Đối với các kết quả ở mục trên, miền lồi C không cần phải là miền đóng và có thể nằm trong không gian định chuẩn tuỳ ý. Tuy nhiên, từ giờ trở đi để thuận tiện khi làm việc ta có điều sau:
Giả thuyết: E là một không gian vectơ định chuẩn hữu hạn chiều và C là tập trong E, nghĩa là C là đóng, lồi, không rỗng và không chứa bất kì đường nào. Tập hợp các điểm cực trị và không phải cực trị của C
được kí hiệu lần lượt là Ce và Cm.
Ta biết rằng Ce là không rỗng, thật vậy C là bao lồi của hợp các điểm cực biên của nó và các tia cực biên [11]. Với mỗi c ∈ C, giả sử
ξ(C, c) =inf{kc−pk : p∈ Ce},
là khoảng cách từ điểm c tới tập Ce. Đây là một độ đo sao cho điểm c đến gần điểm cực trị của C. Độ đo như vậy được cho bởi µ(C, c) được định nghĩa là 0 khi c ∈ Ce và là nửa độ dài của một đoạn dài nhất trong C mà có c là trung điểm khi c ∈ Cm. (Sự tồn tại của điểm như vậy dễ dàng có được bằng cách sử dụng tính compact của hình cầu đơn vị E, tính đóng củaC và việc C không chứa đường nào). Lưu ý µ(C, c) là số σ nhỏ nhất mà mỗi đường L trong E qua c bao gồm điểm cuối của LTC mà khoảng cách σ lớn nhất từ c.
Khi C là cố định, hàm ξ(C, c)|c∈C được kí hiệu bởi ξ(C, .); tương tự cho các hàm µ(C, c)|c∈C và ρ(C, c)|c∈Cm, trong đó
ρ(C, c) = ξ(C, c)
µ(C, c).
Tất nhiên, ρ(C, .) ≡ 1 khi C là 1-chiều, nhưng nói chung hai độ đo của các cực gần nhau là khác nhau và sự di chuyển của hàm ρ(C, .) được quan tâm. Như đã giải thích trong phần giới thiệu, giá trị cực trị
ρ(C) = sup{ρ(C, c) : c ∈ Cm}
đóng vai trò thiết yếu trong việc mở rộng tính chất của Định lý 2.9 của (P2) tới hàm δ-lồi. Do đó giá trị cực trị
ρ(E) = sup{ρ(C) : C ⊂ E} cũng được quan tâm vì nó là ước lượng trong phần 2.5.
Nó sẽ được xét đến theo các giả định khác nhau liên quan đến tập C, để biết độ phức tạp của việc tính toán ξ(C, c), µ(C, c), ρ(C, c) và ρ(C) khi C là bị chặn, sự phức tạp của việc tính toán
ξ(C) =sup{ξ(C, c) : c ∈ C} và µ(C) =sup{µ(C, c) : c ∈ C}. Tất nhiên, ξ(C) ≤ 1
2δ(C) và µ(C) ≤ 1
2δ(C), ở đây δ(C) là đường kính của C. Khi C là hình đa diện với các đỉnh của nó, δ(C) và ξ(C, c) dễ dàng tính toán nhưng việc tính các số khác có vẻ khó khăn. Cho một đa diện có biên siêu phẳng, việc tính δ(C) là khó khăn trong không gian lp với 1≤ p < ∞ [7], và tương tự cũng như vậy đối với các số khác.
Phần còn lại của mục này được dành cho một số tính chất định tính của hàm ξ(C, .), µ(C, .) và ρ(C, .). Đối với những tính chất này đủ để kết hợp với chuẩn Euclide thông thường cho Rd, vì mỗi chuẩn cho Rd được kết hợp giữa hai bội dương của chuẩn Euclide. Tuy nhiên số lượng chi tiết trong phần 2.4. và phần 2.5. phụ thuộc vào sự lựa chọn của chuẩn.
Định lý 2.6. Với mỗi tập C, hàm ξ(C, .) liên tục khắp nơi và hàm
µ(C, .) liên tục hầu khắp nơi.
Chứng minh. Dùng bất đẳng thức tam giác thấy rằng|ξ(C, x)−ξ(C, y)| ≤ kx−yk, từ đây suy ra ξ(C, .) liên tục. Tính hầu liên tục của µ(C, .) có được từ một lập luận đơn giản dựa trên tính đóng của C và tính compact của hình cầu đơn vị trong không gian chứa.
