Ma trận xác định dương và một số ứng dụng

LỜI NÓI ĐẦU Lớp ma trận xác định dương là một lớp ma trận có cấu trúc riêng tạo thành một đa tạp khả vi Rieman, xem [Bhatia, 2007] và có nhiều ứng dụng trong lý thuyết đa thức, trong lý

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS Tạ Duy Phượng

Mục lục

Trang

Lời nói đầu……… ……….……… 3

Chương I Ma trận xác định dương…….………5

1 Ma trận……….……… …………5

1.1 Số phức và không gian vectơ ….……….…………5

1.2 Định nghĩa ma trận ……….………… ………8

1.3 Ma trận không ………….……… ………9

1.4 Ma trận đường chéo ……… …9

1.5 Ma trận đơn vị ……….………9

1.6 Các phép toán trên ma trận ………9

1.7 Ma trận nghịch đảo ……… ……….10

1.8 Ma trận chuyển vị và ma trận chuyển vị liên hợp ……….………11

1.9 Ma trận trực giao và ma trận unita ………12

1.10 Vectơ riêng và giá trị riêng ……….13

1.11 Ma trận đối xứng ma trận Hermite ……… ………13

2 Ma trận xác định dương……….………24

2.1 Định nghĩa ma trận xác định dương……… 24

2.2 Các tính chất của ma trận xác định dương….………27

Kết luận Chương……… …44

Chương 2 Một số ứng dụng của ma trận xác định dương……….45

1 Lý thuyết ổn định nghiệm của phương trình vi phân……… 45

1.1 Điều kiện cần và đủ ổn định nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính với

hệ số hằng ……… ……… 45

1.2 Phương pháp Lyapunov……….………47

1.3 Điều kiện cần và đủ để ma trận là ma trận ổn định ……… ………48

1.4 Phương trình vi phân cấp hai và các giá trị riêng………… ………50

2 Bài toán tối ưu hàm toàn phương……… 52

2.1 Tối ưu hàm một biến……….………….………52

2.2 Tối ưu hàm hai biến ……… ……… …………52

2.3 Tối ưu hàm toàn phương-tuyến tính nhiều biến với hạn chế………….……54

Kết luận chương ……….55

Kết luận……… ……… 56

Tài liệu tham khảo……… 57

LỜI NÓI ĐẦU

Lớp ma trận xác định dương là một lớp ma trận có cấu trúc riêng (tạo thành một đa tạp khả vi Rieman, xem [Bhatia, 2007]) và có nhiều ứng dụng trong lý thuyết đa thức, trong lý thuyết ổn định, toán kinh tế và tối ưu,…

Luận văn Ma trận xác định dương và một số ứng dụng có mục đích trình

bày các kiến thức cơ bản của ma trận xác định dương: các định nghĩa, tính chất của ma trận và ma trận xác định dương cũng như các tiêu chuẩn để nhận biết về

ma trận xác định dương Việc nghiên cứu tìm hiểu ma trận xác định dương có thể giúp ta giải quyết được khá nhiều các bài toán liên quan đến đa thức, và đặc biệt là trong lý thuyết ổn định, trong toán kinh tế và tối ưu,…

Trong luận văn này, chúng tôi cố gắng trình bày theo một logic chặt chẽ

về mặt toán học, các chứng minh định lí được trình bày với mức độ chi tiết Nội dung trong luận văn gồm hai chương

Chương 1 Ma trận xác định dương

Phần đầu của Chương 1 trình bày một số định nghĩa và tính chất về ma trận:

ma trận, ma trận chuyển vị, ma trận đối xứng, ma trận Hermite,… Nội dung chủ yếu của Chương 1 là trình bày khái niệm và các tính chất của ma trận xác định dương cũng như các dấu hiệu để nhận biết về ma trận xác định dương

Chương 2 Một số ứng dụng của ma trận xác định dương

Chương hai đề cập tới một số ứng dụng của ma trận xác định dương đối với lý thuyết đa thức và lý thuyết ổn định, toán kinh tế và tối ưu,…

Luận văn được hoàn thành với sự giúp đỡ tận tình của PGS-TS Tạ Duy Phượng, Em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy

Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên; Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam; Khoa Toán Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên; Khoa công nghệ thông tin, Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập tại trường

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thái Nguyên, Ban giám hiệu và các thầy cô giáo trường THPT Phổ Yên đã tạo điều kiện thuận lợi nhất để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2010

Tác giả

Đinh Trọng Sỹ

CHƯƠNG I

MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG

Chương này nhắc lại một số những kiến thức cơ bản về ma trận có liên quan đến

ma trận xác định dương, các tiêu chuẩn để kiểm tra một ma trận là xác định dương và các tính chất của ma trận xác định dương Nội dung chương này chủ yếu được tổng hợp dựa trên các trên tài liệu [1], [2], [3], [4], [6], [8] và [9] Chúng tôi cố gắng chứng minh chi tiết các tính chất và các định lí, trình bày có

hệ thống, độc lập và đầy đủ về ma trận xác định dương

1 MA TRẬN

1.1 Số phức và không gian vectơ phức

Cho zabi là một số phức

Ký hiệu z là liên hợp phức của z , tức là z  a bi

Nhận xét rằng, z z khi và chỉ khi b  , hay z là số thực 0

Số phức z abi khi và chỉ khi 0 z abi , tức là 0 a  hoặc 0 b  0

Khi H là không gian Euclid với các phần tử là các vectơ cột số chiều n có các

thành phần là các số thực, thì tích vô hướng giữa hai vectơ được định nghĩa là

Tính chất Tích vô hướng , tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất và tuyến

tính theo biến thứ hai, tức là khi cố định biến thứ hai thì tích vô hướng là ánh xạ tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất và khi cố định biến thứ nhất thì tích vô hướng là ánh xạ tuyến tính theo biến thứ hai

1

n

x x x

2

n

y y

Vậy theo định nghĩa, tích vô hướng , tuyến tính theo biến thứ hai

Bây giờ cố định biến thứ hai, vì z z1 2 z z1 2 và z1 z2 z1 z2 nên

Vậy  là tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất

Nếu H là không gian Euclid hữu hạn chiều  với các phần tử là các vectơ có ncác thành phần là các số thực thì  là tuyến tính theo từng biến

Nhận xét Trong một số tài liệu, Ví dụ, [6, trang 197], định nghĩa tích vô hướng

của hai vectơ x và y là f x y( , ) : x y, :x y1 1 x y n n Khi ấy tích vô hướng

tuyến tính theo biến thứ nhất và tuyến tính liên hợp theo biến thứ hai

Ma trận được viết dưới dạng rút gọn A a

ij

 

  

  Khi cần chỉ rõ cụ thể cấp của ma trận thì ta viết

Khi m  thì ta có ma trận vuông cấp n Kí hiệu ma trận vuông cấp n là n A n

Khi n  ma trận A có cấp 1 m 1 được gọi là vectơ cột

1 2

m

x x x x

Khi m  ma trận có cấp 1 n1  được gọi là vectơ hàng xx x1, 2, ,x n cấp n

Không gian vectơ (thực hoặc phức) là tập hợp các phần tử gồm tất cả các vectơ cột với các tọa độ là các số (thực hoặc số phức) thỏa mãn các tiên đề của không gian vectơ

1.3 Ma trận không

Ma trận không là ma trận mà tất cả các phần tử của nó bằng 0, tức là a ij 0,i j,

và được kí hiệu là O hay n O

1.4 Ma trận đường chéo

Ma trận đường chéo là ma trận vuông mà các phần tử ngoài đường chéo bằng 0,

tức là a ij 0,  Kí hiệu ma trận đường chéo là i j Adiag(a11,a22, ,a nn)

1.5 Ma trận đơn vị

Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo có các phần tử trên đường chéo a bằng 1, ii

kí hiệu là I hay E Để chỉ rõ số chiều của ma trận, ta viết I hay n E n

Nhận xét Phép nhân hai ma trận chỉ thực hiện được khi ma trận thứ nhất có số

phần tử trong một dòng bằng số phần tử trên một cột của ma trận thứ hai

Tích của hai ma trận là một ma trận có số dòng bằng số dòng của ma trận thứ nhất và số cột bằng số cột của ma trận thứ hai

