Ma trận xác định dương và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH TRỌNG SỸ MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – NĂM 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH TRỌNG SỸ MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Tạ Duy Phượng THÁI NGUYÊN – NĂM 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Trang Lời nói đầu………………………… …………….…………………………… Chương I Ma trận xác định dương…….………………………………………5 Ma trận…………………………….……………………………… …………5 1.1 Số phức không gian vectơ ….………………………………….…………5 1.2 Định nghĩa ma trận ………………………………….………… ……………8 1.3 Ma trận không ………….…………………………………… ……………9 1.4 Ma trận đường chéo …………………………………………………… …9 1.5 Ma trận đơn vị …………….…………………………………………………9 1.6 Các phép toán ma trận …………………………………………………9 1.7 Ma trận nghịch đảo ……………………………………… ……………….10 1.8 Ma trận chuyển vị ma trận chuyển vị liên hợp ………………….………11 1.9 Ma trận trực giao ma trận unita …………………………………………12 1.10 Vectơ riêng giá trị riêng ……………………………………………….13 1.11 Ma trận đối xứng ma trận Hermite ………………………… ………13 Ma trận xác định dương…………………………………………….………24 2.1 Định nghĩa ma trận xác định dương……………………………………… 24 2.2 Các tính chất ma trận xác định dương….………………………………27 Kết luận Chương…………………………………………………………… …44 Chương Một số ứng dụng ma trận xác định dương………………….45 Lý thuyết ổn định nghiệm phương trình vi phân………………… 45 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1 Điều kiện cần đủ ổn định nghiệm phương trình vi phân tuyến tính với hệ số ……………………………………………… .……………… 45 1.2 Phương pháp Lyapunov…………………….………………………………47 1.3 Điều kiện cần đủ để ma trận ma trận ổn định ……… ………………48 1.4 Phương trình vi phân cấp hai giá trị riêng………… ………………50 Bài toán tối ưu hàm toàn phương……………………………………… 52 2.1 Tối ưu hàm biến…………………….………….………………………52 2.2 Tối ưu hàm hai biến ……… ………………………………… …………52 2.3 Tối ưu hàm toàn phương-tuyến tính nhiều biến với hạn chế………….……54 Kết luận chương ……………………………………………………………….55 Kết luận…………………………………………………………… ……… 56 Tài liệu tham khảo……………………………………… .57 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Lớp ma trận xác định dương lớp ma trận có cấu trúc riêng (tạo thành đa tạp khả vi Rieman, xem [Bhatia, 2007]) có nhiều ứng dụng lý thuyết đa thức, lý thuyết ổn định, toán kinh tế tối ưu,… Luận văn Ma trận xác định dương số ứng dụng có mục đích trình bày kiến thức ma trận xác định dương: định nghĩa, tính chất ma trận ma trận xác định dương tiêu chuẩn để nhận biết ma trận xác định dương Việc nghiên cứu tìm hiểu ma trận xác định dương giúp ta giải nhiều toán liên quan đến đa thức, đặc biệt lý thuyết ổn định, toán kinh tế tối ưu,… Trong luận văn này, cố gắng trình bày theo logic chặt chẽ mặt toán học, chứng minh định lí trình bày với mức độ chi tiết Nội dung luận văn gồm hai chương Chương Ma trận xác định dương Phần đầu Chương trình bày số định nghĩa tính chất ma trận: ma trận, ma trận chuyển vị, ma trận đối xứng, ma trận Hermite,… Nội dung chủ yếu Chương trình bày khái niệm tính chất ma trận xác định dương dấu hiệu để nhận biết ma trận xác định dương Chương Một số ứng dụng ma trận xác định dương Chương hai đề cập tới số ứng dụng ma trận xác định dương lý thuyết đa thức lý thuyết ổn định, toán kinh tế tối ưu,… Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Luận văn hoàn thành với giúp đỡ tận tình PGS-TS Tạ Duy Phượng, Em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, cô trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên; Viện Toán học, Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam; Khoa Toán Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên; Khoa công nghệ thông tin, Đại học Thái Nguyên tận tình giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập trường Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Thái Nguyên, Ban giám hiệu thầy cô giáo trường THPT Phổ Yên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập Thái Nguyên, tháng năm 2010 Tác giả Đinh Trọng Sỹ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƯƠNG I MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG Chương nhắc lại số kiến thức ma trận có liên quan đến ma trận xác định dương, tiêu chuẩn để kiểm tra ma trận xác định dương tính chất ma trận xác định dương Nội