Chuyên đề Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình luyện thi đại học

Mục lục Chuyên đề 9. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số . . . . . . . . . 3 §1. Phương Trình, Bất Phương Trình Đa Thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 §2. Phương Trình, Bất Phương Trình Chứa Dấu Trị Tuyệt Đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 §3. Phương Trình & Bất Phương Trình Chứa Căn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 §4. Hệ Phương Trình Mẫu Mực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 §5. Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 Nguyễn Minh Hiếu 2 Chuyên đề 9 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số §1. Phương Trình, Bất Phương Trình Đa Thức Bài tập 9.1. Giải các phương trình, bất phương trình sau: a) x 2 − 3x − 2 x − 1 ≥ 2x + 2. b) x + 5 2x − 1 + 2x − 1 x + 5 > 2. c) x 3 − 3 √ 3x 2 + 7x − √ 3 = 0. d) (4 + x) 2 − (x − 1) 3 = (1 − x)  x 2 − 2x + 17  . Lời giải. a) Bất phương trình tương đương với x 2 − 3x − 2 −(x −1) (2x + 2) x − 1 ≥ 0 ⇔ −x 2 − 3x x − 1 ≥ 0. Bảng xét dấu x −∞ −3 0 1 +∞ −x 2 − 3x − 0 + 0 − | − x − 1 − | − | − 0 + VT + 0 − 0 + || − Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3] ∪[0; 1). b) Bất phương trình tương đương với (x + 5) 2 + (2x − 1) 2 − 2 (x + 5) (2x −1) (2x − 1) (x + 5) > 0 ⇔ x 2 − 12x + 36 2x 2 + 9x − 5 > 0 Bảng xét dấu x −∞ −5 1 2 6 +∞ x 2 − 12x + 36 + | + | + 0 + 2x 2 + 9x − 5 + 0 − 0 + | + VT + || − || + 0 + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −5) ∪  1 2 ; 6  ∪ (6; +∞). c) Ta có x 3 − 3 √ 3x 2 + 7x − √ 3 = 0 ⇔  x − √ 3  x 2 − 2 √ 3x + 1  = 0 ⇔  x = √ 3 x = √ 3 ± √ 2 . Vậy phương trình có ba nghiệm x = √ 3, x = √ 3 ± √ 2. d) Phương trình tương đương với (4 + x) 2 = (x − 1) 3 − (x − 1)  x 2 − 2x + 17  ⇔ (4 + x) 2 = (x − 1)  x 2 − 2x + 1 −x 2 + 2x − 17  = 0 ⇔ x 2 + 8x + 16 = −16x + 16 ⇔ x 2 + 24x = 0 ⇔  x = 0 x = −24 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = −24. 3 Nguyễn Minh Hiếu Bài tập 9.2. Giải các phương trình, bất phương trình sau: a) x 3 − 5x 2 + 5x − 1 = 0. b) x 4 − 4x 3 − x 2 + 16x − 12 = 0. c) x 4 − 4x 3 + 7x + 2 = 0. d) x 3 − 3x 2 − 9x + 2 ≤ 0. Lời giải. a) Ta có x 3 − 5x 2 + 5x − 1 = 0 ⇔ (x − 1)  x 2 − 4x + 1  = 0 ⇔  x = 1 x = 2 ± √ 3 . Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 2 ± √ 3. b) Ta có x 4 − 4x 3 − x 2 + 16x − 12 = 0 ⇔ (x − 1)  x 3 − 3x 2 − 4x + 12  = 0 ⇔   x = 1 x = 3 x = ±2 . Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 3, x = ±2. c) Ta có x 4 − 4x 3 + 7x + 2 = 0 ⇔ (x + 1) (x − 2)  x 2 − 3x − 1  = 0 ⇔   x = −1 x = 2 x = 3± √ 13 2 . Vậy phương trình có bốn nghiệm x = −1, x = 2, x = 3 ± √ 13 2 . d) Ta có x 3 − 3x 2 − 9x + 2 ≤ 0 ⇔ (x + 2)  x 2 − 5x + 1  ≤ 0 ⇔  x ≤ −2 5− √ 21 2 ≤ x ≤ 5+ √ 21 2 . Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −2] ∪  5 − √ 21 2 ; 5 + √ 21 2  . Bài tập 9.3. Giải các phương trình, bất phương trình sau: a)  x 2 − 4x + 3  2 −  x 2 − 6x + 5  2 = 0. b) x 4 = (2x − 5) 2 . c) x 4 − 4x − 1 = 0. d) x 4 = 6x 2 − 12x + 8. Lời giải. a) Ta có  x 2 − 4x + 3  2 −  x 2 − 6x + 5  2 = 0 ⇔  2x 2 − 10x + 8  (2x − 2) = 0 ⇔  x = 1 x = 4 . Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = 4. b) Ta có x 4 = (2x − 5) 2 ⇔  x 2 + 2x − 5  x 2 − 2x + 5  = 0 ⇔ x = −1 ± √ 6. Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ± √ 6. c) Phương trình tương đương với  x 2 + 1  2 = 2(x + 1) 2 ⇔  x 2 + √ 2x + 1 + √ 2  x 2 − √ 2x + 1 − √ 2  = 0 ⇔ x = √ 2 ±  4 √ 2 − 2 2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = √ 2 ±  4 √ 2 − 2 2 . d) Phương trình tương đương với  x 2 − 1  2 = (2x − 3) 2 ⇔  x 2 + 2x − 4  x 2 − 2x + 2  = 0 ⇔ x = −1 ± √ 5 Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ± √ 5. Bài tập 9.4. Giải các phương trình, bất phương trình sau: a)  x 2 + 5x  2 − 2  x 2 + 5x  − 24 = 0. b)  x 2 + x + 1  x 2 + x + 2  = 12. c)  x 2 − 2x − 2  2 − 2x 2 + 3x + 2 = 0. d) (4x + 3) 2 (x + 1) (2x + 1) = 810. e) x 2 + 1 x + x x 2 + 1 = − 5 2 . f)  x − 1 x + 2  2 + x − 3 x + 2 − 2  x − 3 x − 1  2 = 0. Lời giải. a) Đặt x 2 + 5x = t. Phương trình trở thành t 2 − 2t − 24 = 0 ⇔  t = 6 t = −4 . Với t = 6 ⇒ x 2 + 5x = 6 ⇔  x = 1 x = −6 . Với t = −4 ⇒ x 2 + 5x = −4 ⇔  x = −1 x = −4 . Vậy phương trình có bốn nghiệm x = ±1, x = −4, x = −6. 4 Chuyên đề 9. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số b) Đặt x 2 + x + 1 = t. Phương trình trở thành t(t + 1) = 12 ⇔  t = 3 t = −4 . Với t = 3 ⇒ x 2 + x + 1 = 3 ⇔  x = 1 x = −2 . Với t = −4 ⇒ x 2 + x + 1 = −4 (vô nghiệm). Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = −2. c) Phương trình tương đương với (x 2 − 2x − 2) 2 − (x 2 − 2x − 2) −x 2 + x = 0. Đặt x 2 − 2x − 2 = t. Phương trình trở thành t 2 − t − x 2 + x = 0 ⇔ (t −x)(t + x) − (t − x) = 0 ⇔ (t − x)(t + x −1) = 0 ⇔  t = x t = 1 − x Với t = x ⇒ x 2 − 2x − 2 = x ⇔ x = 3 ± √ 17 2 ; t = 1 − x ⇒ x 2 − 2x − 2 = 1 −x ⇔ x = 1 ± √ 13 2 . Vậy phương trình có bốn nghiệm x = 3 ± √ 17 2 , x = 1 ± √ 13 2 . d) Phương trình tương đương với  16x 2 + 24x + 9  2x 2 + 3x + 1  = 810 ⇔  8(2x 2 + 3x + 1) + 1  2x 2 + 3x + 1  = 810 Đặt 2x 2 + 3x + 1 = t. Phương trình trở thành (8t + 1) t = 810 ⇔  t = 10 t = − 81 8 . Với t = 10 ⇒ 2x 2 + 3x + 1 = 10 ⇔  x = −3 x = 3 2 . Với t = − 81 8 ⇒ 2x 2 + 3x + 1 = − 81 8 (vô nghiệm). Vậy phương trình có hai nghiệm x = −3, x = 3 2 . e) Điều kiện: x = 0. Đặt x 2 + 1 x = t. Phương trình trở thành t + 1 t = − 5 2 ⇔  t = −2 t = − 1 2 . Với t = −2 ⇒ x 2 + 1 x = −2 ⇔ x 2 + 2x + 1 = 0 ⇔ x = −1. Với t = − 1 2 ⇒ x 2 + 1 x = − 1 2 ⇔ 2x 2 + x + 2 = 0 (vô nghiệm). Vậy phương trình có nghiệm x = −1. f) Điều kiện: x = 1, x = −2. Đặt x − 1 x + 2 = u, x − 3 x − 1 = v. Phương trình trở thành u 2 + uv − 2v 2 = 0 ⇔  u = v u = −2v . Với u = v ⇒ x − 1 x + 2 = x − 3 x − 1 ⇔ x 2 − 2x + 1 = x 2 − x − 6 ⇔ x = 7. Với u = −2v ⇒ x − 1 x + 2 = −2. x − 3 x − 1 ⇔ x 2 −2x+1 = −2x 2 +2x+12 ⇔ 3x 2 −4x−11 = 0 ⇔ x = 2 ± √ 37 3 . Vậy phương trình có ba nghiệm x = 7, x = 2 ± √ 37 3 . Bài tập 9.5. Giải các phương trình, bất phương trình sau: a) (x + 1) 4 + (x + 3) 4 = 16. b) (x + 3) 4 + (x − 1) 4 = 82. c) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 3. d)  x 2 + 1  (x + 3) (x + 5) + 16 = 0. e) 2x 4 + 3x 3 − 9x 2 − 3x + 2 = 0. f) 2x 4 + 3x 3 − 27x 2 + 6x + 8 = 0. Lời giải. a) Đặt x + 2 = t. Phương trình trở thành (t − 1) 4 + (t + 1) 4 = 16 ⇔ 2t 4 + 12t 2 − 14 = 0 ⇔  t 2 = 1 t 2 = −7 (loại) ⇔ t = ±1 Với t = 1 ⇒ x = −1; t = −1 ⇒ x = −3. Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1, x = −3. b) Đặt x + 1 = t. Phương trình trở thành (t + 2) 4 + (t − 2) 4 = 16 ⇔ 2t 4 + 48t 2 − 50 = 0 ⇔  t 2 = 1 t 2 = −25 (loại) ⇔ t = ±1 Với t = 1 ⇒ x = 0; t = −1 ⇒ x = −2. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = −2. 5 Nguyễn Minh Hiếu c) Phương trình tương đương với (x + 1) (x + 4) (x + 2) (x + 3) = 3 ⇔  x 2 + 5x + 4  x 2 + 5x + 6  = 3 Đặt x 2 + 5x + 4 = t. Phương trình trở thành t (t + 2) = 3 ⇔  t = 1 t = −3 . Với t = 1 ⇒ x 2 + 5x + 4 = 1 ⇔ x = −5 ± √ 13 2 ; t = −3 ⇒ x 2 + 5x + 4 = −3 (vô nghiệm). Vậy phương trình có hai nghiệm x = −5 ± √ 13 2 . d) Phương trình