Với mỗi d ≥ 3, tồn tại một tập compact C ⊂ Rd chứa tập Ce của các điểm cực trị là không đóng. (Ví dụ cho C là bao lồi của một d−1-chiều hình cầu B và một đoạn S trực giao với siêu phẳng B và có tâm tại điểm p trong biên A của B. Khi đó p ∈ Cm nhưng A\ {p} ⊂ Ce.
Rõ ràng hàm µ(C, c) không liên tục tại mỗi điểm p của Cm thuộc tập đóng của Ce, và trong thực tế hạn chế của µ(C, .) trên Cm ∪ {p} cũng không liên tục tại p.
Mặc dù hàm µ(C, .) không cần phải liên tục khắp nơi, tính liên tục tại các điểm có thể được thiết lập. Bổ đề sau đây hữu ích cho mục đích đó. (Các từ được sử dụng ở đây là: một đa diện là một tập hợp giao điểm của một số hữu hạn nửa mặt phẳng khép kín, một hình đa diện là một đa diện bị chặn.
Bổ đề 2.1. Giả sử C là một tập trong Rd, gốc 0 là trung điểm của khoảng
(−q, q) trong C và H là siêu phẳng qua 0 trực giao với đoạn thẳng này. Nếu C là một đa diện hay có gốc ở trong C, thì với mỗi λ ∈ (0,1) có một lân cận U của 0 trong C ∩H sao cho tổng vectơ
U +λ(−q, q) = {u+ λq : u ∈ U, |τ| < λ}
là một lân cận của 0 trong C.
Chứng minh. Trong trường hợp 0 ∈ intC dành cho người đọc. Trong trường hợp còn lại có một đại diện của C có dạng C = Tn
i=1Ki, ở đây Ki là nửa mặt phẳng đóng với siêu phẳng bị chặn Ji, với mỗi m ≥ 1,
0 ∈ Tm
i=1Ji và 0 ∈ intTn
i=m+1Ki. Nhờ một định lý đã biết ([6] [12]), đa diện K = Tm
i=1Ki là tổng trực tiếp của không gian con J = Tm i=1Ji và nón đa diện K T
J⊥, ở đây J⊥ là bù trực giao của J. Tất nhiên,
(−q, q) ⊂ J, J⊥ ⊂H. Do đó đoạn [−λq, λq] nằm trong giao Tni=m+1Ki, trong đó η là một số dương như giao này chứa tổng vectơ của đoạn
[−λq, λq] và η-lân cận V của gốc trong Rd. Do đó tập U = V T
CT
H là lân cận cần tìm của 0 trong CT
H.
Định lý 2.7. Hàm µ(C, .) liên tục tại mỗi điểm trong của C và nếu C
Chứng minh. Từ Định lý 2.6, hàmµ(C, .) liên tục hầu khắp nơi. Để hoàn thành chứng minh, ta chỉ ra rằng nếu p là điểm trong tới C hoặc p ∈ C và C là hình đa diện thì µ(C, .) liên tục yếu tại p. Điều này là hiển nhiên khi µ(C, p) = 0 với hàm µ không âm. Tiếp theo, giả sử µ(C, p) > 0, giả sử không giảm tổng quát rằng p = 0 và cho [−q, q] là đoạn dài nhất trong C có 0 là trung điểm. Bây giờ xét một λ ∈ (0,1) tuỳ ý và cho U như trong Bổ đề 2.1. Khi đó với mỗi ∈ (0, λ), tập W = U +(−q, q) là lân cận của 0 trong C và với mỗi w ∈ W điều sau đây đúng
w+ (λ−) (−q, q) ⊂ U +λ(−q, q) ⊂ C
và do đó µ(C, w) ≥ (λ−)kqk. Điều này cho thấy hàm µ(C, .) liên tục yếu tại p.
Bổ đề 2.2. Nếu C là một hình nón nhọn, thì hàm ρ(C, .) đạt cực tiểu dương trên C. Nếu C là hình nón đa diện, thì ρ(C, .) đạt cực đại trên C. Chứng minh. Ta giả sử không giảm tính tổng quát rằng gốc là đỉnh của C, nơi mà có một siêu phẳng H không đi qua gốc và có một tập compact B trongH sao choC = [0,∞)B. Do đóC là một hình nón,Cm = C\{0}, và với mỗi c ∈ Cm và λ >0 thì những điều sau đúng ξ(C, λc) = λξ(C, c)
và µ(C, λc) = λµ(C, c). Do đó khoảng biến thiên giao độ của hàm ρ(C, .)
trên Cm bằng khoảng biến thiên giao độ của nó trên B.
