Tối ưu của các hàm lồi toàn cục

TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON **************** NGUYN TH H TI U CA CC HM LI TON CC KHO LUN TT NGHIP I HC Chuyờn ngnh: Gii Tớch Ngi hng dn khoa hc ThS Nguyn Vn Tuyờn H Ni - 2013 LI CM N Em xin c gi li cm n ti cỏc thy cụ giỏo trng i hc S phm H Ni 2, cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn ó giỳp em quỏ trỡnh hc ti trng v to iu kin cho em hon thnh khoỏ lun c bit em xin by t lũng bit n sõu sc ti thy giỏo Nguyn Vn Tuyờn ó tn tỡnh giỳp em sut quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh khoỏ lun ny L sinh viờn ln u tiờn nghiờn cu khoa hc nờn khụng trỏnh nhng thiu sút v hn ch Kớnh mong nhn c s úng gúp ý kin ca cỏc thy giỏo, cụ giỏo v ton th bn c khoỏ lun c hon thin hn Em xin chõn thnh cm n ! H Ni, thỏng nm 2013 Sinh viờn Nguyn Th H ii LI CAM OAN Em xin cam oan di s hng dn ca thy giỏo Nguyn Vn Tuyờn khoỏ lun ca em c hon thnh khụng trựng vi bt kỡ cụng trỡnh khoa hc no khỏc Trong thc hin khoỏ lun em ó s dng v tham kho cỏc thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi lũng bit n trõn trng H Ni, thỏng nm 2013 Sinh Viờn Nguyn Th H iii Mc lc M u M u 1 Mt s kin thc chun b 1.1 Mt s kin thc c s v gii tớch li 1.1.1 Tp li 1.1.2 Hỡnh chiu 1.1.3 Cỏc nh lý tỏch 11 1.1.4 Nún 12 1.1.5 Hm li 14 1.1.6 Hm li kh vi 15 1.1.7 Di vi phõn 18 1.2 Cỏc iu kin ti u cho bi toỏn ti u trn cú rng buc 21 1.2.1 Cỏc iu kin cho bi toỏn ti u khụng cú rng buc 21 1.2.2 Cỏc iu kin cho bi toỏn ti u cú rng buc 22 iv Ti u hoỏ ca cỏc hm li ton cc 35 2.1 Mt s phiờn bn li ton cc 35 2.2 Cc tiu 42 2.3 Tớnh cht nh tớnh ca (C, c) 44 2.4 Cc i 51 2.5 c lng ca (E) 54 Ti liu tham kho 69 v M u Lý chn ti Cỏc hm li cú nhng tớnh cht tt cho c bi toỏn cc tiu v bi toỏn cc i Tng t cỏc tớnh cht ó c a ra, õy chỳng ta xột cỏc hm cú hỡnh dỏng a phng xu" nhng chỳng l cỏc hm li ton cc theo ngha l chỳng cú tớnh cht li trờn cỏc b ba im thng hng Chỳng ta bit rng, cỏc gi thit cỏc bi toỏn ti u thng c thit lp di hai dng c bn: (a) Tp chp nhn c C l mt li ca khụng gian Minkowski E (hay mt khụng gian nh chun thc hu hn chiu); (b) Hm mc tiờu l hm li, ngha l l mt hm ly giỏ tr thc trờn C cho (y) (x) + (1 )(z) (0.1) vi mi x, z C vi x = z, < < 1, y = x + (1 )z (0.2) Chỳng ta cng bit rng, tớnh li l gi thit rt hu ớch cho c bi toỏn cc tiu v bi toỏn cc i: (P1 ) Mi im cc tiu a phng ca mt hm li l mt im cc tiu ton cc (P2 ) Nu mt hm li t cc i thỡ nú phi t c ti cỏc im cc biờn ca hu hiu Mi tớnh cht (P1 ) v (P2 ) gp nhng khú khn vic tỡm giỏ tr cc tr ca cỏc hm v nú l c s ca cỏc thut toỏn tỡm cỏc giỏ tr xp x ti u v cỏc im thuc C cỏc hm t cc tr Tuy nhiờn, cỏc thut toỏn c a dng nh gi thit (a) luụn c tha Trong ú, gi thit (b) nh l mt s hn ch thc t Vỡ vy ngi ta a ý tng li húa cỏc hm mc tiờu tng t nh vic tuyn tớnh húa hay n iu húa Vic ton cc húa cỏc tớnh cht quan trng ca hm s l cc kỡ quan trng bi toỏn ti u Cỏc kt qu hay cỏc lc toỏn hc, c bit nú ỏp dng cho thc hnh ũi hi thut toỏn phi hi t nhanh v gn giỏ tr ti u Vi cỏc lý nh trờn, c s nh hng ca thy hng dn em ó chn ti Ti u ca cỏc hm li ton cc hon thnh khúa lun Tt nghip i hc Khúa lun c b cc nh sau: Chng Trỡnh by cỏc kin thc c s ca Gii tớch li nh: Tp li, hm li, di vi phõn ca hm li, cỏc iu kin cc tr, Chng Trỡnh by v ti u húa ca cỏc hm li ton cc Cỏc kt qu ca chng ny trỡnh by mt cỏch chi tit cỏc kt qu cú [17] Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu cỏc v ti u hoỏ ca cỏc hm li ton cc Nhim v nghiờn cu Nghiờn cu cỏc c bn ca Gii tớch li nh: Tp li, hm li, di vi phõn ca hm li, cỏc iu kin cc tr, Nghiờn cu cỏc v ti u hoỏ ca cỏc hm li ton cc Phng phỏp nghiờn cu Tra cu, tng hp v phõn tớch ti liu theo s hng dn ca thy giỏo hng dn hon thnh mc tiờu Chng Mt s kin thc chun b 1.1 Mt s kin thc c s v gii tớch li 1.1.1 Tp li Khỏi nim li l khỏi nim quan trng lý thuyt ti u Tp li l m ly im bt kỡ ca thỡ on thng ni im ú cng nm ú nh ngha 1.1 Tp X Rn c gi l li nu vi mi x1 , x1 X v vi mi t (0; 1) thỡ: (1 t)x1 + tx2 X B 1.1 Cho I l mt bt kỡ Nu cỏc Xi Rn , vi i I, l cỏc li thỡ X = iI Xi l li Chng minh Ta xột trng hp: +Nu X = iI Xi = thỡ X l li tm thng +Nu X = iI Xi = , ta cú: x, y iI Xi , t (0; 1), suy x, y Xi , i I Khi ú, (1 t)x + ty Xi , i I, suy (1 t)x + ty iI Xi , i I Vy X l li Thỡ S l mt d-n hỡnh Euclide u vi trng tõm s = 0, v d 1+d (S, s) = Ta cn tớnh à(S, s) l na giỏ tr cc i ca chun trờn S S im x ca S S c c trng bi s tn ti ca cỏc s khụng õm , , d v cỏc s khụng õm , , d vi tng cho d d i (ui c) = x = i=0 i (c ui ) i=0 T ú suy d (i + i )ui = 2c i=0 v bng tớnh c lp ca ui ta cú + = + = = d + d = d+1 Cng lu ý rng gc l phộp chiu trc giao ca im c lờn siờu phng S, tỡm cc i x trờn x S S tng ng vi tỡm cc i x c trờn x S S V cho x = d i=0 vi ui c biu din d xc i2 = i=0 Ta khng nh l vi mi x cú giỏ tr ln nht x trờn S S, vi hu ht cỏc ch s i thỡ cỏc s i v i u dng Gi s cú hai ch s nh vy, l v vi Thỡ vi mt th tng i v bi s dng nh tu ý ta cú v gim v i bi s khụng vi phm iu kin trờn, v ú d 2 d i2 (1 + ) + (2 ) + i=1 d i2 + 2(1 + = i=0 i2 = x c2 , )> i=1 58 tớnh cc i ca x l sai Do ú, vi mi ch s i thỡ hu ht, i = v i = 2/(d + 1) hoc i = 2/(d + 1) v i = Suy d i=0 i = khụng ln hn mt na d + cú th bng 2/(d + 1) T trờn ta thy d l hay d = 2n + thỡ giỏ tr ln nht ca v vi v S S t c l n v= ui c d + i=0 Khi ú v = 1/ 2n + = d + v (S, s) = (S, s)/ v = d Khi d chn hay d = 2n thỡ cú giỏ tr ln nht x cho vi mt vi r n i = d+1 vi i < r v i = vi r < i d T 2r + r = v r , d+1 d+1 suy 2r d 1, ú r = n v r = 1/d Do ú im w= d+1 n1 ui + i=0 un d+1 c l mt im ca S S cỏch xa nht, v ta cú 2n d (S, s) w = = v (S, s) = = d + 2n + 1 + d w Vi mi s chiu d, B 2.9 cung cp mt cn di ỳng cho (Rd2 ) v cn ny cú th l ln Ta cú th thy rng nú l ln vi d (ngha l, (R22 ) = 3), v vi d thit lp cn trờn khụng quỏ ln cn di T B 2.8 tỡm mt cn trờn cho (Rd2 ), chỳng ta cú th trung vo thng (Z, 0), ú Z ỏp ng iu kin ca B 59 theo sau Nhng iu kin bờn di, (Z, 0) = v ta tỡm mt cn di trờn à(Z, 0) B 2.10 Vi d 2, gi s gc Rd2 l im ti d-n hỡnh Z ú cỏc nh z0 , , zd l tt c n v chun, v cỏc s dng i tho d d i = i zi = v i=0 i=0 Gi s S = conR{z1 , , zd } v s= z0 S Cỏc phỏt biu di õy ỳng: (i) S l mt mt ca Z i din z0 ; (ii) s thuc phn ca S tng i n siờu phng S; (iii) vi mi i, i < 21 ; (iv) S Z = (1 20 )(S s) (s S) + s Do ú S Z cha mt s co li t l 20 ca i ca hp S im s Chng minh Khng nh (i) l hin nhiờn, v (ii) suy t vic 1 (0 z0 ) = ( s= d d i zi ) = i=1 i=1 i zi i vi (iii), lu ý rng , kớ hiu thụng thng, ú d d = z0 , z0 = z0 , z0 = z0 , i zi i=1 d d i | z0 , zi | i=1 i = i=1 60 = i ( z0 , z1 ) i=1 T nhng iu trờn suy < 12 , = ch mt s cỏc im z1 , , zd bng z0 ng thc b loi tr bi gi nh gc l im ti Z Bõy gi gi s T = S s thit lp (iv), ta thy rng S Z (T + s) ((1 20 )(T s + z0 ) z0 ) = (T + s) ((1 20 )(T ) + s) T0 ((1 20 )(T ) + s) ((1 20 )T ) ((1 20 )(T )) + s (1 20 )(T0 T ) + s = 20 (S s) (s S) + s Du u tiờn hoc = tip theo suy t vic S = T + s v (1 20 )(T s + z0 ) z0 = (1 20 )(S) + (20 )(z0 ) con((S) {z0 }) = Z Thc thỡ, S Z = (T + s) ((1 20 )(T ) = s), nhng ta khụng dựng chỳng phn ny nh lý 2.13 (R22 ) = Chng minh Kớ hiu nh B 2.10 vi p l chõn ng vuụng gúc h t gc n ng S qua z1 v z2 , gi s zi , i c dỏn nhón mi 12 (D thy cỏc s ny l dng) Vi = p 2 sp , (2.10) l chng t hỡnh tip theo, v nhng iu suy t (iv) ca 2.10 l tn ti q S Z cho q p s p + (1 20 ) 61 Ta nh ngha y = s p v r = p , õy s = y + r2 1/2 v suy rng = 1/2 y + r2 + (y + r2 )1/2 Do ú cn di ỳng q p cú th c vit l g(y) = y + = 1+ + y r2) + 1+ Ta khng nh rng