Tính nửa liên tục dưới của hàm lồi và ứng dụng

Với mong muốn được tìm hiểu một cách có hệ thống và sâu sắc hơn về các tính chất cũng như một số ứng dụng của giải tích lồi nói chung vàhàm lồi nửa liên tục dưới nói riêng nên tôi đã chọ

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Tác giả xin được bày tỏ lòngbiết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, người đã luônquan tâm, động viên và nhiệt tình hướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiệnluận văn

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong vàngoài nhà trường, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành toán Giải tích đãgiúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Cuối cùng, tác giả xin được cảm ơn tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đãđộng viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn này

Hà Nội, ngày 30 tháng 9 năm 2010

Tác giả

Nguyễn Túc Vinh

LỜI CAM ĐOAN

Tác giả xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu riêng của tác giảdưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

Trong khi nghiên cứu luận văn, tác giả đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, ngày 30 tháng 9 năm 2010

Tác giả

Nguyễn Túc Vinh

dist(x, F) khoảng cách giữa x và F

lp không gian các dãy {xi} : ∑∞

i=1

|xi|p < ∞

l∞ không gian các dãy bị chặn

diam An đường kính của An

f0(x) đạo hàm của f tại x

f0(x; v) đạo hàm theo hướng v của f tại x

∂ f (x) dưới vi phân của f tại x

F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị từ X vào Y

hx∗, xi giá trị của x∗ tại x

Mục lục

1.1 Tập lồi và các tính chất cơ bản 3

1.2 Hàm lồi và các tính chất 5

1.2.1 Hàm lồi 5

1.2.2 Các phép toán về hàm lồi 12

1.2.3 Tính liên tục của hàm lồi 13

1.2.4 Tính khả vi của hàm lồi 16

Chương 2 Tính nửa liên tục dưới của hàm lồi 35 2.1 Tính nửa liên tục dưới 35

2.2 Ứng dụng 41

Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Giải tích lồi là một phân môn quan trọng của Giải tích toán học, nghiêncứu về tập lồi và hàm lồi cùng với những vấn đề liên quan Giải tích lồi cóvai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng, đặcbiệt trong tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng

Hàm lồi và tập lồi đã được nghiên cứu từ lâu, khởi đầu từ những công trìnhcủa các nhà toán học như Holder, Jensen, Mazur, Minkowski Đặc biệt, cáckết quả nghiên cứu của Fréchet, Rockafellar, Gâteaux vào các thập niên 60,

70 của thế kỷ trước đã đưa giải tích lồi trở thành một trong những lĩnh vựcphát triển mạnh mẽ của toán học Trong nhiều ứng dụng của hàm lồi, sẽ thíchhợp hơn khi ta xem xét hàm lồi nửa liên tục dưới Tính nửa liên tục dưới củahàm lồi đảm bảo cho sự tồn tại nghiệm của nhiều bài toán trong giải tích lồi

và trong tối ưu hóa Ví dụ như trong nhiều bài toán tối ưu, hàm tìm được thỏamãn bài toán có dạng cận trên đúng của một họ vô hạn những hàm affineliên tục Những hàm lồi nửa liên tục dưới cũng cho những kết quả biến đổimột cách tự nhiên về những tập lồi đóng trong những kết quả của hàm lồi vàngược lại

Với mong muốn được tìm hiểu một cách có hệ thống và sâu sắc hơn

về các tính chất cũng như một số ứng dụng của giải tích lồi nói chung vàhàm lồi nửa liên tục dưới nói riêng nên tôi đã chọn nghiên cứu đề tài :

“Tính nửa liên tục dưới của hàm lồi và ứng dụng”

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu các tính chất của hàm lồi nửa liên tục dưới

- Một số bài toán ứng dụng của hàm lồi nửa liên tục dưới

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày một cách có hệ thống các tính chất của hàm lồi nửa liên tục dưới

và một số bài toán ứng dụng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Một số tính chất của hàm lồi trong không gian Banach

- Tính nửa liên tục dưới của hàm lồi

- Một số bài toán ứng dụng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo

- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài

6 Những đóng góp mới của đề tài

Đề tài nhằm làm rõ hơn những tính chất của hàm lồi nửa liên tục dưới vàứng dụng trong một số bài toán cụ thể

