số mũ đặc trưng vectơ và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ VĂN CHUNG SỐ MŨ ĐẶC TRƯNG VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2012 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ VĂN CHUNG SỐ MŨ ĐẶC TRƯNG VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 0112 Giáo viên hướng dẫn: PGS. TS TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN, 2012 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên. Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán-Tin, Ban Giám hiệu, Phòng Đào nhà trường đã trang bị kiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS. TS. Tạ Duy Phượng, người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi quá trình học tập của mình. Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! 2 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục 1 Vectơ đặc trưng 7 1.1 Số mũ Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Vectơ đặc trưng của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Vectơ đặc trưng của ma trận hàm . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Số mũ đặc trưng vectơ của nghiệm của phương trình vi phân đại số 20 2.1 Phương trình vi phân đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.1 Phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.2 Chỉ số của phương trình vi phân đại số với thành phần đầu chính thường . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1 với thành phần đầu chính thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1 Số mũ Lyapunov của nghiệm của phương trình vi phân đại số chính quy chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . 25 2.2.2 Vectơ đặc trưng của nghiệm của phương trình vi phân đại số chính quy chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Phân rã phương trình vi phân đại số chỉ số 2 với thành phần đầu chính thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4 Phổ của phương trình vi phân đại số chính quy chỉ số 1 . . 34 2.5 Hệ chính qui cấp m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3 Nghiên cứu sự ổn định của nghiệm của phương trình vi phân đại số chỉ số 1 48 3.1 Sự ổn định tiệm cận mũ của nghiệm tầm thường của hệ phương trình vi phân đại số với thành phần đầu chính thường 48 3.2 Định nghĩa vectơ đặc trưng ổn định (cấp m) của hệ vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận 68 Tài liệu tham khảo 70 4 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Năm 1892, Lyapunov đã đưa ra và sử dụng khái niệm số mũ đặc trưng để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính. Khái niệm số mũ đặc trưng Lyapunov đã được Hoàng Hữu Đường mở rộng thành khái niệm số mũ vectơ đặc trưng (chỉ số vectơ đặc trưng) để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân trong trường hợp tới hạn vào những năm 1965 - 1982. Bắt đầu từ những năm 1980, do nhu cầu thực tiễn và phát triển lý thuyết, phương trình vi phân đại số đã được chú ý và nghiên cứu sâu rộng. Nhiều tác giả Việt Nam: GS. Phạm Kỳ Anh, GS. Nguyễn Đình Công, GS. Nguyễn Hữu Dư, PGS. Vũ Hoàng Linh, TS. Lê Công Lợi, GS. Vũ Ngọc Phát, PGS. Cấn Văn Tuất đã tham gia nghiên cứu và giải quyết các vấn đề khác nhau của phương trình vi phân đại số. Vấn đề sử dụng lý thuyết số mũ đặc trưng của Lyapunov để nghiên cứu các tính chất định tính của phương trình vi phân đại số đã được Nguyễn Đình Công và Hoàng Nam nghiên cứu trong [2], [3], [8] và[9]. Trong luận văn, chúng tôi đặt vấn đề sử dụng khái niệm vectơ đặc trưng của Hoàng Hữu Đường để nghiên cứu phương trình vi phân đại số với thành phần đầu chính thường. Các vấn đề luận văn quan tâm là: 1) Đưa ra khái niệm vectơ đặc trưng của nghiệm của phương trình vi phân đại số tuyến tính chính qui chỉ số 1 với thành phần đầu chính thường; trình bày mối quan hệ giữa vectơ đặc trưng của nghiệm của phương trình vi phân đại số và vectơ đặc trưng của nghiệm của phương trình vi phân thường tương ứng. 2) Hệ cơ bản chuẩn tắc và phổ của phương trình vi phân đại số tuyến tính chính qui chỉ số 1. 5 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3) Hệ chính qui cấp m. 4) Định nghĩa sự ổn định (cấp m) của các vectơ đặc trưng của phương trình vi phân đại số thuần nhất đối với các nhiễu động tuyến tính và phi tuyến. Các kết quả nhận được trong luận văn tương tự các kết quả tương ứng trong [4]. Luận văn gồm phần Mở đầu, 3 chương, phần Kết luận và các tài liệu tham khảo. Trong chương 1, chúng tôi nhắc lại khái niệm số mũ đặc trưng; trình bày lại khái niệm vectơ đặc trưng của hàm số và ma trận hàm cùng các chứng minh một cách chi tiết một số tính chất của vectơ đặc trưng. Trong chương 2, chúng tôi trình bày cách phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1 và chỉ số 2 dựa theo [12]. Đồng thời cũng đưa ra khái niệm vectơ đặc trưng của nghiệm, phổ của hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1, hệ cơ bản chuẩn tắc cũng như hệ chính qui cấp m dựa trên sự mở rộng các khái niệm tương ứng của hệ phương trình vi phân tuyến tính trong [8]. Trong chương 3, chúng tôi nghiên cứu sự ổn định tiệm cận mũ của nghiệm tầm thường của hệ phương trình vi phân đại số với thành phần đầu chính thường và định nghĩa vectơ đặc trưng ổn định. Thái Nguyên, ngày 10 tháng 10 năm 2012 Người thực hiện Đỗ Văn Chung 6 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 Vectơ đặc trưng Năm 1982 trong luận án Tiến sĩ khoa học của mình, Hoàng Hữu Đường đã đưa ra khái niệm vectơ đặc trưng là mở rộng khái niệm số mũ đặc trưng Lyapunov và áp dụng vectơ đặc trưng nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân trong trường hợp tới hạn. Trước tiên chúng ta nhắc lại khái niệm số mũ Lyapunov (số mũ đặc trưng) của hàm số, ma trận hàm và một số tính chất cơ bản của số mũ Lyapunov. 1.1 Số mũ Lyapunov Xét phương trình vi phân tuyến tính . x = αx, t ≥ 0 với điều kiện ban đầu x(0) = x 0 có nghiệm là x(t) = x 0 e αt . (∗) Với α > 0 thì x(t) −→ +∞. Ta nói nghiệm x ≡ 0 của phương trình (*) là không ổn định. Với α = 0 thì x(t) ≡ x 0 , ∀t ≥ 0. Ta nói nghiệm x ≡ 0 của phương trình (*) là ổn định (không ổn định tiệm cận). Với α < 0 thì x(t) −→ 0 khi t −→ +∞. Ta nói nghiệm x ≡ 0 của phương trình (*) là ổn định tiệm cận (theo Lyapunov). Như vậy số α đặc trưng cho tính ổn định của nghiệm x ≡ 0 của phương trình (*). Dựa trên quan sát này, Lyapunov đưa ra khái niệm số mũ đặc trưng nhằm nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân. Xét hàm số thực f(t) = e αt , trong đó α là số thực. Số α đặc trưng cho tốc độ tăng trưởng của hàm e αt . 7 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Từ nay về sau, vì ta chỉ xét t → +∞ nên để cho gọn, khi t → +∞ ta chỉ viết t → ∞. Ta có thể viết |f(t)| = e α(t).t , trong đó α(t) = 1 t ln |f(t)|. Như vậy, để so sánh sự tăng trưởng của hàm |f(t)| với hàm mũ, điều cần thiết là phải xem xét giá trị của hàm α(t), trên cơ sở đó chúng ta đưa vào khái niệm số mũ đặc trưng của hàm số như sau. Định nghĩa 1.1. [10] Giả sử f(.) là hàm nhận giá trị thực và xác định trên khoảng J = [t 0 , +∞). Số (hoặc giá trị +∞, −∞) xác định bởi công thức χ(f) := lim t→∞ 1 t ln |f(t)| (1.1) được gọi là số mũ Lyapunov (số mũ đặc trưng) của hàm số f(.). Nói chung số mũ Lyapunov có thể hữu hạn hoặc vô hạn, nhưng sau này chúng ta chủ yếu xét trường hợp số mũ Lyapunov là hữu hạn. Chúng ta qui ước ln 0 = −∞, do đó nếu f(t) ≡ 0 thì χ(f) = −∞. Định lý 1.1. [10] Nếu χ(f) = α = ±∞ thì 1) Với mỗi  > 0 ta có f(t) = o  e (α+)t  , nghĩa là lim t→∞ |f(t)| e (α+)t = 0; (1.2) 2) lim t→∞ |f(t)| e (α−)t = ∞, nghĩa là tồn tại dãy t k → ∞ sao cho lim t k →∞ |f(t k )| e (α−)t k = ∞. (1.3) Ngược lại, nếu có một số α nào đó mà với mỗi  > 0 bất kỳ ta đều có (1.2) thì χ(f) ≤ α; nếu có (1.3) thì χ(f) ≥ α. Cuối cùng, nếu có cả hai công thức (1.2) và (1.3) thì χ(f) = α. Như vậy, nếu χ(f) = α thì khi t → ∞ hàm số y = |f(t)| tăng chậm hơn bất kỳ một hàm mũ y 1 = e (α+)t với  > 0 bất kỳ. Hơn nữa, hàm |f(t)|e −(α+)t → 0 và theo một dãy t k → ∞ nó tăng nhanh hơn hàm y 2 = e (α−)t và hàm |f(t)|e (−α+)t không bị chặn. 8 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.2. [10] Hàm f(t) được gọi là có số mũ đặc trưng đúng nếu tồn tại giới hạn hữu hạn χ(f) = lim t→∞ 1 t ln |f(t)|. Sau đây chúng ta nhắc lại một số tính chất cơ bản của số mũ đặc trưng (xem [1]). Giả sử f 1 (.), . . . , f m (.) là các hàm số nhận giá trị thực xác định trên J = [t 0 , ∞), khi đó i) χ(f) = χ(|f|). ii) χ(cf) = χ(f) với mọi số thực c = 0. iii) Với c 1 , . . . , c m là các hằng số thực bất kỳ thì χ  m  i=1 c i f i  ≤ max 1≤i≤m χ(f i ) và nếu tồn tại c k = 0 sao cho χ(f k ) > χ(f j ) với mọi j = k, (j = 1, . . . , m; 1 ≤ k ≤ m) thì χ  m  i=1 c i f i  = χ(f k ). iv) χ  m  i=1 f i  ≤ m  i=1 χ(f i ). Giả sử F (.) = [f jk (.)] là n × q ma trận hàm xác định trên J. Định nghĩa 1.3. [10] Số (hoặc giá trị ±∞) χ(F ) := max j,k χ(f jk (t)) được gọi là số mũ Lyapunov của ma trận hàm F (.). Số mũ Lyapunov của ma trận hàm cũng có một số tính chất tương tự số mũ Lyapunov của vectơ hàm. i) Nếu F (.) là ma trận vuông thì χ(F T ) = χ(F ) với F T (t) là ma trận chuyển vị của ma trận F (t) với t ∈ J. ii) χ(F ) = χ(||F ||). ii) Nếu F 1 (.), . . . , F m (.) là các n × n ma trận hàm xác định trên 9 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... tiết khái niệm vectơ đặc trưng của hàm số, của ma trận hàm và một số tính chất của chúng (xem [4]) Khái niệm vectơ đặc trưng là sự mở rộng khái niệm số mũ đặc trưng Lyapunov 1.2 Vectơ đặc trưng của hàm số Xét x : [t0 , +∞) → R Giả sử tồn tại số hữu hạn α0 sao cho ln |x(t)| = α0 t→∞ t lim Khi đó, theo định nghĩa lim với mọi ln |x(t)| < α0 + t Do đó |x(t)| < a0 e(α0 + )t với > 0 tồn tại số T ( ) sao cho... t)αm + 10 1 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn > 0 và am ≥ 1 là hằng số bất kỳ với Từ đây ta đi đến định nghĩa sau Định nghĩa 1.4 [4] Vectơ α(m) (x) = (α0 , α1 , , αm ) được gọi là vectơ đặc trưng cấp m (chỉ số vectơ cấp m) của x(t) Nhận xét 1.1 Khi m = 0 thì α(0) (x) = α0 chính là số mũ đặc trưng Lyapunov của x Ví dụ 1.1 Hàm x(t) = t có vectơ đặc trưng α(m)... dụ 1.3 Cho A = t t2 Tính số mũ đặc trưng cho từng số hạng −1 t của ma trận A ta được α(m) (t) = (0, 1, 0, , 0), α(m) (−1) = θ, α(m) (t2 ) = (0, 2, 0, , 0) Vậy α(m) (A(t)) = (0, 2, 0, , 0) 17 1 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Vectơ đặc trưng của ma trận hàm cũng có một số tính chất tương tự như vectơ đặc trưng của hàm số (xem [4], trang 17) Dưới... là phương trình vi phân thường có ma trận hệ số bị chặn Suy ra tập các vectơ đặc trưng của u(t) bị chặn trên và bị chặn dưới Vì vậy tập các vectơ đặc trưng của x(t) cũng bị chặn trên và bị chặn dưới Vậy mọi nghiệm không tầm thường của (2.18) có vectơ đặc trưng hữu hạn Định nghĩa 2.10 Cho một ma trận nghiệm cơ bản X của phương trình vi phân đại số (2.18), và 1 ≤ i ≤ d Kí hiệu (m)u u u u (||X(t)ei ||)... Giả sử (2.9) chính quy chỉ số 1 và α(m) (Qs ) θ Khi đó vectơ đặc trưng của nghiệm không tầm thường x(t) của (2.9) bằng vectơ đặc trưng của nghiệm u(t) của phương trình vi phân thường tương ứng (2.10) với D(t) bị chặn trên R+ Chứng minh Nghiệm của (2.9) có dạng x(t) = (I − Qs )D− u(t), trong đó u(t) là nghiệm của (2.10) và u(t) = Dx(t) Ta chứng minh α(m) (x) = α(m) (u) 28 2 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu... = lim lnj+1 t t→∞ với j = 0, 1, , m − 1 Vậy ta có điều phải chứng minh Điều kiện đủ được suy ra từ định nghĩa của vectơ đặc trưng đúng Hệ quả 1.3 [4] Nếu α(m) (f ) là vectơ đặc trưng đúng thì α(m) (f g) = α(m) (f ) + α(m) (g) với mọi g(t) ∈ C[t0 , ∞) Dưới đây sẽ là trình bày chi tiết về vectơ đặc trưng của ma trận hàm 1.3 Vectơ đặc trưng của ma trận hàm Định nghĩa 1.6 Giả sử A(t) = [ajk (t)] là ma... không tầm thường x(t) của (2.6), số (hoặc ±∞) ln |x(t)| χ(x(t)) := lim t→∞ t được gọi là số mũ đặc trưng (hay còn gọi là số mũ Lyapunov) của nghiệm x(t) của (2.6) Định lý 2.2 Giả sử phương trình (2.6)chính quy chỉ số 1, A(t), B(t), D(t) bị chặn trên R+ G1 = AD + BQ0 có nghịch đảo bị chặn trên R+ Khi đó số mũ Lyapunov của nghiệm không tầm thường x(t) của (2.6) bằng số mũ Lyapunov của nghiệm u(t) của... Nếu x(t) là vectơ n chiều, ta có thể định nghĩa α(m) (x(t)) = α(m) (||x(t)||) 19 2 0Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 Số mũ đặc trưng vectơ của nghiệm của phương trình vi phân đại số 2.1 Phương trình vi phân đại số Nhằm mục đích phục vụ cho chương sau, dưới đây chúng tôi sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản về phương trình vi phân đại số tuyến tính... (2.8) có phương trình vi phân thường tương ứng là u = (P − P A−1 B0 )u 1 với u = P x và x = (I − QA−1 B0 )u 1 Ta cũng có χ(x) = χ(u) 26 2 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.2.2 Vectơ đặc trưng của nghiệm của phương trình vi phân đại số chính quy chỉ số 1 Xét phương trình vi phân đại số tuyến tính thuần nhất chính quy chỉ số 1 A(t)(D(t)x(t)) + B(t)x(t) = 0 (2.9)... (t)) và ta có điều phải chứng minh i=1 Hệ quả 1.1 [4] Nếu f (t) = 0 với t > T thì α(m) (f (t))+α(m) 1 f (t) θ, trong đó θ là phần tử không của Rm Hệ quả 1.2 [4] Nếu α(m) (ck (t)) θ, thì m α (m) ck (t)fk (t) max α(m) (fk (t)) k=1 k Đặc biệt nếu ck (t) là hàm giới nội thì bất đẳng thức trên đúng Định nghĩa 1.5 [4] Ta nói α(m) (x(t)) là vectơ đặc trưng đúng của x(t) nếu trong định nghĩa của vectơ đặc trưng, . niệm vectơ đặc trưng của hàm số, của ma trận hàm và một số tính chất của chúng (xem [4]). Khái niệm vectơ đặc trưng là sự mở rộng khái niệm số mũ đặc trưng Lyapunov. 1.2 Vectơ đặc trưng của hàm số Xét. hạn. Trước tiên chúng ta nhắc lại khái niệm số mũ Lyapunov (số mũ đặc trưng) của hàm số, ma trận hàm và một số tính chất cơ bản của số mũ Lyapunov. 1.1 Số mũ Lyapunov Xét phương trình vi phân tuyến. VĂN CHUNG SỐ MŨ ĐẶC TRƯNG VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 0112 Giáo viên hướng dẫn: PGS. TS TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN, 2012 2Số hóa bởi