Bài toán định vị và một số ứng dụng

B GIÁO D O IH - Ph m Th H i NH V VÀ M T S LU NG D NG C Hà N i - 2015 B GIÁO D O IH C - Ph m Th H i NH V VÀ M T S NG D NG LU C CHUYÊN NGÀNH : TOÁN MÃ S : NG D NG 60 46 01 12 NG D N KHOA H C : GS.TS Hà N i - 2015 Thang Long University Libraty L Tác gi lu lu D i s v tính h nc a ng d n c , Lu t ng h p ki n th c lý thuy t k t qu nghiên c u m toán nh v không trùng l p v i lu H c viên Ph m Th H i i L IC cg il ic d n t t c quý Th ng c Toán ng d ng khóa ih c t ki n th c h u ích v ngành Toán ng d cho hoàn thành lu c bi t xin chân thành c Th y giáo u th i gian quý báu t trình th c hi ng th ng d n su t i giúp c nh ng ki n th c chuyên môn rèn luy n cho tác phong nghiên c u khoa h c Qua c bày t lòng bi bè thân thi t nh i sát cánh bên tôi, t o m cho tô , chia s t n u ki n t t nh t ng viên su t trình h c c hi M sót, r t mong nh ch h ct tc g tránh kh i có nh ng thi u c ý ki n góp ý c a Th y giáo, Cô giáo anh c hoàn thi H i Phòng, tháng 07 H Ph m Th H i ii Thang Long University Libraty M CL C B n cam oan i L ic m L ii U KI N TH C B TR 1.1.T p l i 1.2 T p a-phin 1.3 T p l nh lý tách t p l n 1.4 Bao l i 14 16 NH V VÀ NG D NG 21 2.1 Gi i thi u toán 21 im nh v 26 K T LU N 41 TÀI LI U THAM KH O 42 L U L I NÓI M tv quan tr ng hình h ng d ng quan tr ng t c c U nh v trí c m, m t nh v trí c nh v trí m t c xây d ng Khi c n xây d ng m t b nh vi n, m t nhà máy, m t tr m t b n xe, hay m t h th ng giao thông n quan tr ng v i câu h thu n ti n nh t v trí xây d m t , m b o vi c th a mãn nhu c u c i s thu hút l i ích nhi u nh t Ví d t t nh t i s d ng xây d ng m t tr n xe c n tính toán cho kho ng cách t i khu n nh t, thu n ti ng nh , xây d ng m t h th ng giao thông xây d ng th y h th ng giao dài ng n nh t, ti t ki m chi phí xây d ng, thu n ti n cho vi c s d nh v trí c a m ví d c a toá m, m nh v Bài toán không ch thu h p ph m vi nh cm r cs t t v trí xây d ng m lân c n mà m ta xây d ng m t tr m phát sóng hay m t tr v t biên, ví d n m t th tr n nh ng h t c t t nh t nh v tr c a m c g p áp d ng nhi u t n nh u ki n ràng bu c nh ng toán tìm c c nh nghi m t gi i quy t v n cs t ng tìm v trí c a m t c nhi u tác gi tâm nghiên c u Chính v y ch c quan nh v m t s ng d ng Lu t cách có h th nh v sâu vào toán có hàm m c tiêu minimax ng d ng c a toán Thang Long University Libraty L U Lu n th c b tr t s ki n th c c a gi i tích l p l i, hàm l i, c c tr c a hàm l i, toán quy ho ch l i, toán t chi u nh ng ki n th c n n t ng, c n thi t ph c v cho vi c nghiên c u gi i quy t nh v nh v ng d ng m t cách t toán tìm m m m (hay m t v trí) m t mi kho ng cách l n nh t t m (v m (v nh v nh cho c nh nh t Xét m t s ví d t pháp hình h c nghiên c u gi i b n ví d áp d ng m t thu t toán gi i cho toán ph c t p Trình bày m t thu t toán gi i biên c a thu nh v ng h p s l n i vi c có th r t N TH C B TR KI N TH C B TR trình bày l i m t s khái ni m k t qu c a gi i tích l i Các khái ni m k t qu nh ng ki n th c n n t ng quan tr s d c Các k t qu c t ng h p t tài li u [1], [2], [3], [4] 1.1.T p l i M tt p C m t t p l i n u C ch a n th ng m b t k x, y C , t c x, y C, Ta nói x t 0,1 h pl ic k x j j jx , x (1 m (véc- j k j M k j m (véc- j jx v i k j