Hàm R lồi và ứng dụng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠ I HỌ C THÁ I NGUYÊN TRƢỜ NG ĐẠ I HỌ C KHOA HỌ C NGUYỄN MINH ĐỨC HM r-LỒ I VÀ Ƣ́ NG DỤ NG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 LUẬ N VĂN THẠ C SĨ TOÁ N HỌ C NGƢỜ I HƢỚ NG DẪ N KHOA HỌ C PGS.TS TẠ DUY PHƢỢ NG THI NGUYÊN - NĂM 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MC LC Trang LỜI NÓI ĐẦU 1 CHƢƠNG 1: HM r-LỒ I 3 1.1 Mt s khi nim hm li v hm r-lồ i 3 1.2 Tnh chất ca hm r-li 12 1.3 Tnh khả vi ca hm r-li 17 1.4. Quan h với hm li suy rng khc 20 CHƢƠNG 2: TỐI ƢU VỚI HM MC TIÊU r-LỒI 25 2.1 Bi ton ti ưu 25 2.2 Điều kin ti ưu đi với bi ton có rng buc 31 2.3 Điều kin ti ưu v thuật ton giải bi ton ti ưu r-li 36 2.4 V d về ti ưu hm r-li phi tuyến 45 KẾ T LUẬ N 48 TI LIỆU THAM KHẢO 49 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn DANH MỤ C CHƢ̃ VIẾ T TẮ T Stt Tƣ̀ viế t tắ t Nộ i dung 01 KKT Karush-Kuhn-Tucker 02 CP Bi ton ti ưu li khả vi 03 NLP Bi ton ti ưu phi tuyến 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Giải tch li với hai khi nim cơ bản l tập li v hm li đã pht triển mạnh mẽ v cơ bản định hình trong những năm 70 ca thế kỉ trước . Hm li l mở rng ca hm tuyến tnh v do đó nó cho phép nghiên cứu lớp cc bi ton ti ưu li , rng hơn nhiều so với lớp bi ton ti ưu tuyến tí nh . Vì vậy Giải tch li đóng vai trò quan trọng trong ứng dng ton học vo cc bi toán ti ưu trong thực tế. Tuy nhiên, cc bi ton trong thực tế thường không nhất thiết l li. Vì vậy, cần mở rng khi nim hm li. Mangasarian, Hong Ty, Rockaffelar l những người có đóng góp lớn trong nghiên cứu cc lớp hm li suy rng (lớp cc hm tựa li, giả li, ). Avriel (1973) đã đưa ra mt lớp hm r  li, l sự mở rng ca lớp hm li v có mt s tnh chất tt khi p dng cho bi ton ti ưu. Luận văn Hàm r  lồi và ứ ng dụ ng có mc đch trình by ni dung hai bi bo ca Avriel về hm li v ứng dng ca nó trong ti ưu. Luận văn gm hai chương. Chương 1 “Hà m r  lồi” trình by cc tnh chất cơ bản ca hm r  li. Cc tnh chất ca hm r  li (khả vi hay không khả vi) cho thấy mi quan h thú vị giữa cc lớp hm li v hm li suy rng với lớp hm r  li. Chương 2 “Tố i ưu vớ i hà m mụ c tiêu r  lồi” trình by ứng dng ca hàm r  li trong bi ton ti ưu với cc hm mc tiêu v hm tham gia trong hạn chế l cc hm r  li. Trình by thuật ton v v d giải bi ton ti ưu với hm r  li. Do thờ i gian có hạ n nên luậ n văn nà y mớ i chỉ dừ ng lạ i ở việ c tì m hiể u tà i liệ u, sắ p xế p và trì nh bà y cá c kế t quả nghiên cứ u đã có theo chủ đề đặ t ra . Trong quá trình viế t luậ n văn cũ ng như trong xử lý văn bả n chắ c chắ n không 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn trnh khi có những sai sót nhất định . Tc giả rất mong