Dưới vi phân hàm véctơ lồi và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐẶNG THỊ NGẠN DƯỚI VI PHÂN HÀM VÉCTƠ LỒI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐẶNG THỊ NGẠN DƯỚI VI PHÂN HÀM VÉCTƠ LỒI VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH LỒI 1.1 Tập lồi 1.1.1 Tập lồi 1.1.2 Tập Affine Hàm lồi vi phân hàm lồi 1.2.1 Hàm lồi 1.2.2 Tính liên tục, tính Lipschitz địa phương hàm lồi 11 1.2.3 Hàm liên hợp Định lý Fenchel-Moreau trường 1.2 hợp vô hướng 13 1.2.4 Dưới vi phân hàm lồi 16 1.2.5 Bài toán tối ưu lồi 19 HÀM VECTƠ LỒI VÀ DƯỚI VI PHÂN CỦA HÀM VÉCTƠ LỒI 22 2.1 Một số khái niệm 22 2.1.1 Nón 22 2.1.2 Hàm vectơ lồi 24 ii 2.1.3 Hàm liên hợp hàm vectơ lồi 41 2.2 Dưới vi phân hàm vectơ lồi 45 2.3 Bài toán tối ưu vectơ lồi 56 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 Thái Nguyên, ngày 01 tháng 12 năm 2015 Học viên Đặng Thị Ngạn iii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn tận tình GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Em muốn gửi tới thầy lời biết ơn sâu sắc Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy, cô Trường Đại học Khoa Học Thái Nguyên, gia đình bạn lớp cao học toán K7Y tạo điều kiện thuận lợi cho trình học cao học thực luận văn Trong trình viết luận văn không tránh khỏi sai sót mong góp ý chân thành độc giả Thái Nguyên, 2015 Đặng Thị Ngạn Học viên Cao học Toán K7Y, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên Mở đầu Những móng giải tích lồi xây dựng khoảng cuối kỷ XX nhiều nhà toán học, phải kể đến Minkowski, Rockafellar Từ đến nay, với đóng góp qua thời kỳ nhà toán học Bonneesen, Fenchel, Beckenbach, Valentine, Tucker, Bourbaki, Moreau, , giải tích lồi đạt đến phát triển mạnh mẽ Tầm quan trọng giải tích lồi thể ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác toán học, đặc biệt lý thuyết tối ưu mà toán với giả thiết lồi Bài toán tối ưu thông thường, toán tối ưu vectơ đặt từ lâu Bài toán tối ưu vectơ có nguồn gốc từ toán làm định mà ngày người ta gặp phải quản lý, sản xuất, kinh doanh, thiết kế, hành chính, văn phòng Là chuyên ngành toán học, tối ưu véctơ manh nha khoảng đầu kỷ từ công trình lý thuyết cân kinh tế Edgeworth, khái niệm hữu hiệu Pereto với sở toán học không gian thứ tự Cantor Hausdorff đề xướng Tuy nhiên phải đợi đến năm năm mươi, sau Kubn-Tucker đăng công trình điều kiện cần đủ hữu hiệu, Debreu đăng công trình cân đánh giá tối ưu Pareto, tối ưu vectơ có bước phát triển mạnh mẽ, đặt biệt ba mươi năm trở lại đây, mặt lý thuyết ứng dụng Tuy nhiên có điều đáng ghi nhận số công trình đăng xuất chuyên ngành tối ưu véctơ, lĩnh vực ứng dụng thu hút quan tâm tác giả nhiều hẳn so với lĩnh vực lý thuyết Nhiều tác giả nghiên cứu thu thành công định Các nghiên cứu hàm vectơ lồi chưa có sâu sắc toàn diện, hệ thông trường hợp vô hướng Do nhiều kết đẹp, hữu ích giải tích lồi chưa mở rộng sang cho