bao đóng A là các tập lồi; ii) Với x1 ∈... Hệ quả 1.3 Giả sử f : D → R là hàm lồi liên tục tại x0 thuộc tập lồi mở D khi đó f Lipschitz địa phương trên D 1.4 Hàm liên hợp 1.4.1 Phép biến đổi Young-Fenchel Giả sử X là không gian lồi địa phương, X ∗ là không gian liên hợp của X, f là hàm xác định trên X Ta có thể cho tương ứng hàm với một hàm lồi như sau Định nghĩa 1.8 Phép biến đổi Young-Fenchel của hàm f hay hàm liên 10 hợp với f được xác định... Lớp hàm lồi có tính khả dưới vi phân rất đẹp mà các lớp hàm khác không có Giả sử X là không gian Hausdorff lồi địa phương, hàm f xác định trên D ⊂ X; f : D → R, |f (x)| < +∞ 12 Ta biết rằng trong trường hợp f khả vi tại x0 ∈ domf , khi đó tại lân cận của x0, f được xấp xỉ một cách khá tốt bởi đạo hàm của nó Đối với hàm lồi, nói chung là không liên tục và không khả vi Định nghĩa 1.9 Đạo hàm của hàm