Về tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————- LÊ HẢI LY VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA DƯỚI VI PHÂN HÀM LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ HẢI LY VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA DƯỚI VI PHÂN HÀM LỒI Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH LÊ DŨNG MƯU HÀ NỘI−2016 Mục lục Lời nói đầu Danh mục kí hiệu Tập lồi hàm lồi không gian vectơ tôpô 1.1 Không gian vectơ tôpô 1.2 Tập lồi 1.3 Hàm lồi 13 Tính đơn điệu vi phân hàm lồi 20 2.1 Dưới vi phân 20 2.2 Tính đơn điệu vi phân hàm lồi 31 Ứng dụng toán tối ưu 39 3.1 Tồn nghiệm 39 3.2 Điều kiện tối ưu 41 3.3 Ứng dụng tính đơn điệu vào toán tối ưu 50 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 LỜI NĨI ĐẦU Giải tích lồi mơn giải tích đại, có vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán học ứng dụng, đặc biệt tối ưu hoá, toán cân bằng, Khái niệm vi phân khái niệm mở rộng khái niệm vi phân hàm lồi Khái niệm Jean Jacques Moreau R Tyrrell Rockafellar đưa vào năm sáu mươi kỉ 20 mở kỉ nguyên cho lĩnh vực giải tích khơng trơn phát triển rực rỡ Như biết, đạo hàm công cụ cổ điển nghiên cứu tính chất hàm tính tăng, giảm, điểm cực trị, tính hàm khả vi Tuy nhiên vấn đề thực tiễn, lớp hàm xuất thường hàm lồi không khả vi, chẳng hạn hàm khoảng cách hay hàm max, hàm Vậy nên toán tối ưu cần vi phân để khảo sát tính cực tiểu lớp hàm Tính đơn điệu vi phân hàm lồi tính chất quan trọng hàm lồi Ta thấy với hàm lồi biến khả vi đạo hàm hàm đơn điệu khơng giảm Tính chất mở rộng cho hàm lồi nhiều biến khơng thiết khả vi Khi ánh xạ (toán tử) x → ∂f (.) ánh xạ đa trị Trên thực tế lớp toán tử đơn điệu tuần hồn cực đại trùng với lớp tốn tử vi phân hàm lồi, đóng, thường Do vậy, mục đích luận văn nghiên cứu vi phân hàm lồi tính đơn điệu vi phân hàm lồi Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức như: Không gian tôpô, không gian tôpô lồi địa phương, tập lồi, hàm lồi, Chương 2: Nội dung chương trình bày: Khái niệm vi phân hàm lồi không gian tôpô tính chất vi phân khơng gian Hilbert: tính đơn điệu (đơn điệu mạnh, đơn điệu tuần hoàn, đơn điệu cực đại) Chương 3: Ứng dụng vi phân hàm lồi tính đơn điệu vi phân hàm lồi toán tối ưu Danh mục kí hiệu R: Tập số thực; ¯ Tập số thực mở rộng (R ¯ = R ∪ {−∞; +∞}); R: N: Tập hợp số tự nhiên; ¯ Bao đóng A; A: coA: Bao lồi A; af f (A): Bao affine tập