vi mi r 2 y + r2 1 r2 + (y + r2 ) 2 y + r2 (y 2 y + r2 (y + y y r2 r2) 2 c nh, g(y) t giỏ tr nh nht ti y = Do ú (g(y) g(0)) = y y + r2 (1 + r) + r y + r2 (1 + r) + (y + r2 , r2) iu ny ch rng f (y) f (0) vi mi y 0, ú f (y) = y(1 + r) r 2 y +r 2 Bõy gi, f (y) = (1 + r) y + r2 + y y + r2 = 2(1 + r)y y r2 2 y(1 + r) r2 + (1 + r)r2 y + r2 v ú bit s (1 r2 ) (1 + r)2 r2 dng r 2 , suy f (y) vi mi y Nhng f (y) 0, v t nhng iu trờn suy g(y) g(0) = (1 r) (1 + r) Nh li nh ngha liờn quan, ta thy cú mt im q ca S Z cho q p g(0), theo nh lý Pytago bỡnh phng ca q l giỏ 62 tr nh nht ca (1 r)3 h(r) = + r2 1+r Suy h (r) = r2 + 2r , (1 + r2 ) v giỏ tr ny dng r 21 Do ú vi r 12 , (1/2)3 1 + = , h(r) 3/2 ú na di ca on [q, q] Z Z l nh nht v bng 1/ Ngha l (Z, 0) 3, ú (R22 ) Bt ng thc ngc li xut hin B 2.9 chun b cho kt qu tip theo, ta cn mt b tớnh toỏn B 2.11 Nu dóy , , c nh ngha bi iu kin = v (d 1)4 d = + d1 , d d2 (d + 1)2 vi d 2, ú 1 3d + 15d + 2d + 15d + d = 5d d 15d3 (d + 1)2 Chng minh Gi s d = d2 d , cho = v d = + d1 d+1 d1 d+1 d1 = + 2 1+ d2 d d2 d1 d1 d2 d3 =1+ + 1+ d3 d+1 d+1 d d1 2 2 2 = 2d d + + (d 1) (d 2) + (d 2) (d 3) d3 d (1 + d) = d2 (d + 1)2 d2 2d i2 (i + 1)2 d +1 + i=2 63 Phộp quy np cho thy n n (n + 1) (n + 2) 3n2 + 6n + 15 i2 (i + 1)2 = i=1 Vi d = n tớch ny l d = 3d + 15d + 2d + 15d + 15d (d + 1) v ú 1 d = > 3d 6d + = (d + 1)2 (d 1)2 2 d 15d3 (d + 1) 15d3 (d + 1) 1 = (d 1) = 5d 5d d nh lý 2.14 Nu d thỡ d d 5d (Rd2 ) d1 d+1 Chng minh Cn di d v vi d l vi d chn d + cú c t B 2.9 khng nh vi cn trờn, s tin li hn lm vic vi d = 1/(Rd2 ) Ta bit rng = v = 1/ chng minh d1 d d 5d vi d ó cho, nú s theo B 2.11, ch rng k2 (k 1)4 2+ k1 k k (k + 1)2 vi mi k d iu ny s c hon thnh bi phộp quy np d Vi kớ hiu nh B 2.10, zi v i c thay th t c 1/(d+1) Gi p l phộp chiu trc giao ca gc lờn siờu phng H v gi s = p 1/2 64 sp Tt nhiờn à(S, s) d1 (S, s) v cựng vi (iv) ca B 2.10 ta thy rng (S Z, s) (1 20 ) à(S, s) Cho j d t nh lý Pytago ta cú p vj + p = vj =1 v t bt ng thc tam giỏc ta cú p vj p s + s vj Do ú (S, s) v ta cú (S Z, s) (1 20 ) à(S, s) (1 20 ) d1 Vy l, S Z cha mt on cú tõm l s v cú na di nh nht (1 2s )d1 Cho ớt nht mt im cui ca on ny, bỡnh phng khong cỏch t p l nh nht ps 2 + (1 20 )2 d1 v t gc l nh nht Q= ps 2 + (1 20 )2 d1 + p chng minh y nh lý 2.14, theo B 2.7 v 2.11 v vic (Z, 0) = 1, cho thy (d 1)4 d1 Q 2+ d d2 (d + 1)2 tin kớ hiu, ta vit y= s = d v 65 r = p y Thỡ = y/(1 + y) v Q tr thnh 2y h(y) = y2 + 1+y 2 d1 = y2 + (1 y)4 d1 