Tối ưu của các hàm lồi toàn cục

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN **************** NGUYEN TH± HÀ TOI ƯU CÚA CÁC HÀM LOI TỒN CUC KHỐ LU¾N TOT NGHIfiP ĐAI HOC Chun ngành: Giái Tích Ngưòi hưóng dan khoa hoc ThS Nguyen Văn Tuyên Hà N®i - 2013 LèI CÁM ƠN Em xin đưoc gúi lòi cám ơn tói thay giáo trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, thay giáo khoa Tốn giúp đõ em q trình hoc t¾p tai trưòng tao đieu ki¾n cho em hồn thành khố lu¾n Đ¾c bi¾t em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay giáo Nguyen Văn Tun t¾n tình giúp đõ em suot q trình hoc t¾p, nghiên cúu hồn thành khố lu¾n Là sinh viên lan đau tiên nghiên cúu khoa hoc nên khơng tránh khói nhung thieu sót han che Kính mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cna thay giáo, giáo tồn the ban đoc đe khố lu¾n đưoc hồn thi¾n Em xin chân thành cám ơn ! Hà N®i, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyen Th% Hà ii LèI CAM ĐOAN Em xin cam đoan dưói sn hưóng dan cna thay giáo Nguyen Văn Tun khố lu¾n cna em đưoc hồn thành khơng trùng vói bat kì cơng trình khoa hoc khác Trong thnc hi¾n khố lu¾n em sú dung tham kháo thành tnu cna nhà khoa hoc vói lòng biet ơn trân Hà N®i, tháng năm 2013 Sinh Viên Nguyen Th% Hà Mnc lnc Má đau Má đau 1 M®t so kien thNc chuan b% 1.1 M®t so kien thúc só ve giái tích loi 1.1.1 T¾p loi 1.1.2 Hình chieu 1.1.3 Các đ%nh lý tách 11 1.1.4 Nón 12 1.1.5 Hàm loi 14 1.1.6 Hàm loi vi 15 1.1.7 Dưói vi phân 18 1.2 Các đieu ki¾n toi ưu cho tốn toi ưu trơn có ràng bu®c 21 1.2.1 Các đieu kiắn cho bi toỏn toi u khụng cú rng buđc 21 1.2.2 Các đieu ki¾n cho tốn toi ưu có ràng bu®c 22 Toi ưu hố cúa hàm loi tồn cnc 35 2.1 M®t so phiên bán loi toàn cuc 35 2.2 Cnc tieu 42 2.3 Tính chat đ%nh tính cna ρ(C, c) 44 2.4 Cnc đai 51 2.5 Ưóc lưong cna ρ(E) 54 Tài li¾u tham kháo 69 Má đau Lý chon đe tài Các hàm loi có nhung tính chat tot cho cá toán cnc tieu toán cnc đai Tương tn tính chat đưoc đưa ra, ó xét hàm có hình dáng đ%a phương “xau" chúng hàm loi toàn cuc theo nghĩa chúng có tính chat “loi” b® ba điem thang hàng Chúng ta biet rang, giá thiet tốn toi ưu thưòng đưoc thiet l¾p dưói hai dang bán: (a) T¾p chap nhắn oc C l mđt loi cna khơng gian Minkowski E (hay m®t khơng gian đ%nh chuan thnc huu han chieu); (b) Hàm muc tiêu ϕ hàm loi, nghĩa ϕ m®t hàm lay giá tr% thnc C cho ϕ(y) ≤ λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(z) (0.1) vói moi x, z ∈ C vói x ƒ= z, < λ < 1, y = λx + (1 − λ)z (0.2) Chúng ta biet rang, tính loi giá thiet rat huu ích cho cá toán cnc tieu toán cnc đai: (P1) Moi điem cnc tieu đ%a phương cna m®t hàm loi m®t điem cnc tieu tồn cuc (P2) Neu