nhận đưc sự góp  ca cc thầy cô v cc bạn đng nghip để luận văn đưc hon thin hơn. Tc giả xin đưc by t lòng biết ơn sâu sắ c đế n thầy hướng dẫn, PGS-TS Tạ Duy Phưng đã tậ n tì nh giú p đỡ trong suố t quá trình là m luậ n văn. Tc giả xin chân thà nh cả m ơn Ban gim hiu , Khoa Toá n và Phòng Đo tạo sau Đại học Trường Đại học Khoa học - Đại học Thi Nguyên , cc thầy, cô ở Việ n Toá n họ c đã tậ n tình giả ng dạ y và tạ o mọ i điề u kiệ n thuậ n lợ i cho tc giả trong qu trình học tập tại trường. Tc giả cng xin chân thnh cảm ơn Ban gim hiu , Tổ Toá n - Tin và cá c thầ y cô giá o Trườ ng THPT Lương Ngọ c Quyế n , nơi tá c giả công tá c , đã tạ o nhữ ng điề u kiệ n thuậ n lợ i để tá c giả hoà n thà nh nhiệ m vụ họ c tậ p. Tc giả cng xin by t sự qu mến v lòng biết ơn sâu sc tới b m , gia đì nh và ngườ i thân đã luôn khuyế n khí ch , độ ng viên tá c giả trong suố t quá trình học cao học v viết luận văn ny. Thái Nguyên, tháng 7 năm 2011 Tc giả 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƢƠNG 1 HM r-LỒ I Chương nà y nhắ c lạ i vắ n tắ t mộ t số kiế n thứ c cơ bả n , cầ n thiế t ca giải tch lồ i (tậ p lồ i, hm li), trình by khi nim hm r-lồ i, tnh chất ca hm r-lồ i, tnh khả vi ca hm r-lồ i và quan hệ vớ i hà m lồ i suy rộ ng khá c nhằ m phc v cho vic tìm hiểu v nghiên cứu cc bi ton ti ưu . Khi niệ m hà m r-lồ i do M. Avriel đưa ra năm 1972-1973 (xem [3] và [4]). 1.1 MỘ T SỐ KHÁ I NIỆ M HÀ M LỒ I V HM r-LỒ I 1.1.1. Tập lồi Tập n S   đưc gọi l tập lồi nếu S chứ a mọ i đoạ n thẳ ng nố i hai điể m củ a nó tức l với mọ i 12 , x S x S ta có 12 (1 ) ,x x S       0,1 .   1.1.2. Hàm lồi Định nghĩa 1.1 Hàm f xc định trên mt tập li n S  đưc gọi l hàm lồi trên S nếu 1 2 1 2 1 2 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) , ,f x x f x f x x x S              0,1 .   Định nghĩa 1.2 Hàm f đưc gọi l lồi chặt trên S nếu 1 2 1 2 1 2 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) ,f x x f x f x x x              0,1 .   Hàm f đưc gọi l hàm lõm (lõm chặt) trên S nếu f l li (li chặt) trên .S Mt hm tuyến tnh vừa l hm li, vừa l hm lõm. Hm ()f x c l hm tuyến tnh nhưng không phải l hm li chặt , cng không phải l hm lm chặt . 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn   1 fx )   2 fx )   12 (1 )f x x   x 12 ( ) (1 ) ( )f x f x     1 fx   2 fx   fx x   fx 12 ( ) (1 ) ( )f x f x     12 (1 )f x x   Định nghĩa 1.3 Cho f l hm xc định trên tập li , n S   f đưc gọi l hàm tựa lồi trên S nếu 12 , ,x x S   1 2 1 2 2 ( ) ( ) ( (1 ) ) ( ) 0,1 .f x f x f x x f x           tức l 12 , ,x x S     1 2 1 2 ( (1 ) ) max ( ), ( ) 0,1 .f x x f x f x         Hnh 1.1: Hm li 0 12 (1 )xx   1 x 2 x Hnh 1.2: Hàm lõm 0 12 (1 )xx   1 x 2 x 