Chương 1

Hàm lồi trên không gian Banach

Trong chương này chúng ta sẽ trình bày những khái niệm cơ bản nhất củatập lồi trong không gian Banach và hàm lồi trên không gian Banach cùng vớinhững tính chất đặc trưng của nó Nếu không có giả thiết gì thêm, trong suốtluận văn này, các không gian Banach luôn được hiểu là không gian Banachthực và được kí hiệu là E Chuẩn trong các không gian Banach luôn được kíhiệu bởi k.k Không gian Banach các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên Eđược kí hiệu là E∗ Với x∗ ∈ E∗ và x ∈ E, giá trị của x∗ tại x sẽ được kí hiệu

là hx∗, xi (xem [1], [2]) Nội dung trình bày trong chương này chủ yếu từ [2],[3], [5] và [6]

1.1 Tập lồi và các tính chất cơ bản

Định nghĩa 1.1 Tập D ⊂ E được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ D và mọi λ ∈ R

sao cho 0 ≤ λ ≤ 1 thì λ x + (1 − λ )y ∈ D

Định lý 1.1 Giao của một họ tùy ý các tập lồi trong E là một tập lồi trong E.

Chứng minh. Giả sử Di⊂ E (i ∈ I) là các tập lồi với I là tập chỉ số bất kì, tacần chứng minh tập D = ∩

i∈IDilà lồi

Lấy tùy ý x1, x2 ∈ D Khi đó x1, x2∈ Di, với mọi i ∈ I Do Dilà lồi cho nên

λ x1+ (1 − λ )x2 ∈ Di với mọi λ ∈ [0, 1], do đó λ x1+ (1 − λ )x2 ∈ D Vì vậy

Định lý 1.3 Một tập trong E là lồi khi và chỉ khi nó chứa tất cả các tổ hợp

lồi của các phần tử của nó Tập D lồi trong E khi và chỉ khi:

Chứng minh ⇐)Lấy m = 2, D là tập lồi theo định nghĩa

⇒) Giả sử D là tập lồi Lấy tùy ý x1, x2, , xm∈ D, λ1, , λm≥ 0 và ∑m

/0, {x} , (a, b), (a, b] , [a, b) , [a, b] , R.

Định lý 1.4 (Định lý Hahn-Banach, Định lý tách (xem [1], [2])) Cho A và B

là hai tập lồi trong không gian Banach E, có tính chất A ∩ B = /0 và intA 6= /0.Khi đó A và B có thể tách được bằng một phiếm hàm tuyến tính khác 0, tức

dom f = {x ∈ D : f (x) < +∞} ,epi f = {(x, α) ∈ D × R : f (x) ≤ α} , α ∈ R ,được gọi lần lượt là miền hữu hiệu và trên đồ thị của hàm f

Định nghĩa 1.5 Hàm f : D → R được gọi là lồi nếu trên đồ thị của nó là một

tập lồi trong D × R Nếu dom f 6= /0 và −∞ < f (x) với mọi x ∈ D ta nói hàm

là tập lồi trong R × R

Thật vậy, lấy hai điểm bất kỳ (x1, α1) ∈ epi f , (x2, α2) ∈ epi f , nghĩa là

x21 6 α1, x22 6 α2

Ta cần chứng minh λ (x1, α1) + (1 − λ ) (x2, α2) ∈ epi f , 0 ≤ λ ≤ 1.Điều này tương đương với

(λ x1+ (1 − λ )x2, λ α1+ (1 − λ )α2) ∈ epi f

⇔ λ α1+ (1 − λ )α2 ≥ (λ x1+ (1 − λ )x2)2

⇔ λ α1+ (1 − λ )α2 ≥ λ2x21+ (1 − λ )2x22+ 2λ (1 − λ )x1x2

Vì λ α1+ (1 − λ )α2 ≥ λ x21+ (1 − λ )x22,

λ x12+ (1 − λ )x22 ≥ λ2x21+ (1 − λ )2x22+ 2λ (1 − λ )x1x2

⇔ (λ − λ2)x21+

(1 − λ ) − (1 − λ )2

epi g=

n(x, α) ∈ R × R : g(x) = x3 ≤ αo,không lồi trong R × R

Thật vậy, ta có thể lấy hai điểm bất kỳ, chẳng hạn ta lấy (0, 0) ∈ epi g,(−1, −1) ∈ epi g, lấy λ = 1