trường hợp vectơ ứng dụng hàm toán véctơ hạn chế Trong lý thuyết tối ưu, người ta phân tối ưu trơn không trơn Đối với toán tối ưu trơn, ta tìm điều kiện cần đủ thông qua đạo hàm cấp 1,2, Từ đó, ta xây dựng thuật toán tìm nghiệm cách tương đối thuận lợi dựa phương pháp Newton Đối với toán tối ưu không trơn, ta gặp nhiều khó khăn việc tìm điều kiện cần đủ tối ưu Đối với qui hoạch tuyến tính, năm 1947 Danzig tìm thuật toán đơn hình để giải nghiệm Những năm 1960, nhà toán học Mỹ Rockafellar [6] đưa khái niệm vi phân hàm lồi Dựa khái niệm ông tìm điều kiện cần đủ cho toán qui hoạch lồi từ xây dựng thuật toán để giải Tiếp theo, toán qui hoạch Lipschitz, năm 1970, 1980, nhà toán học Mỹ, Clarke đưa khái niệm vi phân hàm Lipschitz địa phương tìm phương pháp giải toán Tiếp sau đó, nhiều người tìm nhiều khái niệm vi phân khác để giải toán tối ưu không trơn cho trường hợp vô hướng trường hợp vectơ, Penot, Strodiot, Nguyen Van Hien, Jeykumar Dinh The Luc [5], Ý tưởng chung vi phân là, xấp xỉ hàm điểm tập hợp thay phân tử trường hợp hàm khả vi Những khái niệm nhiều người mở rộng cho trường hợp vectơ Với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề này, chọn đề tài “dưới vi phân hàm lồi vectơ ứng dụng ” Nội dung chủ yếu luận văn nghiên cứu, tìm hiểu tính chất vi phân hàm vectơ lồi giới thiệu số ứng dụng vào tối ưu hóa Ngoài phần mở đầu kết luận, Luận văn bố cục gồm hai chương Chương 1: Một số vấn đề giải tích lồi Trình bày khái niệm giải tích lồi, tính chất quan trọng tập lồi, tập affine, hàm lồi, liên tục, tính Lipschitz địa phương hàm lồi, vi phân hàm lồi Chương 2: Hàm vectơ lồi Dưới vi phân hàm lồi véctơ lồi Định nghĩa hàm véctơ lồi dựa thứ tự sinh nón, định nghĩa khái niệm vi phân hàm vectơ lồi đưa tính chất Tìm số mối liên quan vi phân hàm vectơ lồi tính đơn điệu đạo hàm trường hợp hàm khả vi Ứng dụng vi phân hàm vectơ lồi vào toán tối ưu Trình bày khái niệm tổng quát toán tối ưu, điều kiện để có toán có lời giải tối ưu số toán tối ưu Thái Nguyên, ngày 01 tháng 12 năm 2015 Đặng Thị Ngạn Học viên Cao học Toán lớp Y, khóa 01/2014-1/2016 Chuyên ngành Toán ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Email: dangthingan1983@gmail.com Chương MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH LỒI Chương viết dựa sách Lý thuyết tối ưu không trơn Nguyễn Xuân Tấn Nguyễn Bá Minh [2] Phần lớn chứng minh kết luận văn không trình bày Người đọc tìm sách nói Các kết luận văn không gian vô hạn chiều Để trực quan cho người đọc dễ trình bày, trình bày không gian hữu hạn chiều Rn 1.1 Tập lồi Tập lồi khái niệm giải tích lồi Một số tập lồi mà thấy nhiều đường thẳng, đoạn thẳng, đường tròn, tam giác Dưới tác giả trình bày đinh nghĩa số tính chất tập lồi 1.1.1 Tập lồi Định nghĩa 1.1 Với x1 , x2 ∈ Rn , đường thẳng nối điểm x1 , x2 tập hợp véctơ x ∈ Rn có dạng {x ∈ Rn : x = λx1 + (1 − λ)x2 , ∀λ ∈ R} Định nghĩa 