Bài tập về cực trị hàm số

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng) Chuyên đề: Hàm số CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ ANH TUẤN Bài Tìm cực trị hàm số sau: y  x3  3x2  9x  Hướng dẫn  DR  y'  3x2  6x   x  1 Cho y'   3x  6x     x   BBT ∞ x y' + -1 0 +∞ + +∞ 10 y ∞ -22 Vậy: hàm số đạt cực đại (1;10) Hàm số đạt cực tiểu (3; 22)   Bài Cho hàm số y  x3   m  1 x2  m  3m  x  a Tìm m để hàm số đạt cực trị x  b Tìm m để hàm số đạt cực đại x  c Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x  Hướng dẫn a TXĐ: D  R y'  x2   m  1 x  m2  3m  m  Đề hàm số đạt cực trị x  , y'     m  3m     m  Với m  , ta có y'  x2  0, x  R nên y ' không đổi dấu qua x   x  hàm số không đạt cực trị Với m  , ta có y'  x2  2x , ta có bảng biến thiên đồ thị hàm số y  f  x  là: x ∞ y' + 0 +∞ + +∞ y 11 ∞ Vậy hàm số đạt cực trị x  , m  b TXĐ: D  R Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng) Chuyên đề: Hàm số y'  x2   m  1 x  m2  3m  y''  2x   m  1  5 m  Hàm số đạt cực đại x   y'(1)   m  5m      5 m   5 hàm số đạt cực trị Tương tự phần b, ta thử lại giá trị m vào hàm số ta thấy m  x  c TXĐ: D  R y'  x2   m  1 x  m2  3m   m  Hàm số đạt cực tiểu x =  y'(3)   m  9m  17     m   Thử lại giá trị vào hàm số ta có m    13 13 13 để hàm số đạt cực tiểu x   2 1 Bài Cho hàm số y   x3  ax2  bx  Xác định a b để hàm số đạt cực đại x  giá trị 3 cực đại điểm Hướng dẫn * TXĐ: D = R * y'  x2  ax  b Để hàm số đạt cực trị x  giá trị hàm x = 1  a  b   y'(1)  a  2 a  2    1    y(1)  b  b   ab  2 x a  2 Với  ta có y’  x2  2x  , ta lập bảng xét dấu y’ ta có b   x  cực đại hàm số ∞ y' -3 + +∞ y a  2 Vậy  thỏa mãn điều kiện toán b  - 26 ∞ Bài Xác định m để hàm số y  x4  2m2 x2  a Hàm số đạt cực tiểu x  1 Hướng dẫn a TXĐ: D  R b Hàm số đạt cực đại x  2 y'  4x3  4m x m  m   Hàm số đạt cực tiểu x  1  y'( 1)   4  4m2     m  1  m  1 m  m  Thử lại  ta thấy  giá trị cần tìm  m  1  m  1 Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt !! +∞ Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng) Chuyên đề: Hàm số b TXĐ: D = R y'  4x3  4m x Hàm số đạt cực đại x  2 x2   m  1 x  m  4m  x 1 H Bài Cho hàm số y  hi D a Xác định m để hàm số có cực trị b Xác định m để hàm số đồng biến khoảng xác định Hướng dẫn a TXĐ:  x  1 nT x  2x  m  3m  uO y'  oc 01 m   y'( 2)   32  8m     m  2 Thử lại ta thấy giá trị thoả mãn điều kiện đề Vậy không tồn m iL ie x  (1) y'    2  x  2x  m  3m   (2) Hàm số có cực trị  phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác up b Hàm số đồng biến khoảng xác định s/ Ta m  3m     '0    1 m  2   1  2.1  m  3m   m  3m    y'  0, x   x  2x  m  3m   0, x  /g ro a    x  2x  m  3m   0; x  R    m  3m    m   ;1  2;     '  k co m Bài Cho hàm số y  x3   2m  1 x2  1  4m  x  a Xác định m để hàm số có cực đại cực tiểu b Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 cho x1  x2  bo o c Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 cho 3x1  x2  d Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn: x12  x2  w w fa ce e Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực nằm phía so với trục tung Hướng dẫn a TXĐ: D = R y'  x2   2m  1 x   4m w y'   x2   2m  1 x   4m  (*) Hàm số có cực đại cực tiểu  phương (*) có hai nghiệm phân biệt  '  4m2   m2   m  Vậy m  hàm số có cực đại cực tiểu b TXĐ: D = R y'  x2   2m  1 x   4m Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng) Chuyên đề: Hàm số y'   x2   2m  1 x   4m  (*) * Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2  phương (*) có hai nghiệm phân biệt   '  4m2   m2   m  * Với m  hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 x  x   2m  1  Ta có x1 , x2 nghiệm phương trình (*) nên   x1 x   4m Theo đề ta có x1  x2   x12  x2  2x1x2  16   x1  x2   4x1x2  16 m   2  2m  1  1  4m   16  16m  16    m  1 Vậy m  1; m  1 thỏa mãn điều kiện toán c TXĐ: D = R y'  x2   2m  1 x   4m y'   x2   2m  1 x   4m  (*) * Hàm số có hai điểm cực trị x1 ,x2  phương (*) có hai nghiệm phân biệt  '  4m2   m2   m  * Với m  hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2  x  x   2m  1 (1) Ta có x1 , x2 nghiệm phương trình (*) nên   x1 x   4m (2) Theo đề ta có 3x1  x2  (3)  x   2m (3) 4  2x1   2m  1   Từ (3)  x2   3x1 thay vào (1) (2) ta  4x1  3x1   4m (4)   x1   3x1    4m Thay x1   2m vào (4) ta   2m     2m    4m  m  (n)  12m  32m  16    m  (n)  2 Vậy m  ; m  thỏa TĐKBT d TXĐ: D = R y'  x2   2m  1 x   4m y'   x2   2m  1 x   4m  (*) * Hàm số có hai điểm cực trị x1 ,x2  phương (*) có hai nghiệm phân biệt  '  4m2   m2   m  * Với m  hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2  x  x   2m  1 Ta có x1 , x2 nghiệm phương trình (*) nên   x1 x   4m Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng) Chuyên đề: Hàm số Theo đề ta có x12  x2    x1  x2   2x1x2   2  2m  1  1  4m   2  16m  8m    m  thỏa mãn e TXĐ: D = R Vậy  m  y'  x2   2m  1 x   4m y'   x2   2m  1 x   4m  (*) * Hàm số có hai điểm cực trị  phương (*) có hai nghiệm phân biệt  '  4m2   m2   m  * Với m  hàm số có hai điểm cực trị Gọi x1 , x2 hai điểm cực trị hàm số  x  x   2m  1 Ta có x1 , x2 nghiệm phương trình (*) nên   x1 x   4m Đồ thị hàm số có hai điểm cực nằm phía so với trục tung  x1 x2    4m   m  Kết hợp với điều kiện m  ta m  0; m  Vậy m  0; m  thỏa TĐKBT Bài Cho hàm số y  x4  2mx2  a Xác định m để hàm số có ba điểm cực trị b Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân c Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành tam giác d Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành tam giác có diện tích Hướng dẫn a TXĐ: D = R y'  4x3  4mx  x  (1) y'   4x3  4mx  (*)  4x x  m     x  m (2) Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt  phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác   m  m    m0 0  m m  Vậy m > thỏa mãn TĐKBT b TXĐ: D = R y'  4x3  4mx  x  (1) y'   4x3  4mx  (*)  4x x  m     x  m (2)  Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt !!  Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng) Chuyên đề: Hàm số * Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt  phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác m  m    m0 0  m m  * Với m  , ta có (2)  x   m nên đồ thị hàm số có ba diểm cực trị A(0;2) , B( m ;  m2 ) , C( m ;  m2 ) Ta có AB  m4  m ; AC  m  m  AB  AC nên tam giác ABC cân A Do tam giác ABC vuông cân  ABC vuông A  AB AC  (**)   Có AB   m ;  m ; AC   m ;  m2   m  (l) Vậy (**)   m m  ( m ).( m )   m  m     m  (n) Vậy m = đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân c TXĐ: D = R y'  4x3  4mx  x  (1) y'   4x3  4mx  (*)  4x x  m     x  m (2) * Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt   m  m   m0  phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác   m  0  m  * Với m  , ta có (2) (2)  x   m nên đồ thị hàm số có ba diểm cực trị A(0;2) , B B(  m ;  m ) , C( m ;  m ) 4  AB  AC  m m  m m Tam giác ABC  AB  AC  BC     m  m  4m AC  BC    m  m  4m  m  (l)  m  3m   m m     m  (TM)   Vậy m  3 thỏa mãn ĐKBT d TXĐ: D = R y'  4x3  4mx  x  (1) y'   4x3  4mx  (*)  4x x  m     x  m (2) * Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt  phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác   m  m    m0 m  0  m  * Với m  , ta có (2)  x   m nên đồ thị hàm số có ba diểm cực trị Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng) Chuyên đề: Hàm số A(0;2) , B( m ;  m2 ) , C( m ;  m2 ) BC  4m   BC  m ;  m 1;   vectơ pháp tuyến đường thẳng BC n   0;1 Nên BC có phương trình: y  m2   d  A; BC   m  m2 1 Ta có, SABC  BC.d(A; BC)   4m.m   m   m  (tm) 2 Vậy m = thỏa ĐKBT Bài Cho hàm số y  x2  mx  Chứng minh với m hàm số có cực trị xm Hướng dẫn TXĐ: D  R\m y'  x2  2mx  m  x  m  x  m (1)  y'    2   x  2mx  m   (2) Hàm số có cực trị  phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt  1   '0    mR 2 1   m  2m.(  m)  m        Vậy với m hàm số có cực trị Bài Cho hà m só y  x4  2(m  1)x2  m Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C cho OA = BC, O gốc tọa độ, A cực trị thuộc trục tung, B C hai điểm cực trị lại Hướng dẫn  x  (1) y’     x  m  (2) Hàm số có cực trị  phương trình y/ = có hai nghiệm phân biệt y’  x3 –  m  1 x m    m  1  phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác   0  m  Khi đồ thị hàm số có cực trị A(0; m) , B     m  1; m2 – m – , C  m  1; m  m – Ta có: OA  OB  m2   m  1  m   2 (thỏa m > -1) Bài 10 Cho hàm số y  x3  (m  2)x2  (5m  4)x  3m  Tìm m để hàm số đạt cực trị x1 , x2 cho x1   x2 Hướng dẫn * TXĐ: D = R * y '  x2  2(m  2) x  5m  y'   x2  2(m  2)x  5m   (*) * Hàm số có hai cực trị  phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt  /  (m  2)2  (5m  4)  m2  9m   m  m  (1) Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng) Chuyên đề: Hàm số * Khi m  m  , hàm số đạt cực trị x1 , x2 cho x1   x2  (x1  2)(x  2)   x1x  2x1  2x    x1x  2(x1  x )    5m   2.( 2)(m  2)    9m   m  2 Đối chiếu (1) (2) ta m < Vậy m < thỏa điều kiện toán Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt !! Giáo viên : Lê Anh Tuấn Nguồn : Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | -