Tính nửa liên tục dưới của hàm lồi và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm, người đã luôn quan tâm, động viên và nhiệt tình hướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiện luận văn. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong và ngoài nhà trường, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành toán Giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Cuối cùng, tác giả xin được cảm ơn tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày 30 tháng 9 năm 2010 Tác giả Nguyễn Túc Vinh LỜI CAM ĐOAN Tác giả xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu riêng của tác giả dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm. Trong khi nghiên cứu luận văn, tác giả đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, ngày 30 tháng 9 năm 2010 Tác giả Nguyễn Túc Vinh BẢNG KÍ HIỆU R đường thẳng thực R n không gian Euclid n - chiều R = R ∪ { −∞,+∞ } tập số thực suy rộng f : D → R ánh xạ đi từ D vào R E ∗ không gian liên hợp của E B(x, r) hình cầu đóng tâm x, bán kính r dist(x, F) khoảng cách giữa x và F l p không gian các dãy {x i } : ∞ ∑ i=1 | x i | p < ∞ l ∞ không gian các dãy bị chặn sgnx n dấu của x n int Ω phần trong của Ω diam A n đường kính của A n dom f miền hữu hiệu của f epi f trên đồ thị của f f  (x) đạo hàm của f tại x f  (x; v) đạo hàm theo hướng v của f tại x ∂ f (x) dưới vi phân của f tại x F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị từ X vào Y  .  chuẩn trong không gian Banach  x ∗ ,x  giá trị của x ∗ tại x Mục lục Mở đầu 1 Chương 1. Hàm lồi trên không gian Banach 3 1.1. Tập lồi và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Hàm lồi và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2. Các phép toán về hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3. Tính liên tục của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.4. Tính khả vi của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2. Tính nửa liên tục dưới của hàm lồi 35 2.1. Tính nửa liên tục dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Giải tích lồi là một phân môn quan trọng của Giải tích toán học, nghiên cứu về tập lồi và hàm lồi cùng với những vấn đề liên quan. Giải tích lồi có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng, đặc biệt trong tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng. Hàm lồi và tập lồi đã được nghiên cứu từ lâu, khởi đầu từ những công trình của các nhà toán học như Holder, Jensen, Mazur, Minkowski. Đặc biệt, các kết quả nghiên cứu của Fréchet, Rockafellar, Gâteaux vào các thập niên 60, 70 của thế kỷ trước đã đưa giải tích lồi trở thành một trong những lĩnh vực phát triển mạnh mẽ của toán học. Trong nhiều ứng dụng của hàm lồi, sẽ thích hợp hơn khi ta xem xét hàm lồi nửa liên tục dưới. Tính nửa liên tục dưới của hàm lồi đảm bảo cho sự tồn tại nghiệm của nhiều bài toán trong giải tích lồi và trong tối ưu hóa. Ví dụ như trong nhiều bài toán tối ưu, hàm tìm được thỏa mãn bài toán có dạng cận trên đúng của một họ vô hạn những hàm affine liên tục. Những hàm lồi nửa liên tục dưới cũng cho những kết quả biến đổi một cách tự nhiên về những tập lồi đóng trong những kết quả của hàm lồi và ngược lại. Với mong muốn được tìm hiểu một cách có hệ thống và sâu sắc hơn về các tính chất cũng như một số ứng dụng của giải tích lồi nói chung và hàm lồi nửa liên tục dưới nói riêng nên tôi đã chọn nghiên cứu đề tài : “Tính nửa liên tục dưới của hàm lồi và ứng dụng” 2 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu các tính chất của hàm lồi nửa liên tục dưới. - Một số bài toán ứng dụng của hàm lồi nửa liên tục dưới. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày một cách có hệ thống các tính chất của hàm lồi nửa liên tục dưới và một số bài toán ứng dụng. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Một số tính chất của hàm lồi trong không gian Banach. - Tính nửa liên tục dưới của hàm lồi. - Một số bài toán ứng dụng. 5. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo . - Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài. 6. Những đóng góp mới của đề tài Đề tài nhằm làm rõ hơn những tính chất của hàm lồi nửa liên tục dưới và ứng dụng trong một số bài toán cụ thể. Chương 1 Hàm lồi trên không gian Banach Trong chương này chúng ta sẽ trình bày những khái niệm cơ bản nhất của tập lồi trong không gian Banach và hàm lồi trên không gian Banach cùng với những tính chất đặc trưng của nó. Nếu không có giả thiết gì thêm, trong suốt luận văn này, các không gian Banach luôn được hiểu là không gian Banach thực và được kí hiệu là E. Chuẩn trong các không gian Banach luôn được kí hiệu bởi .. Không gian Banach các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E được kí hiệu là E ∗ . Với x ∗ ∈ E ∗ và x ∈ E, giá trị của x ∗ tại x sẽ được kí hiệu là x ∗ ,x (xem [1], [2]). Nội dung trình bày trong chương này chủ yếu từ [2], [3], [5] và [6]. 1.1. Tập lồi và các tính chất cơ bản Định nghĩa 1.1. Tập D ⊂E được gọi là lồi nếu với mọi x,y ∈D và mọi λ ∈R sao cho 0 ≤λ ≤ 1 thì λ x + (1 −λ)y ∈ D. Định lý 1.1. Giao của một họ tùy ý các tập lồi trong E là một tập lồi trong E. Chứng minh. Giả sử D i ⊂ E (i ∈I) là các tập lồi với I là tập chỉ số bất kì, ta cần chứng minh tập D = ∩ i∈I D i là lồi. Lấy tùy ý x 1 ,x 2 ∈D. Khi đó x 1 ,x 2 ∈D i , với mọi i ∈I. Do D i là lồi cho nên λ x 1 + (1 −λ )x 2 ∈ D i với mọi λ ∈ [0,1], do đó λ x 1 + (1 −λ )x 2 ∈ D. Vì vậy 4 D là tập lồi. Định nghĩa 1.2. Cho A, B là hai tập hợp tuỳ ý trong E và α ∈ R. Ký hiệu A + B = { a + b : a ∈ A, b ∈ B } , αA = { αa : a ∈ A } . Định lý 1.2. Giả sử D i lồi, D i ⊂ E, λ i ∈ R (i = 1,2, ,m). Khi đó λ 1 D 1 + λ 2 D 2 + + λ m D m là lồi. Định nghĩa 1.3. Véctơ x ∈E được gọi là tổ hợp lồi của các véctơ x 1 , ,x m ∈E nếu tồn tại λ i ≥ 0, (i = 1,2, ,m), m ∑ i=1 λ i = 1, sao cho x = m ∑ i=1 λ i x i . Định lý 1.3. Một tập trong E là lồi khi và chỉ khi nó chứa tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử của nó. Tập D lồi trong E khi và chỉ khi: D = {x = m ∑ i=1 λ i x i : x i ∈ D, m ∑ i=1 λ i = 1,λ i ≥ 0, i = 1,m, ∀m ∈ N}. Chứng minh. ⇐) Lấy m = 2, D là tập lồi theo định nghĩa. ⇒) Giả sử D là tập lồi. Lấy tùy ý x 1 ,x 2 , ,x m ∈D, λ 1 , ,λ m ≥0 và m ∑ i=1 λ i = 1 , x = m ∑ i=1 λ i x i . Ta chứng minh x ∈ D bằng quy nạp theo m. Với m = 1 : x 1 ∈ D,λ 1 = 1, khi đó x = x 1 ∈ D. Với m = 2 : x 1 ,x 2 ∈ D,λ 1 + λ 2 = 1 mà D lồi suy ra x = λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ∈ D. Giả sử x ∈ D đúng với m −1 , ta có m ∑ i=1 λ i x i ∈ D, ∀x i ∈ D, m ∑ i=1 λ i = 1,λ i ≥ 0. Xét x = m ∑ i=1 λ i x i = m−1 ∑ i=1 λ i x i + λ m x m . Ta thấy: Nếu λ m = 0 thì x ∈ D theo giả thiết quy nạp. Nếu λ m = 1 thì λ 1 = = λ m−1 = 0 khi đó x = x m ∈ D. 5 Nếu 0 < λ < 1, ta có 1 −λ m = λ 1 + + λ m−1 > 0, λ i 1 −λ m ≥ 0 (i = 1, ,m −1). Vì m−1 ∑ i=1 λ i 1 −λ m = 1, theo giả thiết quy nạp y = m−1 ∑ i=1 x i ∈ D. Từ đó với y ∈ D, x m ∈ D, 1 −λ m > 0 và (1 −λ m ) + λ m = 1, suy ra x = (1 −λ m )y + λ m x m ∈ D (do D là tập lồi). Ví dụ 1.1. Các tập lồi trong R: /0, { x } , (a,b), (a,b], [a,b), [a,b],R. Định lý 1.4. (Định lý Hahn-Banach, Định lý tách (xem [1], [2])) Cho A và B là hai tập lồi trong không gian Banach E, có tính chất A ∩B = /0 và intA = /0. Khi đó A và B có thể tách được bằng một phiếm hàm tuyến tính khác 0, tức ∃x ∗ ∈ E ∗ \{0}, ∀x ∈ A, ∀y ∈ B : x ∗ ,x  x ∗ ,y. 1.2. Hàm lồi và các tính chất 1.2.1. Hàm lồi Định nghĩa 1.4. Cho hàm f : D →R, trong đó D ⊂ E, R = R ∪ { −∞,+∞ } , các tập 6 dom f = { x ∈ D : f (x ) < +∞ } , epi f = { (x,α) ∈ D ×R : f (x) ≤ α } ,α ∈R , được gọi lần lượt là miền hữu hiệu và trên đồ thị của hàm f . Định nghĩa 1.5. Hàm f : D →R được gọi là lồi nếu trên đồ thị của nó là một tập lồi trong D ×R. Nếu dom f = /0 và −∞ < f (x) với mọi x ∈ D ta nói hàm f là chính thường. Ví dụ 1.2. Hàm f : R → R, f (x) = x 2 , là một hàm lồi. Ta có epi f =  (x,α) ∈ R ×R : f (x) = x 2 ≤ α  , là tập lồi trong R ×R. Thật vậy, lấy hai điểm bất kỳ (x 1 ,α 1 ) ∈ epi f , (x 2 ,α 2 ) ∈ epi f , nghĩa là x 2 1  α 1 , x 2 2  α 2 . Ta cần chứng minh λ (x 1 ,α 1 ) + (1 −λ) (x 2 ,α 2 ) ∈ epi f , 0 ≤ λ ≤ 1. Điều này tương đương với (λ x 1 + (1 −λ)x 2 ,λ α 1 + (1 −λ)α 2 ) ∈ epi f ⇔ λ α 1 + (1 −λ)α 2 ≥ (λ x 1 + (1 −λ)x 2 ) 2 ⇔ λ α 1 + (1 −λ)α 2 ≥ λ 2 x 2 1 + (1 −λ) 2 x 2 2 + 2λ(1 −λ)x 1 x 2 . Vì λ α 1 + (1 −λ)α 2 ≥ λ x 2 1 + (1 −λ)x 2 2 , [...]... trên đúng của một họ các hàm lồi là một hàm lồi trên một tập ở đó nó hữu hạn Nói riêng ra, nếu A không rỗng và bị chặn thì hàm khoảng cách lớn nhất : x → sup { x − y : y ∈ A} , A ⊂ E là liên tục và lồi trên D = E Ví dụ 1.8 Hàm f (x) = −∞, với mọi x ∈ R là hàm lồi, nhưng không liên tục trên R 16 1.2.4 Tính khả vi của hàm lồi Định nghĩa 1.8 Cho E là một không gian Banach, D là một tập con lồi mở khác... ≤ M + 2 | f (x0 )| , nghĩa là | f | ≤ M + 2 | f (x0 )| trên B(x0 , r) Hệ quả 1.1 Nếu hàm lồi f là liên tục tại x0 ∈ D thì d + f (x0 ) là một phiếm hàm dưới tuyến tính liên tục trên E, và do đó d f (x0 ) ( khi nó tồn tại ) là một phiếm hàm dưới tuyến tính liên tục Chứng minh Cho x0 ∈ D, tồn tại một lân cận B của x0 và M > 0 sao cho, nếu x ∈ E thì f (x0 + tx) − f (x0 ) ≤ Mt x , nếu như t > 0 đủ nhỏ để... là một hàm lồi liên tục và khả vi Gâteaux tại một điểm thì nó có vi phân và vi phân đó là một phiếm hàm tuyến tính liên tục Đây là một hệ quả được suy ra từ các kết quả sau Nếu x ∈ E và r > 0, quả cầu đóng tâm tại x được ký hiệu B(x, r) = {y ∈ E : x − y ≤ r} Mệnh đề 1.3 Nếu hàm lồi f liên tục tại x0 ∈ D thì nó Lipschitz địa phương tại x0 , nghĩa là tồn tại M > 0 và δ > 0 sao cho B(x0 , δ ) ⊂ D và |... phiếm hàm tuyến tính, Chứng minh điều đó suy ra từ định lí Hahn-Banach: Nếu −p(−x) < p(x), thì các mở rộng của các phiếm hàm tuyến tính nhận p làm trội f1 (rx) = rp(x) và f2 (rx) = −rp(−x) Các phiếm hàm tuyến tính x∗ thỏa mãn (1.4) đóng một vai trò