j (1.1) x1, , xk n u j k , x t h p a-phin c x )y C j x1, , xk n u 1.1 T p h p C l i ch ch a m i t h p l i c a m c a T c là: C l i ch k N, 1, , Ch ng minh Ta ch V i k> 0: k j u ki j 1, x1, , x k C k j hi n nhiên t jx j C nh u ki n c n b ng quy n p theo s m u c n ch ng minh suy t at pl i t h p l i Gi s m v i m Ta c n ch ng minh m m Thang Long University Libraty N TH C B TR Gi s x1, , x k C t h p l i c a k x k j jx , j j m T c j 1, , k k j j 1 t k j j 1 k x j jx j Do k j j 0, k k kx j xj xk j k j 1, , k nên theo gi thuy t quy n p j m y k j C j Ta có x Do 0, k k kx y k k nên x m t t p h p l i c j m y xk j u thu c C V y x C 1.2 T p a-phin N um m b t k x, y C ng th u thu c t p C, t c x, y C, x c g i t p a-phin (1 )y C (1.2) N TH C B TR T y t p a-phin m ng h p riêng c a t p l i Các không gian con, siêu ph ng v ng h p riêng c a t p a- phin M t ví d v t p a-phin siêu ph Siêu ph ng không gian n m t t p h p m có d ng n x n a Véc- m t véc- a | aT x c g i véc- 1.3 T p l n n c a siêu ph ng nh lý tách t p l M tt c g i t p l n n, n u giao c a m t s h u h n n c: Giao c a m t h r ng n n N a không gian m t t p h p có d ng x | aT x a T p n T T p x| a x n a không gian m Nh n xét 1.1 (i) n t p l , (ii) T p l n n t p h p nghi m c a m t h h u h n b t n tính D D: x ng minh c a m t t p l n | a j, x c cho b j , j 1, , m , Thang Long University Libraty NH V VÀ 2.2 Cho v , ,v B v im i j J : m NG D NG ph n t c a VC d j (x,C) : x v j 1, , m , ta có d ( x, C ) l i m nh v i h s (i) d (., C )( x) conv ( (ii) d j (., C )( x) d j (., C )( x)) v i j J ( x) i vi phân c a hàm l i d j (., C) t i x J(x ) Ch ng minh T B j J / d (x ,C ) d j (x ,C ) 1.1(i) ta có d (x ,C ) max x v j j J j J 1.1(i), hàm d j (x ,C ) T B m nh v i h s (2.1) max d j (x ,C ) (i) nh n x v j v im i j J c t (ii) c a B l i 1.1, (ii) nh n c t (2.1) B 2.3 Gi s r ng dãy k , v i k k, k dãy s k k Ch ng minh: Sn (1 (i) n ),( n ) (a n ) k k c h t ta s ch Cho (Sn ) dãy s không âm th ( h i t k t u ki n n ).Sn u ki n n n, n 0, ( ) dãy s th c cho: 0,1 n an (1 n , ho n) lim n n k (1 k) 27 Thang Long University Libraty NH V VÀ Lim sup (ii) (iii) n n n n n NG D NG h it lim Sn n Th t v y, u tiên gi s r ng (i) (ii) l l n cho kì, cho N T ( ) , cho n N , ta có (1 n ) Sn n )(1 n n 1) Sn (1 (1 b ng phép quy n Sn T n (1 j N j )SN n (1 j N n 1)) j) N ,n u ki n (i) ta có lim sup Sn Ti p theo, gi s r ng (i) (iii p t c áp d ng (*) ta c v im i n> N Sn Cho n n )(1 c n nh n b t v i n N n (1 Sn i ,m t n (1 j m j )Sm n j m j j , c limsup Sn n T (2.3) c ch ng minh 2.2 Thu t toán T B 2.1(ii) 28 NH V VÀ NG D NG (P) d (x ,C) max x v x D x D v VC Gi s D t p l nghi m t i m nh D nên toán (P) có t Thu t toán sau có th i biên c a thu t toán u Ch n x0 D , tham s Thu t toán 2.1 Kh dãy k c a s i vi phân c nh m t u ki n k , k k k (2.2) Cho k:=0 c Tìm v k VC cho vk arg max x k v k k c L y g : 2(x v k ), k ng h p 2a): N u g t , :v VC o hàm c a x k v k ng thu t toán: xk t iv k nghi m a (P) k ng h p 2b): N u g 0, tính k k max , g k , xk v i PD toán t hình chi c N u xk 1 : PD (x k kg k ), lên D xk , thu t toán d ng: xk nghi m t c a (P) N c l i, cho k:= k+ quay l c 29 Thang Long University Libraty NH V VÀ NG D NG Ch