Ma trận xác định dương và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH TRỌNG SỸ MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – NĂM 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu -

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐINH TRỌNG SỸ

MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – NĂM 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS Tạ Duy Phượng

1

Mục lục

Trang

Lời nói đầu……… ……….……… 3

Chương I Ma trận xác định dương…….………5

1 Ma trận……….……… …………5

1.1 Số phức và không gian vectơ ….……….…………5

1.2 Định nghĩa ma trận ……….………… ………8

1.3 Ma trận không ………….……… ………9

1.4 Ma trận đường chéo ……… …9

1.5 Ma trận đơn vị ……….………9

1.6 Các phép toán trên ma trận ………9

1.7 Ma trận nghịch đảo ……… ……….10

1.8 Ma trận chuyển vị và ma trận chuyển vị liên hợp ……….………11

1.9 Ma trận trực giao và ma trận unita ………12

1.10 Vectơ riêng và giá trị riêng ……….13

1.11 Ma trận đối xứng ma trận Hermite ……… ………13

2 Ma trận xác định dương……….………24

2.1 Định nghĩa ma trận xác định dương……… 24

2.2 Các tính chất của ma trận xác định dương….………27

Kết luận Chương……… …44

Chương 2 Một số ứng dụng của ma trận xác định dương……….45

1 Lý thuyết ổn định nghiệm của phương trình vi phân……… 45

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1.1 Điều kiện cần và đủ ổn định nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính với

hệ số hằng ……… ……… 45

1.2 Phương pháp Lyapunov……….………47

1.3 Điều kiện cần và đủ để ma trận là ma trận ổn định ……… ………48

1.4 Phương trình vi phân cấp hai và các giá trị riêng………… ………50

2 Bài toán tối ưu hàm toàn phương……… 52

2.1 Tối ưu hàm một biến……….………….………52

2.2 Tối ưu hàm hai biến ……… ……… …………52

2.3 Tối ưu hàm toàn phương-tuyến tính nhiều biến với hạn chế………….……54

Kết luận chương ……….55

Kết luận……… ……… 56

Tài liệu tham khảo……… 57

3

LỜI NÓI ĐẦU

Lớp ma trận xác định dương là một lớp ma trận có cấu trúc riêng (tạo thành một đa tạp khả vi Rieman, xem [Bhatia, 2007]) và có nhiều ứng dụng trong lý thuyết đa thức, trong lý thuyết ổn định, toán kinh tế và tối ưu,…

Luận văn Ma trận xác định dương và một số ứng dụng có mục đích trình

bày các kiến thức cơ bản của ma trận xác định dương: các định nghĩa, tính chất của ma trận và ma trận xác định dương cũng như các tiêu chuẩn để nhận biết về

ma trận xác định dương Việc nghiên cứu tìm hiểu ma trận xác định dương có thể giúp ta giải quyết được khá nhiều các bài toán liên quan đến đa thức, và đặc biệt là trong lý thuyết ổn định, trong toán kinh tế và tối ưu,…

Trong luận văn này, chúng tôi cố gắng trình bày theo một logic chặt chẽ

về mặt toán học, các chứng minh định lí được trình bày với mức độ chi tiết Nội dung trong luận văn gồm hai chương

Chương 1 Ma trận xác định dương

Phần đầu của Chương 1 trình bày một số định nghĩa và tính chất về ma trận:

ma trận, ma trận chuyển vị, ma trận đối xứng, ma trận Hermite,… Nội dung chủ yếu của Chương 1 là trình bày khái niệm và các tính chất của ma trận xác định dương cũng như các dấu hiệu để nhận biết về ma trận xác định dương

Chương 2 Một số ứng dụng của ma trận xác định dương

Chương hai đề cập tới một số ứng dụng của ma trận xác định dương đối với lý thuyết đa thức và lý thuyết ổn định, toán kinh tế và tối ưu,…

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Luận văn được hoàn thành với sự giúp đỡ tận tình của PGS-TS Tạ Duy Phượng, Em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy

Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên; Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam; Khoa Toán Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên; Khoa công nghệ thông tin, Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập tại trường

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thái Nguyên, Ban giám hiệu và các thầy cô giáo trường THPT Phổ Yên đã tạo điều kiện thuận lợi nhất để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2010

Tác giả

Đinh Trọng Sỹ

5

CHƯƠNG I

MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG

Chương này nhắc lại một số những kiến thức cơ bản về ma trận có liên quan đến

ma trận xác định dương, các tiêu chuẩn để kiểm tra một ma trận là xác định dương và các tính chất của ma trận xác định dương Nội dung chương này chủ yếu được tổng hợp dựa trên các trên tài liệu [1], [2], [3], [4], [6], [8] và [9] Chúng tôi cố gắng chứng minh chi tiết các tính chất và các định lí, trình bày có

hệ thống, độc lập và đầy đủ về ma trận xác định dương

1 MA TRẬN

1.1 Số phức và không gian vectơ phức

Cho zabi là một số phức

Ký hiệu z là liên hợp phức của z , tức là z  a bi

Nhận xét rằng, z z khi và chỉ khi b  , hay z là số thực 0

Số phức z abi khi và chỉ khi 0 z abi , tức là 0 a  hoặc 0 b  0

Khi H là không gian Euclid với các phần tử là các vectơ cột số chiều n có các

thành phần là các số thực, thì tích vô hướng giữa hai vectơ được định nghĩa là

1 1 2 2( , ) :x y x y, : x y x y x y x y n n

        Ánh xạ f H   được gọi là tuyến tính trên H nếu với mọi : t , 1 t  , mọi 2

1, 2

x x H ta có f t x 1 1t x2 2t f x1  1 t f x2  2

Ánh xạ f H   được gọi là tuyến tính liên hợp trên H nếu với mọi : t , 1 t  , 2

mọi x x1, 2H ta có f t x 1 1t x2 2t f x1  1 t f x2  2

Tính chất Tích vô hướng , tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất và tuyến

tính theo biến thứ hai, tức là khi cố định biến thứ hai thì tích vô hướng là ánh xạ tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất và khi cố định biến thứ nhất thì tích vô hướng là ánh xạ tuyến tính theo biến thứ hai

1

n

x x x

2

n

y y

Vậy theo định nghĩa, tích vô hướng , tuyến tính theo biến thứ hai

Bây giờ cố định biến thứ hai, vì z z1 2 z z1 2 và z1 z2 z1 z2 nên

Vậy  là tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất

Nếu H là không gian Euclid hữu hạn chiều  với các phần tử là các vectơ có ncác thành phần là các số thực thì  là tuyến tính theo từng biến

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Nhận xét Trong một số tài liệu, Ví dụ, [6, trang 197], định nghĩa tích vô hướng

của hai vectơ x và y là f x y( , ) : x y, :x y1 1 x y n n Khi ấy tích vô hướng

tuyến tính theo biến thứ nhất và tuyến tính liên hợp theo biến thứ hai

Ma trận được viết dưới dạng rút gọn A a

ij

  

  Khi cần chỉ rõ cụ thể cấp của ma trận thì ta viết

Khi m  thì ta có ma trận vuông cấp n Kí hiệu ma trận vuông cấp n là n A n

Khi n  ma trận A có cấp 1 m 1 được gọi là vectơ cột

1 2

m

x x x x

Khi m  ma trận có cấp 1 n1  được gọi là vectơ hàng xx x1, 2, ,x n cấp n

Không gian vectơ (thực hoặc phức) là tập hợp các phần tử gồm tất cả các vectơ cột với các tọa độ là các số (thực hoặc số phức) thỏa mãn các tiên đề của không gian vectơ

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read