r2 1r 2 2 y r + y r2 2 2 Vi mi y c nh, giỏ tr ca h(y) gim mt lng l |r| Do ú h(y) f (y), ú (1 y)4 f (y) = y + d1 (1 + y)2 v 2 f (y) = (1 + y)3 2y (1 y)3 (1 y)3 (1 + y) d1 (1 y)4 d1 (1 + y)3 2y (1 + y)3 6d1 y d Vi d1 1/ d v y 1/d, ta cú f (y) v ú d1 f (y) (f (1/d)) = + d + d1 d1 Cho C nm trng tõm ca khụng gian Minkowski E nh lý 2.11, 2.12, 2.13 v 2.14 b chn bi s (C) trờn Vỡ mi liờn quan ca (C) vi ti u hoỏ ca cỏc hm -li, cng rt thỳ v bit vi (C) cú th dựng cho cỏc C E D thy rng dim E 2, cú hỡnh nún a diờn nhn K E cú giỏ tr (K) nh mt cỏch tu ý (ch cn K cú mt "m rng") Tuy nhiờn, tỡnh cho b chn ớt hn nhiu v ú s quan sỏt di õy cú v nh ỏng giỏ C Rd2 b chn } khong (0, (Rd2 )) c bit, d = 2, nú l khong (0, 3] nh lý 2.15 Vi mi d 2, {(C) : 66 Chng minh u tiờn ta thy nu > 0, v nu C l cỏc mt phng xy c hỡnh thnh bng cỏch ct bi cỏc hỡnh trũn bỏn kớnh R= 1+ / (2 ) tõm ti im (R + , 0) v (R , 0) thỡ (C ) Xột mt im tu ý p = (x, y) C vi x, y im q ca C gn q nht l m rng xuyờn tõm ti C ca p t im (R + , 0) Ti q, C cú tip tuyn L m ta xột nún D cha im q v c ct t C bi ng M song song vi L v i qua im z = (0, 1) Gi r l im m ti ú M ct on ni im (R + , 0) ti q Ta xột riờng hai trng hp p [r, q]; r [p, q] u tiờn gi s rng p [r, q] v cho = p q Khi ú cú mt cung ca C i qua p, tõm ti p v cú di l 2R Do ú (C , p) 2R Bõy gi gi s r [p, q] v lu ý l C i din gúc ti z thỡ tan = 1/( ) Vỡ vy, nu nh trờn thỡ = + ú = p r , = r q v p r = z r (tan ) = R 2 /(R ) Bõy gi C cha dõy cung [z, p z] tõm ti p, v bỡnh phng na chiu di ca dõy cung c tớnh bi pr + zr zp = 2R Khi = + , ta cú + R i vi cỏc /(R ) nh, R 67 /(R ) v vỡ vy /2 Do ú C cha mt cung tõm ti p ca na chiu di nh nht l R 41 , v suy (C ) R 1/2 Nh vy, trng hp d = ó c hon thnh Bõy gi cho d 3, vit Rd2 = R22 ì R2d2 theo cỏch thụng thng, cho mi im p Rd2 cú th vit c di dng p = (p , p ) vi p R22 v p Rd2 Cho l hm o ca C R , kớ hiu l chun Euclide Rd2 , v nh ngha K = {p : (à(p )) + p 1} Khi K l mt Rd2 v khụng khú kim tra rng (K ) (Khi d = 3, K t c bng cỏch quay hp C v trc i xng.) hon thnh chng minh, lu ý l bng mt cuc tho lun n gin liờn tc, thy rng vi mi khụng gian E hp {(C) : C E b chn } l mt kt ni ca R 68 KT LUN Trờn õy l ton b ni dung khoỏ lun Ti u ca cỏc hm li ton cc Khoỏ lun h thng cỏc kin thc c bn v Gii tớch li nh: Tp li, hm li, di vi phõn ca hm li, cỏc iu kin cc tr, ng thi cng trỡnh by mt cỏch chi tit v ti u ca cỏc hm li ton cc Do thi gian nghiờn cu v nng lc cũn hn ch nờn khoỏ lun ch t c mt s kt qu nht nh Em rt mong