các bài tập về tìm giá trị lớp nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. là một phần trong chương trình luyện thi đại học, chiếm 1 điểm trong một số đề thi đại học trong những năm vừa qua. cần nắm vững các phương pháp tìm giá tri lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
BÀI TẬP VỀ TÌM GTNN,GTLN CỦA HÀM SỐ y = sin x + cos x + m sin x cos x Bài 1: Cho hàm số Tìm m cho GTLN hàm số Bài 2: Tìm kích thước hình chữ nhật có diện tích lớn nội tiếp đường tròn bán kính R cho trước Bài 3: Trong khối trụ nội tiếp hình cầu bán kính R, xác định khối trụ tích lớn π π − ; x − cos x + m = Bài 4: xác định m để phương trình có nghiệm đoạn 8m cos x + m + ≥ 6m sin x Bài 5: Xác định m để BPT có nghiệm x thuộc R t = x − 6ax + a Bài 6: Tùy theo a, tìm GTLN GTNN hàm số đoạn [-2;1] y = sin x + cos x + m sin x cos x Bài 7: Tùy theo m, tìm GTLN, GTNN hàm số y = x − x + + mx Bài 8: Tìm m để GTNN hàm số lớn ax + b y= x +1 Bài 9: Xác định a b cho hàm số đạt GTLN GTNN -1 x + mx + m − y= x+2 Bài 10: Cho Tìm m để hàm số đạt cực trị tam giác tạo thành từ điểm cực trị gốc tọa độ có diện tích nhỏ x2 + y = R2 Bài 11: Cho đường tròn (C) Hãy tìm điểm H (C) cho tiếp tuyến cắt hai trục tọa độ A B có độ dài cạnh AB nhỏ x2 + y2 = x ≥ 0, y ≥ Bài 12: Cho cung (C) thuộc đường elip có phương trình với Tìm M thuộc (C) cho tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích nhỏ Bài 13: Tìm hình thang cân có diện tích nhỏ ngoại tiếp đường tròn bán kính R cho trước Bài 14: Trong mặt cầu bán kính R, nội tiếp hình trụ có diện tích xung quanh lớn Bài 15: Xác định m để phương trình sau có nghiệm Bài 16: Trong hình chữ nhật có chu vi 40 cm, xác định hình chữ nhật có diên tích lớn Bài 17: Tính độ dài cạnh hình chữ nhật có chu vi nhỏ hình chữ nhật có diện tích 48cm2 a) Tìm Max,Min y = sin x(1 + cos x ) BT1 Tìm Max,Min BT2 (ĐHSP1 2001) Tìm Max,Min BT3 b)Tìm Max,Min + sin x + cos x y= + sin x + cos x y = sin x + sin x BT4 Tìm Max,Min y= cos x + sin x y= sin x + cos x BT5 Tìm Max,Min 1 + + sin x − cos x y= với + sin x + tgx − ( a + 1) +a − sin x − tgx π x ∈ 0; 4 BT6 a)Tìm Max,Min S= y = sin x + cos x BT14 (ĐHNT 2001) Cho x,y > , x+y=1 Tìm Min y = sin x + cos x + sin x BT7 Tìm Max,Min Cho ≤ a Tìm Min y = a + cos x + a + sin x nghiệm x1, x2 Tìm Max,Min S = x13 + x 23 −π π x∈ ; 4 BT18 (ĐHQG TPHCM 1999) Cho f ( x) = cos 2 x + 2.(sin x + cos x) − sin x + m Tìm Max,Min y = + cos x + + sin x 12 12 x − 6mx + m − + = m 1− y BT17 (ĐH Cảnh Sát 2000) Tìm Max,Min y = cos x − cos x y = sin m x cos n x y y = sin x + cos x + sin x cos x + Với 1− x + BT16 (HVQY 2000) Tìm Max,Min BT9 BT10 Giả sử x y = sin x + cos x + a sin x cos x cos x + sin x BT8 (ĐHBK 1996) Cho ≤ m , n∈Z π 0≤x≤ BT11 S= BT15 (ĐH Thương mại 2000) Tìm Max,Min sin x cos x + cos x sin x Tìm Max,Min x y + y +1 x +1 BT13 (ĐHNT 1999) Cho x,y ≥ , x+y=1 Tìm Max,Min S = 3x + y c)Tìm Max,Min 1 y = + cos x + cos x + cos 3x + cos x y= x − ( x − y) S= x2 − 4y2 Với x2 + y2 > BT12 (HVQHQT 1999) Cho x,y ≥ , x+y=1 Tìm Max,Min b)Tìm Max,Min 1 y = + cos x + cos x + cos 3x d)Tìm Max,Min Tìm Max,Min có Tìm Max,Min f(x) Từ tìm m để f ( x ) ≤ 36.∀x BTBS Tìm GTNN y = x3 + x − 72 x + 90 x ∈ [ −5;5] Tìm GTNN thoả mãn 1 y = x+ y+ z+ + + x y z m.x − x − ≤ m + HD: Côsi 3 Dat t = xyz ∈ (0; ] xyz Tìm GTLN, GTNN hàm số 2x 4x y = sin + cos =1 1+ x + x2 0≤ x≤ π Tìm GTLN hàm số x π π y = + sin x, x ∈ − ; 2 Tìm GTLN, GTNN hàm số y = 2sin x − sin x tren [ 0;π ] Tìm GTLN, GTNN hàm số y= ln x x BT5(ĐHQG TPHCM 1997) Tìm m để ( x + 1) + m ≤ x x + + với x thuộc [0;1] BT7(ĐHGT 1997) Tìm m để (1 + x ).( − x) ≥ m + (2 x − x − 3) Tìm GTLN, GTNN hàm số y = x + cos x + x + − x − (3 + x)(6 − x) = m BT4 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x + y + x ≤ , voi x, y , z > P ≥ 3 xyz + b) tren 1; e3 2)- SỬ DỤNG GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH, BPT ,HPT, HBPT BT1 GPT: x + (1 − x) = 16 BT2(ĐH Thuỷ Sản 1998) Tìm m để phương trình sau có nghiệm − x + + x − (2 − x)( + x) = m BT3(ĐH Y TPHCM 1997) Tìm m để phương trình sau có nghiệm a) x + − x = − x + 9x + m −1 ∀x ∈ ;3 2 BT8 Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt ( x − x + 2) − x − x + = x − x + m BT9 Tìm a dể BPT sau với x thuộc R cos x − cos 3x − 36 sin x − 15 cos x + 36 + 24a − 12a > BT10 a) Tìm m để (4 + x )( − x) ≤ x − x + m với x thuộc [-4;6] b)Tìm m để − (4 − x)( + x ) ≤ x − x + m − 18 với x thuộc [-2;4] BT11(ĐHQG TPHCM 1998) Tìm a để phương trình có nghiệm 3x − = x − + ax 2x −1 BT12 (ĐH QGTPHCM 1997-1998) a) Tìm m dể phương trình sau có nghiệm 4(sin x + cos x) − 4(sin x + cos x) − sin x = m b) Tìm m dể phương trình sau có nghiệm cos x + sin x cos x = m c) Tìm m dể phương trình sau có nghiệm BT1 CMR − ≤ x + 12 − x ≤ sin x + cos x = m cos x 4 2 BT13 (ĐH Cần Thơ 1997) Tìm m dể phương trình sau có nghiệm cos x + sin x + cos x − m = cos x + cos 2 x BT14(ĐHGT 1999) a)Tìm m để m cos x − sin x cos x + m − = Có nghiệm b)Tìm m để π x ∈ 0; 4 sin x cos x sin 3x = m Có nghiệm π π x∈ ; 4 2 BT15 Tìm m để phương trình sau có nghiệm x+m x + x − + x − x − = BT16 Tìm a để bất phương trình sau với x thuộc R a.9 x + 4(a − 1)3 x + a > BT17 Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm log ( ) x + < log (a.x + a ) BT18 Tìm a để hệ bất phương trình sau có nghiệm 3 x + x − < x + 3.mx + < 3)- SỬ DỤNG GTLN, GTNN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Với x thuộc TXĐ BT2 a)Tìm m để có nghiệm m x +8 = x+2 phân biệt b)Cho a + b + c = 12 CMR a + + b + + c + ≥ 6 BT3 CMR 1 sin x + sin x + sin x + sin x ≥ với π 3π x∈ ; 5 BT4 CMR 17 ≤ cos a + cos a + + cos a − cos a + ≤ + 11 BT5 CMR sin x < 3x − x với π x ∈ 0; 2 BT6 CMR 2( x + y + z ) − ( x y + y z + z x) ≤ với ∀x, y, z ∈ [ 0,1] BT7 CMR 1 cot gA + cot gB + cot gC + 3 ≤ 2 + + sin A sin A sin C ∀∆ABC