Về tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi

Header Page of 16 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————- LÊ HẢI LY VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA DƯỚI VI PHÂN HÀM LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2016 Footer Page of 16 Header Page of 16 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ HẢI LY VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA DƯỚI VI PHÂN HÀM LỒI Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH LÊ DŨNG MƯU HÀ NỘI−2016 Footer Page of 16 Header Page of 16 Mục lục Lời nói đầu Danh mục kí hiệu Tập lồi hàm lồi không gian vectơ tôpô 1.1 Không gian vectơ tôpô 1.2 Tập lồi 1.3 Hàm lồi 13 Tính đơn điệu vi phân hàm lồi 20 2.1 Dưới vi phân 20 2.2 Tính đơn điệu vi phân hàm lồi 31 Ứng dụng toán tối ưu 39 3.1 Tồn nghiệm 39 3.2 Điều kiện tối ưu 41 3.3 Ứng dụng tính đơn điệu vào toán tối ưu 50 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 Footer Page of 16 Header Page of 16 LỜI NÓI ĐẦU Giải tích lồi môn giải tích đại, có vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán học ứng dụng, đặc biệt tối ưu hoá, toán cân bằng, Khái niệm vi phân khái niệm mở rộng khái niệm vi phân hàm lồi Khái niệm Jean Jacques Moreau R Tyrrell Rockafellar đưa vào năm sáu mươi kỉ 20 mở kỉ nguyên cho lĩnh vực giải tích không trơn phát triển rực rỡ Như biết, đạo hàm công cụ cổ điển nghiên cứu tính chất hàm tính tăng, giảm, điểm cực trị, tính hàm khả vi Tuy nhiên vấn đề thực tiễn, lớp hàm xuất thường hàm lồi không khả vi, chẳng hạn hàm khoảng cách hay hàm max, hàm Vậy nên toán tối ưu cần vi phân để khảo sát tính cực tiểu lớp hàm Tính đơn điệu vi phân hàm lồi tính chất quan trọng hàm lồi Ta thấy với hàm lồi biến khả vi đạo hàm hàm đơn điệu không giảm Tính chất mở rộng cho hàm lồi nhiều biến không thiết khả vi Khi ánh xạ (toán tử) x → ∂f (.) ánh xạ đa trị Trên thực tế lớp toán tử đơn điệu tuần hoàn cực đại trùng với lớp toán tử vi phân hàm lồi, đóng, thường Do vậy, mục đích luận văn nghiên cứu vi phân hàm lồi tính đơn điệu vi phân hàm lồi Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức như: Không gian tôpô, không gian tôpô lồi địa phương, tập lồi, hàm lồi, Footer Page of 16 Header Page of 16 Chương 2: Nội dung chương trình bày: Khái niệm vi phân hàm lồi không gian tôpô tính chất vi phân không gian Hilbert: tính đơn điệu (đơn điệu mạnh, đơn điệu tuần hoàn, đơn điệu cực đại) Chương 3: Ứng dụng vi phân hàm lồi tính đơn điệu vi phân hàm lồi toán tối ưu Footer Page of 16 Header Page of 16 Danh mục kí hiệu R: Tập số thực; ¯ Tập số thực mở rộng (R ¯ = R ∪ {−∞; +∞}); R: N: Tập hợp số tự nhiên; ¯ Bao đóng A; A: coA: Bao lồi A; af f (A): Bao affine tập A; ri(A): Tập điểm tương đối A; coA: ¯ Bao lồi đóng A; intA: Tập điểm A; coreA: Lõi tập A; spanx0 : Không gian căng x0 ; f |M : Hạn chế f tập M ; H, K: không gian Hilbert thực; 2H : Tập tất tập H; : Chuẩn không gian Hilbert; x, y : Tích vô hướng hai vectơ x y; B(H, K): Không gian toán tử bị chặn từ H vào K linA: Bao tuyến tính A; Γ(H): Tập hàm lồi nửa liên tục từ H vào [−∞; +∞]; Γ0 (H): Tập hàm lồi nửa liên tục từ H vào (−∞; +∞]; f ∗ : Hàm liên hợp f ; f ⊕ f ∗ : Tổng trực tiếp f f ∗ ; domf : Miền hữu dụng hàm f ; epif : Trên đồ thị f ; ∂f (x): Dưới vi phân f x; Footer Page of 16 Header Page of 16 ∇f (x): Đạo hàm f x; f (x; d): Đạo hàm theo hướng d f x; X # := L(X, R): Không gian phiếm hàm tuyến tính X Footer Page of 16 Header Page of 16 Chương Tập lồi hàm lồi không gian vectơ tôpô Mục đích chương nêu lại khái niệm giải tích lồi không gian vectơ tôpô, tập lồi, hàm lồi không gian vectơ tôpô Các kiến thức chương trích từ tài liệu [2], [3] 1.1 Không gian vectơ tôpô Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập hợp khác rỗng Một họ τ tập X (hay τ ⊂ P (X)) gọi tôpô X thỏa mãn tính chất sau: i) ∅, X ⊂ X ii) Giao số hữu hạn phần tử thuộc τ thuộc τ iii) Hợp họ tùy ý phần tử thuộc τ thuộc τ Footer Page of 16 Header Page of 16 Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian tôpô (X, τ ) Một họ B gọi sở lân cận τ tập U ∈ τ biểu diễn dạng hợp tập thuộc B Định nghĩa 1.1.3 Một họ V ⊆ τ gọi sở lân cận x0 ∈ X lân cận U x0 tồn V ∈ V cho x0 ∈ V ⊆ U Ta có kết sau: Cho B ⊆ P(X ) Để tồn tôpô τ nhận B làm sở điều kiện cần đủ B thỏa mãn tính chất sau: i) V ∈B V = X ii) ∀U, V ∈ B; ∀x ∈ U ∩ V , ∃W ∈ B : x ∈ W ⊆ U ∩ V Cho họ C ⊆ P(X ) tùy ý Khi họ k Ci |k ∈ N∗ ; Ci ∈ C, ≤ i ≤ k B := i=1 thỏa mãn (i-ii) nên sở tôpô τ X Định nghĩa 1.1.4 Một tập A không gian vectơ X gọi cân đối với |λ| ≤ ta có λA ⊆ A Định nghĩa 1.1.5 Một tập A không gian vectơ X gọi hấp thụ ∀v ∈ X, ∃ε > 0, (−εv, εv) ⊂ A hay cách tương đương, ∀v ∈ X, ∃δ > 0, ∀ |t| ≥ δ, v ∈ tA Một điểm x0 gọi điểm bọc A A − x0 hấp thụ Tập tất điểm bọc A, kí hiệu coreA, gọi lõi A Như vậy: x0 ∈ coreA ⇔ ∀v ∈ X, ∃ε > 0, ∀λ ∈ (−ε, ε) : x0 + λv ∈ A Footer Page of 16 Header Page 10 of 16 Một dãy vô hạn phần tử {xn } không gian tôpô (X, τ ) gọi hội tụ đến x ¯ với lân cận V x ¯ , tồn n0 cho với n > n0 ta có xn ∈ V , kí hiệu xn → x ¯ Định nghĩa 1.1.6 Một tập A X gọi compact dãy vô hạn phần tử A tồn dãy hội tụ đến điểm thuộc A 1.2 Tập lồi Định nghĩa 1.2.1 Cho X không gian vectơ tôpô, hai điểm x, y ∈ X đó, ta có định nghĩa i) Một đường thẳng qua hai điểm x, y tập hợp có dạng L (x, y) = {λx + (1 − λ)y|λ ∈ R} ii) Đoạn thẳng nối hai điểm x, y X có dạng [x, y] = {λx + (1 − λ)y|λ ∈ [0, 1]} iii) Khoảng mở nối hai điểm x, y X có dạng (x, y) = {λx + (1 − λ)y|λ ∈ (0, 1)} iv) Nửa khoảng nối hai điểm x, y X có dạng [x, y) = {λx + (1 − λ)y|λ ∈ (0, 1]} Định nghĩa 1.2.2 Tập hợp C ⊂ X gọi tập lồi cặp x, y ∈ C ta có (x, y) ∈ C tức ∀x, y ∈ C ta có λx + (1 − λ)y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) Ví dụ 1.2.1 +) Các tam giác, hình tròn mặt phẳng tập lồi Footer Page 10 of 16 Header Page 11 of 16 +) Toàn không gian tập lồi +) Hình cầu tập lồi +) Các không gian tập lồi Định nghĩa 1.2.3 Ta nói x tổ hợp lồi điểm (vec tơ) x1 , x2 , , xk k k j λj = λj x ; λj > 0, j = 1, 2, , k; j=1 j=1 Định nghĩa 1.2.4 Bao lồi tập A ⊂ X, kí hiệu coA, giao tất tập lồi chứa A Nhận xét: coA tập lồi tập lồi bé chứa A Tính chất: 1) Giao họ tập lồi tập lồi 2) C tập lồi ⇔ C = coC 3) A, B tập lồi α ∈ R ⇒ A + B; αA tập lồi Định nghĩa 1.2.5 Siêu phẳng không gian X tập hợp điểm có dạng x ∈ X : aT x = α a ∈ X vectơ khác α ∈ R Cho X không gian vectơ tôpô Một ánh xạ ϕ : X → R gọi phiếm hàm tuyến tính a) ϕ(x + y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y) với ∀x, y ∈ X b) ϕ(λx) = λϕ(x) với λ > 0, x ∈ X Footer Page 11 of 16 Header Page 12 of 16 Định lý 1.2.1 (Định lý Hahn - Banach) Cho ϕ phiếm hàm tuyến tính X, M không gian X f ∈ M # thoả mãn f (m) ≤ ϕ(m); ∀m ∈ M Lúc đó, tồn F ∈ X # cho a) F |M = f b) F (x) ≤ ϕ(x) với x ∈ X Cho A, B hai tập không gian vectơ tôpô X Một phiếm hàm tuyến tính f ∈ X # \ {0} gọi tách A B f (a) ≤ f (b) (hoặc f (a) ≥ f (b)); ∀a ∈ A, b ∈ B Tức là, tồn số α ∈ R cho f (a) ≤ α ≤ f (b), ∀a ∈ A, b ∈ B Khi ta nói siêu phẳng H(f ; α) := f −1 (α) = {x ∈ X|f (x) = α} tách A B Nhận xét: Siêu phẳng tách hai tập có không Định lý 1.2.2 (Định lý tách bản) Cho A B hai tập lồi khác rỗng, coreA = ∅ A ∩ B = ∅ Lúc đó, tồn siêu phẳng tách A B Bổ đề 1.2.1 Nếu C tập lồi, hấp thụ x0 ∈ / C tồn siêu phẳng tách C x0 Chứng minh Đặt M = span {x0 } g : M → R xác định g(λx0 ) = λ với ∀λ ∈ R Lúc g ∈ M # , pC (x0 ) ≥ (pC phiếm hàm Minkowskii C xác định bởi: pC (x) := inf {λ > 0|x ∈ λC} ; x ∈ X) nên g(m) ≤ pC (m) với ∀m ∈ M Áp dụng định lý Hahn - Banach tồn f ∈ X # cho f |M = g f (x) ≤ pC (x), ∀x ∈ X Rõ ràng, f (x0 ) = Mặt khác, với c ∈ C ta có: f (c) ≤ pC (c) ≤ Nên f tách C x0 Chứng minh (định lý tách) Giả sử a0 ∈ coreA b0 ∈ B Đặt x0 = a0 − b0 C := A − B − (a0 − b0 ) ⇒ C tập lồi, hấp thụ không chứa x0 Theo 10 Footer Page 12 of 16 Header Page 13 of 16 bổ đề ⇒ ∃f ∈ X # \ {0} tách C x0 ⇒ f tách A B Cho H không gian Hilbert M không gian đóng H Ta biết với x ∈ H biểu diễn cách dạng x = y + z y ∈ M, z ∈ M ⊥ Định nghĩa 1.2.6 Xét toán tử P : H → H định nghĩa cách với x ta lấy P x = y x = y + z ⇒ P toán tử tuyến tính Ta gọi P phép chiếu hay toán tử chiếu từ không gian H lên không gian đóng M Chú ý: Kí hiệu I toán tử đồng H ta có z = x − y = x − P x = (I − P )x nên I − P toán tử chiếu từ không gian H lên không gian đóng M ⊥ Với x ∈ H ta có x = y + z y⊥z Như P x = y ≤ x nghĩa P liên tục P ≤ Nếu M = {0} ta lấy y ∈ M P y = y nên P ≥ Tức là, P = Mệnh đề 1.2.1 Toán tử chiếu từ không gian Hilbert H lên không gian đóng M tự liên hợp thỏa mãn đẳng thức P = P Mệnh đề 1.2.2 Cho P : H → H toán tử liên hợp không gian Hilbert thỏa mãn điều kiện P = P Khi P toán tử chiếu Định nghĩa 1.2.7 Một tập C gọi nón ∀λ > 0, ∀x ∈ C ⇒ λx ∈ C Nhận xét: • Gốc tọa độ thuộc nón không thuộc nón • Một nón không thiết phải tập lồi Ví dụ 1.2.2 Tập C := {x ∈ R|x = 0} nón không lồi 11 Footer Page 13 of 16 Header Page 14 of 16 Định nghĩa 1.2.8 Một nón gọi nón lồi đồng thời tập lồi Ví dụ 1.2.3 Cho X = Rn , bα ∈ Rn (α ∈ I) Khi tập K = {x ∈ Rn : x, bα ≤ 0, ∀α ∈ I} Kα , đó: Kα = {x ∈ Rn : x, bα ≤ 0} một nón lồi K = α∈I nón lồi Mệnh đề 1.2.3 Một tập C nón lồi C có tính chất: i) λC ⊆ C, ∀λ > ii) C + C ⊆ C Chứng minh (⇒) Giả sử C nón lồi Do C nón lồi nên ta có i) Do C tập lồi nên với ∀x, y ∈ C (x + y) ∈ C theo i) ta có x + y ∈ C ⇒ ii) (⇐) Giả  sử có i) ii) Từ i) suy C nón  λx ∈ C Từ i) ⇒ Theo ii) ta có: λx + (1 − λ)y ∈ C ⇒ C  (1 − λ)y ∈ C tập lồi Vậy C nón lồi Định nghĩa 1.2.9 Nửa không gian đóng tập hợp có dạng x|aT x ≥ α a = α ∈ R Định nghĩa 1.2.10 Một tập gọi lồi đa diện giao số hữu hạn nửa không gian đóng Định nghĩa 1.2.11 Nếu tồn hệ sở lân cận gốc gồm toàn tập lồi τ gọi tôpô lồi địa phương X gọi không gian tôpô lồi địa phương 12 Footer Page 14 of 16 Header Page 15 of 16 Ví dụ 1.2.4 Không gian định chuẩn không gian lồi địa phương sinh họ gồm tập V0 = {B(0; 1)} Lúc đó, sở lân cận gốc tương ứng V = { B(0; 1)| > 0} = {B(0; )| > 0} Định lý 1.2.3 Cho X không gian vectơ a) Nếu τ tôpô lồi địa phương X, tồn sở lân cận gốc V gồm toàn tập lồi, cân đối, hấp thụ b) Ngược lại, V0 họ gồm tập lồi, cân đối, hấp thụ họ m V := Vi | > 0, m ∈ N ; Vi ∈ V0 i=1 Là sở lân cận gốc tô pô lồi địa phương 1.3 Hàm lồi Giả sử X không gian tôpô lồi địa phương, D ⊂ X, f : D → R ∪ {±∞} Định nghĩa 1.3.1 Trên đồ thị hàm f , kí hiệu epif , định nghĩa sau epif = {(x, r) ∈ D × R|f (x) ≤ r} Định nghĩa 1.3.2 Miền hữu hiệu f , kí hiệu domf , định nghĩa domf = {x ∈ D|f (x) ≤ +∞} Định nghĩa 1.3.3 Hàm f gọi thường domf = ∅ f (x) > −∞ (∀x ∈ D) Định nghĩa 1.3.4 Hàm f gọi hàm lồi tập lồi D, epif tập lồi không gian X × R Hàm f gọi hàm lõm D −f hàm lồi D 13 Footer Page 15 of 16 Header Page 16 of 16 Nhận xét: f lồi ⇒ domf tập lồi Chứng minh Ta có domf hình chiếu X epif domf = {x ∈ D|f (x) ≤ +∞} = {x : ∃r : (x; r) ∈ epif } Như domf ảnh tập lồi epif qua ánh xạ tuyến tính Do đó, domf lồi Ví dụ 1.3.1 Giả sử A hàm giá trị thực khả vi liên tục hai lần tập lồi, mở A ⊂ Rn Khi đó, f lồi A ma trận Hessian Qx = ∂2f ∂xi ∂xj xác định dương, ∀x ∈ A tức là: z, Qx z ≥ (∀z ∈ Rn , ∀x ∈ A) Ví dụ 1.3.2 Chuẩn Euclide hàm lồi Rn x = x, x = x21 + x22 + + x2n x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn Định nghĩa 1.3.5 Hàm f gọi lồi mạnh tập D với hệ số lồi η > 0, ∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ (0, 1) có: f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − ηλ(1 − λ) x−y Định lý 1.3.1 Giả sử D tập lồi không gian X, f : D → (−∞; +∞] Khi f lồi D f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀λ ∈ [0, 1]; ∀x, y ∈ D (1.1) Chứng minh Giả sử f hàm lồi, không tổng quát xem λ ∈ (0, 1) xảy trường hợp f (x) < +∞, f (y) < +∞ mà f (λx + (1 − λ)y) = +∞ domf lồi, với x, y ∈ domf [x, y] ⊂ domf Do λ ∈ (0, 1) nên f (x) < +∞ ⇒ λf (x) = +∞ Nếu x y không thuộc domf f (x) = +∞ f (y) = +∞ (1.1) 14 Footer Page 16 of 16 Header Page 17 of 16 Bởi epif lồi, ∀(x, r) ∈ epif, ∀(y, s) ∈ epif, ∀λ ∈ (0, 1): λ(x, r) + (1 − λ)(y, s) = (λx + (1 − λ)y, λr + (1 − λ)s) ∈ epif ⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λr + (1 − λ)s ⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) lấy r = f (x), s = f (y) Ngược lại, giả sử (1.1) đúng, lấy (x, r) ∈ epif, (y, s) ∈ epif, λ ∈ [0, 1] ta chứng minh λ(x, r) + (1 − λ)(y, s) ∈ epif Thật vậy,(x, r) ∈ epif, (y, s) ∈ epif ⇒ f (x) ≤ r; f (y) ≤ s ⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) ≤ λr + (1 − λ)s ⇒ (λx + (1 − λ)y, λr + (1 − λ)s) ∈ epif ⇒ λ(x, r) + (1 − λ)(y, s) ∈ epif Suy f lồi Định nghĩa 1.3.6 Hàm f X gọi dương ∀x ∈ X, ∀λ ∈ (0, +∞) ta có: f (λx) = λf (x) Định lý 1.3.2 Hàm dương lồi f (x + y) ≤ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ X (1.2) Chứng minh Giả sử hàm dương f lồi, lấy x, y ∈ X Khi đó: f (x + y) = 2f x y + 2 ≤2 1 f (x) + f (y) = f (x) + f (y) 2 Ngược lại, giả sử (1.2) lấy (xi , ri ) ∈ epif (i = 1, 2) ta có: (x1 + x2 , r1 + r2 ) ∈ epif f (x1 + x2 ) ≤ f (x1 ) + f (x2 ) ≤ r1 + r2 15 Footer Page 17 of 16 Header Page 18 of 16 Hơn nữa, f hàm dương (x, r) ∈ epif f (x) ≤ r λf (x) = f (λx) ≤ λr (0 < r < ∞) ⇒ λ(x, r) ∈ epif Như vậy, epif đóng phép cộng phép nhân vô hướng ⇒ epif nón lồi Vậy f hàm lồi Định lý 1.3.3 Giả sử f1 , f2 , , fm hàm lồi, thường X Khi đó, tổng f1 + f2 + + fm hàm lồi Nhận xét: Nếu f1 , f2 , , fm hàm lồi f1 + f2 + + fm hàm lồi không thường Định lý 1.3.4 Giả sử F tập lồi X × R f (x) = inf {µ : (x, µ) ∈ F } (1.3) Khi đó, f hàm lồi X (Qui ước: infimum tập ∅ (các số thực) +∞) Chứng minh Nếu f (x1 ) ≤ r từ (1.3) ⇒ ∃µ1 < r : (x1 , µ1 ) ∈ F Nếu f (x2 ) ≤ s từ (1.3) ⇒ ∃µ2 < r : (x2 , µ2 ) ∈ F ⇒ (λx1 + (1 − λ)x2 , λµ1 + (1 − λ)µ2 ) ∈ F (0 < λ < 1) ⇒ f (λx1 + (1 − λ)x2 ) = inf {µ : (λx1 + (1 − λ)x2 , µ) ∈ F } ≤ λµ1 + (1 − λ)µ2 < λr + (1 − λ)s ⇒ f hàm lồi ¯ Ta định nghĩa bao lồi f Định nghĩa 1.3.7 Cho hàm lồi f : X → R hàm cof := fco epif Tức là, ¯ cof (x) := inf γ ∈ R|(x, γ) ∈ co epif Mệnh đề 1.3.1 Với x ∈ X ta có: n cof (x) = inf n λi xi = x, λi ≥ 0, λi f (xi )| i=1 n i=1 i=1 16 Footer Page 18 of 16 λi = 1, xi ∈ X Header Page 19 of 16 ¯ f gọi nửa liên tục x0 Định nghĩa 1.3.8 Cho f : X → R lim inf f (x) ≥ f (x0 ) x→x0 ¯ Các mệnh đề sau tương đương Mệnh đề 1.3.2 Cho f : X → R 1) f nửa liên tục ¯ 2) C(f ; α) đóng với α ∈ R ¯ 3) epif tập đóng X × R Định nghĩa 1.3.9 Hàm f gọi hàm đóng epif đóng X ×R ¯ Ta gọi bao đóng f hàm f¯ := Định nghĩa 1.3.10 Cho f : X → R fepif Tức là, f¯(x) := inf γ ∈ R|(x, γ) ∈ epif ; x ∈ X bao lồi đóng hàm f hàm cof := co f Định lý 1.3.5 Giả sử f hàm lồi, thường X Khi đó, khẳng định sau tương đương: 1) f bị chặn lân cận x ¯ 2) f liên tục x ¯ 3) int(epif ) = ∅ 4) int(domf ) = ∅ f liên tục int(domf ) Đồng thời int(epif ) = {(x, µ) ∈ X × R : x ∈ int(domf ), f (x) < µ} 17 Footer Page 19 of 16 (1.4) Header Page 20 of 16 Chứng minh (2 ⇒ 1) Giả sử f liên tục x ¯ Khi đó, hiển nhiên f bị chặn lân cận x ¯ (1 ⇒ 2) Giả sử f bị chặn lân cận U x ¯, tức tồn c > cho: f (x) ≤ c < +∞(∀x ∈ U ) Ta xem x ¯ f (0) = , x ¯ = ta thay U U − x ¯ f (0) = ta thay f (x) f (x + x ¯) − f (¯ x) Lấy ε ∈ [0, c] đặt Vε = ε cU ∩ − εc U Khi đó, Vε lân cận Bây ta chứng minh |f (x)| ≤ ε, ∀x ∈ Vε Lấy ∀x ∈ Vε ⇒ x ∈ εc U ⇒ εc x ∈ U ε c ε ⇒ f (x) ≤ f x + 1− f (0)(do f lồi) c ε c ε ⇒ f (x) ≤ c = ε (1) c ε c Mặt khác, x ∈ − c U ⇒ − ε x ∈ U ε c x + ε 1+ c 1+ Cho nên: = f (0) ≤ 1+ εc f (x) + ε c 1+ εc ε c c − x =0 ε f − εc x ≤ 1+ εc f (x) + ε c 1+ εc c ⇒ f (x) ≥ −ε (2) Từ (1) (2) suy |f (x)| ≤ ε ⇒ f liên tục (4 ⇒ 1) Hiển nhiên (1 ⇒ 3) Nếu f (x) ≤ µ0 , ∀x ∈ U {(x, µ) ∈ X × R : x ∈ U, µ > µ0 } ⊂ epif ⇒ int(epif ) = ∅ (3 ⇒ 4) Giả sử int(epif ) = ∅ Khi đó, (x, µ) ∈ int(epif ) f bị chặn lân cận x Theo chứng minh f liên tục x Hơn nữa, int(domf ) = {x ∈ X : ∃µ ∈; (x, µ) ∈ int(epif )} Vì int(domf ) = ∅ f liên tục int(domf ) Cuối cùng, công thức (1.4) hiển nhiên: Nếu (x, µ) ∈ int(epif ) rõ ràng x ∈ int(domf ) f (x) < µ Ngược lại, f liên tục int(domf ), x ∈ int(domf ) f (x) < µ (x, µ) ∈ int(epif ) 18 Footer Page 20 of 16  ... hay hàm max, hàm Vậy nên toán tối ưu cần vi phân để khảo sát tính cực tiểu lớp hàm Tính đơn điệu vi phân hàm lồi tính chất quan trọng hàm lồi Ta thấy với hàm lồi biến khả vi đạo hàm hàm đơn điệu. .. vi phân không gian Hilbert: tính đơn điệu (đơn điệu mạnh, đơn điệu tuần hoàn, đơn điệu cực đại) Chương 3: Ứng dụng vi phân hàm lồi tính đơn điệu vi phân hàm lồi toán tối ưu Footer Page of 16... 13 Tính đơn điệu vi phân hàm lồi 20 2.1 Dưới vi phân 20 2.2 Tính đơn điệu vi phân hàm lồi 31 Ứng dụng toán tối ưu 39 3.1 Tồn nghiệm