Tính nửa liên tục dưới của hàm lồi và ứng dụng

LèI CÃM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cúa PGS.TS Nguyen Năng Tâm Tác giá xin đưoc bày tó lòng biet ơn chân thành, sâu sac tói PGS.TS Nguyen Năng Tâm, ngưòi ln quan tâm, đ®ng viên nhi¾t tình hưóng dan tác giá q trình thnc hi¾n lu¾n văn Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói thay giáo ngồi nhà trưòng, thay giáo giáng day chun ngành tốn Giái tích giúp đõ tác giá suot q trình hoc t¾p hồn thành lu¾n văn Cuoi cùng, tác giá xin đưoc cám ơn túi gia ỡnh, ban bố v ong nghiắp ó đng viên tao moi đieu ki¾n thu¾n loi đe tác giỏ hon thnh luắn ny H Nđi, ngy 30 tháng năm 2010 Tác giá Nguyen Túc Vinh LèI CAM ĐOAN Tác giá xin cam đoan lu¾n văn cơng trình nghiên cúu riêng cúa tác giá dưói sn hưóng dan cúa PGS.TS Nguyen Năng Tâm Trong nghiên cúu lu¾n văn, tác giá ke thùa thành khoa hoc cúa nhà khoa hoc đong nghi¾p vói sn trân biet ơn Hà N®i, ngày 30 tháng năm 2010 Tác giá Nguyen Túc Vinh BÃNG KÍ HIfiU R đưòng thang thnc Rn khơng gian Euclid n - chieu R = R ∪ {−∞, +∞} so thnc suy rđng f :DR ỏnh xa i tù D vào R E∗ không gian liên hop cúa E B (x, r) hình cau đóng tâm x, bán kính r dist(x, F) khống cách giua x F l l p ∞ ∞ p không gian dãy {xi} : ∑ |xi| < ∞ i=1 không gian dãy b% ch¾n sgn xn dau cúa xn int Ω phan cúa Ω diam An đưòng kính cúa An dom f mien huu hi¾u cúa f epi f f t(x) đo th% cúa f đao hàm cúa f tai x f t(x; v) đao hàm theo hưóng v cúa f tai x ∂ f (x) dưói vi phân cúa f tai x F :X ⇒Y ánh xa đa tr% tù X vào Y "." chuan không gian Banach (x∗, x) giá tr% cúa x∗ tai x Mnc lnc Mé đau Chương Hàm loi không gian Banach 1.1 T¾p loi tính chat bán 1.2 Hàm loi tính chat 1.2.1 Hàm loi 1.2.2 Các phép toán ve hàm loi .12 1.2.3 Tính liên tnc cúa hàm loi 13 1.2.4 Tính vi cúa hàm loi 16 Chương Tính nNa liên tnc dưéi cúa hàm loi 35 2.1 Tính núa liên tnc dưói 35 2.2 Úng dnng .41 Ket lu¾n 56 Tài li¾u tham kháo 57 Me ĐAU Lí chon đe tài Giái tích loi m®t phân mơn quan cúa Giái tích tốn hoc, nghiên cúu ve t¾p loi hàm loi vói nhung van đe liên quan Giái tích loi có vai trò quan trong nhieu lĩnh vnc khác cúa tốn hoc úng dnng, đ¾c bi¾t toi ưu hóa, bat thúc bien phân, tốn cân bang Hàm loi t¾p loi đưoc nghiên cúu tù lâu, khói đau tù nhung cơng trình cúa nhà tốn hoc Holder, Jensen, Mazur, Minkowski Đ¾c bi¾t, ket nghiên cúu cúa Fréchet, Rockafellar, Gâteaux vào th¾p niên 60, 70 cúa the ký trưóc đưa giái tích loi tró thành m®t nhung lĩnh vnc phát trien manh me cúa toán hoc Trong nhieu úng dnng cúa hàm loi, se thích hop ta xem xét hàm loi núa liên tnc dưói Tính núa liên tnc dưói cúa hàm loi đám báo cho sn ton tai nghi¾m cúa nhieu tốn giái tích loi toi ưu hóa Ví dn nhieu tốn toi ưu, hàm tìm đưoc thóa mãn tốn có dang c¾n cúa m®t ho vơ han nhung hàm affine liên tnc Nhung hàm loi núa liên tnc dưói cho nhung ket bien đoi m®t cách tn nhiên ve nhung t¾p loi đóng nhung ket q cúa hàm loi ngưoc lai Vói mong muon đưoc tìm hieu mđt cỏch cú hắ thong v sõu sac hn ve tính chat m®t so úng dnng cúa giái tích loi nói chung hàm loi núa liên tnc dưói nói riêng nên tơi chon nghiên cúu đe tài : “Tính nNa liên tnc dưéi cúa hàm loi Nng dnng” 2 Mnc đích nghiên cNu - Nghiên cúu tính chat cúa hàm loi núa liên tnc dưói - M®t so tốn úng dnng cúa hàm loi núa liên tnc dưói Nhi¾m nghiờn cNu Trỡnh by mđt cỏch cú hắ thong cỏc tính chat cúa hàm loi núa liên tnc dưói m®t so tốn úng dnng Đoi tưeng pham vi nghiên cNu - M®t so tính chat cúa hàm loi khơng gian Banach - Tính núa liên tnc dưói cúa hàm loi - M®t so tốn úng dnng Phương pháp nghiên cNu - Nghiên cúu lý lu¾n, tài li¾u chuyên kháo - Tong hop kien thúc, v¾n dnng cho mnc đích nghiên cúu đe tài NhĐng đóng góp méi cúa đe tài Đe tài nham làm rõ nhung tính chat cúa hàm loi núa liên tnc dưói úng dnng m®t so toán cn the Chương Hàm loi không gian Banach Trong chương se trình bày nhung khái ni¾m bán nhat cúa t¾p loi không gian Banach hàm loi không gian Banach vói nhung tính chat đ¾c trưng cúa Neu khơng có giá thiet thêm, suot lu¾n văn này, khơng gian Banach ln đưoc hieu khơng gian Banach thnc đưoc kí hi¾u E Chuan khơng gian Banach ln đưoc kí hi¾u bói "." Khơng gian Banach phiem hàm tuyen tính liên tnc E đưoc kí hi¾u E ∗ Vói x∗ ∈ E ∗ x ∈ E, giá tr % cúa x∗ tai x se đưoc kớ hiắu l (x, x) (xem [1], [2]) Nđi dung trình bày chương yeu tù [2], [3], [5] [6] 1.1 T¾p loi tính chat bán Đ%nh nghĩa 1.1 T¾p D ⊂ E đưoc goi loi neu vói moi x, y ∈ D moi λ ∈R cho ≤ λ ≤ λx + (1 −λ )y ∈ D Đ%nh lý 1.1 Giao cỳa mđt ho tựy ý cỏc loi E l mđt loi E Chỳng minh Giá sú Di ⊂ E (i ∈ I) t¾p loi vói I t¾p chí so bat kì, ta can chúng minh t¾p D = ∩ Di loi ∈ i I Lay tùy ý x1, x2 ∈ D Khi x1, x2 ∈ Di, vói moi i ∈ I Do Di loi λ x1 + (1 − λ )x2 ∈ Di vói moi λ ∈ [0, 1], λ x1 + (1 − λ )x2 ∈ D Vì v¾y D t¾p loi Đ%nh nghĩa 1.2 Cho A, B hai t¾p hop tuỳ ý E α ∈ R Ký hi¾u A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B} , αA = {αa : a ∈ A} Đ%nh lý 1.2 Giá sú Di loi, Di ⊂ E, λi ∈ R (i = 1, 2, , m) Khi λ1D1 + λ2D2 + + λmDm loi Đ%nh nghĩa 1.3 