1.2 Với x1 , x2 ∈ Rn , đoạn thẳng nối điểm x1 , x2 tập hợp véctơ x ∈ Rn có dạng [x1 , x2 ] := {x ∈ Rn : x = λx1 + (1 − λ)x2 , ∀λ ∈ [0, 1]} Tập lồi khái niệm giải tích lồi định nghĩa sau Định nghĩa 1.3 Tập C ∈ Rn gọi tập lồi C chứa đoạn thẳng qua điểm Tức là, C tập lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Ví dụ 1.1 a) Các tập A, B, C sau tập lồi A = {x ∈ Rn : x = λx1 + (1 − λ)x2 , ∀λ ∈ [0, 1]} B = {x ∈ R2 : x + y ≤ 1; −x + y ≤ 1; y ≥ 0} C = {x ∈ R2 : x ≤ 1} b) Tập sau tập lồi D = {x ∈ R2 : x ≤ 2, x ≥ 1} Mệnh đề 1.1 i) Giả sử Ai , i ∈ I Khi tập A = ∩ Ai tập lồi i∈I 50 i = k + 1, , n, có tồn vectơ yi ∈ Rm cho ξ(yi ) = A(ei ) Đặt B : Rn → Rm hàm tuyến tính xác định   B (e ), i = 1, 2, , k; i B(ei ) =  yi , i = k + 1, , n Khi đó, B ∈ ∂f (x) vàA = ξ ◦ B ∈ ξ∂f (x) Do đó, ∂(ξ ◦ f )(x) ⊆ ξ∂f (x) Dễ thấy điều ngược lại Vậy ta có đpcm Dễ dàng nhận thấy intD = ∅ x ∈ / intD Khi nói chung, 2.12 không Ví dụ Giả sử f hàm lồi từ [0, 1] ⊆ R đến R Lấy ξ = 0, x = ∂(ξ ◦ f )(x) = (−∞, 0] ξ∂f (x) ⊆ {0} Vì x = không thuộc int[0, 1] Nếu intD = ∅, x ∈ riD ξ = 0, 2.1) nói chung không D = [(−1, 0), (1, 0)] ⊆ R2 Xét hs f : x ∈ D ⊆ R2 → ∈ R Do ξ = 0, ta có ξ∂f (0) = ∂(ξ ◦ f )(0) = (0, t) : t ∈ R Do đó, ∂(ξ ◦ f ) = ξ∂f (0) Định lý 2.9 Cho f hàm lồi từ tập lồi D ⊆ Rn đến Rm Khi i) Đối với x ∈ riD, ∂f (x) tập lồi đóng khác rỗng ii) Hơn nữa, x ∈ intD ∂f (x) khác rỗng bị chặn Đặc biệt, x ∈ intD, ∂f (x) tâp compact lồi khác rỗng Chứng minh 51 i) Khi nón C đóng nhọn, C \ {0} khác rỗng Vì vi phân hàm lồi vô hướng điểm tương đối phạm vi khác rỗng, từ Bổ đề 2.8 Định lý 2.8 ta có i) ii) Bằng giải thích, giả sử x = 0, f (x) = Đối với chiều "chỉ nếu", theo Định lý 2.5, f liên tục tìm thấy số dương δ < cho f (y) < với mọiy ∈ B(0, δ) Từ B(0, δ) đóng {y ∈ Rn : y ≤ δ} Trái lại giả sử ∂f (0) không bị chặn, cho tất số tự nhiên k, mà Ak ∈ ∂f (0) với Ak = sup Ak (y) = y∈B(0,1) Ak ∂ > k Chúng ta có sup Ak (y) δ y∈B(0,δ) Do đó, tất số tự nhiên k, có xk ∈ B(0, δ) với Ak (xk ) > kδ Đặt zk = f (−xk ) − Ak (−xk ) f (xk ) − Ak (xk ) , zk = , f (xk ) − Ak (xk ) f (−xk ) − Ak (−xk ) zk , zk ∈ C zk = zk = δ Không tính tổng quát giả sử (zk ), (zk ) hội tụ Với k > vectơ z, z tương ứng z, z ∈ C , (2.13) zk + zk → z + z (2.14) Đặt vk = zk + zk ta có vk = ≤ f (−xk ) + Ak (−xk ) f (xk ) − Ak (xk ) + f (xk ) − Ak (xk ) f (−xk ) + Ak (−xk ) f (xk ) f (−xk ) + f (xk ) − Ak (xk ) f (−xk ) + Ak (−xk ) 52 1 − f (−xk ) + Ak (xk ) f (xk ) − Ak (xk ) f (xk ) − Ak (xk ) − f (−xk ) + Ak (−xk ) ≤ + Ak (xk ) kδ − f (−xk ) + Ak (xk ) f (xk ) − Ak (xk ) f (xk ) + f (−xk ) ≤ + Ak (xk ) kδ − f (−xk ) + Ak (xk ) f (xk ) − Ak (xk ) 2 ≤ + kδ − 1 − kδ (kδ − 1) + Ak (xk ) Khi có lim vk = Theo 2.14, có z + z = Cùng với 2.13 k→∞ ngụ ý đơn vectơ z ∈ lC mâu thuẫn với tính nhọn C Đối với chiều "nếu", ta có intD = ∅ Thật vậy, intD = ∅, ký hiệu X không gian sinh D X = Rn Giả