Đáp án bài tập tự luyện Cách tiếp cận tính đơn điệu của hàm số - Phần 1

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định... Song ta bỏ điều kiện “ y'0 xảy ra tại hữa hạn điểm” vì điều kiện này sẽ luôn đúng nếu hàm đ

ĐÁP ÁN

LỜI GIẢI CHI TIẾT Phần 1: Các bài toán không chứa tham số Câu 1 (THPTQG – 2017 – 101) Cho hàm số 3 3 2 yx  x Mệnh đề nào dưới đây đúng? A Hàm số đồng biến trên khoảng (;0) và nghịch biến trên khoảng (0;)

B Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; )

C Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; )

D Hàm số nghịch biến trên khoảng (;0) và đồng biến trên khoảng (0;) Giải

Câu 2 (THPTQG – 2017 – 101) Hàm số 22

1

y x



A (0;) B ( 1;1) C ( ; ) D (;0)

Giải

x y

x

 

 ; y'       0 4x 0 x 0 x (0;)

CÁCH TIẾP CẬN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

(PHẦN 1_2)

GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG

Câu 3 Trong các phát biểu sau về hàm số 2 1

3

x y x





A Hàm số luôn đồng biến với  x 3 B Hàm số đồng biến trên (    ; 3) ( 3; )

C Hàm số đồng biến trên ( ; 3) và ( 3; ) D Hàm số đồng biến trên tập \ 3

Giải

y x

Suy ra hàm số đồng biến trên ( ; 3) và ( 3; ) đáp án C

Chú ý: Kí hiệu  x 3 không phải là một tập hợp, suy ra A sai

Kí hiệu \       3 ( ; 3) ( 3; ) không đúng suy ra B , D sai

(các bạn có thể xem lại phần giải thích trong bài giảng)

Câu 4 Cho hàm số 4 2

A Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1;0) và (1;)

Suy ra A, B, C đúng và D sai (không dùng kí hiệu " " )đáp án D

Chú ý : Nếu hàm số y f x( ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng ( ; )a b và liên tục tại xa x; b

thì hàm số y f x( ) cũng sẽ đồng biến (hoặc nghịch biến) trên đoạn  a b; Do đó ở câu hỏi trên do hàm

số là hàm đa thức nên liên tục trên , suy ra hàm số nghịch bên trên  0;1 , đồng biến trên 1;0…

Câu 5 (THPTQG – 2017 – 103) Cho hàm số 4 2

2

A Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 2) B Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; 2)

C Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1;1) D Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;1)

1

++

Câu 6 (THPTQG – 2017 – 102) Cho hàm số 3 2

3

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) B Hàm số nghịch biến trên khoảng (2;)

C Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2) D Hàm số nghịch biến trên khoảng (;0)

Câu 7 (THPTQG – 2017 – 103) Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm 2

đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (;0) B Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;)

C Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;1) D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; )

20

++

31

Câu 11. (Đề minh họa THPTQG – 2017) Hàm số 4

y  x ; y'  0 x 0 Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng 0;đáp án B.

Câu 12. Khi nói về tính đơn điệu của hàm số 4 3

y  x x  , ta có những phát biểu sau:

1) Hàm số đồng biến trên khoảng (;3) 2) Hàm số nghịch biến trên 3;

3) Hàm số nghịch trên khoảng (;0) và 3; 4) Hàm số đồng biến trên ;3

Trong những phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu đúng?

Suy ra dấu của y':

Do đó duy nhất phát biểu 3) sai và các phát biểu 1), 2), 4) đều đúng, nghĩa là có 3 phát biểu đúng

Chú ý: Do x0 là nghiệm kép nên dấu của y' không đổi khi đi qua x0

Do hàm số liên tục trên (nghĩa là liên tục tại x3) nên kết luận 2), 4) vẫn đúng

Câu 13 Trong các phát biểu sau về hàm số y 1 1

x

A Hàm số luôn nghịch biến với  x 0 B. Hàm số nghịch biến trên (;0) và (0;)

C Hàm số đồng biến trên (;0) và (0;) D Hàm số đồng biến trên tập \ 0 

Giải

Tập xác định: D \ 0 

x

Chú ý: Kí hiệu  x 0 không phải là một tập hợp, suy ra A sai.

++

31

Câu 14. Khi nói về tính đơn điệu của hàm số



1 ) Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)

2) Hàm số đồng biến trên khoảng(  ; 1) (3;)

3) Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3) \ 2 

4) Hàm số đồng biến trên khoảng (;1) và 3;

Trong những phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu đúng?





A Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; )

B Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; )

C Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

D Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

32

1

++

Câu 19.Nếu hàm số y f x( ) liên tục và đồng biến trên khoảng ( 2;3) thì hàm số y f x( ) 3

đồng biến trên khoảng nào?