m®t hàm loi đat cnc đai phái đat đưoc tai điem cnc biên cna mien huu hi¾u Moi tính chat (P1) (P2) g¾p nhung khó khăn vi¾c tìm giá tr% cnc tr% cna hàm só cna thu¾t tốn tìm giá tr% xap xí toi ưu điem thu®c C đe hàm đat cnc tr% Tuy nhiên, thu¾t tốn đưoc đưa dưòng giá thiet (a) ln đưoc thóa mãn Trong đó, giá thiet (b) m®t sn han che thnc te Vì v¾y ngưòi ta đưa ý tưóng loi hóa hàm muc tiêu tương tn vi¾c tuyen tính hóa hay đơn đi¾u hóa Vi¾c tồn cuc hóa tính chat quan cna hàm so cnc kì quan trong tốn toi ưu Các ket q hay lưoc đo tốn hoc, đ¾c bi¾t áp dung cho thnc hành đòi hói thuắt toỏn phỏi hđi tu nhanh v n gan giỏ tr% toi ưu Vói lý trên, đưoc sn đ%nh hưóng cna thay hưóng dan em chon đe tài “Toi ưu cúa hàm loi toàn cnc” đe hồn thành khóa lu¾n Tot nghi¾p Đai hoc Khóa lu¾n đưoc bo cuc sau: Chương Trình bày kien thúc só cna Giái tích loi như: T¾p loi, hàm loi, dưói vi phân cna hàm loi, đieu ki¾n cnc tr%, Chương Trình bày ve van đe toi ưu hóa cna hàm loi tồn cuc Các ket q cna chương trình bày m®t cách chi tiet ket q có [17] Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu van đe ve toi ưu hố cna hàm loi tồn cuc Nhi¾m nghiên cNu Nghiên cúu van đe bán cna Giái tích loi như: T¾p loi, hàm loi, dưói vi phân cna hàm loi, đieu ki¾n cnc tr%, Nghiên cúu van đe ve toi ưu hố cna hàm loi tồn cuc Phương pháp nghiên cNu Tra cúu, tong hop phân tích tài li¾u theo sn hưóng dan cna thay giáo hưóng dan đe hồn thành muc tiêu đe Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 1.1.1 M®t so kien thNc sá ve giái tích loi T¾p loi Khái ni¾m t¾p loi khái ni¾m quan trong lý thuyet toi ưu T¾p loi t¾p mà lay điem bat kì cna t¾p đoan thang noi điem nam t¾p Đ%nh nghĩa 1.1 T¾p X ⊂ Rn đưoc goi t¾p loi neu vói moi x1, x1 ∈ X vói moi t ∈ (0; 1) thì: (1 − t)x1 + tx2 ∈ X n Bo đe 1.1 Cho I l mđt T bat kỡ Neu cỏc Xi ⊂ R , vói i ∈ I, t¾p loi t¾p X = i∈I Xi t¾p loi Chúng minh Ta xét trưòng hop: T +Neu X = i∈I Xi = ∅ X t¾p loi tam thưòng T T +Neu X = i∈I Xi ƒ= ∅, ta có: ∀x, y ∈ i∈I Xi, ∀t ∈ (0; 1), suy x, y ∈ Xi, ∀i ∈ I Khi đó, (1 − t)x + ty ∈ Xi, ∀i ∈ I, suy (1 − t)x + ty ∈ T i∈I Xi, ∀i ∈ I V¾y X t¾p loi tr% nhó nhat cna Suy h(r) = (1 − r) 1+r + r2 hr(r) = r + 2r − , (1 + r2 ) giá tr% dương r ≥ Do vói r ≥ , (1/2) 1 + = , h(r) ≥ 3/2 đóq] núa dài−Z cnalàđoan [−q, ⊂đ® Z∩ nhó √ √ nhat bang 1/ Nghĩa2là √ 0) ≤ 3, ρ(R ) ρ(Z, ≤ xuat Bat thúc ngưoc lai hi¾n Bo đe 2.9 Đe chuan b% cho ket tiep theo, ta can m®t bo đe tính tốn Bo đe 2.11 Neu dãy γ1, γ2, đưoc đ%nh nghĩa bói đieu ki¾n γ1 = vói d ≥ 2, (d − 1) γd2 + d d (d + = ≥ 1) − γd−1, 1 3d + 15d + 2d2 + γ d15d 15d + =(d + 1) 5d d Chúng minh Giá sú αd = d2γd, cho α1 = α d d α − αd− d d