cỏc thy cụ v cỏc bn gúp ý v nhn xột khoỏ lun ny c y v hon thin hn Trc kt thỳc khoỏ lun ny, mt ln na em xin by t lũng bit n cỏc thy cụ giỏo trng, c bit l thy Nguyn Vn Tuyờn ó tn tỡnh giỳp em hon thnh khoỏ lun Em xin chõn thnh cm n! H Ni, thỏng nm 2013 Sinh Viờn Nguyn Th H 69 Ti liu tham kho [A] Ti liu Ting Vit [1] Hunh Th Hựng, "C s gii tớch li", NXB Giỏo dc 2012 [B] Ti liu Ting Anh [2] M Avriel, W.E Diewert, S Schaible and W Ziemba, Introduction to concave and generalized concave function, in Generalized Convexity and Optimization in Economics, Academic Press, New York, 1981, pp 21-50 [3] C Carathộodory, Uă ber den Variablită atsbereich des Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen, Math Ann, 64 (1907), pp 99-115 [4] W E Diewert, M Avriel and I Zang, Nine kinds of quasiconcavity and concavity, J Econom Theory, 25 (1981), pp 397-420 [5] W Ginsberg, Concavity and quasiconcavity in economic, J Econom Theory, (1973), pp 596-605 [6] A J Goldman, Resolution and separation theorems for polyhedral convex sets, Ann of Math Stud, 38 (1956), pp 41-51 [7] P Gritzmann and V Klee, Computational complexity of inner and outer j-radii of polytopes in finite-dimensional normed space, in preparation [8] W M Hirsch and G B Dantzig, The fixed charge problem, Naval Res Logist Quart, 15 (1968), pp 413-424 [9] W M Hirsch and A J Hoffman, Extreme varieties, concave functions, and the fixed charge problem, Comm Pure Appl Math, 14 (1961), pp 355-369 [10] S Kirkpatrick, C D Gelatt, Jr, and M P Vecchi, Optimization by simulated annealing, Science, 220 (1983), pp.671-680 [11] V Klee, Extremal structure of convex sets, Arch Math, (1957), pp 234-240 [12] V Klee, Some characterizations of convex polyhedra, Acta Math, 102 (1959), pp 79-107 [13] V Klee, Extremal points of convex sets without completeness of the scalar field, Mathematika, 10 (1964), pp 59-63 [14] P M Pardalos and J B Rosen, Constrained Global Optimization, G Goos and J Hartmanis, eds, Lecture Notes in Computer Science, 268, Springer-Verlag, Berlin, New York, 1987 [15] J Ponstein, Seven Kinds of convexity, SIAM Rev, (1967), pp 115-119 [16] S Schaible and W Ziemba, Generalized Convexity and Optimization in Economics, Proc NATO Advanced Study Institute, University of British Columbia, Vancouver, British Columbia, Canada, August 4-25, 1980, Academic Press, New York, 1981 71 [17] T C Hu, Victor Klee and David Larman, Optimization of globally convex functions, SIAM J Control and Optimization, 27(5)(1989), pp 10261047 [18] P J M Van Laarhoven and E H L Aarts, Simulated Annealing: Theory and Applications, D Reidel, Dordrecht, Boston, 1987 72 [...]