Một số phương pháp giải hệ phương trình - luyện thi đại học

Trong các đề thi đại học những năm gần đây, ta thường gặp rất nhiều bài toán về hệ phương trình. Nhằm giúp các bạn ôn thi tốt, bài viết này sẽ giới thiệu một số dạng bài toán và kỹ năng giải, mời các bạn tham khảo.

www.VNMATH.com MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Tham khảo Tạp chí THTT 2010 Trong đề thi đại học năm gần đây, ta gặp nhiều tốn hệ phương tr ình Nhằm giúp bạn ôn thi tốt, viết xin giới thiệu số dạng kĩ giải I.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Đặc điểm chung dạng hệ sử dụng kĩ biến đổi đồng đặc biệt kĩ phân tích nhằm đưa PT hệ dạng đơn giản ( rút theo y ngược lại ) vào PT lại hệ *Loại thứ nhất: Trong hệ có phương trình bậc với ẩn x y ta tìm cách rút y theo x ngược lại 2 ïì x ( y + 1) ( x + y + 1) = 3x - x + (1) Ví dụ Giải hệ phương trình í ( 2) ïỵ xy + x + = x x2 - thay vào (1) ta Giải Dễ thấy x = không thỏa mãn PT(2) nên từ (2) ta có : y + = x x2 - ỉ x2 - 2 x2 x + ỗ ữ = x - x + Û ( x - 1)( x - 1) = ( x - 1) ( x - 1) x è x ø éx = Û ( x - 1) ( x + x - x - 1) = ( x - 1) ( x - 1) Û ( x - 1) ( x + x - x ) = Û êê x = (loại) êë x = -2 Từ đó, ta nghiệm hệ : (1; - 1) , ( - 2; - ) *Loại thứ hai: Một phương trình hệ đưa dạng tích phương trình bậc hai ẩn ìï xy + x + y = x - y (1) Ví dụ Giải hệ phương trình í ( 2) ïỵ x y - y x - = x - y Giải Điều kiện: x ³ 1, y ³ PT (1) Û x - xy - y - ( x + y ) = Û ( x + y ) ( x - y ) - ( x + y ) = ( từ điều kiện ta có x + y > ) Û x - y - = Û x = y + thay vào PT (2) ta : y x + y = y + Û ( y + 1) ( ) y - = ( y ³ ) Û y = Þ x = *Loại thứ ba: Đưa phương trình hệ dạng phương trình bậc hai ẩn, ẩn cịn lại tham số ìï y = ( x + ) ( - x ) (1) Ví dụ Giải hệ phương trình í 2 ( 2) ïỵ y - x - xy + 16 x - y + 16 = Giải Biến đổi PT (2) dạng y - ( x + ) y - x + 16 x + 16 = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 Coi PT (2) phương trình ẩn y tham số x ta có D ' = x từ ta nghiệm é y = x + ( 3) ê êë y = - x ( ) é x = Þ y=0 Thay (3) vào (1) ta được: ( x + ) = ( x + ) ( - x ) Û ê ê ëx = Þ y = éx = Þ y = Thay (4) vào (1) ta được: ( - x ) = ( x + ) ( - x ) Û ê ëx = Þ y = ỉ ö Vậy nghiệm hệ là: (0;4) , (4;0) , ç - ;0 ÷ è ø II.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Điểm quan trọng hệ dạng phát ẩn phụ a = f ( x, y ) ; b = g ( x, y ) có phương trình xuất sau phép biến đổi đẳng thức phép chia cho biểu thức khác (1) ïì x + + y ( y + x ) = y Ví dụ Giải hệ phương trình í ïỵ( x + 1) ( y + x - ) = y ( ) Giải ì x2 + ï y + y+x=4 ï Dễ thấy y = không thỏa mãn PT(1) nên HPT Û í ïỉ x + ö ( y + x - ) = ùỗố y ữứ ợ ỡa + b = x +1 giải hệ ta a = b = từ ta có hệ ,b = y + x - Þ í Đặt a = ab = y ỵ ìx +1 = y í îx + y = Hệ bạn đọc giải dễ dàng ì 2 ï4 xy + ( x + y ) + x + y = ( ) ï Ví dụ Giải hệ phương trình í ï2 x + = ïỵ x+ y Giải Điều kiện : x + y ¹ 2 ì ï3 ( x + y ) + ( x - y ) + x + y = ( ) ï HPT Û í ïx + y + + x - y = x+ y ỵï Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 ìï3a + b = 13 (1) ( a ³ ) ; b = x - y ta hệ í ( 2) ïỵa + b = Giải hệ ta a=2 , b=1 ( a ³ ) từ ta có hệ ì =2 ìx + y = ìx = ïx + y + x+ y Ûí Ûí í ỵx - y = ỵ y = ïx - y = ỵ III.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Hệ loại ta gặp nhiều hai dạng f ( x) = (1)và f ( x) = f ( y ) (2) với f hàm đơn điệu tập D x, y thuộc D Nhiều ta cần phải đánh giá ẩn x, y để x, y thuộc tập mà hàm f đơn điệu * Loại thứ nhất: Một phương trình hệ có dạng f ( x) = f ( y ) , phương trình cịn lại giúp ta giới hạn x, y thuộc tập D để để hàm f đơn điệu ìï x - x = y - y (1) Ví dụ Giải hệ phương trình í ( 2) ïỵ x + y = Giải Từ PT (2) ta có x8 £ 1; y £ Û x £ 1; y £ 1 Đặt a = x + y + x+ y Xét hàm số f ( t ) = t - 5t ; t Ỵ [ -1;1] có f ' ( t ) = 3t - < 0; "t Ỵ [ -1;1] f (t ) nghịch biến khoảng ( - 1;1) hay PT (1) Û x = y thay vào PT (2) ta PT: x8 + x - = -1 + -1 + Þ y = x = ±4 2 *Loại thứ hai:Là dạng hệ đối xứng loại hai mà giải thường dẫn đến hai trường hợp (1) (2) ìï x + x - x + = y -1 + Ví dụ Giải hệ phương trình í x -1 ïỵ y + y - y + = + Giải ìa + a + = 3b (1) ï Đặt a = x - 1; b = y - ta hệ í ïỵb + b + = 3a ( 2) Đặt a = x ³ giải phương trình ta a = Trừ vế với vế PT ta : a + a + + 3a = b + b + + 3b Xét hàm số f ( t ) = t + t + + 3t ; f ' ( t ) = t2 +1 + t t +1 (3) + 3t ln Vì t + > t ³ -t Þ t + + t > Þ f / ( t ) > 0, "t hàm số f (t ) đồng biến R Nên PT (3) Û a = b thay vào PT (1) ta a + a + = 3a (4) ( ) Theo nhận xét a + a + > nên PT (4) Û ln a + a + - a ln = ( lấy ln hai vế ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ) ( Xét hàm số g ( a ) = ln a + a + - a ln 3; g' ( a ) = Luyện thi Đại Học 2011 - ln < - ln < 0, "a Ỵ R a2 + hay hàm g (a ) nghịch biến  PT (4) có nghiệm a = nên PT (4) có nghiệm a = Từ ta nghiệm hệ ban đầu : x = y = IV.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Với phương pháp này, cần lưu ý phát biểu thức không âm nắm vững cách vận dụng bất đẳng thức xy ì = x2 + y ïx + x - 2x + ï Ví dụ Giải hệ phương trình í xy ïy + = y2 + x ïỵ y - 2y + Giải xy xy = x + y (1) + Cộng vế với vế hai PT ta 3 x - 2x + y - 2y + Ta có : Tương tự x2 - 2x + = xy x2 - 2x + Nên VT(1) £ VP(1) 3 ( x - 1) +8 ³ 2Þ xy x2 - 2x + £ xy x2 - 2x + £ xy = xy £ xy mà theo bất đẳng thức Côsi x + y ³ xy éx = y = Dấu xảy ê thử lại ta nghiệm hệ là: (0;0) , (1;1) = = x y ë ìï y = - x + x + Ví dụ Giải hệ phương trình í ỵï x = y - y - 2 ì y - = - ( x3 - 3x - ) ï ïì y - = - ( x + 1) ( x - ) (1) Giải HPT Û í Ûí ïỵ x - = ( y - y - ) ïỵ x - = ( y + 1) ( y - ) ( ) Nếu x > từ (1) suy y - < diều mâu thuẫn với PT(2) có ( x - ) ( y - ) dấu Tương tự với x < ta suy điều vơ lí Vậy nghiệm hệ x = y = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 Hy vọng số ví dụ giúp bạn phần kĩ giải hệ Để kết thúc viết mời bạn giải hệ phương trình sau BÀI TẬP TỰ LUYỆN ìï x ( + y ) = ì xy - x - y = 16 1) í 2) í ỵ x + y - x - y = 33 ỵï x ( y - ) = ìï x + y = 3) í ïỵ y + ( x - 3) y - 48 y - 48 x + 155 = ìï x + x + + x + = 5) í 2 ỵï x + y + x + y = 44 y ì x ïe = 2007 y2 -1 ï 7) í x ïe y = 2007 x2 - ỵï Giáo viên: LÊ BÁ BẢO y -1 + y - + y - ì2 ( x + x - y - 1) = x ( y + 1) ï 4) í ïỵ y + x + + ln ( y + x ) = ìï x + y = 6) í 2 ỵï x + xy + y - y = ìï x y - x + y = 8) í ïỵ2 x + x + y - 12 x + 13 = Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 MỘT SỐ CHÚ Ý KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Tham khảo Tạp chí THTT 400- 2010 ì ïï x + y + x y + xy + xy = - Bài toán 1: (A- 2008) Giải hệ phương trình: í ï x + y + xy (1 + x ) = - ïỵ ì y x y xy xy x + + + = + ïï Lời giải: Hệ cho tương đương với í ï( x + y ) + xy = - ïỵ ( Û ( x + y )( x ) ( Suy x + y + xy x + y = x + y 2 ) + y - - xy ) = ìx2 + y = ï a) x + y = Þ í (I) xy = ï ỵ ỉ 25 Hệ (I) có nghiệm ( x; y ) = ỗ ; - ữ 16 ứ è ì x +y=ï ï b) x + y - - xy = Þ í (II) ï xy = ïỵ 3ư æ Hệ (II) có nghiệm ( x; y ) = ç 1; - ÷ 2ø è ỉ 25 ỉ 3ư Vậy hệ cho có hai nghiệm ( x; y ) l ỗ ; - ữ ; ỗ 1; - ữ 16 ứ ố 2ứ è ì xy + x + = y Bài tốn 2: (B- 2009) Giải hệ phương trình: í 2 ỵ x y + xy + = 13y Lời giải: Dễ thấy y ¹ nên hệ cho tương đương với x ì x ì x+ + =7 x + + = ï ïï y y y y ï Û í í ï x + x + = 13 ïỉ x + - x = 13 ùợ ùỗố y y2 y ữứ y ợ Giỏo viờn: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Hc 2011 ổ 1ử ổ 1ử Suy ỗ x + ữ + ỗ x + ữ - 20 = ỳ è ỳ è ì ï x + = -5 y a) x + = -5 Þ í (Hệ vơ nghiệm) y ï x = 12 y ỵ ì ïx + = ỉ 1ư y b) x + = Þ í Trường hợp hệ có hai nghiệm ( x; y ) = ỗ 1; ữ v y ố 3ứ ï x = 3y ỵ ( x; y ) = ( 3;1) Nhận xét: Qua