Bài toán cực trị hàm số

Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hàm s C C TR C A HÀM S TÀI LI U BÀI GI NG Giáo viên: LÊ ANH TU N D u hi u tìm c c đ i c c ti u D u hi u 1: Cho y  f  x  xác đ nh  a; b  y '  x0   x y' ∞ +∞ x0 + x ∞ y' +∞ x0 + c cđ i y y c c ti u Ghi nh + Hoành đ x0 c a c c tr nghi m c a ph + Tung đ y0  f  x0  ng trình y '  + S c c tr c a hàm s y  f  x  b ng s l n y ' đ i d u liên ti p b ng s nghi m phân bi t c a ph trình y '  ng I C c tr hàm b c 3: y  ax3  bx2  cx  d có y '  3ax2  2bx  c 1) Hàm s có c c tr (1 c c đ i c c ti u)  y '  có nghi m phân bi t hay  y '  2) Hàm s c c tr  y '  vô nghi m ho c có nghi m kép Hay  y '  C C A B CT CT Chú ý: A  xA ; y A  , B  xB ; yB  thì: AB   xB  xA , yB  y A  AB  AB  D ng toán Tìm đ c t a đ A, B c th (hay  y ' ph    xB  x A    y B  y A  2 ng Ví d Cho hàm s y  x3  3x2  m2  x  3m2  Tìm m đ hàm s có c c đ i, c c ti u m c c tr cách đ u g c t a đ H ng d n T p xác đ nh: x  R Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)   Chuyên đ : Hàm s y '  x  x  m2  Hàm s có m c c tr t  ng đ  ng v i  '    m2   9m2   m  x   m y'    A v i xA , xB hoành đ  xB   m m c c tr A, B    Khi ta có t a đ c c tr là: A  m; 2m3  ; B  m; 2m3  Theo đ ta có: OA  OB  OA2  OB2     m   m3  2      m   m3  2   m  (lo i m  u ki n m  )  m    Ví d (B 2013) Cho hàm s y  f  x   2x3   m  1 x2  6mx tìm m đ hàm s có A, B cho AB vuông góc v i đ ng th ng d : y  x  H ng d n T p xác đ nh x  R Đ o hàm y '  6x2   m  1 x  6m m c c tr Đ hàm s có c c tr  y '    m  1   m  1   A m; m3  3m2  xA  m  ng trình y '     xA  1  B  1; 3m  1 Ph Ph Theo ng trình đ đ ng th ng AB là: AB : AB  x  xA y  yA   AB :   m  1 x  m  m  1 xB  x A y B  y A vuông góc m  k AB * kd  1    m  1  1    m  2 v i đ ng d : y  x  nên th ng m  Th a mãn u ki n nên k t lu n giá tr m c n tìm   m  2 D ng toán Tìm đ c t a đ A, B không tìm đ c c th (hay  y ' không khai đ y  f  x   ax  bx  cx  d y '  f  x   3ax2  2bx  c A B m c c tr c a đ th hàm s ) G i xA , xB nghi m c a ph + Ph ng trình đ ng trình y '  ng th ng qua m AB = ph n d c a phép chia c) C f  x f ' x Chú ý: Mu n dùng cách này, ta ph i ch ng minh !! + Tìm t a đ y A ; yB b ng cách CT - Thay xA , xB vào y  f  x   ax3  bx2  cx  d - Ho c b ng cách thay y A ; yB vào ph ng trình đ y  f  x  ng th ng AB   x  mx2  3m2  x  tìm m đ hàm s có 3 c c tr có hoành đ x1 ; x2 th a mãn x1.x2   x1  x2   Ví d (D H 2012) Cho hàm s m ng d n Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hàm s T p xác đ nh x  R Đ o hàm y '  2x2  2mx  3m2   Đ hàm s có c c tr ph  ng trình y '  ph i có nghi m phân bi t hay:  m  13 (*)  '   m2  3m2    13m2      m   13     x1  x2  m ng trình y '  áp d ng đ nh lý Vi-et ta có:   x1 x2   3m m   m  (do (*) ) Theo đ yêu c u x1 x2   x1  x2     3m2  2m    m   Ví d Cho hàm s y  f  x   x3  3x2  1  m x   3m tìm m đ hàm s có c c đ i, c c ti u t i A G i x1 , x2 nghi m c a ph B cho SOAB  H ng d n T p xác đ nh x  R Đ o hàm y '  3x2  6x  1  m Đ hàm s có c c tr  '   9m   m  G i xA , xB nghi m c a ph Khi áp d ng cách tìm ph f  x f ' x ta có Ph ng trình đ ng trình y '  ph i có nghi m phân bi t hay: ph  x  x  ng trình y '  áp d ng đ nh lý Vi-et ta có:  A B  x A xB   m ng trình đ ng th ng qua m c c tr = ph n d c a phép chia ng th ng qua m c c tr là: y  2mx   2m d  O : AB   2m    m2  AB  2m  4m2  SOAB  AB * d  O : AB  4 m1 V y m  giá tr c n tìm Ví d Cho hàm s y  f  x   x3  x2  mx  m a Tìm m đ hàm s có c c đ i, c c ti u A B, vi t ph ng trình đ ng th ng qua b Tìm m đ đ ng th ng AB t o v i đ ng th ng d : y  m t góc b ng 600 c Tìm m đ c c đ i c c ti u cách đ u đ ng th ng y  x  m c c tr d Tìm m đ c c đ i c c ti