n Cho k:= Tìm nghi m t ? S Tính Tính nghi m t S thu t toán 2.1 30 Cho k := k+ NH V VÀ NG D NG minh h a cho thu t toán ta xét ví d sau: Ví d 2.2 Cho VC ( a 1, a , a , a ) t D : a1 (0,0); a (0,1); a (1,1); a (1,0) nh c a convC x : x1 x2 Hãy tìm m cách t m D cho kho ng m xa nh t C ng n nh t a2=(0;1) a3=(1;1) (1;1) 1 C a4=(1;0) a1=(0;0) c kh (1;1) 44 u Ch n x0 (0,0) , tham s dãy k k Cho k:=0 c Tìm v0 Ta có: x x x x a a a 0 0 1 1 0 0 2 0 a 2 0 2 1 2 2 31 Thang Long University Libraty NH V VÀ NG D NG V y v0 a c Tính g 2( x0 v0 ) g 0 g Có 0 1 2 1 x1 PD x0 0g PD max , g0 max 1, 2 PD Ta th y x1 x0 V y thu t toán d ng: x1 PD mt 2 0,0 c n tìm nh lý 2.1 (i) N u Thu t toán 2.1 d ng t i xk nghi m t cl c a toán (P) xk (ii) N u Thu t toán 2.1 ch h i t n nghi m x c a toán (P) Ch ng minh (i) N u Thu t toán 2.1 d ng t x k : PD (x k ng h p k cg cl k u tiên, g kg k ) d ( x k ,C ) a i vi phân ta suy 0,x x k d (x k ,C ) d (x,C) 32 ho c x D NH V VÀ NG D NG d (x k ,C ) d (x ,C ) D (2.3) xk c c ti u hóa hàm d (x,C) D u c Tr x ng h p th 2, x k xk PD (x k kg k , áp ) d ng tính ch t c a phép chi u tham s ta có (x k kg k k ) x k ,x g k ,x x k g k ,x x k k Vì g xk 0 (2.4) d (x k ,C ) , ta có g k ,x x k K t h p v i b d (x k ,C ) d (x ,C ) k ng th c (2.4) ta có d (x ,C ) d (x ,C ) v i m i x D xk nghi m t a (P) (ii) Bây gi , gi s r ng thu t toán không d ng Gi s nghi m c a Bài toán (P) Ta s ch ng minh (ii) d a vào b B x sau 2.4 Ta có xk xk Ch ng minh k ta có a k g k N k k k max gk k , gk T xk : PD ( xk k g k ), áp d ng tính ch t c a phép chi u tham s , ta có 33 Thang Long University Libraty NH V VÀ xk k kg x k 1, x x k Thay th x b i xk xk NG D NG c xk kg k ,x k xk k xk xk k gk xk k xk xk xk (2.6) 1 2.5 V i m i k, dãy x B k x* h it Ch ng minh Áp d xk xk x* nh chu n xk x* (2.5) x D 2 xk xk xk x k 1, x * x k , ta có xk 1 x* Vì v y xk x* xk 2 xk x k 1, x * x k (2.7) Chú ý r ng t (2.6), ta có kg k ,x k xk k xk xk gk , x * x k k (2.8) (2.7) (2.8) cho ta xk xk x* xk x k Vì g x* xk x* k x 2 * x* xk k k xk gk , x * x k k gk , x * x k k gk , x * x k d (x k ,C ), ta có 34 (2.9) k 2 k gk , x k xk NH V VÀ g k ,x* xk d (x * ,C ) d (x k ,C ) Thay (2.10) vào (2.9) ta xk x* xk k (d (x * ,C ) d (x k ,C)) 2 (2.11) k d (x k ,C ) d (x * ,C ) t (2.11) ta có xk k (2.10) c x* Vì x nghi m t gi thi t NG D NG x* k xk x* 2 k , 2.3 dãy x theo B k x* h it B 2.6 Ta có k lim sup(d (x k ,C ) d (x * ,C )) (2.12) Ch ng minh T (2.11), ta có k * k (d (x ,C ) d (x ,C )) K t h p hai v c a b m k k xk x* xk ng th c trên, (d (x k ,C ) d (x * ,C )) x* x0 x* xm Cho m Vì ta (2.13) x* 2 m 2 m * k (d (x ,C ) d (x ,C )) k k k c k k k k k k c x0 x* 2 x x * 2 k k (2.14) , ta có k k (d (x k ,C ) d (x * ,C )) (2.15) 35 Thang Long University Libraty NH V VÀ M t khác, dãy x k k cho g t nt i L ,t b ch n dãy g L a k NG D NG ,v im i k max k t h p v i (2.15) ta L0 Vì k k , g k L0 , (2.16) k o * k k (d (x ,C ) d (x ,C )) lim sup(d (x k ,C ) d (x * ,C )) Bây gi , ta s d ng k t qu ch ng minh kh ,L , (2.17) , ta suy k k Cho L0 : max c * k k (d (x ,C ) d (x ,C )) k o b ch n Vì v y, ta có k k k nh (ii) c (2.18) ch ng minh nh lý a lim sup s t n t i dãy x Th t ra, kj c a dãy x k cho lim (d (x kj