2 khi đó

λ (0, 0) + (1 − λ )(−2, −2) = 1

2(0, 0) +1

2(−2, −2) = (−1, −1) ,không thuộc epi g Vậy epi g không lồi và ta có g không lồi

Ví dụ 1.4 Cho hàm chỉ của tập D kí hiệu là δ (.|D) xác định bởi

Nếu D ⊂ E là tập lồi, thì δ (.|D) là hàm lồi

Thật vậy, nếu x ∈ D thì epi δ (.|D) = {(x, α) : 0 6 α}

Nếu x /∈ D thì epi δ (.|D) = /0 Như vậy epi δ (.|D) lồi và ta có δ (.|D) làhàm lồi

Định lý 1.5 Giả sử D là tập lồi trong E, hàm f : D → (−∞, +∞] Khi đó, f

lồi trên D khi và chỉ khi

f(λ x + (1 − λ )y) ≤ λ f (x) + (1 − λ ) f (y), (1.1)

∀λ ∈ [0, 1], ∀x, y ∈ D

Chứng minh ⇒) Giả sử f là hàm lồi, ta có thể xem như λ ∈ (0, 1) vì với

λ ∈ {0, 1} thì (1.1) hiển nhiên đúng

Lấy r = f (x), s = f (y) Không thể xảy ra trường hợp f (x) < +∞, f (y) < +∞

mà f (λ x + (1 − λ )y) = +∞ bởi vì dom f lồi, với x, y ∈ dom f thì

[x, y] ∈ dom f Do λ ∈ (0, 1) nên f (x) = +∞, suy ra λ f (x) = +∞ Nếu x hoặc

ykhông thuộc dom f thì f (x) = +∞ hoặc f (y) = +∞ và (1.1) đúng

Vì epi f lồi, với mọi (x, r) ∈ epi f , (y, s) ∈ epi f và λ ∈ (0, 1) ta có

(λ x + (1 − λ )y, λ r + (1 − λ )s) ∈ epi f Vậy

λ (x, r) + (1 − λ )(y, s) ∈ e pi f

Định lý 1.6 Giả sử f : E → (−∞, +∞] Khi đó f là một hàm lồi khi và chỉ

khi với mọi λi≥ 0(i = 1, , k), ∑k

i=1

λi= 1, mọi x1, , xk ∈ R ta có

f(λ1x1+ + λkxk) ≤ λ1f(x1) + + λkf(xk) (1.2)

Chứng minh. Không giảm tổng quát, giả sử λi ≥ 0 (i = 1, , k) Ta có, nếu

xi∈ dom f thì f (x/ i) = +∞, λif(xi) = +∞ Khi đó (1.2) hiển nhiên đúng

Do dom f lồi nên nếu f (xi) < +∞, i = 1, , k thì

Định nghĩa 1.6 Một hàm f xác định trên E được gọi là thuần nhất dương

nếu f (λ x) = λ f (x) với mọi x ∈ E, mọi λ > 0

Định lý 1.7 Hàm thuần nhất dương f : E → (−∞, +∞] là lồi khi và chỉ khi

λ (x1, r1) + (1 − λ )(x2, r2) ∈ epi f ,với mọi λ ∈ [0, 1]

Vậy epi f là lồi và ta có f là hàm lồi

Định lý 1.8 Một hàm thực một biến f : (a, b) → R khả vi trong một khoảng

mở (a, b) ⊂ R lồi khi và chỉ khi đạo hàm f0(x) là hàm tăng

Chứng minh ⇒) Lấy x < y < z với x, y, z ∈ (a, b) Vì hàm f lồi và

y= z− y

z− xx+

y− x

z− xz,

f0(x) ≤ f(z) − f (x)

z− x ≤ f

0(z),suy ra f0tăng

⇐) Vì f0 tăng nên với mọi [x, y] ⊂ [a, b] và mọi λ ∈ (0, 1) ta có

0 ≤ λ

Z y x

suy ra f lồi

Định lý 1.9 Một hàm f : D → R hai lần khả vi trong một tập lồi mở D ⊂ Rn

lồi nếu tại mọi x ∈ D ma trận Hessian

Q(x) = (qij(x)) với qij(x) = ∂

2f

∂ xi∂ xj

(x1, , xn)

nửa xác định dương: Q(x)  0, tức là hv, Q(x)vi ≥ 0 với mọi v ∈ Rn.