Véctơ x ∈ E đưoc goi to hop loi cúa véctơ x1 , , xm ∈E neu ton tai λi ≥ 0, (i = 1, 2, , m), m ∑ λi = 1, cho x = m ∑ λ ix i i=1 i=1 %nh lý 1.3 Mđt E loi chí chúa tat cá to hop loi cúa phan tú cúa T¾p D loi E chí khi: m D = {x = m ∑ λixi : xi ∈ D,i=1∑ λi = 1, λi ≥ 0, i = 1, m, ∀m ∈ N} i=1 Chúng minh ⇐) Lay m = 2, D t¾p loi theo đ%nh nghĩa ⇒) Giá sú D t¾p loi Lay tùy ý x1, x2, , xm ∈ D, λ1 , , λm m ∑ λi = , i=1 ≥ m x = ∑ λixi Ta chúng minh x ∈ D bang quy nap theo m i=1 Vói m = : x1 ∈ D, λ1 = 1, x = x1 ∈ D Vói m = : x1, x2 ∈ D, λ1 + λ2 = mà D loi suy x = λ1x1 + λ2x2 ∈ D Giá sú x ∈ D vói m− , ta có m m ∑ λixi ∈ D, ∀xi ∈ ∑ λi = 1, λi ≥ D, i=1 i=1 Xét x = m m−1 i=1 i= ∑ λ ix i = ∑ λixi + λmxm Ta thay: Neu λm = x ∈ D theo giá thiet quy nap Neu λm = λ1 = = λm−1 = x = xm ∈ D Neu < λ < 1, ta có − λm = λ1 + + λm−1 > 0, λi (i = 1, , m− − λm 1) ≥ Vì m−1 λi i=1 ∑ theo giá thiet quy nap = 1, − λm m−1 y= ∑ xi ∈ D i=1 Tù vói y ∈ D, xm ∈ D, − λm > (1 − λm ) + λm = 1, suy x = (1 − λm )y + λmxm ∈ D (do D t¾p loi) Ví dn 1.1 Các t¾p loi R: 0/ , {x} , (a, b), (a, b] , [a, b) , [a, b] , R Đ%nh lý 1.4 (Đ%nh lý Hahn-Banach, Đ%nh lý tách (xem [1], [2])) Cho A B hai t¾p loi khơng gian Banach E, có tính chat A ∩ B intA ƒ= = 0/ 0/ Khi A B có the tách đưoc bang m®t phiem hàm tuyen tính khác 0, túc ∃x∗ ∈ E∗ \ {0}, ∀x ∈ A, ∀y ∈ B : (x∗, x) “ (x∗, y) 1.2 Hàm loi tính chat 1.2.1 Hàm loi Đ%nh nghĩa 1.4 Cho hàm f : D → R, D ⊂ E, R = R ∪ {−∞, +∞}, t¾p Lipschitz g, vói hang so Lipschitz nhó, cho f + g đat mđt cnc tieu ngắt tai z) ieu ny cú ỳng dnng đa dang nhieu van đe cúa giái tích phi tuyen (xem [4]) Bo đe 2.2 (Ekeland) Cho f m®t hàm giá tr% thnc mó r®ng, thưòng, núa liên tnc dưói b% ch¾n dưói khơng gian Banach E Giá sú rang ε > f (x0) ≤ inf { f (x) : x ∈ E} + ε Khi vói bat kì λ > ton tai m®t điem z ∈ dom f cho i) λ "z − x0 " ≤ f (x0) − f (z); ii) "z − x0 " ≤ λε ; iii) λ "x − z" + f (x) > f (z); ∀x ƒ= z M¾c dù λ xuat hi¾n mau so, đánh giá ii) khơng can lón vói λ nhó; ta có the sú dnng m®t thú √ pháp quan sú dnng tot hi¾u úng ch¾m bang cách lay λ = ε Chúng minh Khơng mat tính tong qt giá thiet rang inf { f (x) : x ∈ E} = 0, v¾y có f (x0) ≤ ε Đ¾t chuan tương đương 2λ " " E úng dnng Bo đe (2.1) cho t¾p đóng A = epi f nón (mà ta kí hi¾u đơn gián K1 K) đe tao m®t điem (z, r) E × R cho: 1) (z, r) ∈ A∩ [K + (x0, f (x0))]; 2) {(z, r)} = A∩ [K + (z, r)] Tù 1) có ≤ f (z) ≤ r < ∞ λ "z − x0 " ≤ f (xo) −r ≤ f (xo) − f (z) ≤ f (xo) ≤ ε 57 Đieu cho ta khang đ%nh i) ii) Khang đ%nh