sử {e1 , e2 , , ek } sở X Chúng ta tìm thấy số vectơ ek+1 , , en ∈ Rn cho {e1 , , ek , ek+1 , , en } sở Rn Cho A ∈ ∂f (0) Với vectơ yk+1 , , yn ∈ Rm xác định hàm tuyến tính B : Rn → Rm với B(ei ) =   A(ei ), i = 1, , k,  yi, i = k + 1, , n Khi B ∈ ∂f (0) Do đó, ∂f (0) không bị chặn mâu thuẫn với giả thuyết Bây giờ, giả sử ngược lại ∈ / intD Theo Định lý tách, tồn hàm λ ∈ L(Rn , R) với λ(x) ≥ 0, với x ∈ D Trong siêu phẳng {x ∈ Rn : λ(x) = 1} tìm thấy n vectơ độc lập tuyến tính e1 , e2 , , en Khi đó, với x ∈ R , ta đặt x = n n αi ei , Đối với số α1 , α2 , , αn ∈ R Điều i=1 dễ dàng thấy x ∈ x ∈ Rn : λ(x) ≥ n i=1 αi ≥ Cho A ∈ ∂f (0) với c ∈ C, xác định hàm tuyến tính Bc : Rn → Rm cho Bc (ei ) = A(ei ) − c, i = 1, 2, , n 53 n Cho x ∈ D tùy ý Đại diện cho x x = αi ei , Đối với số αi ∈ R Chúng i=1 ta có n f (x) − Bc (x) = f (x) − A(x) + ( αi )c f (x) − A(x) i=1 Vì vậy, Bc ∈ ∂f (0) Vì cho tất c ∈ C Khi ∂f (0) mâu thuẫn với giả thiết Như ∈ intD, (đpcm) Định lý 2.10 Cho f hàm lồi từ tập lồi D ⊆ Rn đến Rm với intD = ∅ cho x0 ∈ intD Khi f khả vi x0 ∂f (x0 ) có phân tử Trong trường hợp ∂f (x0 ) = Jf (x0 ) = Df (x0 ) Chứng minh Với chiều “chỉ nếu”, cho A ∈ ∂f (x0 ) tùy ý Đặt B = A − Df (x0 ) Theo Định lý 2.8, ta có ξ ◦ A ∈ ∂(ξ ◦ f )(x0 ), với ξ ∈ C hàm vô hướng ξ ◦ f khả vi x0 theo Định lí 25.1 [6], có ξ ◦ A = ξ ◦ Df (x0 ) Do đó, ξ ◦ B = 0, với ξ ∈ C Từ C đóng, nhọn ta có intC = ∅ ta có m vectơ độc lập tuyến tính ξ1 , , ξm ∈ C Với ξ ∈ L(Rm , R), ta biểu diễn m ξ= α i ξi i=1 số α1 , , αm ∈ R Ta có ξ ◦ B = với ξ ∈ L(Rm , R) B = Do ∂f (x0 ) = {Df (x0 )} Với chiều "nếu", cho ξ ∈ C Theo Định lý 2.8, ∂(ξ ◦ f )(x0 ) = ξ∂f (x0 ), vậy, ∂(ξ ◦ f )(x0 )) có phần tử Theo Định lý 25.1 [5] Hàm lồi vô hướng ξ ◦ f khả vi x0 C tập đóng, nhọn intC = ∅ Do 54 đó, có m vectơ độc lập tuyến tính ξ1 , , ξm ∈ C Cho A ma trận m × m có hàng ξ1 , , ξm Khi A không suy biến A ◦ f khả vi x0 Khi f = A−1 ◦ (A ◦ f ) khả vi x0 Các đẳng thức ∂f (x0 ) = Jf (x0 ) = Df (x0 ) hiển nhiên (Đpcm) Sau ta số đặc trưng hàm véctơ lồi Bổ đề 2.11 i) Cho A ⊆ Rk tập lồi, đóng khác rỗng Khi đó, A compact A∞ = {0}; ii) Cho A ⊆ Rk tập lồi, đóng khác rỗng Khi đó, A∞ đóng lồi; iii) Cho A ⊆ Rk tập lồi, đóng khác rỗng, cho u ∈ Rk Khi đó, u ∈ A∞ A + u ⊂ A; iv) Cho A ⊆ Rk tập lồi đóng khác rỗng, Cho u ∈ Rk Khi đó, u ∈ A∞ ∃x ∈ A : x + λu ∈ A, ∀λ ≥ 0; v) Cho {(Ai )}i họ tập lồi Rk cho ∩ Ai = ∅ Khi đó, i∈I ∩ (Ai )∞ ⊂ i∈I ∩ Ai i∈I ∞ Hơn nữa, Ai đóng với i ∈ I bao hàm thức ngược lại Định nghĩa 2.15 Ánh xạ lùi xa f xác định   min Sx , Sx = ∅; f∞ (x) :=  ∅, Sx = ∅ Ví dụ 2.3 Cho R2 thứ tự nón Octhant dương R2+ cho f : (0, +∞) → R2 , 55 x → f (x) = (x, x + ) Khi đó, f lồi R2 hàm thành phần lồi vô hướng (trên (0, +∞)) Từ tính toán ta có (epif )∞ = {(x, u1 , u2 ) ∈ R3 | x ≥ 0, u1 ≥ x, u2 ≥ x} Từ ta có Sx = {u = (u1 , u2 ) ∈ R2 | (x, u) ∈ (epif )∞ } =   {(u1 , u2 ) | u1 ≥ x, u2 ≥ x}, x ≥ 0;  ∅, x < Do đó, theo Định nghĩa ánh xạ lùi xa    {(x, x)}, x ≥ 0; min Sx , x ≥ 0;  = f∞ (x) =   ∅, x < x < ∅, Mệnh đề 2.9 Cho f hàm vectơ lồi từ tập lồi khác rỗng D ⊆ Rn vào Rm cho x0 ∈ D∞ Khi đó, f (y + λx0 ) hàm giảm λ(λ ≥ 0), với y ∈ D f∞ (x0 ) ∩ (−C) = ∅ Hệ 2.3 Cho hàm f hàm vectơ lồi đóng từ tập lồi khác rỗng D ⊆ Rn vào Rm cho x0 ∈ D∞ Nếu y ∈ D có tính chất f (y + λx0 ) hàm giảm λ(λ ≥ 0), tính chất cho y ∈ D Mệnh đề 2.10 Cho f hàm vectơ lồi từ tập lồi khác rỗng D ⊆ Rn vào Rm Khi đó, tập tất tập mức khác rỗng f có nón lùi xa, nón lùi xa f Nghĩa là, với a ∈ Rm cho leva f = ∅ ta có (leva f )∞ = Rec(f ) 56 Chứng minh Cho a ∈ Rm cho leva f = ∅ cho y ∈ leva f Khi đó, (y, a) ∈ epif Vì f đóng, bổ đề 2.2, leva f đóng Nên với vectơ x ∈ Rn , ta có x ∈ (leva f )∞ ⇔ y + λx ∈ leva , ∀λ > ⇔ f (y + λx) a, ∀λ > ⇔ (y, a) + λ(x, 0) ∈ epif, ∀λ > ⇔ (x, 0) ∈ (epi(f∞ ) ⇔ ∈ f∞ (x) + C ⇔ f∞ (x) ∩ (−C) = ∅ ⇔ x ∈ Rec(f ) Ta có điều phải chứng minh 2.3 Bài toán tối ưu vectơ lồi Trong phần ta trình bày số khảo sát toán cực trị hàm vectơ lồi Chúng ta nghiên cứu toán không ràng buộc Thông qua khái niệm vi phân ánh xạ lùi xa đưa điều kiện cần đủ để tồn điểm cực tiểu Đối với toán có ràng buộc, đưa toán ràng buộc cách thích hợp để thu điều kiện tối ưu Phần viết có tham khảo tài liệu [3] Giả sử f hàm vectơ lồi từ tập lồi khác rỗng D ⊆ Rn vào Rm thứ tự nón lồi C Bài toán tối ưu vectơ f D 57 phát biểu   min f (x), (V P )  x ∈ D Điều có nghĩa ta cần tìm điểm x∗ ∈ D, gọi nghiệm tối ưu (V P ), cho f (x∗ ) ∈ M in(f (D) | C) Trong phần lại ta giả sử nón C ⊆ Rm lồi, đóng nhọn intC = ∅ Bổ đề 2.12 Cho c ∈ intC, x ∈ Rm tùy ý Khi đó, tồn k ∈ N cho −kc x Chứng minh Vì ∈ −C +intC, Tồn r > cho hình cầu mở B(0, r) ⊂ x −c + intC Nên ta tìm số k ∈ N cho ∈ B(0, r) Từ k suy x ∈ −kc + kintC ⊂ −kx + C Ta có điều cần chứng minh Định lý 2.11 Giả sử f lồi đóng Nếu f có phương lùi xa khác không, tức rec(f ) = {0}, toán tối ưu hóa vectơ (VP) có phương án tối ưu Chứng minh Lấy y ∈ D tùy ý Tập B := (y − C) ∩ f (D) Rõ ràng, M inB ⊂ M inf (D) Để hoàn thành chứng minh định lý, ta cần M inB = ∅ Khi đó, giả sử S tập khác rỗng thứ tự B Ta S bị chặn Thật vậy, giả sử ngược lại S không bị chặn Lấy c ∈ intC Từ giả thiết ta xây dựng dãy {yk }k ⊂ S cho − kc yk , (2.15) 58 yk (2.16) yk Với k Từ Rec(f ) = {0}, Từ mệnh đề 2.10, bổ đề 2.1 bổ đề 2.11, levyk f tập compact khác rỗng với k Do đó, từ 2.16, ta có levyk+1 ⊂ levyk f, ∀k Do đó, ∞ ∩ levyk f = ∅ k=1 ∞ Cho x ∈ ∩ levyk f Khi , f (x) k=1 yk , với k nên từ 2.15, − kc (2.17) f (x), Vì c ∈ intC, từ Bổ đề 2.11 tồn k0 cho −k0 c f (x), điều mâu thuẫn với 2.17 Do đó, S bị chặn Từ Mệnh đề 2.1 ý sau nó, IInf S tồn có dãy giảm {f (xk )k ⊂ S hội tụ đến IInf S Vì levy f compact {xk }k hội tụ đến số x0 ∈ levy f Từ tính đóng f , ta có (x0 , IInf S) ∈ epif Do đó, S bị chặn f (x0 ) ∈ B Áp dụng Bổ đề Zorn ta có M inB = ∅ Định lý chứng minh Ví dụ 2.4 Cho R2 thứ tự nón Orthant dương R2+ Xét toán vectơ   min f (x),  x ∈ (0, +∞) Trong đó, f : (0, +∞) → R2 xác định ví dụ 2.3 Vì   {(x, x)}, x ≥ 0, f∞ (x) =  ∅, x < 59 nên ta có Rec(f ) = {0} Khi đó, từ Định lý 2.11 toán có phương án tối ưu Ta thấy x = nghiệm tối ưu toán Bây giờ, ta xét toán tối ưu hóa vectơ sau với tập ràng buộc tổng quát     f (x),    (SV P ) x ∈ D,      x ∈ E Trong đó, E tập Rn , S tập khả thi (SVP), tức S = {x ∈ D | x ∈ E} Ta cần lưu ý f E đóng fD∩E đóng Trong đó,fD∩E hạn chế f D ∩ E Hệ 2.4 Giả sử f E lồi, đóng tập khả thi S khác rỗng (f ) ∩ E∞ = {0} toán tối ưu hóa vectơ (SVP) có phương án tối ưu Chứng minh Ta cần Rec(fD∩E ) = Rec(f ) ∩ E∞ Khi đó, áp dụng Định lý 2.11 ta có điều phải chứng minh Lấy tùy ý x ∈ Rec(fD∩E ), y ∈ D ∩ E Khi đó, x ∈ (D ∩ E)∞ từ Mệnh đề 2.9 f (y + λx) hàm giảm của λ(λ ≥ 0) Từ Hệ 2.3, x ∈ Rec(f ) Mặt khác từ tính đóng E, áp dụng Bổ đề 2.11, ta có x ∈ E∞ Ngược lại, giả sử x ∈ Rec(f ) ∩ E∞ y ∈ D ∩ E tùy ý Khi đó, x ∈ (D ∩ E)∞ (theo Bổ đề 2.12) f (y + λx) hàm giảm λ(λ ≥ 0) Từ mệnh đề 2.9, x ∈ Rec(fD∩E ) Ta có điều cần chứng minh Cuối cùng, ta xét toán tối ưu vectơ với tất bất đẳng thức ràng buộc 60 sau     f (x),    x ∈ D,      x ∈ D, fi (x) (IV P ) Ci 0, i ∈ I Trong đó, f : d ⊂ Rn → Rm , i ∈ I, hàm véctơ với I tập số tùy ý với i ∈ I, Rmi thứ tư nón Ci đóng, nhọn lồi với intCi = ∅ Tập Ei := {x ∈ Di | fi (x) Ci 0}, ∀i ∈ I, E := ∩ Ei i∈I Ký hiệu T tập khả thi (IVP), tức T = {x ∈ D | x ∈ Di , fi (x) c 0, ∀i ∈ I ∝} Hệ 2.5 Nếu tập khả thi khác rỗng hàm f, fi , (i ∈ I), lồi đóng, f, fi , (i ∈ I) phương lùi xa chung khác không, tức Rec(f ) ∩ ( ∩ Rec(fi )) = {0} i∈I Thì toán (IVP) có phương án tối ưu Chứng minh Từ Bổ đề 2.2, Ei đóng với i ∈ I Khi từ Bổ đề 2.11, ta có E∞ = ∩ (Ei )∞ i∈I Áp dụng Mệnh đề 2.10, ta E∞ = ∩ Rec(fi ) Khi đó, sử dụng Hệ 2.4 i∈I ta có điều cần chứng minh Ví dụ 2.5 Cho X = R2 thứ tự nón Orthant dương C = R2+ lấy X − = R2 thứ tự nón C1 = {α(1, 1) + β(−1, 1) | α, β ≥ 0} 61 Xét toán véctơ với bất đẳng thức ràng buộc sau    f (x),       x ∈ R2 ,   f1 (x)       f2 (x) C1 C 0, Trong đó, f, f2 : R2 → X, f1 : R2 → X1 , xác định f (x, y) = (x+y, ex −y), f1 (x, y) = (−x, −2y), f2 (x, y) = (y−x, e−x −1−y) Theo tính toán ta Rec(f ) = {α(−1, 0) + β(−1, 1) | α, β ≥ 0}, 1 Rec(f1 ) = {α(−1, ) + β(1, ) | α, β ≥ 0}, 2 Rec(f ) = {α(1, 0) + β(1, 1) | α, β ≥ 0} Do đó, Rec(f ) ∩ Rec(f1 ) ∩ Rec(f2 ) = {0} Từ Hệ 2.5, ta thấy toán có phương án tối ưu 62 Kết luận Mục đích luận văn đưa số vấn đề giải tích lồi giải tích lồi vectơ Đặc biệt sâu vào vấn đề vi phân hàm véctơ lồi Để từ khái niệm vi phân và số đặc trưng ta thấy ứng dụng chúng lý thuyết tối ưu, vấn đề có vai trò quan trọng thực tiễn, ví dụ ngân hàng, giao thông, công nghệ thông tin Đạo hàm vi phân hàm lồi cho phép ta xây dựng thuật toán để tìm nghiệm toán Vì thế, việc nghiên cứu