1.2.2 Các phép toán về hàm lồi

Định lý 1.10 Cho f : E → (−∞, +∞] là một hàm lồi và g : R → (−∞, +∞]

là một hàm lồi không giảm Khi đó h(x) = g( f (x)) cũng lồi

Chứng minh.Với mọi x1, x2 ∈ E, λ ∈ (0, 1), do f lồi và g lồi, không giảm:







0 x∈ B+∞ x∈ B./

Ta có f và g là các hàm lồi, chính thường

Hàm f + g lồi không chính thường nếu A ∩ B = /0

Thật vậy, f + g lồi theo Định lý (1.5) , ta chứng minh f + g không chính

thường Ta có:

Nếu x ∈ A thì x /∈ B khi đó g(x) = +∞ nên

( f + g)(x) = f (x) + g(x) = +∞,suy ra x /∈ dom ( f + g)

Nếu x ∈ B thì x /∈ A khi đó f (x) = +∞ nên

( f + g)(x) = f (x) + g(x) = +∞,suy ra x /∈ dom ( f + g)

Vậy dom ( f + g) = /0, do đó f + g lồi không chính thường

1.2.3 Tính liên tục của hàm lồi

Định nghĩa 1.7 Cho E là không gian Banach.

1) Ta nói rằng f là hàm Lipschitz trên tập D ⊂ E, nếu tồn tại số k sao cho

Mệnh đề 1.2 Một hàm lồi chính thường f trên E là liên tục tại mỗi điểm

trong của miền hữu hiệu của nó

Định lý 1.12 Cho một hàm lồi chính thường f trên E Ta có các khẳng định

sau là tương đương:

i) f là liên tục tại điểm x0 ∈ E,

ii) f là bị chặn trên tại lân cận của x0 ∈ E,

iii) int(epi f ) 6= /0,

iv) int(dom f ) 6= /0 và f là Lipschitz trên mỗi tập bị chặn chứa trong int(dom f ),v) int(dom f ) 6= /0 và f là liên tục trên int(dom f )

Ở đây int(epi f ) = {(x, α) ∈ E × R : x ∈ int(dom f ), f (x) < α}

Chứng minh [(i) ⇒ (ii)]Nếu f là liên tục tại một điểm x0 thì tồn tại một lâncận U của x0 thỏa mãn f (x) < f (x0) + 1 với mọi x ∈ U

[(ii) ⇒ (iii)] Từ giả thiết suy ra tồn tại lân cận U của x0 và c > 0 sao cho

f(x) ≤ c, với mọi x ∈ U Đặt

V = {(x, α) ∈ E × R : x ∈ U, α > c} ,

ta có V ⊂ epi f và V là tập mở, nên ta suy ra int(epi f ) 6= /0

[(iii) ⇒ (iv)] Nếu int(epi f ) 6= /0 thì tồn tại một tập mở U và một khoảng mở

I ⊂ R thỏa mãn U × I ⊂ epi f , do đó U ⊂ dom f , tức là int(dom f ) 6= /0 Xéttập compact bất kì K ⊂ int(dom f ) và lấy B là hình cầu đơn vị trong E Vớimỗi r > 0, tập K + rB là compact, và họ những tập đóng

{(K + rB) \ int(dom f ) r > 0}

có giao là rỗng Trong biểu diễn của tính compact của K + rB một họ conhữu hạn của những họ này phải có giao bằng rỗng, do đó với r > 0 ta phải có

(K + rB)\int(dom f ) = /0, nghĩa là (K + rB) ⊂ int(dom f ) Từ Mệnh đề (1.2),

hàm f là liên tục trên int(dom f ) Kí hiệu µ1 và µ2 là cực đại và cực tiểu của

f trên K + rB Lấy x, x0 là hai điểm phân biệt trong K và lấy

z= x +r(x − x

0)

kx − x0k.Khi đó

z∈ C + εB ⊂ int(dom f )

| f (x) − f (x0)| ≤ k x− x0 ,điều này chứng minh cho tính Lipschitz của f trên K.

(iv) ⇒ (v) và (v) ⇒ (i) : Hiển nhiên

Ví dụ 1.6 Hàm chuẩn f (x) = kxk là một hàm lồi Tổng quát hơn, nếu D là

tập con lồi khác rỗng của E thì hàm khoảng cách:

dK(x) = inf {kx − yk : y ∈ K} , x ∈ E,

là liên tục và lồi trên D = E (Chú ý dK(x) = kxk nếu K = {0} )

Ví dụ 1.7 Cận trên đúng của một họ các hàm lồi là một hàm lồi trên một tập

ở đó nó hữu hạn Nói riêng ra, nếu A không rỗng và bị chặn thì hàm khoảngcách lớn nhất :

x→ sup {kx − yk : y ∈ A} , A ⊂ E

là liên tục và lồi trên D = E

Ví dụ 1.8 Hàm f (x) = −∞, với mọi x ∈ R là hàm lồi, nhưng không liên tục

trên R

1.2.4 Tính khả vi của hàm lồi

Định nghĩa 1.8 Cho E là một không gian Banach, D là một tập con lồi mở

khác rỗng trong E và f là một hàm lồi trên D, nghĩa là

f : D → R,thỏa mãn

f [tx + (1 − t)y] ≤ t f (x) + (1 − t) f (y),với mọi x, y ∈ D và 0 < t < 1

Nếu đẳng thức trên xảy ra với mọi t ∈ R thì ta gọi f là hàm affine

Chúng ta sẽ chỉ nghiên cứu tính khả vi của các hàm lồi trên các tập mở D vớigiả thiết chúng là các hàm liên tục

Các bổ đề sau đây là nền tảng cho việc nghiên cứu tính khả vi của các hàmlồi

Bổ đề 1.1 Nếu x0 ∈ D, thì với mọi x ∈ E đạo hàm theo hướng bên phải

d+f(x0) = lim

t→0 +

f(x0+ tx) − f (x0)

tồn tại và xác định một phiếm hàm dưới tuyến tính trên E

Chứng minh.Lưu ý rằng với D là tập mở, f (x0+ tx) đã được định nghĩa với t

đủ nhỏ thỏa mãn t > 0 Để cho tiện, chúng ta có thể giả thiết rằng x0 = 0 và

f(x0) = 0 Nếu 0 < t < δ , thì do tính lồi của f ta có:

là không giảm khi t → 0+ Hơn nữa, cũng do tính lồi, với t > 0

và lấy giới hạn khi t → 0+

Định nghĩa 1.9 Hàm lồi f được gọi là khả vi Gâteaux tại x0 ∈ D nếu giớihạn

d f(x0)(x) = lim

t→0

f(x0+ tx) − f (x0)

tồn tại với mọi x ∈ E Khi đó, hàm d f (x0) được gọi là đạo hàm Gâteaux (hoặc

vi phân Gâteaux) của f tại x0

Từ định nghĩa (đòi hỏi phải có sự tồn tại giới hạn hai phía) ta thấy rằng fkhả vi Gâteaux tại x0 nếu và chỉ nếu

−d+f(x0)(−x) = d+f(x0)(x), với mọi x ∈ E

Vì phiếm hàm dưới tuyến tính p là tuyến tính nếu và chỉ nếu p (−x) = −p (x)với mọi x, điều đó chứng tỏ f là khả vi Gâteaux tại x0 nếu và chỉ nếu

x→ d+f(x0)(x) là tuyến tính trong tại x Nói riêng ra, nếu điều đó là đúng,

f(x0)(x) là một phiếm hàm tuyến tính trên E

Ví dụ 1.9 Nếu f là một phiếm hàm tuyến tính trên E (không nhất thiết liên

tục) thì d f (x0)(x) = f (x) với tất cả x0 và x Ví dụ về một phiếm hàm tuyếntính không liên tục trên một không gian tuyến tính chuẩn: giả sử f (x) = x0(0),với x thuộc không gian các hàm đa thức trên [−1, 1] với chuẩn cận trên đúng.(Dễ dàng xây dựng dãy các hàm đa thức xn hội tụ đều tới 0 sao cho x0n(0) = 1với mọi n) Ta có hàm x → d f (x0)(x) không liên tục

