Số mũ đặc trưng vectơ của nghiệm của phương trình vi phân đại số
2.5 Hệ chính qui cấp m
Trong mục này ta sẽ định nghĩa một lớp hệ vi phân đại số tuyến tính gọi là hệ chính qui cấp m, tương tự khái niệm hệ chính qui cấp m đối với hệ vi phân tuyến tính được Hoàng Hữu Đường đưa ra năm 1976.
Xét phương trình vi phân đại số tuyến tính chính qui chỉ số 1
A(t)(D(t)x(t))0 +B(t)x(t) = 0, (2.23) trong đó A, B, D là các ma trận hàm liên tục, D(t) ∈ L(Rm,Rn), A(t) ∈ L(Rn,Rm), B(t) ∈ L(Rm,Rm), tồn tại phép chiếu Q0 ∈ C1(R+, L(Rn))
lên N1 = kerG1, đặt P0 = I −Q0, với G1 = AD+BQ0.
Định nghĩa 2.12. Phương trình
D∗(A∗y)0 −B∗y = 0 (2.24)
được gọi là phương trình liên hợp của (2.23). Kí hiệu
CD1(T,Rm) = {x ∈ C(T,Rm)|Dx ∈ C1(T,Rn)}, C∗1A(T,Rm) = {y ∈ C(T,Rm|A∗y ∈ C1(T,Rn)}.
Tương tự như trường hợp phương trình vi phân thường, ta cũng có mối liên hệ giữa các ma trận nghiệm cơ bản X của phương trình vi phân đại số (2.23) và Y của phương trình liên hợp (2.24) của nó.
Định lý 2.12. [7] Giả sử X ∈ CD1(T, L(Rm)) và Y ∈ C∗1A(T, L(Rm)) là các ma trận nghiệm cơ bản tương ứng của (2.23) và (2.24). Khi đó
(Y∗ADX)0 = 0.
Định nghĩa 2.13. Hai ma trận nghiệm cơ bản X = [x1, ..., xr] và Y = [y1, ..., yr]được gọi là liên kết với nhau nếuy∗iADxi = 1 với mọii = 1, ..., r.
Mệnh đề 2.1. Giả sử
và
α1∗(m) α2∗(m) · · · α∗r(m)
lần lượt là phổ của (2.23) và (2.24), X(t), Y(t) là ma trận nghiệm cơ bản tương ứng. Khi đó nếu X(t), Y(t) liên kết với nhau thì
α(im)+α∗i(m) θ. Chứng minh. Ta có α(im) = α(m)(xi), α∗i(m) = α∗(m)(yi) và α0(xi) +α0(yi) = lim t→∞ ln||xi(t)|| t + limt→∞ ln||yi(t)|| t ≥ lim t→∞ ln||xi(t)||+ln||yi|| t = 0.
Suy ra α0(xi) +α0(ϕi) ≥ 0. Nếu α0(xi) +α0(ϕi) > 0 thì ta có điều phải chứng minh. Nếu α0(xi) +α0(ϕi) = 0 thì ta xét α1. Ta có α1(xi) +α1(yi) = lim t→∞ ln{||xi(t)||e−α0(xi)t} lnt + limt→∞ ln{||yi(t)||e−α0(yi)t} lnt ≥ lim t→∞ ln||xi(t)||e−α0(xi(t))t + ln||yi(t)e−α0(yi(t))t|| lnt = 0. Do đó α1(xi) +α1(yi) ≥ 0. Một cách tổng quát, nếu αj(xi) +αj(yi) = 0
với j = 1,2, . . . , k − 1 thì αk(xi) + αk(yi) ≥ 0 và ta có điều phải chứng minh.
Định nghĩa 2.14. Hệ (2.23) được gọi là chính qui cấp m nếu
α(jm)+α∗j(m) = θ với mọi j = 1,2, . . . , r. Xét phép thế ϕ = 1 2 . . . r h1 h2 . . . hr sao cho ϕ(α(im)) = α∗h(m) i .
Định nghĩa 2.15. [4]
γϕ = max
i {α(im) +α∗h(m)
i } được gọi là vectơ khuyết,
γ = min
ϕ γϕ được gọi là hệ tử phi chính,
π = max
i {α(im)+α∗i(m)} được gọi là hệ tử Perron.
Bổ đề 2.7. [4] θ π γ γϕ nπ.
Chứng minh. Hiển nhiên θ π. Vì α∗i(m) là phổ ứng với cơ sở chuẩn tắc nên ta có α∗h(m) i = ϕ(α(im)) =ϕ(α0i, α1i, . . . , αni) = (α∗h0i, αh∗1i, . . . , αh∗ni) (α∗0i, α∗1i, . . . , α∗ni) = α∗i(m). Suy ra α(im)+α∗h(m) i α(im)+α∗i(m) với mọi i. Do đó α(im)+α∗h(m) i max i {α(im)+α∗i(m)},
với mọi i. Từ đó ta có max
i {α(im) +α∗h(m)
i } max
i {α(im) +α∗i(m)}. Suy ra
π γ. Hiển nhiên γ γϕ.
Định lý 2.13. Các điều kiện sau là tương đương: i) Hệ (2.23) là chính quy cấp m,
ii) π = θ, iii) γ = θ,
iv) γϕ = θ, với ϕ nào đó.
Chứng minh. (i ⇒ii) Thật vậy, do (2.23) là chính quy cấp m nên
α(im)+α∗i(m) = θ
với mọi i = 1,2, . . . , r. Suy ra π = θ.
(ii ⇒ iii) Giả sử π = θ. Theo trên ta có γ θ. Nếu γϕ θ với mọi ϕ
thì ta chọn ϕ = 1 2 . . . r 1 2 . . . r .
Khi đó, max
i α(im)+αi∗(m) θ. Do đó π θ (mâu thuẫn với giả thiết).
(iii ⇒iv) Giả sử γ = θ, ta chứng minh tồn tạiϕ để γϕ = θ. Theo trên, ta có γϕ θ. Giả sử γϕ θ với mọi ϕ. Khi đó, γ = min
i γϕ θ. Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Do đó γϕ = θ.
Chương 3