quan trọng trong nghiên cứu hàm lồi và chúng được quan tâm đến một cách đặc biệt Định nghĩa 1.10 Cho f là một hàm lồi xác định trên tập lồi C và x ∈ C Dưới. .. trong E và f là một hàm lồi trên D, nghĩa là f : D → R, thỏa mãn f [tx + (1 − t)y] ≤ t f (x) + (1 − t) f (y), với mọi x, y ∈ D và 0 < t < 1 Nếu đẳng thức trên xảy ra với mọi t ∈ R thì ta gọi f là hàm affine Chúng ta sẽ chỉ nghiên cứu tính khả vi của các hàm lồi trên các tập mở D với giả thiết chúng là các hàm liên tục Các bổ đề sau đây là nền tảng cho việc nghiên cứu tính khả vi của các hàm lồi Bổ đề... E ∗ của E thì gọi là tập đóng yếu* (compact yếu*)(xem [1]) Bổ đề 1.2 Với mọi hàm lồi f , tập ∂ f (x0 ) (có thể rỗng) là lồi và đóng yếu* Mệnh đề 1.5 Nếu hàm lồi f liên tục tại x0 ∈ D thì ∂ f (x0 ) là tập con không rỗng, lồi và compact yếu* của E ∗ Hơn thế, ánh xạ x → ∂ f (x) bị chặn địa phương tại x0 , nghĩa là, tồn tại M > 0 và lân cận U của x0 trong D sao cho x∗ ≤ M, ∀ x ∈ U và x∗ ∈ ∂ f (x) Chứng... chứng minh Kết luận trên không còn đúng trong R2 , ví dụ hàm (x1 , x2 ) → |x1 | không khả vi tại mọi điểm của trục x2 , khả vi hầu khắp nơi và điều này nói chung đúng trong Rn Chú ý rằng chúng ta thu được một tính chất khả vi không cần giả thiết f là liên tục Sự tồn tại của phiếm hàm tuyến tính không liên tục trên không gian Banach vô hạn chiều cho thấy rằng, nói chung tính lồi không kéo theo tính liên. .. Bởi tính đối xứng, ta cũng có f (x ) − f (x) ≤ k x − x Do vậy, với mọi x, x thỏa mãn x ∈ K, x ∈ K | f (x) − f (x )| ≤ k x − x , điều này chứng minh cho tính Lipschitz của f trên K (iv) ⇒ (v) và (v) ⇒ (i) : Hiển nhiên Ví dụ 1.6 Hàm chuẩn f (x) = x là một hàm lồi Tổng quát hơn, nếu D là tập con lồi khác rỗng của E thì hàm khoảng cách: dK (x) = inf { x − y : y ∈ K} , x ∈ E, là liên tục và lồi trên D =... không rỗng của E và ϕ là một hàm liên tục, ϕ : U → F Ta nói rằng ϕ khả vi Gâteaux tại điểm x0 ∈ U nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E đến F (kí hiệu là dϕ(x0 ) ) sao cho dϕ(x0 )(x) = lim t −1 {ϕ(x0 + tx) − ϕ(x0 )} , + t→0 với mỗi x ∈ E (1.6) 24 Người ta có thể nói cách khác định nghĩa trên: ϕ có đạo hàm theo hướng tại x0 theo mọi hướng x và hàm biến x thu được là liên tục và tuyến tính Chúng... không lồi và ta có g không lồi Ví dụ 1.4 Cho hàm chỉ của tập D kí hiệu là δ (.|D) xác định bởi   0 khi x ∈ D δ (x|D) :=  +∞ khi x ∈ D / Nếu D ⊂ E là tập lồi, thì δ (.|D) là hàm lồi Thật vậy, nếu x ∈ D thì epi δ (.|D) = {(x, α) : 0 α} Nếu x ∈ D thì epi δ (.|D) = 0 Như vậy epi δ (.|D) lồi và ta có δ (.|D) là / / hàm lồi 8 Định lý 1.5 Giả sử D là tập lồi trong E, hàm f : D → (−∞, +∞] Khi đó, f lồi . và hàm lồi nửa liên tục dưới nói riêng nên tôi đã chọn nghiên cứu đề tài : Tính nửa liên tục dưới của hàm lồi và ứng dụng 2 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu các tính chất của hàm lồi nửa liên. liên tục dưới. - Một số bài toán ứng dụng của hàm lồi nửa liên tục dưới. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày một cách có hệ thống các tính chất của hàm lồi nửa liên tục dưới và một số bài toán ứng dụng. 4 dụng của hàm lồi, sẽ thích hợp hơn khi ta xem xét hàm lồi nửa liên tục dưới. Tính nửa liên tục dưới của hàm lồi đảm bảo cho sự tồn tại nghiệm của nhiều bài toán trong giải tích lồi và trong tối