hai ví dụ đề thi tuyển sinh nêu trên, thấy cần biến đổi bản, dựa vào đẳng thức kết Ta xét tiếp ví dụ địi hỏi phép biến i phc hn ỡổ 12 ùỗ ữ x =2 ïè y + x ø Bài toán 3: Giải hệ phương trình: í ïỉ + 12 y = ùốỗ y + x ứữ î Lời giải: Điều kiện x > 0, y > 0, y + x ¹ Hệ cho tương đương với 12 ì ì =1 + = ï ï y + 3x y x ï ï x Ûí í ï1 - 12 = ï - = -12 ïỵ y + x ïỵ x y y y + 3x -12 ỉ ỉ Suy - = Þ y + xy - 27 x = ị ỗ ữ + ỗ ữ - 27 = x y y + 3x èxø èxø 2 y y y Tìm = = -9 (loại) Với = ta x = + ; y = + x x x ìïlog y xy = log x y (1) Bài tốn 4: Giải hệ phương trình: í y x (2) ïỵ2 + = Lời giải: Điều kiện x > 0, y > 0, x ¹ 1, y ¹ Từ (1) có t + t - = với t = log y x ( ) ( ) ỉ3ư a) Với log y x = , ta x = y = log2 ỗ ữ ố2ứ b) Với log y x = -2 , ta x = Thế vào (2) y + y = y Trường hợp PT (3) vơ nghiệm Thật vậy: + Nếu y > > 2; y Giáo viên: LÊ BÁ BẢO y2 >1Þ + y y2 (3) > Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 2 + Nếu < y < > suy ra: y > 1; y > Þ y + y > y æ æ ưư ỉ3ư Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = ỗ log2 ỗ ữ ;log2 ç ÷ ÷ è2ø è øø è ì36 x y - 60 x + 25y = ï 2 Bài toán 5: (Dự bị D- 2008) Giải hệ phương trình: í36 y z - 60 y + 25z = ï36 z2 x - 60 z2 + 25 x = ỵ ì 60 x ïy = 36 x + 25 ï ï 60 y Lời giải: Hệ cho tương đương với í z = 36 y + 25 ï ï 60 z2 x = ï 36 z2 + 25 î Hiển nhiên hệ có nghiệm ( x; y; z ) = ( 0;0;0 ) Dưới ta xét x , y, z ¹ Từ hệ ta thấy x , y, z > Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 60 x 60 x 60 x £ = = x y= 36 x + 25 36 x 25 60 x Tương tự ta thu y £ x £ z £ y Suy x = y = z Từ suy hệ có nghiệm x=y=z= ìï x - - y = - x Bài tốn 6: Giải hệ phương trình: í ïỵ( x - 1) = y Lời giải: Đk x ³ 1, y ³ Thế y từ PT(2) vào PT(1) ta x - - ( x - 1) = - x (3) Từ (3) có x - = - x + x - x + (4) Xét hàm số f ( x ) = - x + x - x + ( x ³ 1) Ta có f / ( x ) = -3 x + x - < ( "x ³ 1) Suy hàm số f ( x ) luôn nghịch biến x ³ Mặt khác, hàm số g( x ) = x - nghịch biến x ³ nên x = nghiệm PT(4) Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) Nhận xét: Đối với toán trên, dung công cụ đạo hàm để giải hay, nhiên, ta tránh đạo hàm cách biến đổi khéo léo sau: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 PT(3) Û x - - - é( x - 1) - 1ù + x - = ë û x -2 Û - x ( x - 2) + ( x - 2) ( x2 + 2x + 4) = x -1 +1 ỉ + x + x + > 0, "x ³ 1÷ Û x = ỗ Do x -1 +1 ố ứ Di õy, xin nêu toán Đề thi tuyển sinh Đại học gần mà không dùng đến công cụ đạo hàm khó giải ìï( x + 1) x + ( y - 3) - y = (1) Bài tốn 7: (A- 2010) Giải hệ phương trình: í 2 (2) ỵï4 x + y + - x = Lời giải: Đk x £ ; y £ 2 PT(1) Û ( x + 1) x = ( - y + 1) - y ( ) ïì2 x = u Þ ( u2 + 1) u = ( v + 1) v Đặt í ỵï - y = v Hàm f (t ) = ( t + 1) t có f / (t ) = 3t + > nên f (t ) đồng biến  , suy ra: ìx ³ ï u = v Û x = - 2y Û í - 4x2 ïy = ỵ ỉ5 2ư Thế y vào PT (2) ta được: x + ç - x ÷ + - x = (3) è2 ø Nhận thấy x = x = nghiệm PT (3) Xét hàm số: ỉ5 ỉ 3ử g( x ) = x + ỗ - x ÷ + - x trờn ỗ 0; ữ ố2 ứ ố 4ứ 4 ỉ 3ư ỉ5 Ta có g / ( x ) = x - x ỗ - x ÷ = x ( x - 3) < trờn ỗ 0; ữ - 4x - 4x è 4ø è2 ø ỉ1ư ỉ 3ư Suy g( x ) nghịch bin trờn ỗ 0; ữ Nhn thy g ỗ ÷ = , nên PT(3) có nghiệm è 4ø è2ø 1 ỉ1 x = Với x = y = Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = ç ;2 ÷ 2 è2 ø ìï x + xy = y10 + y (1) Bài tốn 8: Giải hệ phương trình: í ïỵ x + + y + = (2) Lời giải: Hiển nhiên y ¹ Chia hai vế PT(1) cho y ¹ ta c ổxử ổxử ỗ y ữ +ỗ y ÷ = y + y è ø è ø Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 Hàm số f (t ) = t + t có f / (t ) = 5t + > 0, "t nên hàm số f (t ) đồng biến nên x = y Û x = y Thế x = y vào PT(2) ta x + + x + = Tìm x = y Vậy hệ có hai nghiệm ( x; y ) = (1;1) ( x; y ) = (1; -1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Giải hệ phương trình sau: 2 2 ïì x - x y + x y = ïì x + x y + x y = x + 1) í 2) í 2 ïỵ x + xy = x + ïỵ x y - x + xy = -1 x ì + y = - x - 2y ìï 11x - y - y - x = ï y 3) í 4) í ïỵ7 y - x + y - 26 x = ï x + x - y = x + 3y - ỵ ìï x + y = y + x 5) í x + y x -1 ïỵ2 - = x - y ìï x - 12 xy + 20 y = 6) í ỵïln (1 + x ) - ln (1 + y ) = x - y ì 1- x2 ïï2 x + xy + = y 7) í ï x2y + 2x - 2x2y - 4x + = ) ïỵ( ìï2 x y + y = x + x 8) í ïỵ(x + ) y + = (x + 1) ì x - x = y - 3y - ï 9) í ỉ x -2ư ỉ y -1 ùlog y ỗ y - ữ + log x ç x - ÷ = (x - 3) è ø è ø ỵ Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn THPT Phong Điền www.VNMATH.com Chun đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ -Dạng1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ìa1 X + b1Y = c1 (*) í ỵa2 X + b2Y = c2 Phương pháp: Thơng thường có phương pháp để giải hệ phương trình dạng (*) Cách 1: Phương pháp Cách 2: Phương pháp cộng đại số Cách 3: Phương pháp dùng định thức a b1 c b1 a c = a1b2 - a2 b1 , DX = = c1b2 - c2 b1 , DY = 1 = a1c2 - a2 c1 Kí hiệu: D = a2 b2 c2 b2 a2 c2 Dạng tổng quát: DX ì ïï X = D TH1: D ¹ : Hệ có nghiệm í ïY = DY ïỵ D TH2: D = : Vµ DX = DY = : Hệ có vơ số nghiệm dạng {( X ; Y0 ) a1 X + b1Y0 = c1} TH3: D = : Hc DX , DY Hệ vô nghiệm Bi : Giải hệ phương trình sau: ì6 ì ì 6x - 2y =5 ïx + y = ï x - 2y + x + 2y = ï ï ï ï y -1 x +1 1) í 2) í 3) í ï - 10 = ï + = -1 ï 4x - - 4y = ïỵ x y ïỵ y - x + ỵï x - y x + y x ì 3x - ì2x - y + ï y +1 - y - = ï x -2 + y+3 =5 ìï2 x + x - y - = ï ï 4) í 5) í 6) í ï x - + 3x = ï x + + 3y + = îï x + x + y - = ïỵ y + y - ỵï x - y + ì ỉ1 1ư ï3 ( x + y ) + ỗ - ữ = ï èx ỳ 7) í ï3 ( x - y ) + ỉ + = ỗx yữ ù ố ứ ợ ỡ4 + ï x y -1 = ï 8) í ï2 - = ïỵ x y - ì8 ï + = 17 10) í x y ï î7 x - 3y = xy ïì x + y = 11) í ïỵ2 x - y = 15 ìï x - + y = 13) í ïỵ2 x - y = ìï x - + y - = 14) í ỵï x - + y = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO ì 3( x + y ) ï x - y = -7 ï 9) í ï5x - y = ïỵ y - x ì ï2(4 - x ) + y = ï 12) í ï4 - x + = ïỵ y ïì x + y = 15) í ỵï x - y = Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 Dạng 2: Hệ gồm phương trình bậc hai phương trình bậc ìax + by + cxy + dx + fy + e = Dạng tổng quát: í ỵ Ax + By + C = Phương pháp: Từ phương trình bậc nhất, rút ẩn theo ẩn cịn lại thay vào phương trình bậc hai Bài tập: Giải hệ phương trình sau: ì2 x - y - = ì4 x + y = 1) í 2) í 2 îy - x + x + 2y + = ỵ3 x + xy - x + y = ìï( x + y + 1) ( x + y + ) = ïì2 x + x + y + = 3) í 4) í ïỵ x + 12 x + y + 10 = ïỵ xy + y + y + = ìï( x + y - )( x - y - ) = ì2 x - xy + y = y + 12 y - 5) í 6) í ïỵ x - y = ỵx - y + = ì x + 11 = y 7) í ỵ2 x + y = 12 ì7 x + y - 12 xy + x + y + = 9) í ỵ2 x - y = ì x + xy + y - x - y = 11) í ỵx - 2y = ì 3x + y x - y =2 ï 2y 13) í x - ïx - y = ỵ ì9 x + y + xy + 42 x - 40 y + 135 = 8) í ỵ3 x - y + = ìx2 + y2 + x + 2y = 10) í ỵx + y + = ì x + xy + x = 10 12) í ỵ x - y = -5 1 ì1 ï 3x y = ï 14) í ï - =1 ïỵ x y 1 ì + ïx +1 y = ï 15) í 1 ï - = y îï ( x + 1) ìï( x + y ) + ( x + y ) - 117 = 16) í ïỵ x - y = 25 ìx - y = 17) í 3 îx - y = 2 ïì 18 x + 18 x + 18 y - 17 12 x - 12 xy - = 18) í ỵï3 x + y = ( ) ( )( ) ìï( x - y ) x - y = 45 19) í ỵï x + y = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Dạng 3: Luyện thi Đại học 2011 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI ïì f ( X ; Y ) = (*) í X Y g ; = ( ) ïỵ Trong hốn vị X , Y biểu thức f ( X ; Y ) , g ( X ; Y ) khơng thay đổi Phương pháp: ìS = X + Y + Đặt í Thay vào hệ (*), tìm S, P ỵ P = X Y Dạng tổng quát: + Lúc đó, X , Y nghiệm phương trình t - St + P = (1) Các nhận xét: * Do tính đối xứng X , Y nên phương trình (1) có nghiệm t1 , t2 hệ (*) có nghiệm ( t1 ; t2 ) , ( t2 ; t1 ) * Cũng tính đối xứng nên để hệ (*) có nghiệm điều kiện cần X = Y (thay vào hệ tìm tham số, sau thay vào hệ (*) để tìm điều kiện đủ) * Do X , Y nghiệm phương trình t - St + P = nên điều kiện cần đủ để hệ (*) có nghiệm là: Phương trình (1) có nghiệm tập giá trị X , Y Bài tập: Giải hệ phương trình sau: ìï x + xy + y = ì x + xy + y = ì x + xy - y = 2) í 3) í 1) í 2 ïỵ x + x y + y = 21 ỵ x + xy + y = ỵ x + y + xy = 13 ìï x + y = 4) í 2 ïỵ x - x y + y = 13 2 ì ïx + y + z = ïï 5) í xy + yz + zx = 12 ï2 2 ï + + =3 ïỵ x y z 1 ì ïx + y + x + y = ï 6) í ïx2 + y2 + + = ïỵ x2 y2 1 ì ìx + y + z = ì x2 y2 2 ïx + y + x + y = = 18 ì x - xy + y = ï ï + ï 8) í 9) í y 9)* í x + y + z = 7)* í x ỵx + y = ï x + y = 12 ïx2 + y2 + + = ï xyz = 2 ỵ ỵ ïỵ x y ìx + y + z = ìx + y + z = ì x + y3 = ï ï 10) í 11) í xy + yz + xz = -4 12)* í xy + yz - xz = ỵ xy( x + y ) = -2 ï ï x + y + z = 14 3 ỵx + y + z = ỵ 4 ì x + xy + y = ì x + x + y + y = 18 ïì x + y = 17 13) í 14) í 15) í 2 x y + xy = ïỵ x + y + xy = ỵ ỵ x ( x + 1).y( y + 1) = 72 x ì ì x+y+ =9 x + y + xy = 3 ï ïï ì x + y = 19 y ï 17) í 18) í 16) í ỵ( x + y )(8 + xy ) = ï x y + xy = ï ( x + y ) x = 20 ïỵ ïỵ y Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com Chun đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH x ì x y + =3 ï ì x - xy + y = 19 y ï 19) í 20) í 21) y x ( x ) xy + y = x + ỵ ï =2 ïỵ y Luyện thi Đại học 2011 ì x + y + xy = 11 í 2 ỵ x + y + 3( x + y ) = 28 ì x + y =1 ï 22) í 2 ïx + y = ỵ ỡ ổ1 1ử ù( x + y ) ỗ + ÷ = ì x ( x + 2)(2 x + y ) = ï èx yø 23) í 24) í ỵx + 4x + y = ï x + y æ + = 49 ỗ x2 y2 ữ ù ố ø ỵ ì x + y + xy = 11 ï 25) í 6 ï x + y + xy = 11 ỵ 5 ïì x + y = 26) í 9 4 ïỵ x + y = x + y ìï x y + y x = 30 28) í ỵï x x + y y = 35 ìï x + y = 29) í ïỵ x + y - xy = ( ïì x + + y + = 31) í ïỵ x y + + y y + + y + + x + = Dạng 3: ) ( ) ì3 xy - x + y = ï 27) í 2 4 ỵï7 x y - x + y = 155 ( ) ì x y + = +1 ï x xy 30) í y ï î x xy + y xy = 78 ì1 1 ïx + y + z = ï ï1 1 32) í + + = ï xy yz zx ï =1 ï ỵ xyz HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI Hệ phương trình gọi hệ đối xứng loại thay X Y thay Y X hệ phương trình khơng thay đổi ìï f ( X ; Y ) = (*) Dạng tổng quát: í f Y X ; = ( ) ïỵ Phương pháp: Nếu f ( X ; Y ) đa thức thơng thường hệ (*) giải sau: ìï f ( X ; Y ) - f ( Y ; X ) = ïì( X - Y ) g ( X ; Y ) = Ûí Biến đổi (*) Û í ïỵ f ( X ; Y ) = ỵï f ( X ; Y ) = Bài tập: Giải hệ phương trình sau: 4y ì ì x - 3y = x + 4x = y + ï ï x ï ïì x = x + y ï 1) í 2) í 3) í 4) x 3 ïỵ y = y + x ïy + 4y = x + ïy - 3x = ïỵ ïỵ y Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 2 ïì x - y = y + í 2 ïỵ y - x = x + Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH ì ì y +2 x + = y = ï ï y x x2 ï ï ïì x = x + y 4) í 5) í 6) í x + ïỵ y = y + x ï2 y + = ï3 x = ïỵ ïỵ x y y ì = + x y ïï y 7) í ï2 y = x + ïỵ x ïì x = x + y 11) í ïỵ y = y + x ìï x = x + y + 8) í ỵï y = y + x + 2 ïì2 x - x = y - 7) í 2 ïỵ2 y - y = x - ìï2 x = y - y + 9) í ïỵ2 y = x - x + ïì xy + x = - y 12) í ïỵ yx + y = - x Dạng 4: Luyện thi Đại học 2011 2 ïì x - y = x + y 13) í 2 ỵï y - x = y + x ìï x = x + y 10) í ïỵ y = y + x ïì y = x 14) í ïỵ x = y HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP Hệ phương trình đại số đẳng cấp bậc hai theo x, y Dạng tổng quát: 2 ïìa1 x + b1 xy + c1 y = d1 í 2 ïỵa2 x + b2 xy + c2 y = d2 (*) Phương pháp: + Giải hệ x = + Khi x ¹ , đặt y = tx vào hệ (*), khử x phương trình theo t + Giải t , tìm x, y ì x a1 + b1t + c1t = d1 (1) ìa1 x + b1 ( tx ) + c1 ( tx ) = d1 (1) ï ï Û LËp tû Biến đổi: í í 2 2 (2) ỵïa2 x + b2 ( tx ) + c2 ( tx ) = d2 ỵï x a2 + b2 t + c2 t = d2 (2) Bài tập: Giải hệ phương trình sau: ìï x - y = ìï x - xy + y = -1 ìï3 x + xy + y = 11 1) í 2) í 3) í 2 ïỵ3 x - xy + y = 13 ïỵ x + xy + y = 17 ïỵ xy ( x - y ) = ì x + xy - y = ìï x - xy - y = ìï