vi phân hàm lồi vô hướng hàm lồi véctơ cần thiết hữu ích Cụ thể luận văn nêu lên vấn đề sau Nhắc lại số vấn đề của giải tích lồi Giới thiệu số khái niệm, tính chất ứng dụng hàm lồi vô hướng Tìm hiểu vi phân hàm véctơ lồi số tính chất tính liên tục, hàm liên hợp hàm véctơ lồi số đặc trưng Từ sở lý thuyết đưa số ứng dụng vi phân vào toán tối ưu vectơ lồi 63 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lê Dũng Mưu Nguyễn Văn Hiền (2015), Nhập môn Giải tích lồi ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [2] Nguyễn Xuân Tấn Nguyễn Bá Minh (2007), Lý thuyết tối ưu không trơn, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [3] Nguyễn Thị Phương (2015), Dưới vi phân hàm vectơ lồi ứng dụng, Luận văn thạc sĩ toán học, Viện Hàn lâm Khoa học công nghệ Việt Nam, Hà Nội Tiếng Anh [4] Clarke F H (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, New York [5] Luc D T (1989), Theory of vector optimization, Lecture notes in Economics and Mathematical Systems, (319), Springer, Berlin, 1-175 [6] Luc D T., Tan N X and Tinh P N (1998), "Convex vector functions and their subdifferential", Acta Mathematica Vietnamica, 23(1), 107-127 64 [7] Rockafellar R T (1970), Convex Analysis, Princeton Univ Press, Princeton, New Jersey [8] Tinh P N and Kim D S (2013), "On ggeneralized Fenchel - Moreau theo-rem and second-order characterization for convex vector functions", Fixed point Theory and Applications, 328, 1-12 [9] Tinh P N and Tan N X (2000), "On conjugate maps and directional derivatives os convex vector functions", Acta Mathematica Vietnamica, 25, 315-345 [...]... Rn 1.2 Hàm lồi và dưới vi phân của hàm lồi Trong toán phổ thông chúng ta đã làm quen với khái niệm hàm lồi (Sử dụng tính chất lồi, lõm của hàm số để vẽ đồ thị hàm số, chứng minh bất đẳng thức ) Trong phần này tác giả trình bày khái niệm và một số tính chất của hàm lồi cùng với tính liên tục và một số tính chất của hàm lồi cùng với tính liên tục, tính Lipschitz địa phương của hàm lồi 1.2.1 Hàm lồi Định... là tập lồi nên f (z ∗ ) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (x) = f (x), ∀x ∈ C Vậy, z ∗ cũng là điểm cực tiểu toàn cục Như vậy, tập các điểm cực tiểu của f trên C là tập lồi Dễ thấy, nếu f lồi chặt thì điểm cực tiểu (nếu có) là duy nhất 22 Chương 2 HÀM VECTƠ LỒI VÀ DƯỚI VI PHÂN CỦA HÀM VECTƠ LỒI Trong chương này ta nghiên cứu một cách hệ thống về khái niệm dưới vi phân của hàm vectơ lồi Khái niệm dưới vi phân được... là dưới vi phân (hay dưới đạo hàm) của f tại x¯ nếu f (x) − f (¯ x) ≥ x∗ , x − x¯ , với mọi x ∈ X ii) Tập tất cả các dưới vi phân của f tại x¯ được gọi là tập dưới vi phân của f tại x¯ Ký hiệu là ∂f (¯ x) Như vậy ∂f (¯ x) = {x∗ ∈ X : f (x) − f (¯ x) ≥ x∗ , x − x¯ với mọi x ∈ X} Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x¯ nếu ∂f (¯ x) = 0 Dưới đây, tác giả đề cập đến một số tính chất đơn giản