d − − = = 11 +2 + d +2 +2 d d + = 1d +− d = d d αd− d3 − d + 1+ d + d (1 + d) + d −1 + (d d − 2 1) (d − d 2) + (d − + 2) (d − 3) αd =d−2 − 2d d d2 ( + + 1) + i2 (i −+ 1) i − Phép quy nap cho thay n 2 i (i + 1) = n (n + 1) (n + 2) 3n + 6n + 15 i=1 Vói d = n − tích 3d + 15d + 2d + 15d + αd = 15d (d + 1) γd = = d2 > 5d3 α 3d4 − 6d2 + = 15d3 (d + 1) (d − 1) = 5d − 15d3 (d + 1) 1 d d √ d−1 d 5d ≥ ρ(R ) ≥ 2 (d + 1) (d − 1) 2 Đ%nh lý 2.14 Neu d ≥  √  d vói d lé √ vói d chan d+1 √ √ Chúng minh C¾n dưói d d + có đưoc tù Bo đe 2.9 Đe khang đ%nh vói c¾n trên, se ti¾n loi làm vi¾c vói βd = 1/ρ(R2d) Ta biet √ rang β1 = β2 = 1/ Đe chúng minh d−1 βd ≥ d√5d vói d ≥ cho, se đn theo Bo đe 2.11, đe chí rang ( k − 1) β2 k ≥ + k k2 (k + 1) βk−1 vói moi k ≤ d Đieu se đưoc hồn thành bói phép quy nap d Vói kí hi¾u Bo đe 2.10, zi λi đưoc thay the đe đat đưoc λ0 ≥ 1/(d + 1) Goi p phép chieu trnc giao cna goc lên siêu phang H giá sú δ = − "p " 1/2 − "s − p" µ(S, s) Tat nhiên ξ(S, s) ≥ βd−1 vói (iv) cna Bo đe 2.10 ta thay rang µ (S ∩ −Z, s) ≥ (1 − 2λ0) µ(S, s) Cho ≤ j ≤ d tù đ%nh lý Pytago ta có "p − vj " + = "vj =1 "p " " tù bat thúc tam giác ta có "p − v j" ≤ "p − s" + "s − vj" Do ξ(S, s) ≥ δ ta có µ (S ∩ −Z, s) ≥ (1 − 2λ0) µ(S, s) ≥ (1 − 2λ0) βd−1δ Vắy l, S Z chỳa mđt oan cú tâm s có núa đ® dài nhó nhat (1 − 2λs)βd−1δ Cho nhat m®t điem cuoi cna đoan này, bình phương khống cách tù p nhó nhat β "+ (1 − 2 d−1 p − s" 2λ0) tù goc nhó nhat " Q = 2 + (1 − 2λ0) ≥ r β = "p" ≤ y ≤ d +"p − Đe chúng minh đay đn Đ%nh lý 2.14, theo Bo đe 2.7 2.11 vi¾c ξ(Z, 0) = 1, cho thay (d − 1) Q≥ d2 + (d + 1) βd−1 Đe ti¾ n kí hi¾ u, ta viet λ d y 1− λ0 " Thì λ0 = y/(1 + y) Q tró thành 2 2y βd− − − h(y) = y2 21 1+y + r = y2 + (1 − y) β2 + y2 − d− 2 − r r − y2 −r 21 2 −2 Vói moi y co đ%nh, giá tr% cna h(y) giám m®t lưong |r| Do h(y) ≥ f (y), f (y) = y2 + (1 − y)4 (1 + y) β2 d−1 f r(y) = (1 + y) β −3 2y 3 (1 − y) − (1 − y) (1 + d− y) − (1 − y) d− β2 ≥ (1 + y) Vói βd−1 1/ −3 2y (1 + y) − 6β d− 1 ≤ y ≤ d √ ≤ d − y ≥ 1/d, ta có f r(y) ≥ −d f (y) (f (1/d)) = βd−1 ≥ + d2 + 1d Cho C nam trong tâm cna không gian Minkowski E Đ%nh lý 2.11, 2.12, 2.13 2.14 b% ch¾n bói so ρ(C) ó Vì moi liên quan cna ρ(C) vói toi ưu hoá cna hàm δ-loi, rat thú v% biet vói ρ(C) có the dùng cho t¾p C ⊂ E De thay rang dim E ≥ 2, có hình nón đa diên nhon K ⊂ E có giá tr% ρ(K) nhó m®t cách tuỳ ý (chí can K có m®t "mó r®ng") Tuy nhiên, tình huong cho t¾p b% ch¾n nhieu sn quan sát dưói có vé đáng giá Đ%nh lý 2.15 Vói moi d ≥ 2, t¾p {ρ(C) : Rd khoáng (0, ρ(R2d)) C ⊂ b% ch¾n } √ Đ¾c bi¾t, d = 2, khống (0, 3] Chúng minh Đau tiên ta thay neu s > 0, neu Cs khoi m¾t phang xy