iii) rõ ràng neu f (x) = ∞ Đe thay tính đan tong quát cúa iii), đau tiên lưu ý rang neu f (z) < r phái có (z, r) ƒ= (z, f (z)), v¾y tù 2) suy (z, f (z)) không nam K + (z, r), nghĩa r − f (z) < 0, mâu thuan Như v¾y r = f (z) Dna vào 2), neu f (x) < ∞ x ƒ= z (x, f (x)) không nam K + (z, r), nghĩa λ "x − z" > r − f (x) = f (z) − f (x), ta có đieu phái chúng minh Đ%nh nghĩa 2.6 Cho f m®t hàm loi núa liên tnc dưói giá sú x ∈ dom f Vói bat kì ε > 0, ta đ%nh nghĩa ε−dưói vi phân ∂ε f (x) bói ∂ε f (x) = {x∗ : (x∗, y) ≤ f (x + y) − f (x) + ε, ∀y ∈ E} Rõ ràng, neu < ε1 < ε2 ∂ε1 f (x) ⊂ ∂ε2 f (x) Sau se chí rang t¾p ∂ε f (x) (hien nhiên loi đóng yeu*) ln khơng rong M¾nh đe 2.2 Neu f m®t hàm loi, thưòng núa liên tnc dưói E, vói moi ε > 0, vói moi x0 ∈ dom f , ∂ε f (x0) khơng rong Chúng minh Vì epi f đóng, loi khơng chúa (x0, f (x0) −ε), ton tai m®t phiem hàm tuyen tính (y∗, r∗) ∈ E ∗ × R cho ((y∗, r∗), (x0, f (x0) − ε)) < ((y∗, r∗), (x, r)) , x0 ∈ dom f , r ≥ f (x), nghĩa (y∗, x0) + r∗[ f (x0) − ε] < (y∗, x) + r∗ r , neu x ∈ dom f , r ≥ f (x) Bang cách lay x = x0 r = f (x0) chúng tó rang r∗ > Chúng ta có the giá y thiet rang, r∗ = 1; đơn gián thay y∗ bói ∗ Khi đó, neu cho −y∗ x∗ = r∗ lay r = f (x), nh¾n đưoc bat thúc mong muon Đ%nh lý 2.1 Giá sú rang f g hàm loi thưòng, núa liên tnc dưói khơng gian Banach E, dom f ∩ dom g khác rong m®t so hai hàm so cho liên tnc, chang han f Khi ∂ ( f + g)(x) = ∂ f (x) + ∂ g(x), x ∈ dom( f + g) Chú ý 2.1 Tù đ%nh nghĩa suy rang vói x ∈ dom( f + g) ta có ∂ f (x) + ∂ g(x) ⊂ ∂ ( f + g)(x) Bao hàm thúc có the thnc sn Đe thay đieu này, xét E = R2 , lay f = δC g = δL, ó C đo th% cúa hàm b¾c hai y = x2 L trnc x Rõ ràng, C L chí giao tai goc O de dàng thú lai rang ∂ f (0) = R−e ó e véctơ (0, 1), ∂ g(0) = Re, ∂ ( f + g)(0) = R2 ƒ= ∂ f (0) + ∂ g(0) Chúng minh Giá sú rang x∗ ∈ ∂ ( f + g)(x0) Đe đơn gián hóa l¾p lu¾n, có the thay the f g bang hàm so f1(x) = f (x + x0) − f (x0) − 0x∗, x , g1(x) = g(x + x0) − g(x0 ) , x ∈ E De dàng thú lai bang đ%nh nghĩa rang, neu0 x∗ ∈ ∂ ( f + g)(x0) ∈ ∂ ( f1 + g1)(0) neu ∈ ∂ f1(0) + ∂ g10(0) x∗ ∈ ∂ f (x0) + ∂ g(x0) Khơng mat tính tong qt giá sú rang x0 = 0, 0x∗ = 0; f (0) = 0, g(0) = Chúng ta muon ket lu¾n rang ∈ ∂ f (0) + ∂ g(0), neu ∈ ∂ ( f + g) (0) Đieu có nghĩa ( f + g)(x) ≥ ( f + g)(0) = 0; ∀x ∈ E (2.3) Bây giò áp dnng đ%nh lí tách E × R vói hai t¾p loi đóng C1 = epi f C2 = {(x, r) : r ≤ −g(x)} , (có the áp dnng đưoc, bói có m®t điem dom f ∩ domg mà hàm f liên tnc tai C1 có phan khơng