lim sup(d (x k ,C ) d (x * ,C )) ,C ) d (x * ,C )) k j Vì x kj b ch n, ta gi s r ng j lim x 36 kj x NH V VÀ d (x * ,C ) d (x ,C ) j NG D NG lim (d (x * ,C ) d (x j lim (d (x k kj kj ,C )) ,C ) d (x * ,C )) lim sup(d (x k ,C ) d (x * ,C )) x Nh c l i r ng x nghi m nh t c a nghi m t toán (P), nên x xk h i t xk x Vì dãy h i t dãy x kj c a n x , ta có kj lim x Vì v y, dãy x k h it x n x bi t, n u ho c g Nh n xét 2.1 xk nghi kj lim x j k n u ho c g x* k ho c xk xk Trong tính toán, cho ta nghi m x p x , thu t toán d ng k ho c x k xk max x k ,1 , v i sai s cho c Nh n xét 2.2 Trong toán th c t t n u cho t p C t p nh c a t p C l i nh ng r t l n, ví d i s d ng m ng internet Tuy nhiên, s t nhi u so v i s mc at nh c minh h hình v 37 Thang Long University Libraty NH V VÀ NG D NG Trong thu t toán ta nh n th y r ng ta không nh t thi t c n bi t m t p C mà ch c nh c a bao l i c a t p C Vi c nh c a bao l i c a m t t p b t kì không gian nhi u chi u m n khó c a b môn hình h c tính toán Tuy nhiên, không gian hai chi u thu t toán r t hi u qu mc c nh) c a t p bao l i cho m t t p b t kì Trong s thu thu t toán Quickhull thu t toán r t h u hi c s d ng nhi u B k t qu tính toán áp d ng thu t toán Quickhull ng h p t p C l n (b ng trích t ) 38 NH V VÀ NG D NG B ng 2.1 K t qu tính toán theo thu t toán Quickhull |C| |Vc| T l trung Th i gian tìm Th i gian tính (1) (2) bình c a conv (C) toán s d ng (4) (5) (3) 1000 25 < 10-4 0.0014 1000 39 < 10-4 0.0019 1000 35 < 10-4 0.0016 1000 22 < 10-4 0.0012 1000 17 < 10-4 0.0009 10000 48 0.0010 0.0018 10000 81 0.0010 0.0079 10000 100 0.0010 0.0117 10000 27 < 10-4 0.0017 10000 19 < 10-4 0.0015 100000 94 0.0151 0.0023 100000 124 0.0155 0.0027 100000 155 0.0165 0.0037 100000 23 0.0010 0.0017 100000 18 0.0010 0.0017 2.76% 2.75% 0.414% 39 Thang Long University Libraty K T LU N K T LU N nh v t l ch s phát tri n c nhi u tác gi quan tâm nghiên c u Lu ng lý thuy v n nh nh v , bao g m: M t s khái ni m k t qu c a gi i tích l toán quy ho ch l , nêu lên nh ng ki n th cho vi c xây d nh v p l i, hàm l i, n, n n t ng nh t gi t v t p l i, bao l i, hàm l i, hàm l i m i vi phân, toán t chi u toán t Gi i thi u v tìm m nh v c xét lu m (hay m t v trí) m t mi l n nh t t m (v Xét m t s ví d nh cho kho ng cách m (v trí) ch nv c gi i b c nh nh t nh v c nghiên c u c Tuy nhiên, xét nh ng toán ph c t c m t s r t l n th y r ng vi c gi i toán b g pháp hình h c s không th c hi Lu i vi phân c m t thu gi i biên c a thu t toán nh v ng h p s th r t l n 41 c có TÀI LI U THAM KH O TÀI LI U THAM KH O Tài li u ti ng Vi t [1] i (1998), Gi i tích l i, Nhà xu t b n Khoa h c K thu t, Hà N i [2] , , Nhà xu t b n Khoa h c K thu t, Hà N i [3] Tr Nhà xu t b n u Nguy n Th Thu Th y (2011), T n, i h c Qu c gia Hà N i Tài li u ti ng Anh [4] Zvi Drezner (1995), Facility Location: A Survey of Applications and Methods, Springer 1995 [5] Nguy n Ki A convex hull algorithm for solving a location problem RAIRO-Oper Res 49 (2015) 589 600 [6] Masamichi Kon and Shigeru Kushimoto, A Single Facility Minisum Location Problem Under The A-Distance, Journal of the Operations Research Society of Japan, Vol 40, No l, March 1997 42 Thang Long University Libraty