Đáp án bài tập tự luyện Sơ đồ tư duy - Cách tiếp cận bài toán cực trị hàm bậc ba

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất không có cực trị  loại phương án C.. SƠ ĐỒ TƯ DUY – CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM BẬC BA GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG..

ĐÁP ÁN

LỜI GIẢI CHI TIẾT

3 2 1

y x x  x là

A 0 B 1 C 2 D. 3 Giải

Ta có b23ac ( 3)23.1.2 3 0, suy ra hàm số có 2 điểm cực trịđáp án C

Chú ý : Hàm bậc ba số cực trị có thể có là 0 hoặc 2 nên ở bài toán này ta có thể loại được ngay hai phương

án nhiễu là B và D

Câu 2 Tìm giá trị cực đại yCĐ của hàm số yx33x2

A yCĐ 4 B yCĐ 1 C yCĐ 0 D yCĐ  1

Giải

Ta có y' 3 x23; ' 0 1 0 4

C Đ C T

CĐ



  



        đáp án A

Chú ý : Với hàm đa thức ta luôn có y CĐ y C T

A y  x4 3x21 B y   x3 x2 x 1

C 2 1

1

x y x





 D

y  x x  x Giải

Hàm trùng phương có số cực trị là 1 hoặc 3  loại phương án A

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất không có cực trị  loại phương án C

Với hàm bậc ba yax3bx2 cx d có hai điểm cực trị b23ac0, chỉ có D thỏa mãn 2

3 1 0

b  ac  đáp án D

SƠ ĐỒ TƯ DUY – CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN

CỰC TRỊ HÀM BẬC BA

GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG

Câu 4.Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Ta có các phát biểu:

1) Hàm số có hai điểm cực trị

2) Hàm số có điểm cực tiểu bằng 1

3) Hàm số có cực đại bằng 2

4) Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu thuộc đường thẳng x2y 3 0

Trong các phát biểu trên có bao nhiêu phát biểu đúng?

A 4 B 2 C 3 D 1

Giải

Dựa vào bảng biến thiên cho ta biết hàm số có hai điểm cực trị và đồ thị hàm số có điểm cực tiểu (1; 1)

M  thuộc đường thẳng x2y 3 0, suy ra 1) và 4) đúng

Hàm số có điểm cực tiểu x1 và hàm số có cực đại (hay giá trị cực đại)y CĐ 3, nên 2) và 3) sai

Vậy số phát biểu đúng là: 2đáp án B.

Câu 5.Trong các hàm số sau, hàm số nào có điểm cực đại x C Đ và điểm cực tiểu x CT sao cho

C Đ C T

x x ?

A y x3 2x2 3x 2 B y   x3 x2 x 1

C y 2x3  x2 x 1 D y  x3 2x2

Giải

Với hàm bậc ba 3 2

yax bx  cx d

Suy ra loại A, B

Xét C, b23ac    1 6 5 0, suy ra hàm số không có cực trị, suy ra loại Cđáp án D

Chú ý:

+) Ở cách giải trên ta dùng phương pháp loại trừ, nếu C sai thì D đúng ( b23ac 6 0)

+) Câu hỏi này ta có thể tìm cụ thể x và C Đ x rồi sau đó so sánh CT

y

'

y

2



0 3







1



a > 0

x CT

x CĐ

a < 0

x CĐ

x CT

0 CĐ CT

a x x

0 CĐ CT

a x x

Câu 6 Biết hàm số y f x( ) có đạo hàm 2

'( ) 2

f x x  x Điểm cực tiểu của hàm số là

A x1 B x2 C x0 D không xác định được Giải

'( ) 0 2 0

2

x

x





 , suy ra dấu '( )f x :

Suy ra điểm cực tiểu của hàm số là x2

đáp án B

Câu 7 Cho hàm số yax3bx2 cx d có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt là x x1, 2 Biết