Phép nhân hai ma trận có tính chất kết hợp, tức là A BC   AB C nếu các phép nhân ma trận thực hiện được

Phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán, tức là nói chung AB BA Thậm chí có thể thực hiện được phép nhân AB , còn BA thì không

Ta luôn có AI IA A với mọi ma trận A

Cho A là ma trận vuông cấp n Một ma trận vuông B cấp n được gọi là ma

trận nghịch đảo của ma trận A nếu ABBA  , trong đó I là ma trận đơn vị I

Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo thì A được gọi là ma trận khả nghịch

Nếu A là ma trận khả nghịch thì A chỉ có duy nhất một ma trận nghịch đảo

Thật vậy, giả sử B và C là hai ma trận nghịch đảo của ma trận A thì theo tính

chất kết hợp của phép nhân ma trận ta có BIB(CA B) C AB( )CI C

Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A (nếu có) là duy nhất

Ma trận nghịch đảo của ma trận khả nghịch A được ký hiệu là A1

Ma trận chuyển vị liên hợp của ma trận A a ij là ma trận A  a ji

Để đơn giản, từ nay về sau ta kí hiệu: A  A*

Hiển nhiên ta có  A  A và  * *

A  A Hơn nữa, ta còn có

Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao (ma trận vuông góc) nếu

A A   , trong đó I là ma trận đơn vị và A là ma trận chuyển vị của A I

Ma trận U gọi là ma trận unita nếu U U  , trong đó I là ma trận đơn vị và I

U là ma trận chuyển vị liên hợp của U

Nếu U là ma trận unita thì U khả nghịch Hơn nữa, det U   (Trong đó detU 1

là định thức của ma trận U ) vì  *  *  2

1 det I det U U detU detU  detU

1.10 Vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận

Số phức   (số thực   ) được gọi là giá trị riêng của ma trận A nếu tồn tại vectơ vH, v  sao cho Av0  v

Vectơ v được gọi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng  của ma trận A

Nhận xét Nếu v là vectơ riêng ứng với giá trị riêng  của ma trận A thì v 

cũng là vectơ riêng ứng với giá trị riêng  của ma trận A

Thật vậy, ta có A v Av v  v Vì vậy, sau này ta thường xét

vectơ riêng đã được chuẩn hóa, tức là

Phương trình Av v A I v =0 có nghiệm không tầm thường v  Suy 0

ra detA I Như vậy, các giá trị riêng của ma trận A chính là nghiệm 0của phương trình đa thức detA I 0

Nếu T là ma trận đối xứng, tức là T T  thì detI T   1

Mặt khác, vì T T  nên I T AT  I T AT  T T T A  I T , nên

det T AT  I det T A  I T detTdet A I detT det A I

Chứng tỏ hai ma trận A và T AT có cùng giá trị riêng

Nói cách khác, giá trị riêng không thay đổi qua phép biển đổi bởi ma trận trực giao Tương tự cho ma trận unita

Ma trận thỏa mãn A A được gọi là ma trận Hermite

Định lí 1.1Mọi giá trị riêng của ma trận đối xứng là số thực.

Chứng minh Vì ma trận A là thực nên nếu  là giá trị riêng phức của A (là

nghiệm của phương trình đa thức đặc trưng detA I với các hệ số thực) 0thì  cũng là giá trị riêng phức của A

Giả sử  và x là cặp giá trị riêng và vectơ riêng tương ứng của ma trận A, tức

là Ax x Khi ấy vì  x.x và Ax Ax với mọi số phức , ma trận thực

A và vectơ phức x nên x   x  Ax Ax Như vậy, ta có

x x x x



  Vậy   hay  là số thực Tương tự ta cũng có: Mọi giá trị riêng của ma trận Hermite là số thực