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hàm f đưc gọi l hàm tựa lõm trên S nếu - f l tựa li trên S tứ c là nếu 12 , x x S m 12 ( ) ( )f x f x thì   1 1 2 ( ) ( (1 ) ) 0,1 .f x f x x         Định nghĩa 1.4 Hàm f xc định trên mt tập li n S  đưc gọi l hàm tựa lồi chặt (strictly quasiconvex) trên S nếu với mọ i 12 , ,x x S 12 ,xx ta có   1 2 1 2 ( (1 ) ) max ( ), ( )f x x f x f x     với mọi   0,1 ,   hay tương đương với   1 2 1 2 2 ( ) ( ) ( (1 ) ) ( ) 0,1 .f x f x f x x f x           Hàm f đưc gọi l hàm tựa lõm chặt trên S nếu (- f ) l tựa li chặt, tứ c là   1 2 1 2 2 ( ) ( ) ( (1 ) ) ( ) 0,1 .f x f x f x x f x           1.1.3. Hàm r-lồi Khi nim tập li v hm li đóng vai trò rấ t quan trọ ng trong hầ u hế t nhữ ng vấ n đề củ a qui hoạ ch toá n họ c . Mc đch ca luận văn ny l trình by khi nim hm r-lồ i do M. Avriel đưa ra (xem [3]). Lớ p hm r-lồ i khá rộ ng , nó l mở rng tự nhiên ca lớ p hà m lồ i v chứa lớp hm li như mt trường hợ p đặ c biệ t. Ta đã biế t l hàm f xc định trên mt tập li n S  đưc gọi l hm li trên S nếu 1 2 1 2 1 2 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) , ,f x x f x f x x x S              0,1 .   (1.1) Nói cch khc , gi trị ca hm s tại điể m 12 : (1 )x x x      l t hp ca 1 x v 2 x vớ i cá c trọ ng số  v (1 ),   12 ( (1 ) )f x x   nh hơn t hợ p củ a   1 fx v   2 fx vớ i cù ng trọ ng số  v (1 ).   6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khi nim r-lồ i mở rộ ng bấ t đẳ ng thứ c (1.1) bằ ng cá ch thay vế phả i củ a (1.1) bằ ng mộ t trọ ng số tổ ng quá t hơn củ a giá trị hà m số tạ i 1 x v 2 x . Điề u ny cho phép chúng ta xét mt lớ p cá c hà m rộ ng hơn là lớ p hà m lồ i mà nó vẫ n cò n giữ đượ c nhiề u tính chấ t củ a hà m lồ i (trên quan điể m á p dụ ng và o bà i qui hoạ ch ton học). Có rất nhiều mở rng khc ca hm li , ch yếu l với mc đch ứng dng trong qui hoạ ch toá n họ c (xem [3], [4]). Trong luậ n văn ny cng sẽ trình by mt s quan h giữa r-lồ i và cá c dạ ng mở rộ ng khá c củ a hà m lồ i. Hàm r-lồ i (r-convex function) Giả s m w l véc tơ m chiề u cc thnh phần dương v , m q i q  ( 1,im ) l cc s không âm sao cho 1 , 1, 1, m i i q i m    r l s thực. Đị nh nghĩa 1.5 Trọng số trung bnh r ca cc s 1 , , m ww đượ c định nghĩ a l số (xem [3])   1 1 1 1 , 0; ( ; ) , , ; , 0. i m r r ii i r r m m q i i q w r M w q M w w q wr                  Nhậ n xé t 1.1 Nế u 2; 1mr thì   1 1 2 2 1 1 1 2 ( ; ) 1 r M w q q w q w q w q w     l tổ hợ p lồ i củ a 1 w v 2 .w Đị nh nghĩ a 1.6 Hàm thự c f xc định trên mt tập li n C   đưc gọi l hàm r-lồ i (r-convex function) nếu với mọ i 12 , x C x C ta có           1 2 1 2 12 log exp ,exp ; r f q x q x M f x f x q          hay tương đương với 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn             1 12 12 12 12 12 12 log exp exp , 0; , 0. r q rf x q rf x r f q x q x q f x q f x r                 Đị nh nghĩ a 1.7 Hm thự c f xc định trên mt tập li n C   đưc gọi l hàm r-lõm (r-concave function) nếu với mọ i 12 , x C x C ta có           1 2 1 2 12 log exp ,exp ; r f q x q x M f x f x q          hay tương đương với             1 12 12 12 12 12 12 log exp exp , 0; , 0. r q rf x q rf x r f q x q x q f x q f x r                  Nế u 0,r  hm r-lồ i đượ c gọ i là hàm lồi trên (superconvex).  Nế u 0,r  hm r-lm đượ c gọ i là hàm lõm trên (superconcave).  Nế u 0,r  hm r-lồ i đượ c gọ i là hàm lồi dưi (subconvex).  Nế u 0,r  hm r-lm đưc gọi l hàm lõm dướ i (subconcave). Nhậ n xé t 1.2 i) Hm thự c f xc định trên mt tập li n C   l hm lồ i khi và chỉ khi f l hm 0-lồ i. ii) Hm thực f xc định trên mt tập li n C   l hm lm khi v chỉ khi f l hm 0-lm. Ví dụ 1.1 Xét hàm ,logx 0x  l hm lm do đó, logx là hàm 0-lõm. Theo Định nghĩa 1.6 thì logx cng l 1-li v 1-lõm. Do đó, nó vừa l hm li trên vừa l hm li dưới. Đị nh nghĩ a 1.8 Trọng số trung bnh r của m vé c tơ dương 12 , , , mn w w w  đưc định nghĩa là : 1 1 1 11 ( , , ; ) ( ( , , ; ), , ( , , ; )). m m m r r r n n M w w q M w w q M w w q [...]... Nếu hàm  là hàm r- lồi (r- lõm) và k  * ,    Khi đo ́ i)    là hàm r- lồi (r- lõm) ii) Hàm k là hàm r r -lồi ( -lõm) k k Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 Chƣng minh ́ i) Vơi r  0, theo tí nh chât cua ham lôi ta co ngay kêt qua trên ́ ́ ̉ ̀ ̀ ́ ́ ̉ Giả sử r  0,  là hàm r- lôi Theo Định lý 1.3 thì er ( x ) là hàm lồi ̀ Do đo, hàm er er... q2e r ( x1 )   r (q1 x  q2 x )  r log q1e 1 2  1 r ( x2 ) r r ( x1 )  q2e  1 r ( x 2 ) r r q x  q x  e   q1er ( x )  q2er ( x ) 1 2 1 1 2 2 ˆ   là hàm lồi Nếu r  0 thì er ( q x q x )  q1er ( x )  q2er ( x ) 1 1 2 2 2 1 ˆ   là hàm lõm Chứng minh tương tự với  là hàm r- lõm ˆ Ngược lại, giả sử   er là hàm lồi trên C thỏa mãn r q x  q x  ̣ e   q1er (... lý 1.4 Hàm  là hàm r- lồi khi va chỉ khi (  ) là hàm ( -r) -lõm ̀ Chứng minh Với r  0 và  là 0-lồi khi và chỉ khi (  ) là hàm 0-lõm Giả sử r  0 và  là hàm r- lồi Do đo ́ 1 ̃  (q1 x  q2 x )  log q1er ( x )  q2er ( x )  r với môi x1  C , x 2  C và q   1 1 2 2 1   (q1 x  q2 x )  log q1er ( x )  q2er ( x )   r   1 1 2 2   là hàm ( -r) -lõm Chiều ngược lại chứng minh... Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 ˆ Định lý 1.3 Cho  là hàm thực trên tập lôi C   n và hàm  xác định bởi ̀ ˆ   exp  r ( x)    ˆ Khi đo ,  là r- lồi (r- lõm) với r  0 khi va chỉ khi  là hàm lồi (lõm) khi ́ ̀ ˆ r  0 và  là hàm lom (lồi) khi r  0 ̃ Chứng minh Giả sử  là hàm r- lồi và r  0 Khi đó, với môi x1  C , x 2  C và q ta có:... 