Các dạng bài tập về cực trị của hàm số

Tài liệu được biên tập một cách cẩn thận các dạng bài tập về cực trị của hàm số. Mỗi dạng bài đều có đầy đủ phần lý thuyết, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và sau đó có bài tập tự luyện. Có thể khẳng định rằng đây là một tài liệu hoàn chỉnh và rất tốt để học và giảng dạy về cực trị trong chương trình Toán 12 và ôn thi THPT Quốc gia

NỘI DUNG PHẦN: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1 Định nghĩa

Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a là  , b là

) và x0a b; 

Nếu tồn tại số h>0 sao cho f x   f x 0 với mọi xx0  h x; 0 h, x x 0 thì ta nói hàm số f x đạt cực đại tại   x0

Nếu tồn tại số h>0 sao cho f x   f x 0 với mọi xx0  h x; 0 h, x x 0 thì ta nói hàm số f x đạt cực tiểu tại   x0

Chú ý : Nếu hàm số yf x có đạo hàm trên khoảng (a;b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f x ' 0 0

2 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lí 1

Giả sử hàm số y f x  liên tục trên khoảng K=(x0-h; x0+h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ x , với h>00

 Nếu f x  trên khoảng ' 0 0 x0  h x; 0và f x  trên khoảng ' 0 0 x x0; 0 h

thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f x 

 Nếu f x  trên khoảng ' 0 0 x0  h x; 0và f x  trên khoảng ' 0 0 x x0; 0 h

thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f x 

x x0  h x 0 x0 h x

0

x  h x 0 x0 h

 

'

f x +  f x'   +

 

f x

fCĐ

 

f x

f CT

Định lý 2

Giả sử hàm số yf x  có đạo hàm cấp hai trong khoảng x0  h x; 0 h, với h>0 Khi đó :

 

0 0

f x

f x









thì x0 là điểm cực tiểu

 Nếu  

 

0 0

f x

f x









thì x0 là điểm cực đại

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

DẠNG 1 XÁC ĐỊNH CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

CÁCH 1: (Áp dụng Định lí 1) Các bước để xác định cực trị của hàm số là:

+ Tìm TXĐ

+ Tính y', giải phương trình y' 0

+ Lập bảng xét dấu y'

+ Sử dụng điều kiện đủ để hàm số có cực trị để kết luận

CÁCH 2: (Áp dụng định lý 2)

+ Tìm TXĐ

+ Tính f x , giải phương trình '  f x  và kí hiệu '  0 x (i=1,2,….,n) là các i

nghiệm của nó

+ Tính f '' x và f '' x i

+ Dựa vào dấu của f '' x suy ra tính chất cực trị của i x i

A MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số 1 3 2 3 2

3

y  x x  x

Lời giải

Tập xác định : 

Ta có y'x22x 3; ' 0 2 2 3 0 1

3

x

x





 Bảng biến thiên:

x   -3 1 

y’ + 0  0 +

y 11 

  11

3 Vậy hàm số đạt cực đại tại x= -3 và yCĐ=11

hàm số đạt cực tiểu tại x=1 và yCT=1

3

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số yf x  cos 32 x

Lời giải

TXĐ : 

2

c

yf x c x 

 

6

k



 

-18 khi k=2m

18 khi k=2m+1 6

f x c

k





Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm

3

m

x  hàm số đạt cực tiểu tại các điểm  

6

m

x   m 

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Tìm cực trị của các hàm số

Bài 3 Tìm cực trị của các hàm số

x 1





2

y

x 3



 c)

2

y

x 1





Bài 4 Tìm cực trị của các hàm số

a) y sin x cosx

e)

3

2

x

y



 f) y sin x cos x 0 x 2 3  3    

DẠNG 2 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 Với hàm số: y ax 3bx2 cx d a 0    và  

2

dx e

 + Điều kiện để hàm số không có cực trị là phương trình y' 0 vô nghiệm

+ Điều kiện để hàm số có cực trị (hoặc có 2 cực trị, hoặc có cực đại và cực tiểu) là phương trình y' 0 có hai nghiệm phân biệt

2 Với hàm số: y ax 4 bx2 c a 0  

+ Điều kiện để hàm số có đúng 1 cực trị là phương trình y' 0 có nghiệm duy nhất + Điều kiện để hàm số có đúng 3 cực trị là phương trình y' 0 có 3 nghiệm phân biệt

A MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho hàm số 1 3 7 1 2 16

3

đại và cực tiểu

Lời giải

TXĐ: R

Ta có y'x2 2 7 m1x16

Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y’=0

nghiệm đó   7m12  16 0

2

5 7

3 7











m

m

Ví dụ 2: Cho hàm số y x 4 2mx2 2 Xác định m để hàm số:

a) Có ba cực trị

b) Có một cực trị duy nhất

Lời giải

TXĐ: R

Ta có y' 4 x34mx4x x 2m

a) Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi phương trình y’=0  4x x 2 m 0 có ba nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x qua ba nghiệm đó

0

m

b) Hàm số có một cực trị duy nhất khi và chỉ khi x2+m =0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép  m0

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Cho hàm số y x3 3mx2 3 1 m x m  2  3 m2 Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m

Bài 2 Tìm m để hàm số y x 31 2m x  2 2 m x m 2    có cực trị

Bài 3 Tìm m để hàm số ym 1 x  4 2 m 1 x   2 m 7 chỉ có cực đại mà không

có cực tiểu

Bài 4 Tìm m để hàm số y mx 4 m2  9 x 2 10 có 3 điểm cực trị

Bài 5 Tìm m để hàm số

2

y

x m



Bài 6 Tìm m để hàm số

y

x 1



DẠNG 3 TÌM M ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ (HOẶC CỰC ĐẠI,

HOẶC CỰC TIỂU) TẠI X = X0

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

+ Điều kiện cần: để hàm số y = f(x) đạt cực trị (hoặc cực đại, hoặc cực tiểu) tại x = x0

là f ' x 0 0 Từ đó tìm được các giá trị của m

+ Điều kiện đủ: Với m tìm được, sử dụng điều kiện đủ để kết luận các giá trị của m.

A MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1: Xác định các giá trị của tham số m để hàm số y x 3  2x2mx1 đạt cực tiểu tại x =1

Lời giải

Ta có y' 3 x2  4x m

Nếu hàm số đạt cực tiểu tại x=1 thì y’(1)=0, suy ra m=1

Với m=1 thì y x 3  2x2  x 1, y' 3 x2 4x1, y'' 6 x 4

Mà y’(1) =0 và y'' 1   2 0nên hàm số đạt cực tiểu tại x=1

Vậy m=1 là giá trị cần tìm

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Tìm m để hàm số 1 3  2  2  2 

3

x = 2

Bài 2 Cho hàm số yx m 3  3x m 3 Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0

Bài 3 Tìm m để hàm số y mx 33x2 5x 2 đạt cực đại tại x = 2

Bài 4 Xác định m để hàm số

2

y

x m



 đạt cực tiểu tại x = 2

Bài 5 Tìm các số thực m, n sao cho hàm số f x  mx n

x 1

 đạt cực đại tại điểm

x = -2 và f(-2) = -2

DẠNG 4 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 Với hàm số: y ax 3 bx2 cx d a 0    và  

2

dx e

 + Điều kiện để hàm số có cực trị (hoặc có 2 cực trị, hoặc có cực đại và cực tiểu) là phương trình y' 0 có hai nghiệm phân biệt, giả sử là x1, x2

+ Khi đó các điểm cực trị của hàm số là nghiệm phương trình y' 0

Chú ý: Ta thường áp dụng hệ thức Viet để tìm 1 2

P x x







2 Với hàm số: y ax 4 bx2 c a 0  

+ Điều kiện để hàm số có đúng 3 cực trị là phương trình y' 0 có 3 nghiệm phân biệt + Khi đó điểm cực trị của hàm số là nghiệm phương trình y' 0

A MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1 Cho hàm số y x 3  3(m1)x2 9x m , với m là tham số thực.

Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x sao cho 1, 2 x1 x2 2

Lời giải.

Ta có y' 3 x2  6(m1)x9

+) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2

 phương trình y'  0 có hai nghiệm phân biệt là x x1, 2

 x2  2(m1)x 3 0 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2

m m

m

  



( 1 )

+) Theo định lý Viet ta có x1x2  2 (m 1 ); x1x2  3

Khi đó

1 2 2 1 2 4 1 2 4 4 1 12 4

x  x   x x  x x   m    (m1)2     4 3 m 1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là 3    m 1 3 và 1  3m1

Ví dụ 2: ĐỀ THI THỬ LẦN 1-2011- TRƯỜNG THPT NGUYỄN BỈNH KHIÊM Cho hàm số y x 3 3(m1)x2 3(2m1)x 4 (1)

1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m= - 1

2)Tìm m để hàm số (1) có cực đại , cực tiểu và hai điểm cực đại, cực tiểu của

đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua điểm I ( 0; 4)

Lời giải

2.Hàm số có CĐ, CT  pt y' 3 x2  6(m1)x6m 3 0 có hai nghiệm phân biệt

Hai điểm CĐ,CT của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua điểm I (0 ,4) điều kiện cần

2



Điều kiện đủ : m=-1 hàm số khảo sát ở câu a có 2 điểm CĐ (-1 ;-2 ) CT(1;-6) đối xứng qua điểm I (0 ;-4 )

Vậy m =-1 là giá trị cần tìm

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Cho hàm số y x 32 m 1 x   2m2 4m 1 x 2 m    21 Tìm m để hàm

số đạt cực trị tại 2 điểm x , x sao cho 1 2  1 2

Bài 2 Cho hàm số 2 3   2  

3

rằng hàm số luôn có 2 cực trị Giả sử hàm số đạt cực trị tại x , x , chứng minh rằng:1 2

x x 18

Bài 3 Cho hàm số y x 3 3mx2 1 Tìm quỹ tích điểm cực đại của đồ thị hàm số khi m thay đổi

Bài 4 Tìm m để đồ thị hàm số y x 31 2m x  2 2 m x m 2    có cực đại, cực tiểu và hoành độ điểm cực tiểu nhỏ hơn 1

Bài 5 Cho hàm số

y

x 1



đại và cực tiểu với mọi m, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu ở về hai phía đối với trục hoành

Bài 6 Cho hàm số m 1 x 2 2mx m3 m2 2

y

x m





, với m là tham số khác -1 Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong khoảng 0;2 

Bài 7 Cho hàm số 1 3 1 2 3 2 

1

y  x  mx  m  x

a, Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.

b, Gọi x1, x2 là các điểm cực đại, cực tiểu Tìm m để 2 2

1 2 1 2

x x  x x

DẠNG 5 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 Với hàm số: y ax 3bx2 cx d a 0    và  

2

dx e



 Điều kiện để hàm số có cực trị (hoặc có 2 cực trị, hoặc có cực đại và cực tiểu)

là phương trình y' 0 có hai nghiệm phân biệt

 Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A x ; y và B x ; y , trong đó  1 1  2 2 x ;x là1 2 các nghiệm của phương trình y' 0

Chú ý: Kĩ năng tính tung độ của các điểm cực trị khi hoành độ các điểm cực trị

không đẹp ( x1, x2 vô tỷ)

a) Với hàm số: y ax 3 bx2 cx d a 0   

Thực hiện phép chia đa thức y cho y’ ta được y=y’.p(x)+r(x)

 

y r x

y r x











Hệ quả : đường thẳng đi qua điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số có phương

trình là: y=r(x) hay 2

2

dx e



Ta có bổ đề sau:

Nếu    

 

u x

y x

v x

 

0 0

0

y x

v x









 

 

 

0

' '

u x u x

y x

v x v x

Thật vậy:

 

 

 

 

 

 

0

0

u x v x u x v x

y x

v x

u x v x u x v x u x v x u x v x

y x



Coi u(x)= ax2 + bx + c và v(x)= dx + e

Áp dụng với hàm số trên tại các điểm cực trị A, B thì

 

 

1 2

y x

y x









 

 

1

1

2

2

'

'

u x a x b

y x

u x a x b

y x













Vậy phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại và cực tiểu là

 

 

'

u x a b

v x d d

2 Với hàm số: y ax 4 bx2 c a 0  

+ Điều kiện để hàm số có đúng 3 cực trị là phương trình y' 0 có 3 nghiệm phân biệt + Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là A 0;c ; B x ; y và C x ; y , trong đó 0 và   1 1  2 2

x ;x là các nghiệm của phương trình y' 0

+ Chú ý: Ta luôn xác định được cụ thể các điểm cực trị của đồ thị hàm số này

A MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1 Cho hàm số y = x3 – 3x2+2 (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Tìm điểm M thuộc đường thẳng y=3x-2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất

Lời giải.

2 Giải phần a ta đã tìm được các điểm cực trị

Gọi điểm cực đại là A(0;2), điểm cực tiểu B(2;-2)

Xét biểu thức P=3x-y-2

Thay tọa độ điểm A(0;2)=>P= - 4<0, thay tọa độ điểm B(2;-2)=>P=6>0

Vậy 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng y=3x-2, để MA+MB nhỏ nhất => 3 điểm A, M, B thẳng hàng

Phương trình đường thẳng AB: y = - 2x+2

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

4

5

x

y x

y x

y











=> 4 2;

5 5

M  

Ví dụ 2 Cho hàm số y x 4  2m x2 2 1 (1) ( với m là tham số)

Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của tam giác vuông cân

Lời giải

TXĐ D=R

4 2 2 2 1 ' 4 3 4 2

0 ' 0

y x m x y x m x

x

y

x m







Để hàm số có ba cực trị  m0

Giả sử ba điểm cực trị là A0;1 , B m ;1 m2,Cm;1 m2

Ta có ABm m; 4, AC  m m; 4 và AB AC

Do vậy tam giác ABC vuông cân

 

Vậy với m= 1 thì 3 điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân

Ví dụ 3 Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 -3m – 1

Tìm các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = 0

Lời giải

Ta có y’ = - 3x2 + 6mx ; y’ = 0  x = 0 v x = 2m

Hàm số có cực đại, cực tiểu  phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

 m  0

Hai điểm cực trị là A(0; - 3m - 1) ; B(2m; 4m3 – 3m – 1)

Trung điểm I của đoạn thẳng AB là I(m ; 2m3 – 3m – 1)

Vectơ AB(2 ;4m m3)

; Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u   (8; 1) Hai điểm cực đại, cực tiểu A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d

AB d









3

AB u









Ví dụ 4 Cho hàm số y x 3  3mx2 3(m2  1)x m 3m (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m=1

2 Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O

Lời giải

2 Ta có y, 3x2  6mx3(m2  1)

Để hàm số có cực trị thì PT y  có 2 nghiệm phân biệt, 0

 x2  2mx m 2  1 0 có 2 nhiệm phân biệt

   1 0, m

Khi đó y’=0 có hai nghiệm là x1 m 1, x2  m 1

Bảng biến thiên

x   m-1 m+1 

y’ + 0  0 +

y 2-2m 

  -2-2m

Gọi điểm cực đại của đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m) và điểm cực tiểu của đồ thị hàm

số là B(m+1;-2-2m)

3 2 2

m

m

 



Vậy có 2 giá trị của m là m  3 2 2 và m  3 2 2

Ví dụ 5 – ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM 2009-2010

Cho hàm số yf x  x3  3x2 3 1  m x  1 3m  1

Tìm giá trị của tham số m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng x+y=0 một góc có

số đo 300

Lời giải

Ta có y ' 3x2  6x+3 1-m 

Hàm số có cực đại, cực tiểu  phương trình 3x2  6x+3 1-m  0 có hai nghiệm phân biệt  m0

Thực hiện phép chia đa thức y cho y’ ta được:

3 2 6 3 1  1 2 2 2

3

x

y  x  x  m    mx m

Tại các điểm cực đại, cực tiểu thì y’=0 nên phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu là y=-2mx+2m+2

Đường thẳng đi qua điểm CĐ và điểm CT tạo với đường thẳng x+y=0 một góc 300

0 2

2

os30

2

m

c m

m m





2

2

m m















thoả mãn điều kiện

Kết luận:

2

2

m

m













là giá trị cần tìm

Ví dụ 6: Cho hàm số 2  3 3 1

1

x m x m y

x



 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số đều nằm phía dưới trục hoành

Lời giải

TXĐ : D \ 1 

2

'

Hàm số có cực đại, cực tiểu y' 0 có hai nghiệm phân biệt

 x  x m  (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , 1 1

2

m

Giả sử A x ; y ;B x ; y 1 1  2 2 là các điểm cực trị của đồ thị hàm số

Áp dụng bổ đề trên ta có y1 2x1 m 3 ; y  2 2x2  m 3 

Mà x1 , x2 là các nghiệm của phương trình (1)

Áp dụng hệ thức Viet với phương trình (1) ta có 1 2

1 2







1 2







2m 2 0

Kết hợp điều kiện 1

2



1

m 1 2

m 5











2  hoặc m>5 thỏa mãn đề bài

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hàm số: 1, y=x3 3x2 mx2

2, y=x3+mx2-1

a, Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu

b, Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu

Bài 2: Cho hàm số  

x mx m

y f x

x m



a, Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu

b, Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu

Bài 3 Cho y x3 mx2 4 Tìm m để các điểm cực trị của đồ thị hàm số và M(1; 10) thẳng hàng

Bài 4 Cho y x 3  3x2  6x 8 , viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số

Bài 5 Cho hàm số y 1x3 m 1 x 2 4m 1 x 1

3

trị Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số

Bài 6 Tìm m để đồ thị hàm số 3 3 2 1 3

nhau qua d: y = x

Bài 7 Chứng minh rằng với mọi m, hàm số y 1x3 mx2 x m 1

3

đại, cực tiểu Xác định m sao cho khoảng cách giữa các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số trên nhỏ nhất

Bài 8 Cho hàm số y x 3 6x2 3mx m 2  Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại tại

A(x , y ) và cực tiểu tại B x , y sao cho  2 2

0





Bài 9 Cho hàm số y 2x 33 m 1 x   2 6 m 2 x 1    Tìm m để đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song với đường thẳng y4x 2010