1 2

x x Xác định dấu của a

A a0 B a0 C a0 D không xác định được Giải

Với hàm bậc ba 3 2

yax bx  cx d

Do đó x1x2 hay x C Đx C T suy ra: a0

đáp án A

Câu 8 Cho hàm số yx3  x2 x 1 có đồ thị ( )C Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

cực trị của ( )C có phương trình là:

A 8 1

y x B 8 8

y  x C 9 1

y  x D 8 8

y  x

Giải

Cách 1: Áp dụng công thức giải nhanh, ta có phương trình đi qua 2 điểm cực trị cần lập là

( 3 ) (1 3) 1 8

bc

y  x đáp án D

Cách 2: Ta có: y'3x22x1;

1 32

3 27

  







là các điểm cực trị

của ( )C Suy ra: 4 32 4  

AB     n   AB x y 

y  x

đáp án D

a > 0

x CT

x CĐ

a < 0

x CĐ

x CT

0 CĐ CT

a x x

0 CĐ CT

a x x

2 0

CT

Câu 9.Đồ thị hàm số 3 2

6 9 2

y  x x  x có hai điểm cực trị A và B Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB?

A P(1;0) B M(1;10) C N( 2; 4)  D Q( 1;10) Giải

( 3 )

bc

     , với a 1;b 6;c 9;d2, ta có phương trình AB: 2 2 6.9

(6 3.9) 2 2 8 9.( 1) 9.( 1)

y   x   x

  hay AB: 2x  y 8 0 Kiểm tra các phương án chỉ có điểm M(1;10)ABđáp án B

   



Suy ra: AB    2; 4 n AB (2; 1) AB: 2x  y 8 0

Kiểm tra các phương án chỉ có điểm M(1;10)ABđáp án B

Câu 10 (THPTQG – 102– 2017 ) Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số y f x( ) có bao nhiêu điểm cực trị?

A 4 B 2 C 3 D 5

Giải

Từ bảng biến thiên hàm số y f x( ) suy ra bảng biến thiên hàm y f x( ) như sau:

Suy ra hàm số có 3 điểm cực trịđáp án C

Câu 11 (THPTQG – 103– 2017 ) Đồ thị hàm số y  x3 3x25 có hai điểm cực trị A và B Tính diện tích S của tam giác OAB với O là gốc tọa độ

A S9 B 10

3

S C S 5 D S 10

y

'

y

1



0 5







1

y

'

y

1



0 5







1 y0

Giải

y



  

Khi đó:

5

2 ( 1)

OAB

S  d O AB AB  đáp án C

Câu 12 Với giá trị nào của m thì hàm số y x3 m x2 2(4m20)x3 đạt cực đại tại x 2?

A m 1 hoặc m2 B m1 C m 1 D. m2 Giải

Cách 1: Ta có:

2

'' 6 2

y x m x m

y x m







2

m

m

 



+) Điều kiện đủ:

Với m  1 y''6x 2 y''( 2)      14 0 x 2 là điểm cực đại (thỏa mãn)

Với m 2 y''6x 8 y''( 2)     20 0 x 1 là điểm cực đại (thỏa mãn)

Vậy m 1 hoặc m2 đáp án A

Cách 2 : (Giải ngược) Thay đáp số để kiểm tra

Chú ý:

Ở cách 1 trong điều kiện đủ ta có thể tính y''( 2)   12 2m2    0, m m 1 và m2 đều thỏa mãn.

3

y x mx  m  x đạt cực tiểu tại x3

A m 5 B m 1 C m5 D m1 Giải

Cách 1: Ta có 2 2

y x  mx m  và '' 2y  x2m +) Điều kiện cần: Hàm số đạt cực tiểu tại 2 1

5

m

m





+) Điều kiện đủ: Với m 1 y''2x 2 y''(3) 4 0, suy ra x3 là điểm cực tiểu (thỏa mãn) Với m 5 y''2x 10 y''(3)  4 0, suy ra x3 là điểm cực đại ( loại)

Vậy m1đáp án D

Cách 2 : (Giải ngược) Thay đáp số để kiểm tra.