Ví dụ 1.10 Chuẩn kxk =

n

∑

i=1

|x| trong l1 là khả vi Gâteaux tại những điểm

x= xn với xn 6= 0 với mọi n Trong trường hợp này, vi phân Gâteaux là dãy

bị chặn (sgn xn) ∈ l∞ Chuẩn trong l1(Γ) ( Γ- không đếm được) là không khả

vi Gâteaux tại bất kì điểm nào

Chứng minh.Nếu x ∈ l1 và xn = 0 với một n nào đó Giả sử

δn = (0, 0, , 0, 1, 0, ),

là dãy mà ngoài thành phần thứ n bằng 1, các thành phần khác đều bằng 0

Ta có

kx + tδnk1− kxk1= |t| Như vậy, bằng cách chia cả hai vế cho t, ta thấy giới hạn (2 phía) không tồntại khi t → 0

Lưu ý này chỉ ra cách chứng minh khẳng định thứ hai, vì bất kì phần tử nàocủa l1(Γ) đều triệt tiêu tại tất cả, trừ một số đếm được các phần tử của Γ ).Mặt khác, giả sử rằng đối với mọi n, xn 6= 0, ε > 0 và y ∈ l1 Ta có thể chọn

N > 0 sao cho

∑n>N|yn| < ε

2.

Nếu f là một hàm lồi liên tục và khả vi Gâteaux tại một điểm thì nó có viphân và vi phân đó là một phiếm hàm tuyến tính liên tục Đây là một hệ quảđược suy ra từ các kết quả sau

Nếu x ∈ E và r > 0, quả cầu đóng tâm tại x được ký hiệu

B(x, r) = {y ∈ E : kx − yk ≤ r}

Mệnh đề 1.3 Nếu hàm lồi f liên tục tại x0 ∈ D thì nó Lipschitz địa phươngtại x0, nghĩa là tồn tại M > 0 và δ > 0 sao cho B(x0, δ ) ⊂ D và

| f (x) − f (y)| ≤ M kx − yk với mọi x, y ∈ B(x0, δ )

Chứng minh. Vì f liên tục tại x0, f bị chặn địa phương tại đó, nghĩa là tồntại M1 > 0 và δ > 0 sao cho | f | ≤ M1trên B(x0, 2δ ) ⊂ D Nếu x, y là haiđiểm phân biệt của B(x0, δ ), đặt α = kx − yk và z = y + δ

là một tổ hợp lồi nằm trong B(x0, 2δ ), ta có

f(y) ≤ α

(α + δ ) f (z) +

δ(α + δ ) f (x).

Nếu f ≤ M trên hình cầu B(x0, r), thì với mọi x ∈ B(x0, r), ta có

Hệ quả 1.1 Nếu hàm lồi f là liên tục tại x0 ∈ D thì d+f(x0) là một phiếmhàm dưới tuyến tính liên tục trên E, và do đó d f (x0) ( khi nó tồn tại ) là mộtphiếm hàm dưới tuyến tính liên tục

Chứng minh.Cho x0∈ D, tồn tại một lân cận B của x0 và M > 0 sao cho, nếu

x∈ E thì

f(x0+ tx) − f (x0) ≤ Mt kxk ,nếu như t > 0 đủ nhỏ để x0+ tx ∈ B Như vậy, với mọi điểm x ∈ E chúng ta

có d+f(x0)(x) 6 Mkxk Điều đó kéo theo d+f(x0) là liên tục

Mệnh đề 1.4 Hàm lồi liên tục f là khả vi Gâteaux tại x0 nếu và chỉ nếu tồntại duy nhất phiếm hàm đơn trị x∗ trong E∗ thỏa mãn

hx∗, x − x0i ≤ f (x) − f (x0), x∈ D (1.4)Hoặc một cách tương đương

hx∗, yi ≤ d+f(x0)(y), y∈ E (1.5)