Định lí 1.2 Hai vectơ riêng v v1, 2 ứng với hai giá trị riêng khác nhau   của 1, 2

ma trận đối xứng vuông góc với nhau, tức là v v1, 2  0

Định lí 1.3 Mọi ma trận đối xứng thực A có thể đưa về dạng đường chéo nhờ

một phép biến đổi trực giao nào đó Nói cách khác, tồn tại ma trận trực giao T

sao cho T AT có dạng đường chéo, nghĩa là T AT diag( , 1 2, , n), trong đó

i

 - là các giá trị riêng (không nhất thiết khác nhau) của ma trận A

Chứng minh Trước tiên ta xét trường hợp các giá trị riêng  1, 2, , n của ma

trận A là khác nhau Không giảm tổng quát, ta có thể coi các vectơ riêng

, , , n

x x x tương ứng với  1, 2, , n là đã được chuẩn hóa (xem mục 1.10), tức

là x x  , i, i 1 i1,2, ,n Hơn nữa, do  1, 2, , n của ma trận A là khác nhau

x x x

x x x T

, , ,

Vậy T là ma trận trực giao Hơn nữa, vì i i

Vậy ma trận A có thể đưa được về dạng đường chéo bởi ma trận T

Bây giờ giả sử các giá trị riêng  1, 2, , của ma trận A là bất kì n

Trước tiên ta xét trường hợp đơn giản nhất là ma trận đối xứng thực cấp hai

Cho A là ma trận đối xứng thực cấp hai, tức là

riêng (không nhất thiết phải khác nhau) của ma trận A

1

22

00

Vậy T AT có giá trị riêng là  1 và  b22

Vậy b cũng chính là giá trị riêng thứ hai của ma trận 22 A

Ta sẽ chứng minh trong trường hợp n chiều bằng phương pháp quy nạp

Giả sử với mỗi k , k 1,2, ,n ta có thể xác định ma trận trực giao T đưa ma k

trận đối xứng thực A k  a ij về dạng đường chéo T AT k k diag( , 1 2, , k) Các phần tử trên đường chéo chính  i là các giá trị riêng của ma trận A k

Ta đã chứng tỏ được điều này cho n  Giả sử qui nạp điều đó đúng cho k2  , n

ta sẽ chứng minh điều đó đúng với k   n 1

là giá trị riêng và vectơ riêng

tương ứng của ma trận A n1, x đã được chuẩn hóa (1 x1  x112  x12n1  ) 1

Tương tự như trường hợp hai chiều, ta lập ma trận trực giao T có cột đầu là x 1

Gọi các cột chưa biết còn lại là x2, , x3 ., x n1 thì ma trận T có dạng:

x x x

x x x T

0 0 0

, ,

, ,

n n

n n

0

n n

x x x b b b b b

x x x x x x

A A

- Mọi phần tử của cột thứ nhất đều bằng 0 , trừ phần tử ban đầu (bằng 1);

- Các đại lượng b12, b13, , b1n sẽ được xác định sau;

hay T A T n1 là ma trận đối xứng Suy ra b12  b1n1 0

Vậy ta đã chỉ ra tồn tại ma trận trực giao T sao cho

1

1

0 00

det T A T n  I det T A n  I T detTdet A n  I detT det A n  I

Suy ra các giá trị riêng của ma trận A n1 cũng chính là các giá trị riêng của

n

T A T  Nhưng detT A T n1  I  1detA n  I nên các giá trị riêng

2, 3, , n 1

    , của ma trận A n1 cũng chính là các giá trị riêng của A n

Bây giờ ta sử dụng giả thiết quy nạp Giả sử T n là ma trận trực giao đưa A n về

dạng đường chéo Ta lập ma trận 1

1 0 00

trận trực giao T sao cho T AT diag( , 1 2, , n1) Định lí chứng minh xong

Đặt xTy hay yT Ty T x ,  diag( , 1 2, , n) Từ Định lí 1.3 ta cũng có

Hệ quả Nếu A là ma trận đối xứng thì tồn tại một ma trận trực giao T sao cho

2 1

,

n

i i i

n

i i i

Vậy AB BA, tức là hai ma trận A và B có tính chất giao hoán

Điều kiện đủ Giả sử Avà B giao hoán, ta chứng minh tồn tại T thỏa mãn (1.3)

Trước tiên giả sử ma trận A có các giá trị riêng khác nhau 12   n ứng với các vectơ riêng x x1, 2, ,x đã được chuẩn hóa Khi ấy các vectơ n x x1, 2, ,x n

vuông góc với nhau, tức là x x i, j  với i0  và j x x i, i x12i  x ni2  1

DoAx i  i x i nên

( i) ( ) i ( ) i ( i) ( i i) ( i) i ( i ) i i( i)