A khoảng (1; 6) B khoảng ( 5;0) C khoảng ( 2;6) D khoảng ( 2;3) Giải

Chú ý : Hàm số y f x( ) đồng biến trên khoảng ( ; )a b , nghịch biến trên khoảng ( ; )c d thì hàm số

( )

y f x k cũng sẽ đồng biến trên khoảng ( ; )a b , nghịch biến trên khoảng ( ; )c d

Câu 20.Nếu hàm số y f x( ) liên tục và đồng biến trên khoảng ( 1; 2) thì hàm số y f x( 1)

đồng biến trên khoảng nào?

A khoảng ( 1; 2) B khoảng (0;3) C khoảng ( 2;6) D ( 2;3)

Giải

Đồ thị hàm số y f x( 1) được tạo ra bằng cách tịnh tiến đồ thị gốc y f x( ) dọc theo trục Ox

Câu 21.Nếu hàm số y f x( ) liên tục và đồng biến trên khoảng ( 3;1) và nghịch biến trên

A khoảng ( 3;1) B khoảng (2;3) C khoảng (3; 1) D khoảng ( 2; 3)  Giải

Đồ thị hàm số y f x( ) và y f x( ) đối xứng nhau qua trục Ox , nghĩa là nếu y f x( ) đồng biến trên khoảng ( ; )a b thì y f x( ) sẽ nghịch biến trên khoảng ( ; )a b

Câu 22.Nếu hàm số y f x( ) liên tục và đồng biến trên khoảng ( 2;0) và nghịch biến trên

A ( 2;0) B ( 2;1) C (1;3) D ( 5; 3) 

Giải

Chúng ta sẽ suy luận theo sơ đồ sau: f x( ) f x( 3)f x( 3)f x( 3) 2

+) Từ y f x( ) y f x( 3) đồng biến trên ( 5; 3)  và nghịch biến trên ( 2;1)

+) Từ y f x( 3)  yf(x3) đồng biến trên ( 2;1) và nghịch biến trên ( 5; 3) 

+) Từ yf(x3)  yf x(  3) 2 đồng biến trên ( 2;1) và nghịch biến trên ( 5; 3) 

Vậy y f x(  3) 2 nghịch biến trên khoảng ( 5; 3)  đáp án D.

Chú ý : Các bạn có thể xem lại các Chú ý ở Câu 19 và Câu 20 để hiểu rõ được suy luận trên.

Câu 23. Cho hàm số 3 1

1

x y x





I Hàm số đồng biến trên (    ; 1) ( 1; )

II Hàm số đồng biến trên tập \ 3 III Hàm số nghịch biến trên ( ; 1) và ( 1; ) IV Hàm số đồng biến trên ( ; 1) và (0;)

Hỏi trong các mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng? A 0 B 1 C 2 D 3 Giải Kí hiệu  và \ 3 không dùng để kết luận khoảng đơn điệu cho hàm sốI., II sai Ta có ' 4 2 0, 1 ( 1) y x x        hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 1) và ( 1;  ) III sai Vì (0;   ) ( 1; ) nên IV đúng Vậy chỉ có 1 phát biểu IV đúngđáp án B Câu 24.Cho hàm số y f x( ) có đồ thị như hình vẽ bên Mệnh đề nào sau đây sai?

A Hàm số đồng biến trên khoảng (;0) và (2;)

B Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)

C Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1;1) và (3;)

Giải

Dựa vào dáng điệu đồ thị “có hướng đi lên khi xét từ trái qua phải (biến x tăng)”cho ta biết

hàm số đồng biến trên (;0) và (2;), suy ra C sai

đáp án C

1

3



2

y

x O

1

3

Câu 25 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như hình vẽ bên

Mệnh đề nào sau đây sai ?

A Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 2;

B Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ;1.

C Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (3;).

D Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  0;3

Giải Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2), suy raDsaiđáp án D Chú ý: Ở đây hàm số đồng biến trên khoảng (2;) nên cũng đồng biến trên tập con của nó là (3;) Do đó phương án C vẫn đúng Câu 26.Cho hàm số y f x( ) xác định trên và có đồ thị hàm số y f x'( ) là đường cong trong hình bên Mệnh đề nào dưới đây đúng? A Hàm số f x( ) đồng biến trên khoảng ( ; 2)và (0;)

B Hàm số f x( ) nghịch biến trên khoảng ( 2;0)

C Hàm số f x( ) đồng biến trên khoảng ( 3; )

D. Hàm số f x( ) nghịch biến trên khoảng (;0)

Giải Dựa vào đồ thị y f x'( ) cho ta biết: +) f x'( )   0 x 3 ( với x 3 thì đồ thị y f x'( ) nằm phía trên trục Ox ). +) f x'( )   0 x 3 Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( 3; ) và nghịch biến trên ( ; 3) Do đó chỉ có C đúngđáp án C.