rong ( ý 2.1) Ngồi ra, tù (2.3), C2 không cat phan cúa C1 = {(x, r) : r > f (x)} Vì (0, 0) iem chung cỏ hai tắp, nú thuđc bat kỡ siờu phang tỏch no Nh vắy, ton tai mđt phiem hm (x∗, r∗) ∈ E ∗ × R, (0, 0) ƒ= (x∗, r∗) cho (x∗, x) + r∗ r neu r ≥ f (x) ≥∗0 (x , x) + r∗ r neu r ≤ −g(x) ≤0 Vì > f (0) = 0, thay rang r∗ ≥ Đe thay rang r∗ ƒ= ( có nghĩa là, siêu phang tách không phái “thang đúng”) Chúng ta l¾p lu¾n bang phán chúng: Neu r∗ = 0, phái có x∗ ƒ= nua, (x∗, x) ≥ vói moi x ∈ dom f (x∗, x) ≤ vói moi x ∈ dom g Đieu nói lên rang, x∗ tách hai t¾p Đieu khơng the; bói tù giá thiet ve tính liên tnc, phan chung cúa chúng chúa m®t điem cúa dom f Khi đó, khơng mat tính tong qt, có the giá thiet rang r∗ = vói x tùy ý cúa E, (−x∗, x − 0) ≤ f (x) − f (0) (x∗, x − 0) ≤ g(x) − g(0), nghĩa là, = −x∗ + x∗ ∈ ∂ f (0) + ∂ g(0) Đó đieu can chúng minh Đ%nh lý 2.2 (Brondsted- Rockafellar) Cho f m®t hàm loi thưòng, núa liên tnc dưói khơng gian Banach E Khi vói moi điem x0 ∈ dom f , ε > 0, λ > moi điem x0∗ ∈ ∂ε f (x0), ton tai x ∈ dom f x∗ ∈ E ∗ cho ε x∗ ∈ ∂ f (x), "x − x0" ≤ "x∗ − x0∗ " ≤ λ λ Nói riêng ra, mien huu hi¾u cúa ∂ f trù m¾t dom f Chúng minh Theo giá thiet, (x∗, x − x0 ) ≤ f (x) − f (x0) + ε , ∀x ∈ E Như v¾y, neu đ%nh nghĩa g(x) = f (x) − (x∗ , x) , x ∈ E, ta thay rang g thưòng núa liên tnc dưói, vói dom f = dom g Hơn nua, g(x0) ≤ inf {g(x) : x ∈ E} + ε Như v¾y, theo Bo đe (2.2), ton tai z ∈ dom fsao cho λ "z − x0 " ≤ ε λ "x − z" + g(x) ≥ g(z), vói moi x ∈ E Đ¾t h(x) = λ"x−z" (x ∈ E) Bat thúc vùa nêu cho ta ∈ ∂ (g + h)(z) = ∂ g(z) + cho ∂ h(z) (vì h liên tnc) Như v¾y, ton tai z∗ ∈ ∂ g(z) = ∂ f (z) − x∗ −z∗ ∈ ∂ h(z) = {x∗ ∈ E ∗ : "x∗" ™ λ } Đ¾t x∗ = z∗ +0 x = z, x∗ ε x∗ ∈ ∂ f (x), "x∗ − x∗0" ™ λ, "x − x0" ™ λ Đó đieu can chúng minh Đ%nh lý 2.3 (Bishop-Phelps) Giá sú D t¾p loi đóng khác rong cúa khơng gian Banach E Khi (i) Các điem tna cúa D trù m¾t biên cúa D; (ii) Các phiem hàm tna cúa D trù m¾t hình nón tat cá phiem hàm b% ch¾n D M¾nh đe 2.3 Moi t¾p loi đóng khác rong D khơng gian Banach E đeu giao cúa tat cá núa khơng gian đóng xác đ%nh bói siêu phang tna cúa H¾ q 2.1 Giá sú f hàm loi thưòng núa liên tnc dưói E Khi f bao cúa hàm affine liên tnc xác đ%nh bói dưói vi phân cúa nó, nghĩa là, vói x ∈ dom f , f (x) = sup {(y∗, x − y) + f (y) : y∗ ∈ ∂ f (y)} vói m®t y ∈ dom(∂ f ) Bo đe 2.3 Giá sú f hàm loi thưòng núa liên tnc dưói E Neu α > 0, β > 0, x0 ∈ E f (x0) < inf { f (x) : x ∈ E} + αβ, ton tai x ∈ E x∗ ∈ ∂ f (x) cho "x − x0" < β "x∗" < α