A Bx  AB x  BA x B Ax B  x  B  x   B x  Bx (1.4)

Suy ra Bx cũng là vectơ riêng của i A ứng với  i Vì các giá trị riêng đều khác

nhau nên vectơ riêng bất kỳ ứng với cùng một giá trị riêng phải tỉ lệ với nhau,

tức là Bx i  i x i, i1, 2, ,n Nhưng khi ấy,  i cũng chính là các giá trị riêng

của ma trận B với các vectơ riêng x tương ứng Như vậy, các ma trận i A và B

x x x của ma trận A Từ (1.4), vectơ Bx cũng là vectơ riêng ứng với giá trị i

riêng  i, do đó Bx có thể biểu diễn tuyến tính qua i x x1, 2, ,x : k

a x



 của các vectơ x x1, 2, ,x Ta có k

a x



 là vectơ riêng của B

Hệ thức (1.5) chỉ ra rằng r là giá trị riêng của ma trận 1 C và a là thành phần của i

vectơ riêng tương ứng Cho nên, nếu T là phép biến đổi trực giao k k chiều đưa

ma trận C về dạng đường chéo thì các vectơ z xác định bởi i

là hệ vectơ vuông góc gồm các vectơ riêng của A và B

Làm tương tự cho các vectơ riêng ứng với mỗi giá trị riêng bội, ta sẽ được ma

trận cần tìm T

2 MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG

2.1 Định nghĩa ma trận xác định dương

Giả sử H là không gian Hilbert có các phần tử là các vectơ n chiều với các

thành phần là các số phức;  là không gian vectơ thực n chiều; A là ma trận n vuông cấp n với các phần tử là các số thực hoặc phức

Ma trận A được gọi là xác định không âm (trên H ) nếu x Ax  , x, 0  H;

Ma trận A gọi là xác định dương (trên H ) nếu x Ax  , , 0   x 0

Một số tài liệu gọi ma trận xác định không âm là ma trận nửa xác định dương (hoặc ma trận xác định dương), còn ma trận xác định dương là ma trận xác định

dương chặt Trong luận văn này chúng ta sử dụng thuật ngữ như đã nêu trên (ma

trận xác định không âm và ma trận xác định dương)

Một số tài liệu cũng giả thiết trong ngay định nghĩa ma trận xác định không âm

(ma trận xác định dương) là ma trận Hermite (là ma trận đối xứng khi A là ma

trận thực, xem, Ví dụ, [2], trang 4)

Nếu ma trận A là xác định không âm thì ta ký hiệu A  0

Nếu ma trận A là xác định dương thì ta ký hiệu A  0

Nếu A B là các ma trận có cùng cấp n n,  , ta nói AB nếu A B  và 0

  (bỏ dấu tích vô hướng)

Ma trận A là xác định dương (xác định không âm) khi và chỉ khi dạng toàn

phương (hàm số) là dương (không âm) với mọi x   n

Vì trong dạng toàn phương

P x xAx xAx xA x  x AA x với mọi x   , mà A n  A là ma

trận đối xứng nên ta thường giả thiết ma trận A xác định dạng toàn phương

x  , xH ) thì ta nói ma trận A là xác định không âm (xác định dương)

Chứng minh Vì ,A B là những ma trận xác định không âm nên với mọi xH

với mọi xH hay AB:a ij b ij là ma trận xác định không âm

Nếu một trong hai bất đẳng thức của (*) là chặt thì bất đẳng thức (**) cũng là

chặt hay AB là ma trận xác định dương

Hệ quả Nếu A là ma trận xác định không âm (xác định dương) thì 2 A cũng là

ma trận xác định không âm (xác định dương)

Tính chất 3 (Tính chất bắc cầu) Nếu A B B, C thì A C Nếu một trong hai bất đẳng thức AB B, C là chặt thì AC

Chứng minh Theo định nghĩa, AB B, C nên AB và 0 BC Cộng 0

hai vế của hai bất đẳng thức trên và áp dụng Định nghĩa 2.1 ta có:

A C AB  BC Suy ra 0 A C