x - xy + y = ï 4) í y x 5) í 6) í 2 = x + = x y y ï ïỵ x x + y y = -2 ỵ ï xy ỵx y ìï3 x + xy - y = 37 ìï x - xy + y = ìï x + x y + xy + y = 7) í 8) í 9) í 2 2 ïỵ5 x - xy - y = 15 ïỵ2 x - xy + y = îï3 y + x y - xy = ( ( ) ) 2 ïì x - xy + y = -1 10) í 2 ïỵ2 x + xy + y = 2 ïì2 x + xy - y = -2 11) í 2 ïỵ x - xy + y = 3 ïì x + y = 13) í 2 ỵï x y + xy + y = 2 ïì3 x - xy - y = -3 14) í 2 ïỵ9 y + 11xy - x = 13 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 3 ïì y - x = 12) í 2 ïỵ2 x y + xy = 16 ì( x - y ) x + y = 13 ï 15) í 2 ỵï( x + y ) x - y = 25 ( ( ) ) Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002- 2010 Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1) (B- 2002) Giải hệ phương trình: ìï x - y = x - y í ïỵ x + y = x + y + 2) (D- 2002) Giải hệ phương trình: ì2 x = y - y ï x í + x +1 =y ï x ỵ +2 3) (Dự bị- 2002) Giải hệ phương trình: ìï x - y + = í ïỵ log x - log y = 4) (Dự bị- 2002) Giải hệ phương trình: ìlog x x + x - x - y = ï í ïỵlog y y + y - y - x = 5) (A- 2003) Giải hệ phương trình : 1 ì ïx - = y x y í ï2 y = x + ỵ 6) (Dự bị- 2003) Giải hệ phương trình: ïìlog y xy = log x y í x y ïỵ2 + = 7) (B- 2003) Giải hệ phương trình: ì y2 + y = ï x2 ï í ï3 x = x + ïỵ y2 8) (A- 2004) Giải hệ phương trình: ì ïlog ( y - x ) - log y = í ï x + y = 25 ỵ 9) (D- 2004) Tìm m để hệ sau có nghiệm: ìï x + y = í ïỵ x x + y y = - 3m ( ( Giáo viên: LÊ BÁ BẢO ) ) 10) (D- 2005) Giải hệ phương trình : ìï x - + - y = í ïỵ3log9 x - log3 y = 11) (Dự bị- 2005) Giải hệ phương trình: ìx2 + y2 + x + y = í ỵ x ( x + y + 1) + y( y + 1) = 12) (Dự bị- 2005) Giải hệ phương trình: ìï x + y + - x + y = í ỵï3 x + y = 13) (A- 2006) Giải hệ phương trình: ïì x + y - xy = í ỵï x + + y + = 14) (Dự bị- 2006) Giải hệ phương trình: ïì x + + y( y + x ) = y í ïỵ x + ( y + x - ) = y 15) (Dự bị- 2006) Giải hệ phương trình: ìï x - x = y + y í 2 ïỵ x - = y + 16) (D- 2006) CMR: "a > , hệ phương trình sau có nghiệm: y x ïìe - e = ln ( + x ) - ln ( + y ) í ỵï y - x = a 17) (Dự bị- 2006) Giải hệ phương trình: ìï x - xy + y = 3( x - y ) í 2 ỵï x + xy + y = 7( x - y ) 18) (Dự bị- 2006) Giải hệ phương trình: ìïln ( + x ) - ln ( + y ) = x - y í 2 ïỵ x - 12 xy + 20 y = 19) (Dự bị- 2006) Giải hệ phương trình: ì( x - y ) x + y = 13 ï í 2 ïỵ( x + y ) x - y = 25 ( ) ( ( ( ) ) ) Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 20) (Dự bị- 2007) Giải hệ phương trình: 29) (D- 2009) Giải hệ phương trình: ì x ( x + y - 1) - = ìï x + x - x + = 3y -1 + ï í í 2 x -1 ïỵ y + y - y + = + ï( x + y ) - + = x ỵ 21) (Dự bị- 2007) Giải hệ phương trình: 30) (ĐH-B-2010) Giải hệ phương trình: 2 ïì x - x y + x y = ìlog (3 y - 1) = x í í x ïỵ x y - x + xy = x ỵ4 + = y 22) (Dự bị- 2007) CMR: Hệ phương trình 31) (ĐH-D-2010) Giải hệ phương trình: sau có nghiệm thoả x > 0, y > ìï x - x + y + = y ì x í ïe = 2007 - ïỵ2log ( x - 2) - log y = y -1 ï 32) (ĐH-A-2010) Giải hệ phương trình: í x y ïe = 2007 ìï x + x + ( y - 3) - y = ïỵ x -1 í ïỵ4 x + y + - x = 23) (Dự bị- 2007) Giải hệ phương trình: xy ì x + = x2 + y ï x - 2x + ï í xy ïy + = y2 + x ïỵ y - 2y + 24) (A- 2008) Giải hệ phương trình: ì ïï x + y + x y + xy + xy = - í ï x + y + xy(1 + x ) = - ïỵ 25) (B- 2008) Giải hệ phương trình: 2 ïì x + x y + x y = x + í ỵï x + xy = x + 26) (D- 2008) Giải hệ phương trình: ìï x + y + xy = x - y í ỵï x y - y x - = x - y 27) ĐH-A-2009 Giải hệ phương trình: ìïlog ( x + y ) = + log ( xy ) í x + y - xy = 81 îï3 28) (B- 2009) Giải hệ phương trình: ì xy + x + = y í 2 ỵ x y + xy + = 13 y ( ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC 1) Giải hệ phương trình: ïì x - y - y - x = í ỵï3 x - y + y - x = 10 Gợi ý: Dạng hpt bậc hai ẩn 2) Giải hệ phương trình: ìï x + y - = í ïỵ x - y + = y - Gợi ý: Bình phương TXĐ 3) Giải hệ phương trình: ìï x + + y - = í ïỵ y + + x - = Gợi ý: Bình phương TXĐ 4) Giải hệ phương trình: ì2 y x - y = x ï í 2 ỵï x x + y = 10 y Gợi ý: Biến đổi: (1) y x - y x = = (2) x x + y 10 y ( ) ) ( ổyử 1- ỗ ữ 2y x = è ø2 = 10 y x ổyử 1+ ỗ ữ x ốxứ 5) Gii hệ phương trình: ( ) ì( x + y ) - x - y + ( x - y ) = ï í =3 ï2 x + y + 2x - y ỵ Gợi ý: (1) có dạng đẳng cấp bậc hai 6) Giải hệ phương trình: ì x + xy + = -5 ï ï x + 2y í ï x = -3 ỵï x + y Gợi ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Biến đổi: x ( x + y) + 1 (1) Û = -5 Û x + = -5 x + 2y x + 2y 7) Giải hệ phương trình: ì xy - x - y = 16 í 2 ỵ x + y - x - y = 33 Gợi ý: Bin i: Nhân (1) với cộng phương tr×nh (2) : Û x + y + xy - x - y - 65 = Û ( x + y ) -8 ( x + y ) - 65 = Û ( x + y + 5)( x + y - 13) = 8) Giải hệ phương trình: 2 ïì x + x + y + + x + y + x + y + + y = 18 í ïỵ x + x + y + - x + y + x + y + - y = Gợi ý: (1) - (2) Û x + y = 9) Giải hệ phương trình: ìï x + y - x + y = í 2 ïỵ3 x - y - x - y = Gợi ý: Biến đổi: ì x - 3x + y2 + y = ï Ûí 2 ïỵ3 x - x - y + y = 10) Giải hệ phương trỡnh: ỡổ x ử2 ổ x ử3 ùùỗ ữ + ç ÷ = 12 íè y ø è y ø ï ïỵ( xy ) + xy = Gợi ý: Mỗi phương trình hệ phương trình đại số theo ẩn phụ 11) Giải hệ phương trình: 2 ïì y + xy = x í 2 ïỵ1 + x y = x Gợi ý: Biến đổi: ( ( ) ( ) ( ) ) Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 ì2 ( x + y ) = 3 x y + xy ì ỉxư ï ïx + = ỗ ữ y y ù ố ø ïỵ x + y = Ûí ï ỉxư Gợi ý: Đặt u = x , v = y ï x + y2 = 5ỗ y ữ ố ứ ợ 15) Gii hệ phương trình: ì x + 3y ì ỉxư ù x + = ỗ ữ (1) ùx + x2 + y2 = ï y ï èyø í Ûí 2 ïy - y - 3x = ùổ ổxử ổxử 1ử ùợ x2 + y2 ùỗ x + y ữ = ỗ y ữ + ỗ y ữ (2) ứ ố ứ ố ứ îè Thay (1) vào (2) Gợi ý: Biến đổi: 12) Giải hệ phương trình: xy + y (1) Þ xy + = y (3) y x y x + ì +6 =5 x2 + y2 ï x+y íx - y xy - x ï xy = (2) Þ xy - = (4) ỵ x + y2 Gợi ý: Phương trình (1) có dạng bậc hai ỉ y -1ư 13) Giải hệ phương trình: (3) + (4) Þ xy + = y ị y = ỗ ố y ÷ø ìï x + y + x + y = 20 a) í 16) Giải hệ phương trình: 2 ïỵ x + y = 136 ìï x + xy + 12 y = ìï x + y + - x + y = í 2 b) í ỵï x + y = 12 ỵï3 x + y = Gợi ý: Biến đổi: Thay (2) vµo (1): ïì x y + y x = c) í 2 Þ x + xy + x + y y = ïỵ x y + y x = 20 ) ( ( 2 ïì x + y + xy = d) í ỵï x + y = Gợi ý: Biến đổi: (1) Û x + y = 16 - xy Û x2 + 2y2 = ( x+ y ) - xy Û x2 + 2y2 = x + y Û x2 + 2y2 = ( x + y ) Û ( x - y ) = ì x y + = ï e) í y x ï 2 ỵ x + y + xy = 21 14) Giải hệ phương trình: Giáo viên: LÊ B BO ) Đây pt đẳng cấp bậc 17) Giải hệ phương trình: ì = 10 ï( x + y ) + x - 2y ) ( ï a) í ï x + 2y = ïỵ x - y ì ï x + 2y + x = ï b) í ï x = -4 ïỵ x + y ì x + y = 25 - xy c) í ỵ y( x + y ) = 10 ìï x + xy + y = 19 ( x - y ) d) í 2 ïỵ x - xy + y = ( x - y ) Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 Gợi ý d): Phương trình (1) đẳng cấp bậc ìï - y = - x ìï x + y = 2 x 18) Giải hệ phương trỡnh: TXĐ ùợ - x = - y ỵï x + y = 2 x ìï x + y + x - y = 12 ịx=y a) 2 ùợ y x - y = 12 Cách 2: LÊy (1) - (2) : Gợi ý: Đặt u = x - y , v = x + y Þ x - y = 2-x - 2-y 1ỉ u2 Þ y = ỗv- ữ y-x x-y 2ố v ứ = Þx=y x+ y 2-x + 2-y ì 20 y = x+y + x-y ï ï x 21) Giải hệ phương trình: b) í x 16 ï ìï x + - y = = x+y - x-y ï 5y í ỵ ïỵ y + - x = Gợi ý: Nhân vế theo vế phương trình Gợi ý: ìï3 x - x - y + = Cách 1: Biến đổi: c) í 2 ïỵ4 x + x - y - = (1) - (2) Þ x - y = - x - - y Gợi ý: Nhân (1) với -2 , khử y x-y y-x Û = ì( x - y ) x - y = 6-x + 6-y x+ y ï d) í 2 ỉ ïỵ( x + y ) x + y = 15 1 + ( x - y) ỗ ữ=0 ỗ x+ y - x + - y ÷ø Gợi ý: Cách 1: Hpt đẳng cấp bậc è Cách 2: Biến đổi: Ûx=y ì( x + y ) é( x + y ) - xy ù = Cách 2: Bất đẳng thức: ï ë û Ûí ì x + - y = 12 é ù ï( x + y ) ( x + y ) - xy = 15 ï ë û ỵ Ûí ï y + - x = 12 19) Giải hệ phương trình: ỵ ì xy - x - y = 16 