Chứng minh.Đầu tiên ta chứng tỏ rằng (1.4) và (1.5) là tương đương Nếu

x∗ ∈ E∗ thỏa mãn (1.4) thì với bất kì y ∈ E ta có x0+ ty ∈ D với t > 0 đủ nhỏ

Do đó

t hx∗, yi = hx∗, (x0+ ty) − x0i ≤ f (x0+ ty) − f (x0),

và dẫn đến x∗ thỏa mãn (1.5) Đảo lại, nếu x∗ thỏa mãn (1.5) thì

x0+ t (x − x0) ∈ D nếu 0 < t ≤ 1,trong đó y = x − x0 Như vậy

hx∗, x − x0i ≤ d+f(x0)(x − x0) ≤ t−1[ f (x0+ t(x − x0)) − f (x0)] ,với t = 1, ta có (1.4) Nếu d f (x0) tồn tại, thì như chúng ta đã thấy ở trên

d f(x0)(x − x0) ≤ f (x) − f (x0)

Do vậy d f (x0) thỏa mãn (1.4) Hơn thế, nếu x∗ thỏa mãn (1.4) thì nó thỏamãn (1.5) Tính chất tuyến tính của d+f(x0) = d f (x0) kéo theo x∗ = d f (x0).Đảo lại, giả sử rằng x∗ là phần tử duy nhất của E∗ thỏa mãn (1.4), do đó làphần tử duy nhất thỏa mãn (1.5) Bây giờ chúng ta áp dụng sự kiện tổng quát

là, nếu một phiếm hàm dưới tuyến tính liên tục p làm trội đúng thực sự một

phiếm hàm tuyến tính thì p là tuyến tính.

Thật vậy, nếu p không tuyến tính thì nó làm trội nhiều phiếm hàm tuyến tính,Chứng minh điều đó suy ra từ định lí Hahn-Banach: Nếu −p(−x) < p(x), thìcác mở rộng của các phiếm hàm tuyến tính nhận p làm trội

f1(rx) = r p(x) và f2(rx) = −r p(−x)

Các phiếm hàm tuyến tính x∗ thỏa mãn (1.4) đóng một vai trò quan trọngtrong nghiên cứu hàm lồi và chúng được quan tâm đến một cách đặc biệt

Định nghĩa 1.10 Cho f là một hàm lồi xác định trên tập lồi C và x ∈ C

Dưới vi phân của f tại x là tập ∂ f (x) gồm mọi x∗∈ E∗ thỏa mãn

hx∗, y − xi ≤ f (y) − f (x) với mọi y ∈ C

Lưu ý rằng, điều vừa nêu có thể phát biểu rằng hàm affine x∗+ α với

α = f (x) − hx∗, xi , được làm trội bởi f và bằng nhau tại y = x

Theo lập luận của Hahn-Banach mà chúng ta đã sử dụng ở trên, dễ dàngchứng tỏ rằng, nếu f liên tục tại x0 thì ∂ f (x0) không rỗng, d+f(x0) liên tục

và dưới tuyến tính, do vậy là tồn tại x∗ sao cho

hx∗, yi ≤ d+f(x0)(y),với mọi y ∈ E Do tỷ số sai phân bên phải của d+f(x0) là giảm, bằng cáchthay thế y bởi y − x0 và lấy t = 1, ta có

hx∗, y − x0i ≤ d+f(x0)(y − x0) ≤ f ((y − x0) + x0) − f (x0),

với mọi y ∈ C

Như chúng ta sẽ thấy sau, ∂ f (x0) có thể không rỗng với hàm lồi f không liêntục tại x0

Định nghĩa 1.11 Tập A ⊂ E mà là compact theo tôpô yếu trong E gọi là tập

compact yếu Tập A đóng (compact) theo tôpô yếu* trong không gian liênhợp E∗ của E thì gọi là tập đóng yếu* (compact yếu*)(xem [1])

Bổ đề 1.2 Với mọi hàm lồi f , tập ∂ f (x0) (có thể rỗng) là lồi và đóng yếu*

Mệnh đề 1.5 Nếu hàm lồi f liên tục tại x0 ∈ D thì ∂ f (x0) là tập con khôngrỗng, lồi và compact yếu* của E∗ Hơn thế, ánh xạ x → ∂ f (x) bị chặn địaphương tại x0, nghĩa là, tồn tại M > 0 và lân cận U của x0 trong D sao cho

kx∗k ≤ M, ∀ x ∈ U và x∗∈ ∂ f (x)