của dưới vi. .. là K- lồi Điều phải chứng minh Như vậy theo hệ quả, một hàm vectơ C -lồi cũng là một hàm vectơ clC -lồi 29 Mệnh đề 2.2 Cho các hàm véctơ lồi f1 , f2 từ D vào Rm và một số thực λ ≥ 0 Khi đó các hàm vectơ f1 + f2 , λf1 cũng là C- lồi Chứng minh Với mọi x, y ∈ D, t ∈ [0, 1] tùy ý Ta có tx + (1 − t)y ∈ D Do D là tập lồi Ta có fi (tx + (1 − t)y) tfi (x) + (1 − t)fi (y), i = 1, 2 Áp dụng tính chất lồi của... 1.3 Hàm thuần nhất dương f : Rn → (+∞, −∞) là hàm lồi khi và chỉ khi f (x + y) ≤ f (x) + f (y), ∀x, y Định lý 1.4 Giả sử f1 , f2 , , fm là các hàm lồi chính thường trên X Khi đó, f1 + f2 + + fm là một hàm lồi Định lý 1.5 Giả sử F là một tập lồi trong X × R và f (x) = Inf {µ : (x, µ) ∈ F } Khi đó, f là một hàm lồi trên X Định lý 1.6 Giả sử f1 , f2 , , fm là các hàm lồi chính thường trên X Khi đó, hàm. .. Rn là không gian lồi địa phương Hausdoff, f : Rn → (−∞, +∞] Khi đó, f = f ∗∗ ⇔ f lồi đóng Hệ quả 1.3 Giả sử f là hàm lồi chính thường đóng trên Rn Khi đó, f (x) = sup{h(x) : h-là affine liên tục, h ≤ f } 1.2.4 Dưới vi phân của hàm lồi Ta biết rằng trong trường hợp f là hàm khả vi tại x0 ∈ domf , thì tại lân cận của x0 , f được xấp xỉ một cách khá tốt bởi đạo hàm của nó Đối với hàm lồi, nói chung là... là tập lồi và 2.1 thỏa mãn, ta chứng minh epif là tập lồi và theo định nghĩa 2.10i), suy ra f là hàm vectơ lồi Với mọi (x, α1 ), (y, α2 ) ∈ epif và t ∈ [0, 1] tùy ý, ta có tx + (1 − t)y ∈ D, 28 do D là tập lồi và, x, y ∈ D, t ∈ [0, 1] Áp dụng giả thiết 2.1, định nghĩa trên đồ thị của hàm f ta có α1 ∈ f (x) + C, α2 ∈ f (y) + C, tf (x) + (1 − t)f (y) ∈ f (tx + (1 − t)y) + C Sử dụng tính chất lồi của... +∞, nếu x ∈ C Do C lồi nên δC (x) là hàm lồi 2 Hàm mặt cầu Cho S := {x ∈ Rn : x = 1} là một mặt cầu và h : S → R+ là một hàm bất kỳ Ta có hàm mặt cầu f được xác định như sau:     0, nếu x < 1;    f (x) = h(x), nếu x = 1;      +∞, nếu x > 1 Ta có f là một hàm lồi trên Rn mặc dù h là một hàm không âm bất kỳ trên mặt cầu 3 Hàm tựa sC (y) := sup y, x x∈C là một hàm lồi 4 Hàm khoảng cách dC... (1 − t)(f1 + f2 )(y) và λf1 (tx + (1 − t)y) t(λf1 )(x) + (1 − t)(λf1 )(y) Theo định lý 2.1 suy ra điều phải chứng minh Bổ đề 2.1 Giả sử rằng nón thứ tự C ⊂ Rm là đóng và lồi Cho f là hàm vectơ từ tập lồi khác rỗng D ⊂ Rn và Rm Khi đó i) f là hàm lồi đối với nón C nếu và chỉ nếu ξf là lồi với mọi ξ ∈ C \ {0}; ii) Giả sử rằng intC = ∅ là lồi ngặt đối với nón C nếu và chỉ nếu ξf lồi ngặt, với mọi ξ ∈... khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các điểm của nó tức A là lồi khi và chỉ khi k ∀k ∈ N, ∀λ1 , λ2 , , λk ≥ 0 : k λi = 1, ∀x1 , x2 , , xk ∈ A thì i=1 λi xi ∈ A i=1 Định nghĩa 1.5 Giao của các tập lồi chứa tập A được gọi là bao lồi của A và ký hiệu coA Nhận xét 1.1 a) coA là một tập lồi và là tập lồi nhỏ nhất chứa A b)A là một tập lồi khi và chỉ khi A = coA Định nghĩa 1.6 Giao của các tập lồi