2 í 2 Þ x y y x + + + = 24 ỵ x + y - x - y = 33 Gợi ý: Biến đổi: ì x + - y £ 12 + 12 x + - y ( ) ï ì2 xy - x - y = 32 í Ûí 2 ï y + - x £ 12 + 12 ( y + - x ) x + y x y = 33 ỵ ỵ xy x y = 16 ìï 2 Ûí Þ x + - y + y + - x £ 24 ïỵ( x + y ) - ( x + y ) - 65 = ìï x = - y 20) Giải hệ phương trình: DÊu " = " x·y chØ í ïỵ y = - x ïì x + - y = a) í Û x =y=3 ïỵ - x + y = 22) Giải hệ phương trình: Gợi ý: Cách1: Biến đổi: ìï x + xy - y + y + = a) í 2 ỵï x + xy - y + 11x + y - = ( ( ) ) ( ( ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ( ( Giáo viên: LÊ BÁ BẢO ) ) ) ) ) ) Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 Gợi ý: Thùc hiÖn: (1) ´ - ì1 ï + =7 Cách khác: Thử x = Đặt y = kx 3) í x y ï ìï x + x + - y = ỵ x + y = xy b) í 2 Gợi ý: Quy đồng (1), khử xy Hoặc chia ïỵ x + y - x + y - = (2) cho xy éy = x + Gợi ý: (1) Û ( x + 1) = y Û ê ì x +1 + x + y = ëy = -x - ï 4) í ïì2 x + y - x + = ï x + ( y - 4) + = ỵ c) í 2 ỵï x y - x + y = Gợi ý: Đánh giá BĐT phương trình (2) Gợi ý: ì x + y = xy ï ì2 ( x - 1) + y + = (1) ï 5) í ï Ûí ïx - y = 2x (2) ïy = ïỵ y x + x2 î Gợi ý: Hệ đẳng cấp Hoặc chia (1) cho xy 2x £ Þ -1 £ y £ (2) : -1 £ ìï3 x + y + x = + x2 6) í (1) Þ ( x - 1) + y + ³ ïỵ x - + x + y = 23) Giải hệ phương trình sau: Gợi ý: TXĐ x ³ Û -1 £ x £ ì y + x = 64 - x y (1) : x + y + x ³ ï 1) í ìï x x + x = y ïỵ x + = y + 7) í ïỵ y - x = - 11 Gợi ý: Gợi ý: Phương pháp CM pt vô (2) : y + = x + ³ Û y ³ nghiệm ìï y + x ³ ìï x - + y - = Þí Þ x = 0, y = 8) í ïỵ x + y = ïỵ 64 - x y £ Gợi ý: Đặt u = x - 1, v = y - ì1 ïì x + y + x + y + = ï x + y = - xy 9) í ï 2) í ïỵ3 x + y = 23 2 1 x y + ï + Gợi ý: Phương pháp Hoặc đặt = 7ïỵ x y xy u = x + y, v = 2x + y + 1 ì ìï x + xy + y = ï x + y = - xy 10) í ï Gợi ý: Û í ỵï x + x + y = - xy ï + + = - xy Gợi ý: Phương trình (1) đẳng cấp bậc ïỵ x y xy ìï x + x = y - x - 1 11) ì í 1 ì ï x + y = - xy ỵï x + xy + y = ù ùu = + x y Đặt (1) Û x + x + x + = y Gợi ý: ïæ + ö = - xy ïv = xy ợ ỗ ữ ( x + 1) = y Û y = x + ïè x y ø ỵ ( ) ( ( ) ) ( Giáo viên: LÊ BÁ BẢO ) Tổ Toán THPT Phong Điền www.VNMATH.com Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 Gợi ý: ìï x + + y - = 12) í ïì x + y + x - y = ïỵ x - + y + = HƯ Û í ỵï x + y x - y = ìï x + y = 13) í éì x - y ³ ïỵ x + + y + = êï Gợi ý: Biến đổi: ê í x + y + x - y = (I) êï ì x + x + + y + y + = 13 êỵ x + y x - y = ï Û Ûí ê ï x +5 - x + y+5 - y =3 êì x - y < ỵ ê ï x + y + x - y = (II) êí ì x + x + + y + y + = 13 ê ïỵ x + y x - y = -8 ïï ë Ûí 5 =3 + ï y + y+5 ïỵ x + x + ( ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) Đặt u = x + x + 5, v = y + y + ìï x + y + x + y + = 14) í ïỵ x + + y + = Gợi ý: Biến đổi: LÊy (1) - (2) Þ x + y - 3y + = x + - x + y + Û x - 2y - x - 2y - = x + y + 3y + 2x + + x + 2y + ì ïï(4 + y + x ) x = 15) í ï (4 ) y =4 ïỵ y + 2x ì ïï ( x + y )(1 + xy ) = 16) í ï( x + y )(1 + 2 ) = 49 ïỵ x y ìï3 - ( y + 1) = x - y 17) í ïỵ x + y = x - y - Gợi ý: (1) Û x - y - = - ( y + 1) £ Û0£ x-y £3Û0£ x-y£9 (2) : TX§: x - y - ³ Û x - y ³ ì x+y + x-y =6 ï 18) í ïỵ ( x + y ) ( x - y ) = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền ... Chun đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 20) (Dự b? ?- 2007) Giải hệ phương trình: 29) (D- 2009) Giải hệ phương trình: ì x ( x + y - 1) - = ìï x + x - x + = 3y -1 + ï í í 2 x -1 ïỵ y + y - y... Điền www.VNMATH.com MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 PT(3) Û x - - - é( x - 1) - 1ù + x - = ë û x -2 Û - x ( x - 2) + ( x - 2) ( x2 + 2x + 4) = x -1 +1 ỉ + x + x + >... 2) Giải hệ phương trình: ìï x + y - = í ïỵ x - y + = y - Gợi ý: Bình phương TXĐ 3) Giải hệ phương trình: ìï x + + y - = í ïỵ y + + x - = Gợi ý: Bình phương TXĐ 4) Giải hệ phương trình: ì2 y x -