Trên tập B, các hàm ξ(C, .) và µ(C, .) đều dương. Từ Định lý 2.6, ξ(C, .) liên tục và µ(C, .) liên tục hầu khắp nơi. Do đó thương ρ(C) liên tục yếu và dương trên tập compact B, đạt cực tiểu dương trên B.
Nếu C là hình đa diện thì từ Định lý 2.7, hàm µ(C, .) liên tục thực sự trên C, từ đó ρ(C, .) là liên tục và do đó đạt được cực đại trên tập compact B.
Bổ đề 2.3. Nếu tập C là không bị chặn và tập hợp các điểm cực trị Ce
của nó bị chặn thì
lim
n→∞sup{ρ(C, c) : c ∈ Cm,kck ≥ n} = 1.
Chứng minh. Ta giả sử không giảm tổng quát là gốc 0 thuộc tập bị chặn Ce. Cho K là hợp của tất cả các tia xuất phát từ 0 và bị chứa trong C, và gọi B là bao lồi đóng của Ce. Khi đó K là một nón lồi đóng, B là một tập lồi compact và C = B + K. Đặt β = sup{kbk : b ∈ B}. Do đó 0 ∈ Ce và ξ(C, c) ≤ kck đúng với mỗi điểm c ∈ C. Với mỗi điểm c ∈ C \B có ít nhất một biểu diễn dưới dạng c = b+ k với b ∈ B và k ∈ K\ {0}. Với mỗi biểu diễn như thế thì b+ 2k ∈ C, từ đó c ∈ Cm với µ(C, c) ≥ kkk và do đó
ρ(C, c) ≤ (kkk+β)/kkk. Từ đó ta có
lim
n→∞sup{ρ(C, c) : c ∈ Cm,kck ≥ n} ≤ 1.
Khi điểm c ∈ K \B thuộc R, [0,2c] là đoạn duy nhất dài nhất trong C có c là trung điểm, và do đó
ρ(C, c) ≥ (kkk −β)/kck = 1. Điều này có nghĩa là
lim
n→∞sup{ρ(C, c) : c ∈ Cm,kck ≥ n} ≥ 1.
Định lý 2.8. Nếu C là một đa diện thì hàm ρ(C, .) đạt một cực đại
Chứng minh. Xét một cạnh tuỳ ý hoặc tia cực trị R của C và một điểm đầu mút p của R. Khi đó p ∈ Ce và tập Ce là hữu hạn, vì vậy với mỗi điểm c ∈ R\ {p} đủ gần p thì c ∈ Cm và
ξ(C, c) =kc−pk = µ(C, c). Điều này có nghĩa là hàm ρ(C, .) đạt giá trị 1.
Bây giờ giả sử rằng hàm ρ(C, .) không đạt giá trị cực đại trên Cm và giả sử c1, c2, ... là dãy trong Cm sao cho
ρ(C, cn) →ρ(C) khi n → ∞.
Nếu kcnk → ∞ thì ρ(C) ≤1 theo Bổ đề 2.3, và điều cần chứng minh có được từ phần trên.
Trong trường hợp còn lại, ta có thể giả sử rằng dãy c1, c2, ... hội tụ tới một điểm p∈ C. Nếu p ∈ Cm thì ρ(C, c) =ρ(c) theo Định lí 2.7. Nếu p ∈ Cm thì p ∈ Ce. Không khó để kiểm tra rằng các giá trị của ρ(C, c)
đạt được khi điểm c ∈ Cm thuộc lân cận đủ nhỏ của điểm cực trị p là giá trị đạt được bởi hàm ρ(K, .), ở đây K là hình nón gồm các tia xuất phát từ p và đi qua các điểm khác nhau của C. Khi C là một đa diện, hình nón K cũng là đa diện và hàm ρ(K, .) đạt một giá trị cực đại theo Bổ đề 2.2.
Kết thúc phần này, ta lưu ý rằng đối với mỗi tập 2-chiều C, bốn điều kiện dưới đây là tương đương: (a) C là đa diện; (b) tập Ce là hữu hạn; (c) hàmρ(C, .) đạt cực tiểu; (d) cận dưới đúng của ρ(C, .) là dương. Tất nhiên (a) bao hàm (b) & (c) & (d). Tuy nhiên, với các tập trong R3, (b) & (c) & (d) không bao hàm (a), (c) không bao hàm (b) hoặc (d) và một số câu hỏi về tác động trong những điều kiện này chưa được giả quyết. Đặc biệt chúng ta không biết liệu (d) có bao hàm (c) hoặc liệu (d) có bao hàm (b) hay không.