Chúng minh Chon ε > cho f (x0) − inf { f (x) : x ∈ E} < ε < αβ chon λ cho ε < λ < α Tù suy ∈ ∂ε f (x0), v¾y theo Đ β %nh lý (2.2) ( Đ%nh lý Brondsted- Rockafellar ) ton tai x ∈ dom f x∗ ∈ ∂ f (x) ε cho "x∗" ™ λ < α "x − x0 " ™ < β λ Bo đe 2.4 Giá sú f hàm loi thưòng núa liên tnc dưói E, x ∈ E inf { f (x) : x ∈ E} < f (x) Khi ton tai z ∈ dom f z∗ ∈ ∂ f (z) cho f (z) < f (x) (z∗, x − z) > Chúng minh Co đ%nh λ ∈ R cho inf { f (x) : x ∈ E} < λ < f (x) đ¾t K= sup y∈E, yƒ=x λ − f (y ) "y − x" Trưóc tiên ta chúng tó rang < K < ∞ Đ¾t F = {y ∈ E : f (y) ≤ λ } , v¾y F đóng, khơng rong x ∈/ F Tù dom f ƒ= 0/ , ta có the áp dnng đ%nh lí tách E × R đe tìm u∗ ∈ E ∗ r ∈ R cho f ≥ u∗ + r Giá sú rang y ∈ E y ƒ= x Neu y ∈ F λ − f (y) ≤ λ − (u∗ , y) −r ≤ |λ − (u∗ , x) − r| + (u∗, x − y) Do λ − f (y) "y − x" ≤ λ − f (y) Neu y ∈/ F, λ − f (y) "y − x |λ − (u∗ , x) − r| "u∗" + dist(x, F) < Trong cá hai trưòng hop, ton tai c¾n cho " , v¾y K < ∞ Đe thay rang K > 0, co đ %nh y "y − x" Vì λ < f (x), có y ƒ= x λ − f (y) ∈ E cho f (y) < λ 0< "y − x" ≤K Bây giò giá sú rang < ε < 1, (1 −ε)K < K, đó, theo đ%nh nghĩa cúa K, ton tai x0 ∈ E cho x0 ƒ= x λ − f (x0) > (1 "x0 − x" − ε) K Vói z ∈ E, đ¾t N (z) = K "z − x", chúng tó rang (1 − ε) N (x0) + f (x0) < λ, nghĩa (N + f ) (x0 ) < λ + εN (y) Chúng ta khang đ%nh rang λ < inf {(N + f ) (x) : x ∈ E} Th¾t v¾y, neu x = z λ < f (x) = (N + f ) (z) , neu z ƒ= x λ − f (z) "z − x" ≤ K Tù suy λ < (N + f )(z) Như v¾y ta chí rang ton tai điem x0 ∈ E, x0 ƒ= x cho (N + f )(x0) < inf {(N + f )(x) : x ∈ E} + εK "x0 − x" Bây giò áp dnng Bo đe (2.3) cho N + f , vói β = "x0 − x" α = εK Như v¾y, ton tai z ∈ dom(N + f ) ≡ dom f ω ∗ ∈ ∂ (N + f ) (z) cho "z − x0" < "x − x0" "ω∗ " < εK Suy rang "z − x" > Tù công thúc tong hop Đ%nh lí (2.1) ∂ (N + f )(z) = ∂ N(z) + ∂ f (z) Như v¾y ton tai y∗ ∈ ∂ N(z) z∗ ∈ ∂ f (z) cho ω ∗ = y∗ + z∗ Vì y∗ ∈ ∂ N(z) phái có (y∗, z−x) ≥ N(z) − N(x) = K "z − x" Như v¾y (z∗, x − z) = (y∗, z−x) + (ω∗ , x − z) ≥ K "z − x" − "ω ∗ ""x − z" > (1 − ε)K "z − x" > Vì z∗ ∈ ∂ f (z) , ta f (x) ≥ f (z) + (z∗, x − z) > f (z), có đieu phái chúng minh Đ%nh nghĩa 2.7 Ánh xa đa tr% T tù khơng gian Banach E vào t¾p cúa không gian đoi ngau E ∗ cúa E goi tốn tú đơn đi¾u neu (x∗ − y∗ , x − y) “ vói moi x, y ∈ E x∗ ∈ T (x), y∗ ∈ T (y) Ta khơng đòi hói T (x) ƒ= 0/ T¾p tat cá nhung x ∈ E mà T (x) ƒ= 0/ goi mien huu hi¾u cúa T kí hi¾u D(T ) Đ%nh lý 2.4 ( Rockafellar) Neu f m®t hàm loi thưòng núa liên tnc dưói m®t khơng gian Banach E dưói vi