dung chương chủ yếu tổng hợp dựa trên tài liệu [1], [2], [3], [4], [6], [8] [9] Chúng cố gắng chứng minh chi tiết tính chất định lí, trình bày có hệ thống, độc lập đầy đủ ma trận xác định dương MA TRẬN 1.1 Số phức không gian vectơ phức Cho z  a  bi số phức Ký hiệu z liên hợp phức z , tức z  a  bi Nhận xét rằng, z  z b  , hay z số thực Số phức z  a  bi  z  a  bi  , tức a  b  Ta có zz   a  bi  a  bi   a  b2  với số phức z ; zz  z  Giả sử H không gian Hilbert với phần tử vectơ cột x số chiều n có thành phần số phức Định nghĩa ([3], trang 1) Tích vô hướng hai vectơ x y H số  ( x, y) : x, y : x y  x1 y1  x2 y2   xn yn , Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  x1   y1      x     H , y     H , xk  ak  bk i , xk  ak  bk i , k  1, 2, , n x  y   n  n  x1   a1  ib1      x  x         a1  ib1, , an  ibn   x   a  ib  n  n  n Khi H không gian Euclid với phần tử vectơ cột số chiều n có thành phần số thực, tích vô hướng hai vectơ định nghĩa  ( x, y) : x, y : xy  x1 y1  x2 y2   xn yn Ánh xạ f : H   gọi tuyến tính H với t1 , t2  , x1, x2  H ta có f  t1x1  t2 x2   t1 f  x1   t2 f  x2  Ánh xạ f : H   gọi tuyến tính liên hợp H với t1 , t2  , x1, x2  H ta có f  t1x1  t2 x2   t1 f  x1   t2 f  x2  Tính chất Tích vô hướng , tuyến tính liên hợp theo biến thứ tuyến tính theo biến thứ hai, tức cố định biến thứ hai tích vô hướng ánh xạ tuyến tính liên hợp theo biến thứ cố định biến thứ tích vô hướng ánh xạ tuyến tính theo biến thứ hai  x1   x1    Chứng minh Thật vậy, x    nên x    , x*   x    x1 , , xn  ; x  x   n  n  y11   y12   y11   y12   t1 y11  t2 y12            y1    , y    nên t1 y1  t2 y  t1    t2       y1   y2   y1   y   t y1  t y   n  n  n  n 1 n n Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Do  t1 y11  t2 y12    n *  ( x, t1 y  t2 y )  x (t1 y  t2 y )   x1, , xn      xi t1 y1i  t2 yi2   t y1  t y  i 1 1 n n  n  t1  xi yi1 n       t2  xi yi1  t1x* y1  t2 x* y  t1 x, y1  t2 x, y i 1 i 1 Vậy theo định nghĩa, tích vô hướng , tuyến tính theo biến thứ hai Bây cố định biến thứ hai, z1 z2  z1z2 z1  z2  z1  z nên   t1 x11  t2 x12      t1x1  t2 x  t1x1  t2 x     t1x11  t2 x12 , , t1xn1  t2 xn2  t x1  t x  1 n n      Do t x 1 n  t2 x    y  t1x11   t2 x12 , , t1 xn1  n n t2 xn2   y1      y   n *   i 1 i 1 *     t1xi1  t2 xi2 yi  t1  xi1 yi  t2  xi2 yi  t1 x1 y  t2 x y i 1 tức     t (x ) y  t (x ) y   t   t1x1  t2 x , y  t1x1  t2 x , y  t1x1  t2 x * *     y  t1 ( x1 )*  t2 ( x )* y x1 , y  t2 x , y  t1 ( x1, y )  t2 ( x , y ) Vậy  tuyến tính liên hợp theo biến thứ Nếu H không gian Euclid hữu hạn chiều  n với phần tử vectơ có thành phần số thực  tuyến tính theo biến Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhận xét Trong số tài liệu, Ví dụ, [6, trang 197], định nghĩa tích vô hướng hai vectơ x y f ( x, y ) : x, y : x1 y1   xn yn Khi tích vô hướng tuyến tính theo biến thứ tuyến tính liên hợp theo biến thứ hai 1.2 Định nghĩa ma trận Cho m, n hai số tự nhiên Một m  n -ma trận (ma trận cấp m  n ) bảng  a11 a12 a1n    a21 a22 .a2 n   số hình chữ nhật gồm m dòng n cột      am1 am amn  Các số (thực phức) a gọi phần tử dòng i cột j ( i  1, m ; j  1, n ) ij ma trận Ma trận viết dạng rút gọn A   a   ij  Khi cần rõ cụ thể cấp ma trận ta viết A   a   ij  mn Khi m  n ta có ma trận vuông cấp n Kí hiệu ma trận vuông cấp n An  x1    x Khi n  ma trận A có cấp m  gọi vectơ cột x    số chiều m      xm  Khi m  ma trận có cấp  n gọi vectơ hàng x   x1 , x2 , , xn  cấp n Không gian vectơ (thực phức) tập hợp phần tử gồm tất vectơ cột với tọa độ số (thực số phức) thỏa mãn tiên đề không gian vectơ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... niệm tính chất ma trận xác định dương dấu hiệu để nhận biết ma trận xác định dương Chương Một số ứng dụng ma trận xác định dương Chương hai đề cập tới số ứng dụng ma trận xác định dương lý thuyết... xác định dương: định nghĩa, tính chất ma trận ma trận xác định dương tiêu chuẩn để nhận biết ma trận xác định dương Việc nghiên cứu tìm hiểu ma trận xác định dương giúp ta giải nhiều toán liên quan... luận văn gồm hai chương Chương Ma trận xác định dương Phần đầu Chương trình bày số định nghĩa tính chất ma trận: ma trận, ma trận chuyển vị, ma trận đối xứng, ma trận Hermite,… Nội dung chủ yếu