A; ri(A): Tập điểm tương đối A; coA: ¯ Bao lồi đóng A; intA: Tập điểm A; coreA: Lõi tập A; spanx0 : Không gian căng x0 ; f |M : Hạn chế f tập M ; H, K: không gian Hilbert thực; 2H : Tập tất tập H; : Chuẩn không gian Hilbert; x, y : Tích vơ hướng hai vectơ x y; B(H, K): Khơng gian tốn tử bị chặn từ H vào K linA: Bao tuyến tính A; Γ(H): Tập hàm lồi nửa liên tục từ H vào [−∞; +∞]; Γ0 (H): Tập hàm lồi nửa liên tục từ H vào (−∞; +∞]; f ∗ : Hàm liên hợp f ; f ⊕ f ∗ : Tổng trực tiếp f f ∗ ; domf : Miền hữu dụng hàm f ; epif : Trên đồ thị f ; ∂f (x): Dưới vi phân f x; ∇f (x): Đạo hàm f x; f (x; d): Đạo hàm theo hướng d f x; X # := L(X, R): Khơng gian phiếm hàm tuyến tính X Chương Tập lồi hàm lồi khơng gian vectơ tơpơ Mục đích chương nêu lại khái niệm giải tích lồi khơng gian vectơ tơpơ, tập lồi, hàm lồi không gian vectơ tôpô Các kiến thức chương trích từ tài liệu [2], [3] 1.1 Không gian vectơ tôpô Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập hợp khác rỗng Một họ τ tập X (hay τ ⊂ P (X)) gọi tơpơ X thỏa mãn tính chất sau: i) ∅, X ⊂ X ii) Giao số hữu hạn phần tử thuộc τ thuộc τ iii) Hợp họ tùy ý phần tử thuộc τ thuộc τ Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian tôpô (X, τ ) Một họ B gọi sở lân cận τ tập U ∈ τ biểu diễn dạng hợp tập thuộc B Định nghĩa 1.1.3 Một họ V ⊆ τ gọi sở lân cận x0 ∈ X lân cận U x0 tồn V ∈ V cho x0 ∈ V ⊆ U Ta có kết sau: Cho B ⊆ P(X ) Để tồn tôpô τ nhận B làm sở điều kiện cần đủ B thỏa mãn tính chất sau: i) V ∈B V = X ii) ∀U, V ∈ B; ∀x ∈ U ∩ V , ∃W ∈ B : x ∈ W ⊆ U ∩ V Cho họ C ⊆ P(X ) tùy ý Khi họ k Ci |k ∈ N∗ ; Ci ∈ C, ≤ i ≤ k B := i=1 thỏa mãn (i-ii) nên sở tơpơ τ X Định nghĩa 1.1.4 Một tập A không gian vectơ X gọi cân đối với |λ| ≤ ta có λA ⊆ A Định nghĩa 1.1.5 Một tập A không gian vectơ X gọi hấp thụ ∀v ∈ X, ∃ε > 0, (−εv, εv) ⊂ A hay cách tương đương, ∀v ∈ X, ∃δ > 0, ∀ |t| ≥ δ, v ∈ tA Một điểm x0 gọi điểm bọc A A − x0 hấp thụ Tập tất điểm bọc A, kí hiệu coreA, gọi lõi A Như vậy: x0 ∈ coreA ⇔ ∀v ∈ X, ∃ε > 0, ∀λ ∈ (−ε, ε) : x0 + λv ∈ A Một dãy vô hạn phần tử {xn } không gian tôpô (X, τ ) gọi hội tụ đến x ¯ với lân cận V x ¯ , tồn n0 cho với n > n0 ta có xn ∈ V , kí hiệu xn → x ¯ Định nghĩa 1.1.6 Một tập A X gọi compact dãy vô hạn phần tử A tồn dãy hội tụ đến điểm thuộc A 1.2 Tập lồi Định nghĩa 1.2.1 Cho X không gian vectơ tơpơ, hai điểm x, y ∈ X đó, ta có định nghĩa i) Một đường thẳng qua hai