phân f cỳa nú l mđt toỏn tỳ n iắu cnc đai Chúng minh Giá sú rang x ∈ E ; x∗ ∈ E ∗ x∗ ∈/ ∂ f (x) Như v¾y, ∈/ ∂ ( f − x∗ )(x) suy inf {( f − x∗ )(x) : x ∈ E} < ( f − x∗ ) (x) Theo Bo đe (2.4), ton tai z ∈ dom( f − x∗) ≡ dom f z∗ ∈ ∂ ( f − x∗)(z) cho (z∗, z−x) < Như v¾y, ton tai y∗ ∈ ∂ f (z) cho z∗ = y∗ − x∗, (y∗ − x∗ , z−x) < Đ%nh nghĩa 2.8 Ánh xa đa tr% T : E ⇒ 2E∗ goi đơn đi¾u cyclic neu n ∑ (x∗k, xk − xk−1) “ 0, k=1 vói moi n “ 2, x0, , xn ∈ E, xn = x0 x∗ ∈ T (x), k = 1, , n Nh¾n xét 2.2 Neu f m®t hàm loi thưòng núa liên tnc dưói E, neu x0, x1, , xn = x0 thu®c D(∂ f ) neu x∗ ∈ ∂ f (xk), k = 1, 2, , k n n ∑ (x∗ k, ≥ [f xk − xk−1 ) ∑ (xk ) − f (x k=1 n k−1 )] =f (xn k= )−f (x0 ) = Như v¾y, f vùa đơn đi¾u cyclic vùa đơn đi¾u cnc đai Đ%nh nghĩa 2.9 Neu T : E ⇒ 2E∗ G (T ) = {(x, x) E ì E ∗ : x∗ ∈ T (x)} goi đo th% cúa T Toán tú T goi đơn đi¾u cyclic cnc đai neu T = S S đơn đi¾u cyclic G(T ) ⊂ G(S) Rõ ràng l, mđt toỏn tỳ n iắu cnc m l đơn đi¾u cyclic phái đơn đi¾u cyclic cnc đai M¾nh đe 2.4 Neu T : E ⇒ 2E∗ đơn đi¾u cyclic cnc đai ton tai hàm f loi thưòng núa liên tnc dưói E cho T = ∂ f Chúng minh Co đ%nh x0 ∈ D(T ) và0x∗ ∈ T (x0) Vói x ∈ E, ta đ%nh nghĩa ∗ f (x) ∗ = sup {(x , x − xn ) + (x n , xn − xn−1) + + (x∗, x1 − x0)}, n−1 c¾n đưoc lay tat cá t¾p huu han cúa phan tú xk ∈ D(T ) x∗ ∈ T (xk), k = 1, , n, n = 1, 2, Vì f c¾n k lay theo điem cúa m®t ho hàm affine liên tnc nên f hàm loi, núa liên tnc dưói f (x) > −∞ vói moi x Đe thay f thưòng, ta có the sú dnng tính đơn đi¾u cúa T đe chí rang f (x0) ™ Th¾t v¾y, vói m®t tong cho so hang dang bên đ%nh nghĩa cúa f (x0), đ¾t yk = xn−k y∗ = x∗ , k n−1 k = 0, 1, , n Ta nh¾n thay tong nh¾n đưoc nhieu nhat bang Do tính cnc đai cyclic cúa T , đe ket lu¾n T = ∂ f , ta chí can chí G(T ) ⊂ G(∂ f ) Giá sú rang, x ∈ D(T ) x∗ ∈ T (x) Ta se có (x, x∗) ∈ G(∂ f ) neu ta chí đưoc (x∗, y−x) ™ f (y) − λ , λ ∈ R , vói moi y ∈ E neu λ < f (x) (Lưu ý rang, bang cách lay y = x0, đieu se suy −λ “ (x∗, x0 − x) neu λ < f (x), dan đen f (x) < ∞.) Theo đ%nh nghĩa, ton tai xkk ∈ D(T ) x∗ ∈ T (xk), k = 1, , n cho ∗ λ< ∗ (x , x − xn ) + (x n Đ¾t xn+1 = x, x∗ f (y) “ (x∗ n+ , xn − xn−1) + + (x∗, x1 − x0) n−1 = x∗ Vói y ∈ E tùy ý, , y − xn+1 ) + (x∗, xn+1 − xn ) + + (x∗, x1 − x0) n+1 ∗ , n+1 n y − xn+1) + λ = (x∗, y−x) + λ > (x Ta có đieu phái chúng minh Hien nhiên ta thay rang, neu f g đeu hàm loi thưòng, núa liên tnc dưói f = g + c (c hàm hang) ∂ f = ∂ g Rockafellar (xem [6]) chúng minh đưoc chieu ngưoc lai Nói riêng