0 suy ra   x 2     x1  T Định lý 1.15 Cho r  và  là hàm r- lồi (r- lõm) khả vi trên tập lồi C   n Khi đó,  là hàm giả lồi (giả lõm) trên C Chứng minh Cho  là hàm r- lồi (r- lõm) khả vi, giả sử r  0 đó, Khi với x1  C , x 2  C và x 2  x1    x1   0 T Ta có 1 r  ( x )   ( x )  log 1  r ( x  x )  ( x ) 2 1 2 1 T 1 1 Bơi vì log 1  r ( x 2  x1 )T  ( x1 ) r  0... hàm lồi nên  là hàm r- lôi ̀ Chưng minh vơi  là hàm r- lõm làm tương tự ́ ́ Định lý 1.7 Cho  là hàm r- lồi (r- lõm) trên tập lôi C   n vơi r  0  r  0  ̀ ́ và cho  là hàm s -lồi (s-lõm) không giảm trên  Khi đó, hàm hợp   là hàm s -lồi (s-lõm) Chứng minh Cho x1  C, x2  C, q1  0, q2  0, q1  q2  1 Nếu  là hàm r- lồi, ta có  (q1 x1  q2 x2 )  log M r (e ( x ) , e ( x ) ;... tương tự cho trương hơp  là hàm s-lõm ̀ ̣ Định lý dưới đây cho phép nhiều khi đơn giản hóa chứng minh các định lý liên quan đến các hàm lồi suy r ̣ng Định lý 1.8  là hàm r- lồi (r- lõm) trên tập lôi C   n khi và chỉ khi với moi ̀ ̣ x1  C , x 2  C và hàm  cho bởi  ( )    1    x1   x 2  là hàm r- lồi (r- lõm) với 0    1 1.3 TÍNH KHẢ VI CỦA HÀM r- LỒI Trong trương hơp ham... e  r q1 x1  q2 x2  1 e  r log 1er 1er  r q1 x1  q2 x 2    1e  r q1 x1  q2 x 2    2e   r q1 x1  q2 x 2  r  x  r  x     q er  x   q er  x    1 q1e  q2e 2  1 2        1 2 1 2 r  x  r  x    q  er  x    er  x    q1 1e   2e 2   2 1      1 e  r q1 x1  q2 x 2   q1e   r x1 2  q2 e   r x 2 2 2 Suy ra e r ... ham r- lôi có thể đơn gian hơn ̀ ̣ ̀ ̉ ̀ ̀ ̉ Định lý 1.9 Cho  là hàm khả vi trên tập lồi C   n Khi đó,  là hàm r- lồi khi và chỉ khi với moi x1  C , x 2  C ta co ̣ ́   T 1 r ( x ) 1 r ( x ) e  e 1  r  x 2  x1   ( x1 ) , với r  0; r r 2 1   x 2     x1    x 2  x1    x 2  , với r  0 T Định ly 1.10 Cho  là hàm khả vi trên tập lồi C   n ́ Khi đó,  là ham r- lõm... hàm r- lôi băng đị nh ̀ ̀ lý sau Định lý 1.14 Cho  là hàm thưc khả vi liên tuc hai lần trên tập mở C   n ̣ ̣ Khi đó,  là hàm r- lồi (r- lõm) trên C khi và chỉ khi ma trận Q cho bởi Q( x)  r  ( x)(( x))T   2 ( x) là ma trận xác định dương (âm) với mọi x  C Chứng minh Hàm  là r- lồi trên C khi va chỉ khi ham ̀ ̀  ( )   ( w   z ), vơi môi ́ ̃ x  w   z, là hàm r- lồi trên khoảng . Định l 1.4 Hàm  là hàm r-lồi khi và chỉ khi (   ) là hàm (-r)-lõm. Chứng minh Với 0r  và  là 0-li khi v chỉ khi (   ) là hàm 0-lõm. Giả s 0r  và  là hàm r-li. Do. Cho  là hàm r-lồi (r-lõm) trên tập lồ i n C   vớ i 0r    0r  và cho  là hàm s-lồi (s-lõm) không gim trên . Khi đó, hàm hợp    là hàm s-lồi (s-lõm). Chứng minh Cho. i n C   khi và chỉ khi vi mọ i 12 , x C x C và hàm  cho bởi     12 ( ) 1 xx         là hàm r-lồi (r-lõm) vi 0 1.   1.3 TNH KHẢ VI CA HÀM r-LỒI Trong trườ