Câu 27.Cho hàm số y f x( ) xác định trên khoảng ( ; )a b Phát biểu nào sau đây đúng? A f x( )đồng biến trên ( ; )a b khi và chỉ khi x x1, 2( ; )a b : x1x2  f x( )1  f x( )2 B f x( )nghịch biến trên ( ; )a b khi và chỉ khi x x1, 2( ; )a b : x1 x2  f x( )1  f x( )2

C f x( )đồng biến trên ( ; )a b khi và chỉ khi x x1, 2( ; )a b : x1 x2  f x( )1  f x( )2

D f x( )nghịch biến trên ( ; )a b khi và chỉ khi x x1, 2( ; )a b : x1x2  f x( )1  f x( )2

Giải

y

'

y



3



0



x

y

O

2



4

3



Các phát biểu A, B, D đều sai Muốn đúng thì chỉ cần thay đổi từ “nghịch biến” thành “đồng biến” và ngược lại, hoặc đổi thứ tự “ f x( )1  f x( )2 ” thành “ f x( )1  f x( )2 ” và ngược lại

Câu 28. Cho các phát biểu sau:

I Hàm số y f x( ) được gọi là đồng biến trên miền D khi và chỉ khi x x1, 2D và x1x2 thì

f x( )1  f x( )2

II Hàm số y f x( ) được gọi là nghịch biến trên miền D khi và chỉ khi x x1, 2D và x1x2 thì f x( )1  f x( )2

III Nếu f x'( )  0, x ( ; )a b thì hàm số y f x( ) đồng biến trên khoảng ( ; )a b

IV Hàm số y f x( ) đồng biến trên khoảng ( ; )a b khi và chỉ khi f x'( )  0, x ( ; )a b

Có bao nhiêu phát biểu đúng?

Câu 29.Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm trên ( ; )a b Phát biểu nào sau đây là đúng?

A Hàm số y f x( ) đồng biến trên ( ; )a b khi và chỉ khi f x'( )  0, x ( ; )a b và f x'( )0 xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc ( ; )a b

B Hàm số y f x( ) đồng biến trên ( ; )a b khi và chỉ khi f x'( )  0, x ( ; )a b

C Hàm số y f x( ) nghịch biến trên ( ; )a b khi và chỉ khi f x'( )  0, x ( ; )a b và f x'( )0 xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc ( ; )a b

D Hàm số y f x( ) nghịch biến trên ( ; )a b khi và chỉ khi f x'( )  0, x ( ; )a b

Hàm số y f x( ) đơn điệu trên khoảng ( ; )a b , nghĩa là nó luôn đồng biến trên khoảng ( ; )a b

hoặc luôn nghịch biến trên khoảng ( ; )a b hay f '( )x không đổi dấu trên ( ; )a b đáp án D

Câu 31. Cho hàm số y f x( ) và yg x( ) đều nghịch biến trên Cho các khẳng định sau:

I Hàm số y f x( )g x( ) nghịch trên

II Hàm số y f x g x( ) ( ) nghịch biến trên

III Hàm số y f x( )g x( ) nghịch biến trên

IV Hàm số ykf x( )( vớik0) nghịch biến trên

kf x( )1 kf x( )2 không đúng (vì chỉ đúng khi k 0)IV sai

Câu 32.Cho D là một khoảng Ta có 3 phát biểu sau:

1) Hàm số y f x( ) đồng biến trên D khi và chỉ khi f '( )x 0 với x D 

2) Hàm số y f x( ) đạt cực đại tại điểm xx0 khi và chỉ khi f x'( )0 0 và f ''( )x0 0

3) Hàm số y f x( ) có f x'( )0 với  x D1D2, khi đó f x( ) đồng biến trên D1D2

Số các phát biểu đúng là:

A.0 B.1 C.2 D.3

Giải

f x  f x  (xem bài học sau)

Phát biểu 3) sai vì kí kiệu " " không đúng khi nói về các khoảng đồng biến, nghịch biến

Phần 2: Các bài toán chứa tham số

Trước khi làm bài tập và để xử lí nhanh được các câu hỏi dưới đây hãy chắc rằng bạn đã xem đầy đủ video bài giảng _Phần 2

1   m 7 m m 1; 2;3; 4;5;6;7: có 7 giá trị nguyên của m đáp án C

Chú ý : Ở câu hỏi trên đúng ra yêu cầu bài toán tương đương với điều kiện đầy đủ sau:

y  m x  m x m  x và y'0 xảy ra tại hữa hạn điểm” Song ta bỏ điều kiện

“ y'0 xảy ra tại hữa hạn điểm” vì điều kiện này sẽ luôn đúng nếu hàm đa thức không có giá trị của m

để nó biến thành hàm hằng (không còn biến x ) Để kiểm tra ta chỉ việc cho a0 và nếu:

+) Hàm số biến thành hàm hằng thì phải thêm điều kiện, hoặc nếu không muốn thêm điều kiện thì trước

đó ta sẽ kiểm tra a0 và loại đi những giá trị m làm cho hàm số biến thành hàm hằng

+) Hàm số không phải hàm hằng thì ta không cần thêm điều kiện này và câu hỏi trên là một ví dụ Để hiểu

rõ hơn chúng ta sẽ tiếp tục đến với Câu 37

Giải

m m

Chú ý: Ở câu hỏi này với a1 thì phương trình y' 0 cosx  1 x k2 với k vẫn được coi

là hữu hạn nghiệm (vì xét trong 1 khoảng bất kì số nghiệm của phương trình là đếm được) Do đó a1

vẫn thỏa mãn bài toán trên

Câu 40 Hàm số

2 2

1

y x

 đồng biến (hoặc nghịch biến)

trên từng khoảng xác định của nó” thì ta chỉ cần giải bất phương trình: adbc0 (hoặc adbc0)

Câu 44. Tất cả các giá trị của m để hàm số

2

x m y

Câu 45 Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y mx 3m 2

Yêu cầu bài toán tương đương:

2 2





nào? A m2 B m2 C m2 D.m2 Giải

Yêu cầu bài toán tương đương:

2 2

Câu 49. Giá trị của m để hàm số y mx 16

m m

m m

m m

4'

m y

4'

m y

Câu 52. Giá trị của m để hàm số y mx 9

9'

m y

Chú ý : Ở bài toán này việc cô lập m là không khả thi khi bậc của m có cả bậc 1 và bậc 2 (không đi theo cụm) Nên khi đó thường đề bài sẽ cho ta nghiệm “đẹp” (phân tích được thành tích) Để biết có nghiệm

“đẹp” hay không ta chỉ cần tính , nếu nó có dạng 2

u

  (viết dưới dạng 1 số chính phương) thì lúc

       là một số chính phương Hoặc trước khi làm điều này, ta kiểm tra xem có rơi vào một trong hai trường hợp thuộc hệ quả của Vi – ét là

0

a b c   hoặc a b c  0 không, vì đề cũng hay cho vào những tình huống đặc biệt này

Câu 56 Trong tất cả các giá trị của m để hàm số 3 2

Yêu cầu bài toán tương đương:

+) Với ' 0       1 m 0 m 1, khi đó f x( )0 với   x (0;) (thỏa mãn (*))

+) Với ' 0       1 m 0 m 1, khi đó f x( )0 có 2 nghiệm phân biệt x1 1 1m và

x2

x1

m

m m

Đặt t cosx

3

; 2

t m





Khi đó, yêu cầu bài toán tương đương:

2 2

m m

0

m

m m

m

m m

m y

01

Chú ý : Ở bài toán này Cách 2 sau khi chuyển qua biến mới thì hàm số nhìn “nhẹ nhàng” hơn và tính

toán “dễ” hơn hàm ban đầu Nhưng muốn chuyển thành một bài toán “tương đương” với bài toán ban đầu ta cần chú ý:

+) Cần tìm miền giá trị chính xác cho biến mới (có thể dùng chính công cụ hàm số)

+) Kiểm tra tính đồng biến, nghịch biến của hàm đổi biến (là hàm mà biến cũ là biến và biến mới là hàm)

 Nếu hàm đổi biến đồng biến thì bài toán ban đầu giữ nguyên tính đơn điệu

 Hàm cũ (với biến cũ) đồng biến chuyển về hàm mới (với biến mới) vẫn đồng biến

 Hàm cũ (với biến cũ) nghịch biến chuyển về hàm mới (với biến mới) vẫn nghịch biến

 Nếu hàm đổi biến nghịch biến thì bài toán ban đầu đổi lại tính đơn điệu

 Hàm cũ (với biến cũ) đồng biến chuyển về hàm mới (với biến mới) đổi thành nghịch biến

 Hàm cũ (với biến cũ) nghịch biến chuyển về hàm mới (với biến mới) đổi thành đồng biến

Ví như ở câu hỏi trên, do hàm đổi biến t sinx nghịch biến trên khoảng ;