u cách đ u tr c Oy e Tìm m đ c c đ i c c ti u cách đ u tr c Ox f Tìm m đ c c đ i c c ti u đ i x ng qua  : x  y   H ng d n T p xác đ nh x  R Đ o hàm y '  3x2  2x  m Đ hàm s có c c tr ph Hocmai – Ngôi tr ng trình y '  ph i có nghi m phân bi t hay: ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)  '    3m   m  a Khi ph ng trình đ Chuyên đ : Hàm s ng th ng AB ph n d c a phép chia f  x 2 2  AB : y   m   x 9 f ' x 3  2 2   2 2   A  x1 ,  m   x1  ; B  x2 ,  m   x2  v i x1 ; x2 nghi m c a ph 9   3 9   3   x1  x1   Theo Vi et ta có:   x x  m  1 2  b Ta có, vector pháp n c a đ ng th ng AB nAB   m  , 1  3  Vector pháp n c a đ Vì đ ng trình y '  ng th ng d nd   0,1 ng th ng AB t o v i đ ng th ng d : y  m t góc b ng 600 nên:  29 m  29 cos600   m m   29 nAB nd m    19 m  c Vì A B cách đ u y  x  nên d  A : d   d  B : d    (lo i h t m  )  m  11   x  x2  x1  x2 A khác B d Vì A B cách đ u Oy nên d  A : Oy   d  B : Oy   x1  x2    x1   x2  x1  x2  theo Vi-et x1  x1    vô lý  không t n t i m e Vì A B cách đ u Ox nên nAB nd   2 2 2 2  m   x1   m   x2  m    x1  x2    y1  y2 9       d  A : Ox   d  B : Ox   y1  y2     m   2 2 2 2  y1   y2  m   x1    m   x2  m    x1  x2   9 9 9   3 f Đ A B đ i x ng qua  : x  y   ph i th a mãn đ ng th i:  2  - Trung m I c a AB ph i n m   I   ,  m     : x  y    m   27   - AB ph i vuông góc v i  hay k AB * kd  1  m   V y không t n t i m th a mãn yêu c u Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hàm s II C c tr hàm trùng ph ng: y  ax4  bx2  c có y '  4ax3  2bx 1) Hàm s có c c tr  y '  có nghi m phân bi t C C 2 CT A CT C B C CT Tính ch t c a c c tr A,B,C : ABC cân t i A ABC vuông cân  AB.AC   y A  yB ng th ng BC:    y A  yC AB.AC.BC A( chi u cao R bán kính đ ng tròn ngo i ti p ABC SABC  AH.BC  4R C1 : AB  BC ABC đ u   C : AH  BC   AB.AC cos   AB AC BAC      tan   BC  AH Ví d Cho hàm s x   m  1 x2  m2 tìm m đ hàm s có c c tr t o thành tam giác Kho ng cách t A đ n đ a) tam giác vuông b) Tam giác có bán kính đ ng tròn ngo i ti p b ng H ng d n T p xác đ nh x  R Đ o hàm y '  4x3   m  1 x  4x x2  m   Đ hàm s có c c tr ph    ng trình y '  ph i có nghi m phân bi t, hay x x2  m   có nghi m phân bi t khác  m    m  1 x  Ta có y '     có c c tr A 0; m2 , B  x   m   L i có AB  m  1;   m  1      m  1; 2m  ,C  m  1; 2m   AC   m  1;   m  1  a) Đ tam giác ABC vuông t i A m  AB.AC     m  1   m  1     m  (do m  1 )  m  1 b) Ta có: SABC Hocmai – Ngôi tr AB.AC.BC AB.AC AB2  AH.BC  R  4R 2.AH 2.AH ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) m  m      m  3   m  3    2 Đ th hàm c c tr có c c tr  y '  có  m  1   m  1 1 2  m  1 Chuyên đ : Hàm s nghi m nh t CĐ a0 CT Khi s có m t lo i toán là: tìm m đ hàm trùng ph ng có c c tr +) Hàm s ch có c c đ i  hàm s có c c tr a  +) Hàm s ch có c c ti u  hàm s có c c tr a  Ví d Cho hàm s y  x4  2m2 x2  tìm m đ hàm s có c c tr ( ng d n T p xác đ nh x  R Đ o hàm y '  4x3  4m2 x  4x x2  m2   Hàm s có c c tr  y '  có kép x   m  nghi m nh t  x2  m2 ph i vô nghi m ho c có nghi m ax  b , hàm s c c tr cx  d D u hi u s Cho y  f  x  xác đ nh  a; b  , x0   a; b  III Hàm s y   y '  x0    c c ti u x0 Chú ý ng 1, N u   y "  x0    y '  x0    c c đ i x0 Chú ý ng 2, N u   y "  x0   c l i không c l i không Ví d Cho hàm s y   x  m  3x tìm m đ hàm s đ t c c ti u t i x  H ng d n T p xác đ nh x  R  y '   x  m 2   Đ o hàm   y "   x  m   y '  x0    3m2       m  1 Hàm s đ t c c ti u t i x    y x "   m       Th l i m  1 ta th y hàm s đ t c c ti u t i x  V y m  1 th a mãn Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! Giáo viên : Lê Anh Tu n Ngu n : T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | -