Đáp án bài tập tự luyện Sơ đồ tư duy - Cái nhìn tổng quan về cực trị hàm

GiảiDựa vào bảng biến thiên cho ta biết hàm số có 2 điểm cực trị và hàm số đạt cực tiểu tại x2.. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Tìm giá trị cực đại y CĐ và giá trị cực

ĐÁP ÁN

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1 Điểm cực đại của hàm số 3 2

yx  x  là

A x0 B x2 C x 3 D x 7

Giải

Ta có 2

2

x y

x





Suy ra điểm cực đại của hàm số là x0 (đổi dấu từ + sang )đáp án A.

Câu 2. Tìm giá trị cực đại y CĐ của hàm số 3

A y CĐ 4 B y CĐ 1 C y CĐ 0 D y CĐ  1

Giải

2

y  x  và y''6x; ' 0 1 ''(1) 6 0 1

1 ''( 1) 6 0



            là cực đại của hàm số

( 1) 4

CĐ y

y

    đáp án A

Chú ý: Với hàm bậc 3 có hai cực trị thì ta có thể sử dụng nhận xét:y C Đ  y C T để suy ra y CĐ

Câu 3 (THPTQG – 104– 2017 ) Hàm số 2 3

1

x y x





 có bao nhiêu điểm cực trị?

A 3 B 0 C 2 D 1

Giải

Ta có ' 1 2 0

( 1)

y

x



 ,   x 1, suy ra hàm số không có cực trịđáp án B

Chú ý : Hàm phân thức y ax b





 không có cực trị.

SƠ ĐỒ TƯ DUY – CÁI NHÌN TỔNG QUAN

VỀ CỰC TRỊ HÀM GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG



Câu 4 (THPTQG – 101– 2017 ) Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A Hàm số có ba điểm cực trị B Hàm số có giá trị cực đại bằng 3

C Hàm số có giá trị cực đại bằng 0 D Hàm số có hai điểm cực tiểu

Giải

Dựa vào bảng biến thiên cho ta biết hàm số có 3 điểm cực trị (1 cực đại và 2 cực tiểu)

và y CĐ 3, suy ra C saiđáp án C

Câu 5 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm cấp hai trong khoảng ( ; )a b chứa điểm x0 Khẳng định

nào sau đây là đúng?

A Nếu f '(x0)0 và f ''(x0)0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số

B Nếu f '(x0)0 và f ''(x0)0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số

C Nếu f '(x0)0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số

D Nếu f '(x0)0 và f ''(x0)0 thì x0 không là điểm cực trị của hàm số

Giải

Khẳng định đúng là đáp án B

Chú ý : Vì B đúng nên hiển nhiên A sai Còn phương án C sai vì qua x0 thì f '( )x có thể không đổi dấu,

khi đó x0 không là điểm cực trị Còn D sai vì chưa thể khẳng định được x0 không là cực trị của hàm số (ví

yx có y'(0) y''(0)0 nhưng hàm số vẫn đạt cực trị tại x0).

Câu 6 (THPTQG – 103– 2017 ) Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số có bốn điểm cực trị B Hàm số đạt cực tiểu tại x2

C Hàm số không có cực đại D Hàm số đạt cực tiểu tại x 5

y

'

y

1

0



0 3





0

0



y

'

y

1



0 4

2





5



Giải

Dựa vào bảng biến thiên cho ta biết hàm số có 2 điểm cực trị và hàm số đạt cực tiểu tại x2 Suy ra B đúngđáp án B

Câu 7 (THPTQG – 102– 2017 ) Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Tìm giá trị cực đại y CĐ và giá trị cực tiểu y CT của hàm số đã cho

A y CĐ3 và y CT  2 B y CĐ 2 và y CT 0

C y CĐ 2 và y CT 2 D y CĐ 3 và y CT 0

Giải

Dựa vào bảng biến thiên cho ta biết y CĐ3 và y CT 0 đáp án D

Câu 8 Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số 3 2

yx  x  thuộc góc phần tư thứ mấy?

A Thứ I B Thứ II C Thứ III D. Thứ IV

Giải

Ta có 2

CT CĐ

y y



  



đồ thị hàm số và thuộc góc phần tư thứ IVđáp án D

Câu 9 Số cực trị của hàm số

2 2 1

y x

 



 bằng bao nhiêu?

A.0 B 1 C 2 D 3

Giải

Ta có

2

2

2 3 '

( 1)

y

x



1 ' 0

3

x y

x





Vì x1 và x 3 là các nghiệm đơn phân biệt nên hàm số có 2 cực trịđáp án C

'( ) ( 1) ( 3)

f x x x  x Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?