Câu 14 Biết mm0

là giá trị làm cho hàm số

3

1 (2 1) ( )

3 2

x

y  m x  m m x đạt cực tiểu tại

1

x Khi đó m gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau? 0

A 4 B 5 C 2 D 1

Giải

Ta có y'x2(2m1)x m 2m và y''2x2m1

2

m

m





+) Điều kiện đủ: Với m 1 y''2x 1 y''(1) 1 0  , suy ra x1 là điểm cực tiểu (thỏa mãn)

Với m 2 y''2x 3 y''(1)  1 0, suy ra x1 là điểm cực đại ( không thỏa mãn)

Vậy mm0 1 gần 2 nhấtđáp án C

y x m x mx Gọi mm0 là giá trị làm cho hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1 Khi đó giá trị nào dưới đây gần m0 nhất?

A 3 B 2 C 1 D 2

Giải

x m

     

Để hàm số có cực trị thì m 1, khi đó xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: m 1

Vẽ trục số dấu của 'y (hoặc dựa vào a 1 0) ta được hàm số đạt cực đại tại x 1 Khi đó:   3 2 2

CT

Trường hợp 2: m 1

Vẽ trục số dấu của 'y (hoặc dựa vào a 1 0) ta được hàm số đạt cực đại tại x m Khi đó:   7

3

CT

Vậy mm0 0 gần 1 nhất đáp án C

Câu 16 Biết các cực trị của hàm số yax3 (a 2)x29x b đều là các số không âm và x 1 là điểm cực đại của hàm số Giá trị lớn nhất của a b là

A 11 B 26 C 7 D 14

Giải

Ta có:y'3ax22(a2)x9

Do x 1 là điểm cực đại của hàm số, suy ra: '( 1) 0y   5a   5 0 a 1

Với a   1 y x3 3x29x b

Ta có: y'3x26x9; ' 0 1 5

y



Do các cực trị của hàm số đều là các số không âm, nên ta có: 0 5 0 27

CĐ

CT

b



Suy ra: a b    1 b 1 27  26 maxa b  26Đáp án B

Câu 17 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2

y  x mx x có 2 điểm cực trị

A m 2 3 B m 2. C. m  3. D m  3 Giải

Hàm số yax3bx2 cx d có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi 2 2

b  ac m    m 

Đáp án C

Câu 18 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x3 3mx23m1 có hai

điểm cực trị

A m0 B m0 C m0 D. m0 Giải

Cách 1: Do hàm số có dạng bậc ba, nên điều kiện hàm số có hai điểm cực trị là:

b23ac 0 9m2  0 m 0đáp án D

Cách 2: Ta có: y' 3 x26mx; ' 0 3 2 6 0 0

2

x

x m





 (*)

Để hàm số có hai điểm cực trị thì (*) có hai nghiệm phân biệt2m  0 m 0đáp án D.

3( 1) 2

ymx  m x  có hai điểm cực trị là

A m \ 0;1  B m \ 1  C m \ 0  D m

Giải

1

3 9( 1) 0

m m

đáp án A

y  mx  m x x mx m ; ' 0 0

2( 1)

x y

mx m





Hàm số có hai điểm cực trị phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt suy ra:

2( 01) 0 \ 0;1 

1 0

m

m

m m

m m





Câu 20 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y (1 m x) 33x23x1 có cực trị

A m1 B m 1 C 0 m 1 D. m0 Giải

+) Với m1, hàm số có dạng: y 3x23x1 là hàm bậc hai nên có 1 cực trị (thỏa mãn)

+) Với m1, hàm số có cực trị b23ac  0 9 9(1m) 0 9m  0 m 0

Vậy m0đáp án D

Chú ý : Hàm bậc ba số cực trị có thể có là 2 hoặc 0 Do đó, câu hỏi tìm m để hàm bậc ba có cực trị hay có

2 cực trị là như nhau Song nếu, hàm số có hệ số a chứa tham số thì ta phải xét thêm a0 (hàm số

không còn dạng bậc ba) , khi đó có thể hàm số có 1 cực trị ví như câu hỏi trên

Câu 21 Đồ thị hàm số yax3bx2 cx d có hai điểm cực trị nằm về cùng phía so với trục tung

khi và chỉ khi

A a0,b0,c0 B a0,b0,c0

C 2

3 0

b  ac D 2

3 0

b  ac và bc0 Giải

Yêu cầu bài toán tương đươngy'3ax22bx c 0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn:

x x1 2 0 2 2

1 2

0

a

b ac b ac

x x ac









đáp án C

Chú ý : Điều kiện hai điểm cực trị A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2)nằm

 Khác phía so với trục tung (trục Oy ) là : x x1 2 0

 Cùng phía so với trục tung (trục Oy ) là: x x1 2 0

 Khác phía so với trục hoành (trục Ox ) là: y y1 2 0

 Cùng phía so với trục hoành (trục Ox ) là: y y1 2 0

Câu 22 Cho hàm số y 2x3(2m1)x2(m21)x2 Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên

của tham số m để hàm số đã cho có hai điểm cực trị

A 4 B 5 C 3 D. 6

Giải

Do hàm số có dạng bậc ba, nên điều kiện hàm số có hai điểm cực trị là:

b23ac 0 (2m1)26(m2 1) 0 2

2m 4m 7 0

m

Suy ra có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãnđáp án B.

3

y x mx  m x Trong các mệnh đề sau, đâu là mệnh đề sai?

A Với  m 1 thì hàm số có hai điểm cực trị B Hàm số luôn có cực đại và cực tiểu

C Với  m 1 thì hàm số có cực đại và cực tiểu D. Với  m 1 thì hàm số có cực trị

Giải

Vì hàm số có dạng bậc ba, nên ta xét: b23acm2(2m 1) (m1)2

Hàm số có 2 cực trị (một cực đại và một cực tiểu – hoặc có cực trị) khi và chỉ khi:

2 2

b  ac  m   m , suy ra B saiđáp án B

Chú ý : Ở bài toán này mệnh đề A , D đúng là vì, với  m 1 thì hàm số có cực đại và cực tiểu (có hai cực trị hay có cực trị) nên nó cũng thỏa mãn với  m 1 hoặc  m 1

Câu 24.Gọi mm0 là một giá trị để hàm số y x3 3x23mx1 có hai cực trị x x1, 2 thỏa mãn

(x 1)(x   1) 3 Trong các giá trị dưới đây, giá trị nào gần m0 nhất?

A 1 B 4 C 0 D 1

Giải

Ta có y'3x2 6x3m; y' 0 x22x m 0 (*)

Hàm số có 2 cực trị x x1, 2 (*) có 2 nghiệm phân biệt      ' 1 m 0 m 1

Theo Vi – ét ta có: 1 2

1 2

2

x x

x x m



 Khi đó: (x11)(x2   1) 3 x x1 2(x1x2) 4 0

       m 2 4 0 m 2 m1 m m0  2 gần 1Đáp án A

Câu 25 (Sở GD&ĐT Nam Định) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho hàm số

y x x mx có hai điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn 2 2

x x 

A 3 B 3 C 3

2

 D. 3

2 Giải

Ta có: y' 3 x26x m ; y' 0 3x26x m 0 (*)

+) Để hàm số có hai điểm cực trị thì   ' 9 3m  0 m 3 (2*) (hoặc sử dụng b23ac0)

+) Khi đó x x1, 2 là nghiệm của (*) Suy ra:

m

Chú ý: Với những bài toán thuộc dạng này, ta có thể tìm điều kiện (2*) sau Ví như bài toán này khi tìm ra kết

2

m thì ta cũng sẽ chắc chắn rằng đó là đáp án đúng (vì các phương án của bài toán cho một kết quả m ) mà không cần thử điều kiện (2*) Do đó, trong một số bài ta có thể không cần điều kiện (2*).