đưoc hình thành bang cách cat bói hình tròn bán kính R = + s2 / (2s) tâm tai điem (−R + s, 0) (R − s, 0) ρ(Cs) ≤ s Xét m®t điem tuỳ ý p = (x, y) ∈ Cs vói x, y ≥ Điem q cna ∂Cs gan q nhat mó r®ng xun tâm tói ∂Cs cna p tù điem (−R + s, 0) Tai q, ∂C có tiep tuyen L mà ta xét nón D chúa điem q đưoc cat tù Cs bói đưòng M song song vói L qua điem z = (0, 1) Goi r điem mà tai M cat đoan noi điem (−R + s, 0) tói q Ta xét riêng hai trưòng hop p ∈ [r, q]; r ∈ [p, q] Đau tiên giá sú rang p ∈ [r, q] cho η = "p − q" , Khi có m®t cung cna Cs qua p, tâm tai p có đ® dài 2ηR − η Do η , ≤ s ρ(Cs, p) ≤ −η 2ηR Bây giò giá sú r ∈ [p, q] lưu ý khoi C đoi di¾n góc θ tai z tan θ = 1/(−s) Vì v¾y, neu η η = ψ + ϕ ψ = "p − r", ϕ = "r − q" "p − r" = ψ ≤ "z − r" (tan θ) = Rϕ − ϕ 2 /(R − ϕ) Bây giò Cs chúa dây cung [z, p − z] tâm tai p, bình phương núa chieu dài cna dây cung đưoc tính bói "p − r" + "z − r ≥ "z − p"2 = 2Rϕ − ϕ2 " Khi η = ψ + ϕ, ta có η ≤ ϕ + Rϕ − ϕ 2 /(R − ϕ) Đoi vói s nhó, ϕ ≥ Rϕ − ϕ 2 /(R − ϕ) v¾y ϕ ≥ η/2 Do Cs chúa m®t cung tâm tai p cna núa chieu dài nhó nhat Rη − η2, suy ρ(Cs) ≤ η Rη − 1/2 ≤ s η Như v¾y, trưòng hop d = đưoc hồn thành Bây giò cho d ≥ 3, viet Rd cho moi điem p ∈ = R2 × Rd−2 theo cách thơng thưòng, có the viet đưoc dưói dang p = (pr, prr) vói Rd pr ∈ R2 prr ∈ Rd−2 Cho µ l hm đ o cna Cs R2, kớ hi¾u "." chuan Euclide Rd−2, đ%nh nghĩa Ks = {p : + "prr" ≤ 1} (à(pr)) Khi Ks l mđt Rd2 v khơng khó đe kiem tra rang ρ(Ks) ≤ s (Khi d = 3, Ks đat đưoc bang cách quay t¾p hop Cs ve truc đoi xúng.) Đe hoàn thành chúng minh, lu ý l bang mđt cuđc thỏo luắn n gián liên tuc, thay rang vói moi khơng gian E hop {(C) : l mđt ket noi cna R C ⊂ E b% ch¾n } KET LU¾N Trên õy l ton bđ nđi dung khoỏ luắn Toi u cúa hàm loi tồn cnc” Khố lu¾n h¾ thong kien thúc bán ve Giái tích loi như: T¾p loi, hàm loi, dưói vi phân cna hàm loi, đieu ki¾n cnc tr%, Đong thòi trình bày m®t cách chi tiet ve van đe toi ưu cna hàm loi tồn cuc Do thòi gian nghiên cúu lnc han che nên khố luắn at oc mđt so ket quỏ nhat %nh Em rat mong thay ban góp ý nh¾n xét đe khố lu¾n đưoc đay đn hồn thi¾n Trưóc ket thúc khố luắn ny, mđt lan nua em xin by tú lũng biet ơn thay giáo trưòng, đ¾c bi¾t thay Nguyen Văn Tun t¾n tình giúp đõ em hồn thành khố lu¾n Em xin chân thành cám ơn! Hà N®i, tháng năm 2013 Sinh Viên Nguyen Th% Hà Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u Tieng Vi¾t [1] Huỳnh The Hùng, "Cơ só giái tích loi", NXB Giáo duc 2012 [B] Tài li¾u Tieng Anh [2] M Avriel, W.E Diewert, S Schaible and W Ziemba, Introduction to concave and generalized concave function, in Generalized Convexity and Optimization in Economics, Academic