Bài tập về cực trị của hàm số

bài giảng và các dạng bài tập về cực trị của hàm số...là một bài trong chương trình lớp 12 và cũng là một bài trong chương trình luyện thi đại học, chiếm 1 điểm trong các đề thi đại học những năm qua, cần nắm vững và thành thạo các bài tập về cực trị của hàm số

BÀI TẬP VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Bài 1: Tìm điều kiện của tham số m sao cho

a) Hàm số y x 3 mx22(m1)x đạt cực trị tại x=-1.1

b) Hàm số y 2x4 mx2 2m2 đạt cực đại tại điểm x  2

c) Hàm số

x mx y

x m



 đạt cực tiểu tại điểm x=2

Bài 2: Cho hàm số

1

3

y x  m x  x m

Xác định m để:

a) Hàm số có cực đại và cực tiểu

b) Hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu x1,x2 thuộc (1;)

Bài 3: Cho hàm số y x 3 mx2(m36)x 5 Xác định m để

a) Hàm số không có cực trị

b) Hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu x1,x2 và x1 x2 4 2

Bài 4: Cho hàm số

2

1

y

x



 Xác định m để:

a) Hàm số có cực đại và cực tiểu

b) Hàm số có các điểm cực trị x1,x2 thỏa mãn: -2<x1<-1<x2<0

Bài 5: Cho hàm số y x 42mx2 Xác định m để hàm số:2

a) Có ba cực trị

b) Có một cực trị

c) Không có cực trị

Bài 6: Cho hàm số y2x4 mx2 Tìm m để hàm số có 3 cực trị và ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là 1 các đỉnh của:

a) Một tam giác đều b) Một tam giác vuông

Bài 7: Cho hàm số y x 3mx2 x

a) CMR hàm số có cực đại, cực tiểu với mọi m

b) Xác định m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với đường thẳng (d): y=-2x

Bài 8: Cho hàm số

2

1

x x y

x

 



 Chứng minh hàm số có cực đại, cực tiểu Viết phương trình đường thẳng

đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

Bài 9: Xác định m để bất phương trình x m  4 x2 vô nghiệm

Bài 10: Xác định m để phương trình sin3x m cos3x có nghiệm

Bài 11: Cho hàm số y x 4 2mx2m Tìm m để hàm số có 3 cực trị và ba điểm cực trị của đồ thị hàm 1

số là các đỉnh của một tam giác:

a) Có diện tích bằng 4 b) Vuông cân c) Đều

Bài 12: Cho hàm số y2x3 3(2m1)x26 (m m1)x Tìm m để các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng 1 nhau qua đường thẳng y x 2

Bài 13: Cho hàm số y x 3 3x2  mx 2

a) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu trong khoảng (0;2)

b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm CĐ, CT của ĐTHS cách đều đường thẳng y=x-1

Bài 14: Cho hàm số

y m x  m x 

Xác định m sao cho hàm số

a) Có một cực trị và đó là cực đại

b) Có ba cực trị

c) Có ba cực trị, trong đó có đúng một cực trị thuộc khoảng (-2;2)

Bài 15: Tìm a,b để hàm số y a sin 2x b cos3x 2 đạt cực trị tại các điểm

3 ,

x  x 

Bài 16: Cho hàm số y(ax2) 3x b a ( 0) Tìm a, b biết hàm số đạt cực trị tại x=1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x=-2

Bài 17: Cho hàm số y2x k x 2 Tìm k để hàm số có cực trị1

Bài 18: Cho hàm số yx3mx2(m21)x m 3 m2

a) Tìm m để hàm số có hai cực trị CMR khi đó đường thẳng qua các điểm CT không bao giờ qua gốc tọa độ

b) Tìm m để hàm số có cực trị và đường thẳng qua hai điểm cực trị tiếp xúc với đường tròn tâm O,

bán kính

131 40

Bài 19: Cho hàm số

1

y

x



 a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm CĐ, CT thẳng hàng với điểm M(-2;1)

b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và trung điểm của đoạn nối hai điểm CĐ, CT cách gốc O một khoảng bằng 3

Bài 20: Cho hàm số

2 (5 2) 2 1

1

y

x



 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực trị nhỏ hơn 2 5

Bài 21: Cho hàm số 2 1

ax b y

x x





 

a) CMR với mọi a,b không đồng thời bằng 0 thì hàm số luôn có CĐ, CT

b) Tìm a và b biết hàm số đạt CĐ tại x=2 và đồ thị hàm số qua điểm M(1;1)

Bài 22: Cho hàm số

1

y

x



 Tìm m để hàm số có CĐ, CT và các điểm CĐ, CT : a) Cách đều trục hoành

b) Nằm về hai phía của đường thẳng (d): 2x+y-1=0

Bài 23: Cho hàm số y2x33(2 m x) 212mx 1

a) CMR với mọi m khác -2 , hàm số luôn luôn có CĐ, CT Tìm tập hợp các điểm CĐ của ĐTHS b) Tìm những điểm CĐ của ĐTHS trên đường thẳng y=3x-1

Bài 24: Xác định m để phương trình 2 x x2  có nghiệmm

Bài 25: Xác định m để bất phương trình mx x 2 1 có nghiệm

Bài 26: Tìm m để hàm số :

a) y = x3 – 2mx2 + 1 có cực đại và cực tiểu ĐS : m ¿0

b) y =

m

3 x

3−2 x2

+(3m+1) x−1

có cực đại và cực tiểu ( có cực trị) ĐS : −

4

3<m<1 ; m≠0 c) y =

x2−mx+2

x−1 có cực đại và cực tiểu ĐS : m < 3

d) y = x4 – mx2 + 2 có 3 cực trị ĐS : m > 0

e) y = x3 – 3mx2 + (m – 1)x + 2 đạt cực trị tại x = 2 ĐS : m = 1

f) y = x3 – mx2 – mx – 5 đạt cực tiểu tại x = 1 ĐS : m = 1

g) y = x3 + (m + 1)x2 + (2m – 1)x + 1 đạt cực đại tại x = -2 ĐS : m = 7/2

h) y =

x2+mx+1

x +m đạt cực đại tại x = 2 ĐS : m = -3

k) y =

x2−mx+m−1

x+1 đạt cực tiểu tại x = 1

Bài 27: Cho hàm số y =

x2+2 x x−1 (1)

a) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

BÀI TẬP

2: Định m để y= x3−3 mx2+3 ( m2−1 ) x− ( m2−1 ) đạt cực đại tại x=1

3: Cho hàm số y=

x4

2 − ax

2

+ b

Định a,b để hàm số đạt cực trị bằng –2 tại x=1

4 Tìm m để các hàm số sau cĩ cực đại và cực tiểu.

1

3 x

3

+ mx2+(12−m) x+2

Đ S: m < -4, m > 3

m

3 x

3−2 x2+( 3 m+1 )x−1

4

3<m<1

m

ĐS: m<0 , m>

1 10

2

x2+2 x+m

5 Tìm m để hàm số:

3) y = mx4 + (m – 1)x2 + 1 – 2m cĩ 3 cực trị ĐS : 0 < m < 1

6 Tìm m để hàm số:

1) y = x3 – 3mx2 + (m – 1)x + 2 đạt cực trị tại x = 2 ĐS : m = 1

3 mx

3

+( m−2)x2+( 2−m)x +2

đạt cực trị tại x = -1 ĐS : m = 3 3) y = x3 – mx2 – mx – 5 đạt cực tiểu tại x = 1 ĐS : m = 3

4) y = x3 + (m + 1)x2 + (2m – 1)x + 1 đạt cực đại tại x = -2 ĐS : m = 7/2

7 Chứng minh rằng với mọi giá trị của a, hàm số

y

x a



và cực tiểu.

)- CỰC TRỊ HÀM BẬC 3

Xác định cực trị hàm số

BT1

Tìm m để các hàm số có cực đại cực tiểu

1)

2)

BT2(HVNgân Hàng TPHCM 2001)

CMR với mọi m hàm số sau luôn dạt cực

trị tại x1; x2 với x1 –x2 không phụ thuộc m

BT3

Tìm m để hàm số sau luôn đạt cực trị tại

x1; x2 thoả mãn x1 < -1 < x2 không phụ thuộc m

BT4(CĐSP TPHCM 1999)

Tìm m để

đạt cực tiểu tại x = 2

BT5(ĐH Huế 1998)

Tìm m để

đạt cực tiểu tại x = 2

BT6(ĐH Bách Khoa HN 2000)

Tìm m để

không có cực trị

Phương trình đường thẳng đi qua cực đại cực

tiểu

BT7(ĐH Thuỷ Sản Nha Trang 1999)

Cho hàm số

Tìm m để hàm số có CĐ,CT Viết phương trình đường thẳng đi qua CĐ,CT

BT8(HVKT Mật mã 1999)

Cho hàm số

Tìm m để hàm số có CĐ,CT Viết phương trình đường thẳng đi qua CĐ,CT

BT9

đối xứng nhau qua đường thẳng y = x

BT10(ĐH Dược HN 2000)

Tìm m để

có CĐ,CT đối xứng nhau qua đường thẳng y = x + 2

BT11(ĐHQG TPHCM 2000)

Cho (Cm) :

Tìm m để (Cm

) có CĐ và CT CMR khi đó đường thẳng đi qua

CĐ, CT luôn di qua một điểm cố định

BT12

Tìm a để hàm số sau luôn đạt cực trị tại

x1; x2 thoả mãn

BT13

Cho hàm số

1)Tìm a để hàm số luôn đồng biến 2)Tìm a để hàm số đạt cực trị tại x1; x2 thoả mãn

BT14

Tìm m để hàm số

Có các điểm CĐ và CT nằm về 2 phía của đường thẳng y = x

5)- CỰC TRỊ HÀM BẬC 4 BT1

Tìm m để hàm số sau chỉ có cực tiểu mà không có cực đại

BT2

CMR hàm số

Có 3 điểm cực trị nằm trên một Parabol

BT3

) 1 2 ( )

6 (

3











y

5 3

)

2









y

1 ) 1 (

6 ) 1 2 ( 3











y

1 )

4 5 ( ) 2 (

3













y

m x m mx

x

y  3  3 2 3( 2  1) 

2 ) 1 (

3 2 3









y

1 ) 1 (

3 2 3









y

1 ) (

12 )

1 3 ( 3











y

) 2 ( 2 ) 2 7 ( 2 ) 1 (

3















y

3 2

)

1 ) 1 ( 6 ) 1 2 ( 3 2 )











x f

m x

m mx

mx

y 3  3 2 (2 1) 3

1

2 2

2

1 x 

x

1 )

2 cos 1 ( ) sin 1 ( 2 3











y

x a x

a a

x

4

3 )

cos (sin

2

1 3





















2 1

2 2

2

m x

m x

y  3  2 

2 3

4 ) 1 2 ( 3

y

1 5 )







x f

Cho (Cm) :

Biện luận theo m số lượng Cực đại, cực tiểu của

(Cm)

Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại

BT3

Cho (Cm) :

Tìm m để hàm số có 3 cực trị

Viết phương trình Parabol đi qua 3 điểm cực trị

của (Cm)

BT4(ĐH Cảnh sát 2000)

Tìm m để hàm số sau chỉ có cực tiểu mà

không có cực đại

BT5 (ĐH Kiến trúc 1999)

đung một cực trị

6)- CỰC TRỊ HÀM PHÂN THỨC BẬC 2

/ BẬC 1 6.1-Sự tồn tại cực trị- đường thẳng

đi qua CĐ,CT BT1

Tìm m để các hàm số sau có cực trị

(ĐH SPHN 1999)

(CĐ SPHN 1999)

(ĐH Y Thái Bình 1999 )

(ĐH Thái Nguyên 2000)

BT2 (ĐH TCKT 1999)

Cho (C m ) :

Tìm m để hàm số có CĐ, CT Viết phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT

BT3 (ĐH Dân lập Bình Dương 2001)

Cho (Cm) :

Tìm m để hàm số trên có CĐ, CT

BT4

CT

BT5

Tìm a để

có CĐ , CT

BT6 (ĐH Cảnh sát 2000)

Viết phương trình đường thẳng đi qua

CĐ,CT của :

BT7

Cho (Cm) :

(m#-1) Tìm m để hàm số có đạt cực trị tại các điểm thuộc ( 0 ; 2 )

BT8

Tìm a,b,c để có cực trị bằng 1 khi x=1 và đường tiệm cận xiên của đồ thị

vuông góc với đường

6.2-Quỹ tích các điểm cực trị trên mặt

phẳng toạ độ BT9 (ĐH Đà Nẵng 2000)

Cho hàm số (Cm) :

Tìm m để hàm số có cực trị Tìm quỹ tích

của điểm cực trị (C m ) BT10 (ĐH Thuỷ Sản TPHCM 1999)

Cho hàm số (Cm) :

Tìm m để hàm số có cực trị CMR các điểm cực trị của (Cm) luôn nằm trên một Parabol

cố định

BT11 (ĐH Ngoại Ngữ 1997)

1 24 6

4 3 )











y

 2;2

0  

x

1 )

6 ( ) 2 ( 2

3 2 4

1 )















y

2

3 4





y

) 2 1 ( ) 1 ( )

1

2









x

m x m x

y

1

) 2 (

2











x

m x m x

y

m x

m mx x

y







 2 2

1

) 1 (

2











x

m x m x

y

2

1 ) 1 (

2











mx

x m mx

y

1

) 1 )(

2 (











mx

mx m x

m

y

m x

m mx x y











2 2

1

2 3 ) 2 (

2













x

m x m x y

a x

a x x y

sin 2

1 cos 2

2









a x

a a a x

a x y

cos

sin cos sin cos

2











m x

mx x y







m x

m m mx x

m y













( 1) 2 2 ( 3 2 2)

2

2









x

c bx ax y

2

1 x

y 

1

1

2











x

m mx x y

1

2 2

2











x

m mx x y

Cho hàm số (Cm) :

Tìm m để hàm số có CĐ,CT Tìm quỹ tích

của điểm CĐ

BT12

Cho hàm số (Cm) :

CMR: trên mặt phẳng toạ độ tồn tại duy

nhất một điểm vừa là điểm CĐ của đồ thị ứng với

m nào đó đồng thời vừa là điểm CT ứng với giá trị

khác của m

6.3-Biểu thức đối xứng của cực đaị, cực tiểu

BT13

BT14

BT15 (ĐHSP1 HN 2001)

khoảng cách từ 2 điểm đó đến đường thẳng

x + y + 2=0 là bằng nhau

BT16

CĐ,CT đồng thời thoả mãn

6.4-Vị trí tương đối của các điểm CĐ - CT

BT17 (ĐH Cần Thơ 1999)

Cho :

Tìm m để hàm số có 2 cực trị trái dấu nhau

BT18 (ĐH QG 1999)

Cho :

Tìm m để hàm số có 2 cực trị nằm về 2

phía đối với trục Oy

BT19 (ĐH Công Đoàn 1997)

Tìm m để hàm số có 2 cực trị trái dấu nhau

BT20 (ĐH Thương Mại 1995)

Cho hàm số :

Tìm m để CĐ,CT về 2 phía đối với trục Ox

BT21 (ĐH Ngoại Ngữ 2000)

Cho hàm số :

Tìm m để hàm số có CĐ,CT và YCĐ YCT

>0

BT22

cùng dấu

BT23

nằm về 2 phía của đường thẳng x-2y-1=0

BT24

Tìm m để :

có một cực trị thuộc góc (II) và một cực trị thuộc góc (IV) trên mặt phẳng toạ độ

BT25

Tìm m để :

có một cực trị thuộc góc (I) và một cực trị thuộc góc (III) trên mặt phẳng toạ độ

7)- CỰC TRỊ HÀM PHÂN THỨC BẬC 2

/ BẬC 2 BT1

Lập bảng biến thiên và tìm cực trị

BT2

2

4 2

2











x

m mx x y

m x

m x m

m

x

y











m x

m x x y







2 2 3 8



 CT

y

2 ) 1 (

2 )

1













x m

x x m y

0 8 ) 1 )(

(y CD  y CT m  

1

2 2

2









x

mx x

y

2

2 3 ) 2 (

2















x

m x m x y

2

1

2 2



y

m x

m m x m x

y











 2 (2 3) 2 4

1

2









x

m x x y

m x

m mx x y









2

1

1 2

2











x

m mx x y

m x

m x m x y











m x

m mx

x y









1

2









x

m mx x y

m x

m m x m mx

y

2

32 2 ) 1 4 (













1

2 4 4 ) 1

2

















m x

m m x m x y

1

1 2

2 2











x x

x x y

2

4 3

2 2











x x

x x y

6 8 2

8 10 3

2 2













x x

x x

y

Tìm m,n để đạt cực đại bằng

khi x= - 3

BT3

1)Viết phương trình đường thẳng đi qua

2)Viết phương trình đường thẳng đi qua

3)Tìm a,b để có đúng một cực

trị và là cực tiểu

8)- CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ

TUYỆT ĐỐI VÀ HÀM VÔ TỶ

BT1

Tìm cực trị hàm số sau

BT2 (ĐH Ngoại Thương 1998)

Tìm m để phương trình

có 4 nghiệm phân biệt

BT3 (ĐH Kinh Tế 1997)

Cho

Tìm

BT4

Tìm m để phương trình

có 6 nghiệm phân biệt

BT5

Tìm m để phương trình

có 4 nghiệm phân biệt

BT6

Tìm cực trị hàm số sau

1)

2)

BT7

cực tiểu 2)Tìm a để hàm số

có cực đại

BT8

Lập bảng biến thiên và tìm cực trị hàm số sau 1)

2) 3)

4)

9)- CỰC TRỊ HÀM LƯỢNG GIÁC HÀM SỐ MŨ,LÔGARIT BT1

Tìm cực trị hàm số

BT2

Tìm a để hàm số

đạt CĐ tại

BT3

Tìm cực trị hàm số 1)

2) 3)

4)

5)

1 2

2

2 2











x x

n mx x y

4

5

m x x

x x y

5 4

1 3 2

2 2











m x x

x x y













2 3

5 2

2 2

1

2









x x

b ax y

5 3

2 2







y

1 5

















x x

90 72 3

)







x

f

 

 



5

; 5

)·

(





x

x Maxf

m m

x x x















2 9

6 2

3

2

1

m x x x

x  5 4   5 

5 4 3











y

1

2











y

1







y

5 4 2











y

2 5

3

y

2

10

3 x3 3x

y 

x

x x y





 1

1

x g x

x

sin

cos

3 



1 cos cos2





y

x x

x

3

1 2 cos 2

1 cos



1 sin

2 sin







x

x y

) sin 1 (

x x

y sin3 cos3

x x

a

3

1 sin



3





x

x  e x

y 12

1

2

)

1





x x

e x y

x e

y x.ln

x

x

y lg































0 x khi 0

x#0) (Khi

1 sin 2

1

x

e y

x