Câu 26.Cho hàm số y x3 3mx22 có đồ thị  C m và đường thẳng : y  x 2 Biết  C m có hai điểm cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của  C m đến đường thẳng  bằng 2 Trong

các giá trị m thỏa mãn bài toán, giá trị nào dưới đây gần m nhất?

A 2 B 0 C 3 D 4

Giải

Điều kiện có hai cực trị là 2m 0 m0 Tọa độ hai điểm cực trị: A 0; 2 và  3

2 ; 2 4

B m  m

+) Nếu m0: A là điểm cực tiểu Khi đó d A ,   0 2 (loại)

+) Nếu m0: B là điểm cực tiểu Khi đó:   3 3

3

1

m

m m

Do m0 nên m1 gần 0 nhất đáp án B

Câu 27 (Chuyên Thái Bình – Lần 3) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a sao cho hàm số

1

y x  x ax đạt cực trị tại x x1, 2 thỏa mãn:  2  2 

1 2 2 2 1 2 9

x x  a x  x a 

A a2 B a 4 C a 3 D. a 1 Giải

Ta có: y'x2 x a; y' 0 x2  x a 0 (*)

Cách 1 (Giải xuôi) Để hàm số có hai điểm cực trị thì 1 4 0 1

4

Với x x1, 2 là nghiệm của (*) nên ta có: 1 2

1 2

1

x x

x x a



 (3*)

Biến đổi :  2  2   2  3 3 2 2 2

x  x a x  x a  x x  x x  a x x  x x x x  a

1 2 1 2 3 1 2( 1 2) 2 ( 1 2) 2 1 2 1 2 1 2 4

x x x x x x x x a x x x x x x  x x a

1 3 2 (1 2 1) 4 2 1 ( 1)

Khi đó điều kiện bài toán tương đương: 2 2 (2*)

4

a

a





        đáp án B

Cách 2 (Giải ngược) +) Thử a2, (*) có dạng: x2  x 2 0 (vô nghiệm), vậy a2 loại

+) Thử a 4, (*) có dạng:

1 2

2

2

2

x

x x

x







   







Lúc này ta sử dụng Casio, gán 1 1 17

2

2

Sau đó nhập biểu thức  2  2 

A  B B  A vào máy:

Ta được kết quả là 9 (thỏa mãn) đáp án B

Chú ý : Nếu bài toán này câu hỏi là “Tìm giá trị gần a nhất ”thì ta không giải được theo chiều xuôi”

Câu 28 (THPTQG – 104 – 2017 ) Tìm giá trị trị thực của tham số m để đường thẳng

: (2 1) 3

d y m x m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

3 1

y x x 

A 3

2

m B 3

4

m C 1

2

m  D 1

4

m

Giải

Hàm số 3 2

3 1

y x x  có a1;b 3;c0;d 1, suy ra phương trình  đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: 2 2

( 3 )

2

9

bc

      hay : y  2x 1

4

Câu 29 (THPTQG – 104– 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số

y x mx  m có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 với O

là gốc tọa độ

A 41

2

m  ; 41

2

m B m 1; m1 C m1 D m0 Giải

Ta có y' 3 x26mx3 (x x2 )m ;

' 0

y

Để tồn tại A B, thì 2m  0 m 0

OAB

S  OA OB m m  m    m đáp án B

Câu 30 Cho hàm số y  x3 3mx23(1m x m2)  3m2 Điểm M(1; 2) thuộc đường thẳng đi qua

hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho Tất cả các giá trị của m là

A m0 hoặc m1 B m1 hoặc m 1 C m1 D m0 hoặc m2 Giải

Cách 1 (Sử dụng công thức giải nhanh)

Áp dụng công thức giải nhanh, ta có phương trình đi qua 2 điểm cực trị cần lập là

2 2

( 3 )

bc

1, 3 , 3(1 ),

a  b m c m d m m

Suy ra:

2

         hay y2x m 2m

1

m

m







Kiểm tra 2

3 9 0,

b  ac    m m0 hoặc m1đáp án A

Cách 2 (Giải thường) Ta có: y' 3x26mx3(1m2)