Press, New York, 1981, pp 21-50 [3] C Carathộodory, Uă ber den Variablitaătsbereich des Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen, Math Ann, 64 (1907), pp 99-115 [4] W E Diewert, M Avriel and I Zang, Nine kinds of quasiconcavity and concavity, J Econom Theory, 25 (1981), pp 397-420 [5] W Ginsberg, Concavity and quasiconcavity in economic, J Econom Theory, (1973), pp 596-605 [6] A J Goldman, Resolution and separation theorems for polyhedral convex sets, Ann of Math Stud, 38 (1956), pp 41-51 [7] P Gritzmann and V Klee, Computational complexity of inner and outer j-radii of polytopes in finite-dimensional normed space, in preparation [8] W M Hirsch and G B Dantzig, The fixed charge problem, Naval Res Logist Quart, 15 (1968), pp 413-424 [9] W M Hirsch and A J Hoffman, Extreme varieties, concave functions, and the fixed charge problem, Comm Pure Appl Math, 14 (1961), pp 355-369 [10] S Kirkpatrick, C D Gelatt, Jr, and M P Vecchi, Optimization by simulated annealing, Science, 220 (1983), pp.671-680 [11] V Klee, Extremal structure of convex sets, Arch Math, (1957), pp 234-240 [12] V Klee, Some characterizations of convex polyhedra, Acta Math, 102 (1959), pp 79-107 [13] V Klee, Extremal points of convex sets without completeness of the scalar field, Mathematika, 10 (1964), pp 59-63 [14] P M Pardalos and J B Rosen, Constrained Global Optimization, G Goos and J Hartmanis, eds, Lecture Notes in Computer Science, 268, Springer-Verlag, Berlin, New York, 1987 [15] J Ponstein, Seven Kinds of convexity, SIAM Rev, (1967), pp 115-119 [16] S Schaible and W Ziemba, Generalized Convexity and Optimization in Economics, Proc NATO Advanced Study Institute, University of British Columbia, Vancouver, British Columbia, Canada, August 4-25, 1980, Academic Press, New York, 1981 11 [17] T C Hu, Victor Klee and David Larman, Optimization of globally convex functions, SIAM J Control and Optimization, 27(5)(1989), pp 1026–1047 [18] P J M Van Laarhoven and E H L Aarts, Simulated Annealing: Theory and Applications, D Reidel, Dordrecht, Boston, 1987 ... := {(x, v) ∈ Rn × R : v ≥ f (x)} Đ%nh nghĩa 1.10 Hàm f đưoc goi hàm loi neu epif t¾p loi Hàm f đưoc goi hàm lõm neu −f hàm loi Hàm f đưoc goi hàm thưòng neu f (x) > −∞, vói moi x ∈ Rn ton tai... Trình bày ve van đe toi ưu hóa cna hàm loi tồn cuc Các ket q cna chương trình bày m®t cách chi tiet ket q có [17] Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu van đe ve toi ưu hoá cna hàm loi tồn cuc 3 Nhi¾m... 1.1.3 Các đ%nh lý tách 11 1.1.4 Nón 12 1.1.5 Hàm loi 14 1.1.6 Hàm loi vi 15 1.1.7 Dưói vi phân 18 1.2 Các đieu ki¾n toi ưu cho tốn toi ưu trơn có