điểm x, y tập hợp có dạng L (x, y) = {λx + (1 − λ)y|λ ∈ R} ii) Đoạn thẳng nối hai điểm x, y X có dạng [x, y] = {λx + (1 − λ)y|λ ∈ [0, 1]} iii) Khoảng mở nối hai điểm x, y X có dạng (x, y) = {λx + (1 − λ)y|λ ∈ (0, 1)} iv) Nửa khoảng nối hai điểm x, y X có dạng [x, y) = {λx + (1 − λ)y|λ ∈ (0, 1]} Định nghĩa 1.2.2 Tập hợp C ⊂ X gọi tập lồi cặp x, y ∈ C ta có (x, y) ∈ C tức ∀x, y ∈ C ta có λx + (1 − λ)y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) Ví dụ 1.2.1 +) Các tam giác, hình tròn mặt phẳng tập lồi Chứng minh Giả sử x∗ nghiệm tối ưu toán lồi (3.4) Ta định nghĩa C := {(λ0 , λ1 , , λm , µ1 , , µk )|∃x ∈ X : f (x) − f (x∗ ) < λ0 , gi (x) ≤ λi , i = 1, , m, hj (x) = µj , j = 1, k} Do X = ∅ lồi, f , gi lồi hj affine X, tập C tập lồi đóng Rm+k+1 Ta có ∈ C Thật vậy, giả sử ngược lại, ∈ C, đó, tồn nghiệm khả thi x cho f (x) < f (x∗ ) Điều mâu thuẫn với x∗ nghiệm tối ưu Bởi định lí tách, tồn λ∗i (i = 0, 1, , m), µ∗j (j = 1, , k) không đồng thời cho k m λ∗i λi i=0 µ∗j µj ≥ ∀(λ0 , , λm , µ1 , , µk ) ∈ C + (3.5) j=1 Ta ý rằng, λ0 , , λm > cách đặt x = x∗ , ta có (λ0 , , λm , 0, , 0) ∈ C Do đó, ta thu λ∗0 , λ∗1 , , λ∗m ≥ Thêm vào đó, với ε > x ∈ X, ta đặt λ0 = f (x) − f (x∗ ) + ε, λi = gi (x)(i = 1, , m), µj = hj (x)(i = 1, , k) sử dụng bất đẳng thức (3.5) với ε → 0, ta thu m λ∗0 f (x) k λ∗i gi (x) + i=0 i=1 m λ∗0 f (x∗ ) k λ∗i gi (x∗ ) + µ∗i hi (x) ≥ + µ∗i hi (x∗ ) ∀x ∈ X + i=1 i=1 hay L(x∗ , λ∗ , µ∗ ) ≤ L(x, λ∗ , µ∗ ) ∀x ∈ X Vậy điều kiện đạo hàm triệt tiêu chứng minh 44 Để chứng minh điều kiện bù, ta thấy rằng, x∗ khả thi, gj (x∗ ) ≤ với j Nếu tồn j cho gi (x∗ ) = ξ < 0, ε > 0, ta có (ε, , ξ, ε, , ε, 0, , 0) ∈ C (ξ vị trí i + 1) Thay vào (3.5) cho ε → 0, ta có λ∗i ξ ≥ Nhưng, ξ < 0, ta có λ∗i ≥ Do đó, λ∗i = Bây giờ, ta chứng minh điều kiện đủ Trước tiên, ta có khẳng định λ∗0 > Thật vậy, giả sử phản chứng, λ∗0 = 0, điều kiện đạo hàm triệt tiêu bù, ta có m k λ∗i gi (x∗ ) 0= m µ∗j hj (x∗ ) + i=1 k λ∗i gi (x) ≤ j=1 µ∗j hj (x)∀x ∈ X + i=1 j=1 Nhưng λ∗0 = 0, nên tồn i cho λ∗i > 0, λ∗i = với i, tồn j để µ∗j > Xét trường hợp đầu tiên, thay x0 bất đẳng thức ta thu λ∗i gi (x∗ ) 0= µ∗j hj (x∗ ) + λ∗i gi (x0 ) ≤ µ∗j hj (x0 ) < + j=1 i=1 j=1 i=1 k m k m Điều mâu thuẫn Đối với trường hợp sau, ta có k k µ∗j hj (x∗ ) 0= j=1 µ∗j hj (x0 )∀x ∈ X ≤ j=1 Do intX = hj affine với j nên k µ∗j hj (x) = ∀x ∈ X j=0 Theo giả thiết, hj độc lập tuyến tính X, ta dẫn đến µ∗j = với j, điều mâu thuẫn với việc λ∗i µ∗j khơng đồng thời Do đó, λ∗0 > Từ λ∗0 > 0, chia cho λ∗0 > ta giả thiết hàm Lagrange có dạng m L(x, λ, µ) = f (x) + k λi gi (x) + i=1 45 µj hj (x) j=1 Sử dụng lại điều kiện đạo hàm triệt tiêu điều kiện bù ta có, với nghiệm khả thi x m ∗ k ∗ ∗ f (x ) = f (x ) + ∗ µj ∗ hj (x∗ ) λi gi (x ) + i=1 j=1 m k ∗ ≤ f (x) + µj ∗ hj (x) ≤ f (x) λi gi (x) + i=1 j=1 x∗ nghiệm khả thi (3.4) Nhắc lại: Nếu X mở, đó, Moreau - Rockafellar, điều kiện đạo hàm triệt tiêu kéo theo m k ∗ ∗ ∈ ∂f (x ) + ∗ µi ∗ ∇hi (x∗ ) λj ∂gj (x ) + j=1 i=1 Khi f tất gj khả vi trở thành m ∗ k ∗ ∗ = λ0 ∇f0 (x ) + ∗ µi ∗ ∇hi (x∗ ) λj ∇gj (x ) + j=1 i=1 Định nghĩa 3.2.1 (Hướng khả thi) Một vectơ d = gọi hướng khả thi C x∗ ∈ C x∗ + λd ∈ C, ∀λ > đủ nhỏ Ký hiệu C(x∗ ) tập tất hướng khả thi C x∗ C(x∗ ) bao đóng Định lý 3.2.3 Giả sử f khả vi tập mở chứa C x∗ điểm cực tiểu địa phương f C Khi dT ∇f (x∗ ) ≥ 0, ∀d ∈ C(x∗ ) (3.6) Chứng minh Theo khai triển Taylor f (x∗ + λd) = f (x∗ ) + λ ∇f (x∗ ), d + o (λ d ) 46 (3.7) Từ x∗ cực tiểu địa phương, f (x∗ + λd) − f (x∗ ) ≥ 0, ∀λ > đủ nhỏ Như (3.7) kéo theo dT ∇f (x∗ ) + o (λ d ) ≥ 0, ∀λ > đủ nhỏ λ Từ dT ∇f (x∗ ) ≥ 0, ∀d ∈ C(x∗ ) Điểm x∗ ∈ C thoả mãn (3.6) gọi điểm dừng f C (chú ý điểm dừng khơng cực tiểu địa phương) Bây xét toán (3.1) minf (x) với giả thiết x ∈ C := {x ∈ X, gj (x) ≤ 0, hi (x) = 0, j = 1, , m; i = 1, , k} Cho x0 ∈ C A(x0 ) := j|gj (x0 ) = tập số tích cực Cho S(x0 ) tập nghiệm hệ tuyến tính sau ∇hi (x0 ), d = 0, i = 1, , k ∇gj (x0 ), d ≤ 0, j ∈ A(x0 ) Dễ thấy C(x0 ) ⊆ S(x0 ) Ta nói điều kiện quy thoả mãn x0 S(x0 ) = C(x0 ) Định lý 3.2.4 (Kuhn - Tucker) Giả sử f, gj , hi liên tục khả vi Cho x∗ nghiệm tối ưu địa phương (3.1) thoả mãn điều kiện quy Khi đó, tồn nhân tử Lagrange λ∗ = (λ1 ∗ , , λm ∗ ) ≥ 0, µ∗ = (µ1 ∗ , , µm ∗ ) 47 (3.8) cho m k ∗ ∗ ∇f (x ) + ∗ µi ∗ ∇hi (x∗ ) = λj ∇gj (x ) + j=1 (3.9) i=1 λj ∗ gj (x∗ ) = 0, ∀j = 1, , m(điều kiện đủ) (3.10) Nếu f, gi lồi hi affine với i, x∗ ∈ C theo (3.8), (3.9),(3.10) đúng, nghiệm tối ưu (3.1) Chứng minh Sử dụng khai triển Taylor f (x∗ + λd) = f (x∗ ) + ∇f (x∗ ), λd + r (λd) ta có ∇f (x∗ ), d ≥ 0, ∀d ∈ C(x∗ ) Từ C(x∗ ) = S(x∗ ) ta có ∇f (x∗ ), d ≥ 0, ∀d ∈ S(x∗ ) Áp dụng bổ đề Farkas với ma trận A có hàng −∇gj (x∗ ), j ∈ A(x∗ ), ∇hi (x∗ ), −∇hi (x∗ ), i = 1, , k, ta có số λj ∗ ≥ 0, j ∈ A(x∗ ) αi ∗ ≥ 0, βi ∗ ≥ 0, i = 