Chứng minh. Thật vậy, với ∂ f (x0) là không rỗng, đóng yếu* và lồi suy ra từ

Bổ đề (1.2) vừa nêu Tính compact yếu* suy ra từ định lí Alaoglu (xem [1],

tr 83) Vì, theo Mệnh đề (1.3), f là Lipschitz địa phương tại x0, tồn tại M > 0

và lân cận U của x sao cho

| f (y) − f (x)| ≤ M ky − xk ,với mọi x, y ∈ U Nếu x ∈ U và x∗ ∈ ∂ f (x) , thì với mọi y ∈ U ta có

hx∗, y − xi < f (y) − f (x) ≤ M ky − xk ,suy ra kx∗k ≤ M

Định nghĩa 1.12 Giả sử E, F là hai không gian Banach, U là tập con mở

không rỗng của E và ϕ là một hàm liên tục, ϕ : U → F Ta nói rằng ϕ khả viGâteaux tại điểm x0 ∈ U nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E đến

F (kí hiệu là dϕ(x0) ) sao cho

dϕ(x0)(x) = lim

t→0 +t−1{ϕ(x0+ tx) − ϕ(x0)} , (1.6)với mỗi x ∈ E

Người ta có thể nói cách khác định nghĩa trên: ϕ có đạo hàm theo hướngtại x0 theo mọi hướng x và hàm biến x thu được là liên tục và tuyến tính.Chúng ta nói rằng ϕ là khả vi Fréchet tại x0∈ U nếu tồn tại một ánh xạ tuyếntính liên tục từ E tới F (kí hiệu bởi ϕ0(x0)) để với mọi ε > 0, ∃δ > 0 sao cho

ϕ (x0+ x) − ϕ(x0) − ϕ0(x0)(x) ≤ ε kxk , (1.7)với mọi kxk < δ Chúng ta gọi ϕ0(x0) là vi phân Fréchet (hoặc đạo hàmFréchet) của ϕ

Từ thời điểm này, chúng ta sẽ luôn giả thiết các hàm xét đến là liên tục.Như vậy đạo hàm Gâteaux và Fréchet sẽ là những ánh xạ tuyến tính liên tục

từ E vào R , nghĩa là chúng thuộc E∗

Lưu ý:

a) Nếu f là một hàm liên tục và khả vi Fréchet tại x0, thì nó là khả vi Gâteaux

ở đó và ϕ0(x0) = dϕ(x0) Để thấy điều đó, thay thế x trong (1.7) bằng tx, cốđịnh x và cho t → 0+ Vì giới hạn là duy nhất, toán tử dϕ(x0) xác định duynhất, do đó ϕ0(x0) là duy nhất

b) Lưu ý rằng ϕ là hàm khả vi Fréchet tại x0 nếu nó là khả vi Gâteaux ở đó

và giới hạn trong (1.6) đều tồn tại với kxk ≤ 1 khi t → 0+

Ví dụ 1.11 Hàm chuẩn trong l1 không khả vi Fréchet tại bất kì điểm nào

Chứng minh.Chúng ta chỉ cần xét điểm x = (xn) với xn6= 0, ∀n Với x đã chonhư thế, với mỗi m ≥ 1 đặt

ym= (0, 0, , 0, −2xm, −2xm+1, −2xm+2, ) Khi đó kymk1 → 0 khi m → ∞

Hiển nhiên chỉ có thể dãy (sgn xn) là có khả năng là vi phân Fréchet

∑n≥m(−2 |xn|) ... 1.1 Nếu hàm lồi f liên tục x0 ∈ D d+f(x0) phiếmhàm tuyến tính liên tục E, d f (x0) ( tồn ) mộtphiếm hàm tuyến tính liên tục

Chứng minh.Cho... ϕ0(x0) vi phân Fréchet (hoặc đạo hàmFréchet) ϕ

Từ thời điểm này, giả thiết hàm xét đến liên tục. Như đạo hàm Gâteaux Fréchet ánh xạ tuyến tính liên tục

từ E vào R , nghĩa chúng thuộc E∗... tuyến tính p tuyến tính.

Thật vậy, p khơng tuyến tính làm trội nhiều phiếm hàm tuyến tính, Chứng minh điều suy từ định lí Hahn-Banach: Nếu −p(−x) < p(x), thìcác mở rộng phiếm hàm tuyến tính