... ∈ X 13 1.1.5 Hàm lồi Kí hiệu R := R ∪ {+∞, −∞} và gọi là tập số thực mở rộng Cho hàm f : Rn → R Ta có: Miền hữu hiệu của f : domf := {x ∈ Rn | f (x) < +∞} Đồ thị của hàm f : gphf := {(x, f (x)) | x ∈ domf } Trên đồ thị của f : epif := {(x, v) ∈ Rn × R : v ≥ f (x)} Định nghĩa 1.10 Hàm f được gọi là hàm lồi nếu epif là tập lồi Hàm f được gọi là hàm lõm nếu −f là hàm lồi Hàm f được gọi là hàm chính thường... + ty ∈ λX + µY Vậy λX + µY là tập lồi Định nghĩa 1.2 Một điểm x được gọi là tổ hợp lồi của các điểm x1 , x2 , , xm , nếu tồn tại các số thực không âm α1 , α2 , , αm sao cho x = α1 x1 + α2 x2 + + αm xm và α1 + α2 + + αm = 1 Định nghĩa 1.3 Bao lồi của X ( kí hiệu: convX) là giao của tất cả các tập lồi chứa X Bổ đề 1.3 Bao lồi của X là tập hợp các tổ hợp lồi của các điểm thuộc X m convX = {x | x =... rất quan trọng cho việc phát triển các điều kiện tối ưu của bài toán tối ưu hóa phi tuyến Nói chung, nón của các hướng tiếp xúc có thể không lồi làm cho giải tích của tối ưu hóa trở nên khó khăn Nhưng ta vẫn có thể đồng nhất một vài trường hợp quan trọng khi những nón này là lồi và ta có thể đưa ra phân tích chúng Nhắc lại về khái niệm nón các phương chấp nhận được của X tại x: KX (x) = {d ∈ Rn : d... kiện cần của tính tối ưu, ta hạn chế tập các nhiễu chấp nhận được của hướng tiếp xúc tại x¯ Định lý 1.12 Giả sử x¯ là cực tiểu địa phương của bài toán (1.27) và hàm f khả vi tại x¯ Cho TX (¯ x) là nón tiếp tuyến của tập X tại x¯ Khi đó −∇f (¯ x) ∈ [TX (¯ x)]o (1.28) Như vậy, nếu hàm f là hàm lồi, tập X là tập lồi và điểm x¯ ∈ X thỏa mãn điều kiện (1.28) thì x¯ là nghiệm cực tiểu toàn cục của bài toán... hay đểm cực tiểu toàn cục) nếu f (x) ≥ f (¯ x), với mọi x ∈ X +X = Rn thì (P ) được gọi là bài toán tối ưu không ràng buộc +X = Rn thì (P ) được gọi là bài toán tối ưu có ràng buộc Định lý 1.10 Giả sử f : Rn → R là hàm khả vi tại x¯ và X = Rn i) Nếu x¯ là một nghiệm cực tiểu địa phương của (P ) thì ∇f (¯ x) = 0 ii) Nếu f là hàm lồi và ∇f (¯ x) = 0 thì x¯ là một nghiệm cực tiểu toàn cục của (P ) Chứng... epif Vậy epif là tập lồi hay f là hàm lồi Định nghĩa 1.11 Hàm f được gọi là hàm lồi chặt nếu với mọi x1 = x2 , với mọi t ∈ (0; 1) ta có: f ((1 − t)x1 + tx2 ) ≤ (1 − t)f (x1 ) + tf (x2 ) Bổ đề 1.10 Giả sử fi (i ∈ I) là các hàm lồi Khi đó, f (x) = sup fi (x) i∈I là một hàm lồi Chứng minh Ta chú ý rằng epif = epifi i∈I Khi đó, theo Bổ đề 1.1 ta có điều phải chứng minh 1.1.6 Hàm lồi khả vi Phần này trình... (x) 1.2 Các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu trơn có ràng buộc 1.2.1 Các điều kiện cho bài toán tối ưu không có ràng buộc Cho f : Rn → R, X ⊂ Rn Xét bài toán (P ) : min f (x) x∈X Điểm x¯ ∈ X được gọi là nghiệm địa phương (hay điểm cực tiểu địa phương) của (P ) nếu tồn tại ε > 0: f (x) ≤ f (¯ x), với mọi x ∈ X ∩ B(¯ x, ε) Điểm x¯ ∈ X được gọi là nghiệm toàn cục ( hay nghiệm cực tiểu toàn cục hay... MangasarianFromovitz Xét bài toán tối ưu có ràng buộc: min f (x), x∈X (1.27) với hàm khả vi f : Rn → R và tập X ⊂ Rn Nếu nghiệm của bài toán x¯ là một điểm biên của tập chấp nhận được X, điều kiện cần của tính tối ưu được trình bày trong Định lý 1.10 không cần phải thỏa mãn Lý do chính là nhiễu của điểm x¯ khi mà lấy nó ra khỏi tập X chấp nhận được là không được phép và do đó chúng có thể làm giảm hàm mục tiêu Để có... 1.1.7 Dưới vi phân Định nghĩa 1.12 Cho f : Rn → R là một hàm lồi chính thường và x¯ ∈ domf Điểm x∗ ∈ Rn được gọi là dưới vi phân của f tại x¯ nếu f (x) ≥ f (¯ x) + x∗ , x − x¯ , ∀x ∈ Rn 18 Tập các dưới vi phân của f tại x¯ được kí hiệu là: ∂f (¯ x) Ví dụ 1.1 Cho hàm f (x) = x2 , tìm dưới vi phân của hàm f tại x¯ = 1 Giả sử x∗ là dưới vi phân của f tại x¯, khi đó ta có: x2 ≥ 1 + x∗ (x − 1), ∀x ∈ R... là tổ hợp lồi của tất cả các điểm thuộc X Nếu y1 ∈ Y, y2 ∈ Y , khi đó: y1 = α1 x1 + α2 x2 + + αm xm , y2 = β1 z1 + β2 z2 + + βl zl , trong đó, x1 , , xm , z1 , , zm ∈ X, các hệ số α, β là các hệ số không âm và m l αi = 1, βi = 1 i=1 i=1 Do đó, với mỗi t ∈ (0; 1) thì m (1 − t)y1 + ty2 = l (1 − t)αi xi + i=1 tβi zi i=1 là một tổ hợp lồi của các điểm x1 , , xm , z1 , , zm Do đó, tập Y là tập lồi Rõ ràng, ... vấn đề tối ưu hoá hàm lồi toàn cục Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu vấn đề Giải tích lồi như: Tập lồi, hàm lồi, vi phân hàm lồi, điều kiện cực trị, Nghiên cứu vấn đề tối ưu hoá hàm lồi toàn cục Phương... Lagrange Các điều kiện (1.34)-(1.35) gọi điều kiện Karush-Kuhn-Tucker(KKT ) 34 Chương Tối ưu hoá hàm lồi toàn cục 2.1 Một số phiên lồi toàn cục Một số phiên lồi toàn cục: Về việc tối ưu hoá, vài... bày kiến thức sở Giải tích lồi như: Tập lồi, hàm lồi, vi phân hàm lồi, điều kiện cực trị, Chương Trình bày vấn đề tối ưu hóa hàm lồi toàn cục Các kết chương trình bày cách chi tiết kết có [17]