1, , k cho k ∗ ∗ ∇f (x ) + (αi ∗ − βi ∗ ) ∇hi (x∗ ) = ∗ λj ∇gj (x ) + j∈A(x∗ ) i=1 Lấy λj ∗ = 0, ∀j ∈ / A(x∗ ) µi ∗ = αi ∗ − βi ∗ , ∀i ta có (3.9),(3.10) Bây giờ, giả sử f, gi lồi hj affine với i Ta (3.8), (3.9),(3.10) điều kiện đủ cho x∗ ∈ C tối ưu (3.1) Thật vậy, x∗ không tối ưu, tồn x ∈ C cho f (x) < f (x∗ ) Cố định d = x − x∗ = Khi f (x∗ + td) − f (x∗ ) < t→0 t ∇f (x∗ ), d = lim Mặt khác, λj ∗ gj (x∗ ) = 0, ∀j, ta có λj ∗ = j ∈ / A(x∗ ) Cùng lúc, từ x ∈ C ta có ∇gj (x∗ ), x − x∗ ≤ gj (x) − gj (x∗ ) ≤ 0, ∀j ∈ A(x∗ ) Như vậy, λj ∗ ∇gj (x∗ ), d ≤ ∀j 48 Cho hàm hi , tính chất affine, với i ta có ∇hi (x∗ ), d = Do đó, cho µi , µi ∗ ∇hi (x∗ ), d = ∀i Kết hợp tất với ta có: m k ∗ ∇f (x ), d + λj ∗ ∗ µi ∗ ∇hi (x∗ ), d < ∇gj (x ), d + j=1 i=1 điều mâu thuẫn với (3.9) Nên x∗ tối ưu Ví dụ 3.2.2 Xét toán quy hoạch lồi M inf (x) = x21 + x22 với ràng buộc    x21 + x22 ≤      −x ≤   −x2 ≤      x + 2x = (3.11)    g1 (x) = x21 + x22 − ≤      g2 (x) = −x1 ≤ Ta có: (3.11) ⇔   g3 (x) = −x2 ≤      h (x) = x + 2x − = 1 với x = (x1 , x2 ) Khi T T T ∇f = (2x1 , 2x2 ) , ∇g1 = (2x1 , 2x2 ) , ∇g2 = (−1, 0) , T T ∇g3 = (0, −1) , ∇h1 = (1, 2) 49 Điều kiện Kuhn - Tucker có dạng  T T T T T   (2x1 , 2x2 ) + λ1 (2x1 , 2x2 ) + λ2 (−1, 0) + λ3 (0, −1) + µ1 (1, 2) =       λ1 (x21 + x22 − 5) =   λ2 (−x1 ) =      λ3 (−x2 ) =      µ1 (x1 + 2x2 − 4) = Xét x∗ = T T 5, T µ1 (1, 2) = (0, 0) Từ hệ ta có λ1 = λ2 = λ3 = Vậy T 5, + hay µ1 = − 85 Do đó, theo định lý Kuhn - Tucker x∗ nghiệm tối ưu 3.3 Ứng dụng tính đơn điệu vào tốn tối ưu Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert H Cho F : H → 2H toán tử đa trị Ta xét toán bất đẳng thức biến phân sau: (VIP) Tìm x∗ ∈ C, w∗ ∈ F (x∗ ) cho w∗ , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C Trong mục ta ứng dụng nguyên lý ánh xạ co Banach cho việc giải toán bất đẳng thức biến phân (VIP), tốn tử F toán tử mạnh đơn điệu C Trong phần này, giả sử C ⊆ domF Với x ∈ C w ∈ F (x) ta định nghĩa hàm g(x, w) := w, y − x + α y − x |y ∈ C , α > (3.12) Kí hiệu s(x, w) nghiệm tốn lồi với hàm mục tiêu có dạng tồn phương lồi mạnh Ta định nghĩa tốn tử đa trị H từ C tới C H(x) := {s(x, w)|w ∈ F (x)} 50 (3.13) Chú ý Khi F đơn trị ánh xạ H đơn trị Mệnh đề sau đặc trưng cho nghiệm (VIP) nghiệm toán tử H Mệnh đề 3.3.1 Một vectơ x∗ nghiệm (VIP) x∗ ∈ H(x∗ ) Chứng minh Cho x∗ nghiệm (VIP) Khi tồn w∗ ∈ F (x∗ ) cho w∗ , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C (3.14) Cho s(x∗ , w∗ ) nghiệm toán (3.12) với x = x∗ , w = w∗ Thay x = s(x∗ , w∗ ) vào (3.14), ta có w∗ , s(x∗ , w∗ ) − x∗ ≥ (3.15) Mặt khác, từ s(x∗ , w∗ ) nghiệm toán (3.12), ta có w∗ + α (s(x∗ , w∗ ) − x∗ ) , x − s(x∗ , w∗ ) ≥ 0, ∀x ∈ C (3.16) Với x = x∗ , trở thành w∗ + α (s(x∗ , w∗ ) − x∗ ) , x∗ − s(x∗ , w∗ ) ≥ (3.17) Cộng hai bất đẳng thức (3.15) (3.17), ta thu α (s(x∗ , w∗ ) − x∗ ) , x∗ − s(x∗ , w∗ ) ≥ Do đó, s(x∗ , w∗ ) = x∗ , điều kéo theo x∗ ∈ H(x∗ ) Ngược lại, giả sử x∗ ∈ H(x∗ ) Khi đó, s(x∗ , w∗ ) = x∗ với vài w∗ ∈ F (x∗ ) Chú ý rằng, với x ∈ C, w ∈ F (x), từ s(x∗ , w∗ ) = x∗ nghiệm (3.12) ta có w + α (s(x, w) − x) , y − s(x, w) ≥ 0, ∀y ∈ C Thay vào (3.18) với x = x∗ , w = w∗ , từ s(x∗ , w∗ ) = x∗ , ta có w∗ , y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ C nghĩa x∗ nghiệm (VIP) 51 (3.18) Bổ đề 3.3.1 Giả sử F β− đơn điệu mạnh C Nếu x, x ∈ C, w ∈ F (x), w ∈ F (x ) s(x, w) − s(x , w ) ≤ x−x − 2β x−x α + w−w α2 Chứng minh Bài toán (3.12) viết tương đương sau w, y − x + α y−x 2 + δC (y)|y ∈ H , δC (.) hàm C Từ s(x, w) nghiệm tốn khơng ràng buộc, điều cần đủ ∈ α (s(x, w) − x) + w + NC (s(x, w)) , điều kéo theo có z ∈ NC (s(x, w)) thoả mãn z = −α (s(x, w) − x) − w (1) Tương tự, với x ∈ C, w ∈ F (x ), có z ∈ NC (s(x , w )) thoả mãn z = −α (s(x , w ) − x ) − w (2) Do nón NC đơn điệu, ta có z − z , s(x, w) − s(x , w ) ≥ (3) Khi đó, từ (1), (2), (3) ta x−x − (w − w ) − (s(x, w) − s(x , w )) , s(x, w) − s(x , w ) α ≥ 0, điều kéo theo s(x, w) − s(x , w ) ≤ ≤ x − x − α1 (w − w ) − (s(x, w) − s(x , w )) , s(x, w) − s(x , w ) ≤ x − x − α1 (w − w ) s(x, w) − s(x , w ) Do s(x, w) − s(x , w ) ≤ x − x − α1 (w − w ) = x−x − α x − x ,w − w + α2 w−w (4) Từ F β− đơn điệu mạnh C, x − x ,w − w ≥ β x − x , ∀x, x ∈ C Do đó, từ (4) có s(x, w) − s(x , w ) ≤ x−x − ∀x, x ∈ C, ∀w ∈ F (x), ∀w ∈ F (x ) 52 2β α x−x + α2 w−w , Nhắc lại Ánh xạ F liên tục Lipschitz C với hệ số L > (hay L− Lipschitz) ρ (F (x), F (x )) ≤ L x − x , ∀x, x ∈ C, đây, ρ khoảng cách Hausdorff Khoảng cách Hausdorff hai tập A B định nghĩa sau: ρ (A, B) := max sup inf a − b , sup inf a − b b∈B a∈A a∈A b∈B Dưới hệ trực tiếp Bổ đề 3.2.1 Hệ 3.3.1 Nếu F β− đơn điệu mạnh L− Lipschitz C, s(x, w) − s(x , w ) ≤ δ x − x , ∀x, x ∈ C, ∀w ∈ F (x), ∀w ∈ F (x ), δ := 1− 2β α + L2 α2 Chú ý rằng, α > L2 2β < δ < Bổ đề 3.3.2 Giả sử F ánh xạ lồi đóng L− Lipschitz C Cho x, x ∈ C, w ∈ F (x) w hình chiếu w F (x ) Khi đó, w−w ≤L x−x Chứng minh Từ F ánh xạ lồi đóng, theo định nghĩa khoảng cách Hausdorff, ta có ρ (F (x), F (x )) = max {d (F (x), F (x )) , d (F (x ), F (x))} ≥ d (F (x), F (x )) = max u∈F (x) v∈F (x ) ≥ w−v v∈F (x ) = w−w 53 u−v đẳng thức cuối w hình chiếu w F (x ) Từ tính liên tục Lipschitz F , ta w−w Cho ≤ ρ (F (x), F (x )) ≤ L x − x > Theo Mệnh đề 3.3.1, ta nói điểm x∗ − nghiệm (VIP) tồn x ∈ H(x∗ ) cho x − x∗ < Thuật toán sau dành cho giải toán bất đẳng thức biến phân (VIP), toán tử đa trị dùng F đơn điệu mạnh L− Lipschitz C Thuật toán: Chọn dung sai > α > L2 2β Chọn x0 ∈ C, w0 ∈ F (x0 ) Lặp lại j, j = 0, , 1, 2, Giải toán lồi mạnh P (xj ) α x − xj thu nghiệm xj+1 Nếu + wj , x − xj |x ∈ C xj+1 − xj − nghiệm (VIP) Mặt khác, ≤ , kết thúc: xj xj+1 − xj > , chọn wj+1 ∈ F (xj+1 ), tăng j đến lặp lại j Định lý 3.3.1 Nếu thuật toán kết thúc vài lặp xj , xj − nghiệm (VIP) Nếu chưa kết thúc, dãy điểm xj hội tụ mạnh đến vài nghiệm x∗ (VIP) Hơn nữa, xj − x∗ ≤ δj x1 − x0 , ∀j 1−δ Nếu F nửa liên tục yếu C, dãy wj có giới hạn yếu w∗ ∈ C cho w∗ ∈ F (x∗ ) Chú ý Trong thuật toán trên, lặp j, ta chọn wj+1 ∈ F (xj+1 ) cho wj+1 − wj ≤ L xj+1 − xj 54 wj+1 hình chiếu wj F (xj+1 ), dãy wj hội tụ mạnh tới w∗ với hệ số sau: wj+1 − wj ≤ L.δ j 1−δ Cho f lồi mạnh, khả vi phân giả sử ánh xạ x → ∂f (.) liên tục Lipschitz với hệ số L (theo khoảng cách Hausdorff) Bây ta xét toán sau {f (x)|x ∈ C} (3.19) với C tập lồi đóng khác rỗng Do f lồi mạnh (với hệ số β > 0) nên g(x) = f (x) − β x lồi Do (3.19) có nghiệm (vì thoả mãn điều kiện bức) Ta có ∂f (.) tốn tử đơn điệu mạnh C với hệ số η ánh xạ x → ∂f (.) liên tục Lipschitz với hệ số L nên ánh xạ x → pC (x − λu) ánh xạ co < λ < L2 2β Do đó, dãy lặp xk+1 = pC (xk − λuk ), uk ∈ ∂f (xk ) hội tụ mạnh đến điểm bất động ánh xạ co pC (x − λu) tức là, x∗ = pC (x∗ − λu∗ ) ⇔ x∗ nghiệm tối ưu tốn (3.19) Khi việc giải tốn (3.19) đưa tốn tìm điểm bất động ánh xạ co theo nguyên lý ánh xạ co Banach Ví dụ 3.3.1 Cho f (x) = x21 + x22 + max {x1 + x2 ; x1 − x2 } Xét toán {min f (x) : x ∈ C} (3.20) với C = (x1 , x2 )|x21 + x22 ≤ Ta có f (x) hàm lồi mạnh với hệ số lồi β = không khả vi T điểm x = (x1 , 0)T ∂f (x1 , 0) = (2x1 , 2x2 ) + t(1, −1)T + (1 − t)(1, 1)T = T (2x1 + 1, 2x2 + − 2t) , ≤ t ≤ 1, đơn điệu mạnh với hệ số η = liên tục Lipschitz với hệ số L = hình tròn đơn vị C Do việc giải tốn (3.20) chuyển thành tốn tìm điểm bất động ánh xạ co pC (x − λu) với u ∈ ∂f (x), < λ < Tức x∗ = pC (x∗ − λu∗ ), với u∗ ∈ ∂f (x∗ ) 55 Lấy λ = 12 , xuất phát từ điểm x0 = (0, 0)T suy u0 = (1, − 2t)T ta có: x1 = PC (x0 − u0 ) = PC lấy t = T (− , − 2t) điểm (− 12 , 0)T ∈ C nên x1 = (− 12 , 0)T Tương tự ta tính x2 = PC (x1 − 12 u1 ) = (− 12 , 0)T = x1 Do vậy, điểm cực tiểu toán (3.20) x∗ = (− 21 , 0)T fmin = − 14 56 KẾT LUẬN Đóng góp luận văn bao gồm: Nêu kiến thức giải tích lồi khơng gian vectơ tơpơ đưa số ví dụ minh hoạ Tổng hợp lại định nghĩa, tính chất, ví dụ tính đơn điệu vi phân hàm lồi Trình bày vài ứng dụng vi phân hàm lồi tính đơn điệu vi phân hàm lồi vào toán tối ưu Mặc dù cố gắng, nhiên luận văn khơng tránh khỏi sai sót, mong nhận góp ý q thầy bạn đọc Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Hiền - Lê Dũng Mưu - Nguyễn Hữu Điển (2015), "Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng", NXBĐHQG Hà Nội [2] Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (2000), "Giải tích lồi", NXB Khoa học Kỹ thuật [3] Huỳnh Thế Phùng (2005), "Giải tích lồi", ĐH Khoa học Huế [4] H H Bauschke and P L Combettes (2010), "Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces", Springer [5] J Jahn (2007), "Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization", Springer [6] L D Muu (2008), "Optimization Theory", VAST [7] L D Muu - P.N Anh - V.H Nguyen - J.J Strodiot (2005), "Using the Banach Contraction Principle to Implement the Proximal Point Method for Multivalued Monotone Variational Inequalities", Springer [8] T Rockafellar (1970), "Convex Analysis", Princeton University Press, Princeton New Jersey [9] C Zălinescu (2002), "Convex Analysis in General Vector Space", World Scientific ... vi phân hàm lồi không gian tơpơ tính chất vi phân khơng gian Hilbert: tính đơn điệu (đơn điệu mạnh, đơn điệu tuần hoàn, đơn điệu cực đại) Chương 3: Ứng dụng vi phân hàm lồi tính đơn điệu vi phân. .. hay hàm max, hàm Vậy nên toán tối ưu cần vi phân để khảo sát tính cực tiểu lớp hàm Tính đơn điệu vi phân hàm lồi tính chất quan trọng hàm lồi Ta thấy với hàm lồi biến khả vi đạo hàm hàm đơn điệu. .. đó, f ∗ hàm lồi thường Định lý 1.3.7 Giả sử X không gian tôpô lồi địa phương Haussdorf, f : X → (−∞; +∞] Khi f = f ∗∗ ⇔ f lồi đóng 19 Chương Tính đơn điệu vi phân hàm lồi Dưới vi phân hàm lồi công