ra, neu T tốn tú đơn đi¾u cyclic cnc đai (T = ∂ f vói m®t f thích hop đó) hang so nói nhat Ket lu¾n Trong chương trình bày m®t so tính chat bán cúa hàm loi núa liên tnc dưói m®t so úng dnng viắc nghiờn cỳu mđt so van e cỳa giỏi tích loi KET LU¾N Lu¾n văn trình bày mđt cỏch hắ thong mđt so van e ve hm loi Đ¾c bi¾t tính chat bán cúa hàm loi núa liên tnc dưói ho dưói vi phân cúa chúng Nhung n®i dung đóng m®t vai trò bán het súc quan trong giỏi tớch loi; mđt cỏch tiep cắn en phộp tớnh bien phân toi ưu hóa bang cách thay the hàm vi bói hàm loi Vi¾c nghiên cúu tính núa liên tnc dưói cúa hàm loi rat huu ích cho vi¾c nghiên cúu t¾p loi đóng, úng dnng cúa Sn mó r®ng khái ni¾m đao hàm rat huu ích cho sn phát tren cúa giái tích khơng trơn úng dnng khác Lu¾n văn gom chương Chương trình by ngan gon mđt so kien thỳc ve loi, nhung n®i dung bán nhat ve hàm loi khơng gian Banach Chương trình bày tính núa liên tnc dưói cúa hàm loi m®t so úng dnng vào van đe cúa giái tích loi Vói pham vi thòi gian có han chac chan lu¾n văn khơng tránh khói nhung thieu sót nhat đ%nh Kính mong thay anh ch% đong nghi¾p góp ý đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Xin trân cám ơn ! Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Haim Brezis (2005), Giái tích hàm: lý thuyet úng dnng, Nhà xuat bán Đai hoc Quoc gia Hà N®i [2] Huỳnh The Phùng (2005), Giái tích loi, Nhà xuat bán Đai hoc Khoa hoc Hue [3] Lê Dũng Mưu, Nguyen Văn Hien (2009), Giái tích loi úng dnng, Nhà xuat bán Khoa hoc kĩ thu¾t cơng ngh¾ [B] Tài li¾u tieng Anh [4] I Ekeland and R Témam (1976), Convex Analysis and Variational Problems, Study in Math and its applications, North-Holand American Elsevier, New York [5] R R Phelps (1993), Convex Function, Monotone Operators and Differentiability, Second Edition, Springer, Berlin [6] R T Rockafellar (1970), On the maximal monotonicity of subdifferential mapping, Pacific J Math 33, 209-216 ... toán ve hàm loi .12 1.2.3 Tính liên tnc cúa hàm loi 13 1.2.4 Tính vi cúa hàm loi 16 Chương Tính nNa liên tnc dưéi cúa hàm loi 35 2.1 Tính núa liên tnc dưói 35 2.2 Úng... - Nghiên cúu tính chat cúa hàm loi núa liên tnc dưói - M®t so tốn úng dnng cúa hàm loi núa liên tnc dưói Nhi¾m nghiờn cNu Trỡnh by mđt cỏch cú hắ thong tính chat cúa hàm loi núa liên tnc dưói... (x0)(x) m®t phiem hàm tuyen tính E Ví dn 1.9 Neu f m®t phiem hàm tuyen tính E (khơng nhat thiet liên tnc) d f (x0)(x) = f (x) vói tat cá x0 x Ví dn ve m®t phiem hàm tuyen tính khơng liên tnc m®t khơng