A.4 B 1 C 2 D 3

Giải

y

'

y

2



0 3







0

Ta có

0 '( ) 0 1

3

x

x







  



Do x 1 là các nghiệm kép nên f '( )x qua x 1 không đổi dấu

Vậy hàm số có hai điểm cực trị là x0 và x 3đáp án C

Câu 11 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm trên và

đồ thị hàm số y f '( )x như hình vẽ bên Hàm số y f x( )

có bao nhiêu điểm cực trị?

A.0

B 1

C 2

D 3

Giải

Dựa vào đồ thị ta có 1 0

'( ) 0

0

x



   



Do f '( )x qua x0 không đổi dấu nên hàm số

có một điểm cực trị là xx1

đáp án B

Câu 12 Cho hàm số y f x( ) xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số có đúng một cực trị

B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1

C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 1

D. Hàm số đạt cực đại tại x0 và đạt cực tiểu tại x1

y

y' x

1 0

+∞

∞

+

+∞

x

y

O

x

y

O

1

x

Giải

Từ bảng biến thiên cho ta biết hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

(vì lim

x )loại C

Hàm số có hai cực trị, đạt cực đại tại x0; đạt cực tiểu tại x1

(hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1)đáp án D

Chú ý : Ở câu hỏi này x0 là giá trị tại đó y' không xác định nhưng y' qua nó đổi dấu nên x0 thỏa

mãn điều kiện cần và đủ Do đó, x0 vẫn là một điểm cực trị

Câu 13 Cho hàm số 1 3 2

3

1 giá trị cực tiểu là

A  3 B 1 C 8

3

 D 8

2 điểm cực đại là

A y8 B x 3 C x1 D M3;8

3 đồ thị là ( )C Khi đó là M là điểm cực tiểu của ( )C , tọa độ:

A M 1;8 B ( 3; 8)

3

M   C M3;8 D 1; 8

3

  Giải

Ta có 2

8

1 (1)

3 ( 3) 8

y



 



    



1 Hàm số có giá trị cực tiểu là:

Cách 1: Lập trục xét dấu y' Từ dấu của y' 8

3

CT

y

Cách 2: Do y C Đ  y C T 8

3

CT

y

2 Hàm số có điểm cực đại là: Lập trục xét dấu y' Từ dấu của y'x C Đ  3đáp án B

3 Điểm cực tiểu M của đồ thị ( )C là: Lập trục xét dấu, suy ra điểm cực tiểu 1; 8

3

Nhận xét : Như vậy qua câu hỏi này ta cần phân biệt được các khái niệm điểm cực trị của hàm số

0

xx (điểm cực đại của hàm số x C Đ , điểm cực tiểu của hàm số x CT ), điểm cực trị của đồ thị hàm số

0 0

( ; )

M x y (điểm cực đại của đồ thị hàm số M x( CĐ;y C Đ), điểm cực tiểu của đồ thị hàm số M x( CT;y CT),

giá trị cực trị của hàm số y0 (giá trị cực đại của hàm số y C Đ , giá trị cực tiểu của hàm số y CT ) hay còn

được gọi là cực trị của hàm số y0 (cực đại của hàm số y C Đ , cực tiểu của hàm số y CT ) Điều này khá

quan trọng để ta “cắt nghĩa” chuẩn dữ kiện cũng như yêu cầu của bài toán

Chú ý : Với các hàm số dạng đa thức thì ta luôn có: y C Đ  y C T

8

8 3



3

Dấu y'

Câu 14 Cho hàm số y f x( ) liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây sai?

A Điểm cực đại của hàm số là M(0; 2)

B Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1

C Cực tiểu của hàm số là 1

D Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 1; 0) và (0;)

Giải

Từ bảng biến thiên cho ta biết điểm cực đại của hàm số là x0, suy ra A saiđáp án A

Câu 15 Hàm số y x cos 2x2017

A Nhận

12

x 

làm điểm cực đại B. Nhận điểm 5

12

làm điểm cực tiểu

C Nhận 7

12

 làm điểm cực đại D Nhận 11

12

 làm điểm cực đại

Giải

Ta có ' 1 2sin 2 0 sin 2 1 sin 12

7

12



 

   





( k )

Ta có

'' 4 cos 2





12

   là các điểm cực tiểu và

7

12

  là các điểm cực đại (với k )C đúngĐáp án C

Chú ý: Với k 1 11

12

là điểm cực tiểu và k 1 5

12

là điểm cực đại (do đó B , D sai)

Các bạn xem thêm cách giải nhanh ở bài “ Các kĩ thuật phụ trợ cần biết khi giải bài toán hàm số ”

Câu 16 (THPTQG – 103– 2017 ) Đồ thị hàm số 3 2

y  x x  có hai điểm cực trị A và B

Tính diện tích S của tam giác OAB với O là gốc tọa độ

A S9 B 10

3

S  C S5 D S 10

y

'

y

1

1



0 2





0

1



Giải

y



  

         

Khi đó:

5

2 ( 1)

OAB

Câu 17 Với giá trị nào của m thì hàm số 3 2 2

yx m x  m x đạt cực đại tại x1?

A m1 hoặc m 3 B m1 C m 3 D. m 1 Giải

Ta có:

2

'' 6 2







3

m

m





+) Điều kiện đủ:

Với m 1 y''6x 2 y''(1)   4 0 x 1 là điểm cực tiểu (không thỏa mãn)

Với m  3 y''6x18y''(1)    12 0 x 1 là điểm cực đại (thỏa mãn)

Vậy m 3đáp án C

Câu 18 Hàm số

3

1 (2 1) ( )

3 2

x

y  m x  m m x đạt cực tiểu tại x1 khi và chỉ khi

A m2 B m1 C m1 hoặc m2 D m 1 Giải

Ta có



2

m

m





+) Điều kiện đủ:

Với m 1 y''2x 1 y''(1) 1 0, suy ra x1 là điểm cực tiểu (thỏa mãn)

Với m 2 y''2x 3 y''(1)  1 0, suy ra x1 là điểm cực đại ( không thỏa mãn)

Vậy m1đáp án B .

Câu 19 Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 4

yx mx có điểm cực tiểu x0

A m0 B m0 C m D không tồn tại Giải

Ta có y'4x3m và y''8x2

+) Điều kiện cần: Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 y'(0)  0 m 0

+) Điều kiện đủ: Với m 1 y''0, thay m0 vào y' ta được: y'4x3 đổi dấu từ " " sang " " khi

đi qua x0, suy ra x0 là điểm cực tiểu (thỏa mãn)

Vậy m0đáp án A

Câu 20 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số 4

y m x  m đạt cực đại tại x0

A 1 B 2 C vô số D 5

Giải

Cách 1:

' 4( 1)

'' 12( 1)

+) Điều kiện cần: Hàm số đạt cực đại tại x 0 y'(0)  0 0 0 (luôn đúng)

+) Điều kiện đủ: Ta có y''(0)0, như vậy ta chưa kết luận được x0 là cực đại của hàm số

Để x0 là điểm cực đại của hàm số thì 3

' 4( 1)

y  m x đổi dấu từ “+” sang “” (theo chiều tăng

của biến x ), suy ra: 4(m    1) 0 m 1, nghĩa là có vô số số nguyên m thỏa mãn đáp án C

Cách 2:

Ta có: ab 0 hàm số có tối đa 1 cực trị (nếu a b 0 thì hàm số không có cực trị - xem điều kiện cực trị của hàm trùng phương – bài học sau)

Vậy để x0 là điểm cực đại thỏa mãn điều kiện bài toán thì :

ab

, nghĩa là có vô số số nguyên m thỏa mãn đáp án C

Câu 21.Gọi mm0 là số nguyên nhỏ nhất để hàm số 4 2

yx  m x  đạt cực tiểu tại x0 Trong các số sau, đâu là giá trị gần m0 nhất?

A 3 B 0 C 5 D 3

Giải

Cách 1: Ta có

3

2





+) Điều kiện cần: Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 y'(0)  0 0 0 (luôn đúng)

+) Điều kiện đủ: Ta có y''(0)2(m1) Để thỏa mãn bài toán thì:

 y''(0)02(m   1) 0 m 1 (1)

 y''(0)0 và y' đổi dấu từ “” sang “” (theo chiều tăng của biến x ) khi qua x0 (*)

Ta có y''(0)  0 m 1  3

' 4

y  x thỏa mãn (*)m1 (2) Kết hợp (1) và (2) m1minmm0 1 gần 0 nhấtđáp án B

Cách 2: Do hàm số dạng trùng phương và a 1 0, suy ra hàm số :

 Nếu có 1 điểm cực trị thì x0 là điểm cực tiểu

 Nếu có 3 điểm cực trị thì x0 là điểm cực đại

(xem điều kiện cực trị của hàm trùng phương – bài học sau)

Vậy để thỏa mãn điều kiện bài toán thì hàm số cần có một điểm cực trị

0

   gần 0 nhấtđáp án B

'(0) 0 2( 1) 0

y

m

m0 2 gần 3 nhất và chọn A Như các bạn đã thấy đó không phải là một quả chính xác

y x  m x  m x đạt cực tiểu tại x3

A m0 B m0 C m 1 D m0

Giải

Ta có:

2

'' 2 2( 1)



 Hàm số đạt cực tiểu tại x3y'(3) 0 8m  0 m 0 Với m 0 y''(3)0 (thỏa mãn x3 là điểm cực tiểu) Vậy m0đáp án D

Câu 23 (THPTQG – 102– 2017) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số

1

3

y x mx  m  x đạt cực đại tại x3

A m1 B m 1 C m5 D m 7 Giải

y x  mxm  và y''2x2m

5

m

m





+) Điều kiện đủ:

Với m 1 y''2x 2 y''(3) 4 0, suy ra x3 là điểm cực tiểu (loại)

Với m 5 y''2x10y''(3)  4 0, suy ra x3 là điểm cực đại ( thỏa mãn)

Vậy m5đáp án C

Câu 24 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 3 2

yx  mx  m có hai điểm cực

trị A m0 B m0 C m0 D. m0

Giải

Ta có: 2

2

x





Hàm số có hai điểm cực trị (*) có 2 nghiệm phân biệt2m  0 m 0đáp án D

Chú ý: Có thể xem cách giải sử dụng điều kiện cực trị của hàm bậc 3 trong bài học sau

Câu 25.Biết hàm số 1 3 1  2 1

1

y x  m x mx có giá trị cực đại bằng 1

3 Gọi mm0 là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị thỏa mãn bài toán Khi đó giá trị nào dưới đây gần m0 nhất?

A 3 B 2 C 1 D 2

Giải

 



 Xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: m 1

Vẽ trục số dấu của y' ta được hàm số đạt cực đại tại x 1 Khi đó:

  1 1 1

1

CĐ

m

y  y       m

Trường hợp 2: m 1

Vẽ trục số dấu của y' ta được hàm số đạt cực đại tại x m Khi đó:

  3 2 1 1

3

6 2 3 3

CĐ

y  y m        m hoặc m0 (loại)

Vậy các giá trị cần tìm của m thỏa mãn là 3, 1

3

m  m  m0  3 gần 2 nhất đáp án D

y  x  m x  m  x Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên

của tham số m để hàm số đã cho có hai điểm cực trị

A 4 B 5 C 3 D. 6

Giải

Hàm số có hai điểm cực trị (*) có 2 nghiệm phân biệt, suy ra:

' (2 1)2 6( 2 1) 2 2 4 7 0 2 3 2 2 3 2

hay 3,12 m 1,12    m m  3; 2; 1;0;1: có 5 giá trị nguyênđáp án B

Chú ý: Có thể xem cách giải sử dụng điều kiện cực trị của hàm bậc 3 trong bài học sau.

3

yx  x ax b có đồ thị ( )C Biết M( 1;6) là một điểm cực trị của ( )C

Khi đó tổng a b bằng

A 8 B 10 C 14 D 28

Giải

Ta có 2

y  x  xa

a b

đáp án A

Câu 28 Cho hàm số 2

4 3sin

y x x có đồ thị ( )C Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A Hàm số không có cực trị B Hàm số đồng biến trên

C Đồ thị ( )C đi qua gốc tọa độ D Hàm số có 1 cực đại Giải Ta có y' 4 6sin cosx x 4 3sin 2x0, x  A, B đúng và D saiĐáp án D Câu 29 Cho hàm số 3 2 yax bx cxd có đồ thị ( )C Nếu ( )C có hai điểm cực trị là gốc tọa độ O và A(2; 4) thì hàm số có dạng nào sau đây? A 3 2 3 5 y  x  x B 3 3 10 y  x  x C 3 3 yx  x D 3 2 3 yx  x Giải Ta có 2 ' 3 2 y  ax  bxc Do O(0;0) và A(2; 4) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nên ta có: 3 2 '(0) 0 0 1 (0) 0 0 3 3 '(2) 0 12 4 0 0 (2) 4 8 4 2 4 y c a y d b y x x y a b c c d y a b c d                                          đáp án D Câu 30 (THPTQG – 102– 2017 ) Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số 4 2 yax bx c với a b c, , là các số thực Mệnh đề nào dưới đây đúng? A Phương trình y'0 có ba nghiệm thực phân biệt

B Phương trình y'0 có hai nghiệm thực phân biệt

C Phương trình y'0 vô nghiệm trên tập số thực

D Phương trình y'0 có đúng một nghiệm thực

Giải Dựa vào đồ thị cho ta biết hàm số có 3 điểm cực trị, suy ra phương trình y'0 có ba nghiệm thực phân biệtđáp án A Câu 31.Phát biểu nào sau đây là đúng? A Hàm số y f x( ) đạt cực trị tại x0 khi và chỉ khi x0 là nghiệm của phương trình f x'( )0 B Nếu hàm số y f x( ) có f '(x0) f ''(x0)0 thì xx0 không phải là cực trị của hàm số

C Nếu hàm số y f x( ) có f '(x0)0 và f ''(x0)0 thì xx0 là điểm cực tiểu của hàm số

D Nếu f '( )x đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x0 và f x( ) liên tục tại x0 thì hàm số y f x( ) đạt cực đại tại điểm xx0

Giải

Các phát biểu A, B, C sai Vì ta có thể lấy các phản ví dụ

O

y

x