tương đương với (x − 1) (x + 5) (x + 1) (x + 3) + 16 = 0 ⇔  x 2 + 4x − 5  x 2 + 4x + 3  + 16 = 0 Đặt x 2 + 4x − 5 = t. Phương trình trở thành t (t + 8) + 16 = 0 ⇔ t = −4. Với t = −4 ⇒ x 2 + 4x − 5 = −4 ⇔ x = −2 ± √ 5. Vậy phương trình có hai nghiệm x = −2 ± √ 5. e) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với 2x 2 + 3x − 9 − 3 x + 2 x 2 = 0 ⇔ 2  x 2 + 1 x 2  + 3  x − 1 x  − 9 = 0 Đặt x − 1 x = t ⇒ x 2 + 1 x 2 = t 2 + 2. Phương trình trở thành 2  t 2 + 2  + 3t − 9 = 0 ⇔  t = 1 t = − 5 2 . Với t = 1 ⇒ x − 1 x = 1 ⇔ x 2 − x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ± √ 5 2 . Với t = − 5 2 ⇒ x − 1 x = − 5 2 ⇔ 2x 2 + 5x − 2 = 0 ⇔ x = −5 ± √ 41 4 Vậy phương trình có bốn nghiệm x = 1 ± √ 5 2 , x = −5 ± √ 41 4 . f) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với 2x 2 + 3x − 27 + 6 x + 8 x 2 = 0 ⇔ 2  x 2 + 4 x 2  + 3  x + 2 x  − 27 = 0 Đặt x + 2 x = t ⇒ x 2 + 4 x 2 = t 2 − 4. Phương trình trở thành 2  t 2 − 4  + 3t − 27 = 0 ⇔  t = −5 t = 7 2 . Với t = −5 ⇒ x + 2 x = −5 ⇔ x 2 + 5x + 2 = 0 ⇔ x = −5 ± √ 17 2 . Với t = 7 2 ⇒ x + 2 x = 7 2 ⇔ 2x 2 − 7x + 4 = 0 ⇔ x = 7 ± √ 17 4 . Vậy phương trình có bốn nghiệm x = −5 ± √ 17 2 , x = 7 ± √ 17 4 . §2. Phương Trình, Bất Phương Trình Chứa Dấu Trị Tuyệt Đối Bài tập 9.6. Giải các phương trình, bất phương trình sau: a) |x − 1| =   x 2 − 3x + 1   . b)   x 2 + 4x − 5   =   x 2 + 5   . c)   x 2 + 3x − 10   +   x 2 − 4   = 0. d)   x 2 + 3x − 4   +   x 2013 + 2013x − 2014   = 0. e) |x − 2| < |2x + 1|. f)     2x − 3 x − 3     ≤ 1. Lời giải. a) Ta có |x − 1| =   x 2 − 3x + 1   ⇔  x − 1 = x 2 − 3x + 1 x − 1 = −x 2 + 3x − 1 ⇔   x = 2 ± √ 2 x = 0 x = 2 . Vậy phương trình có bốn nghiệm x = 2 ± √ 2, x = 0, x = 2. 6 Chuyên đề 9. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số b) Ta có   x 2 + 4x − 5   =   x 2 + 5   ⇔  x 2 + 4x − 5 = x 2 + 5 x 2 + 4x − 5 = −x 2 − 5 ⇔   x = 5 2 x = 0 x = −2 . Vậy phương trình có ba nghiệm x = 5 2 , x = 0, x = −2. c) Ta có   x 2 + 3x − 10   +   x 2 − 4   = 0 ⇔  x 2 + 3x − 10 = 0 x 2 − 4 = 0 ⇔     x = 2 x − 5 x = ±2 ⇔ x = 2. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. d) Phương trình tương đương với  x 2 + 3x − 4 = 0 x 2013 + 2013x − 2014 = 0 ⇔     x = 1 (thỏa mãn) x = −4 (loại) x 2013 + 2013x − 2014 = 0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. e) Ta có |x − 2| < |2x + 1| ⇔ (x − 2) 2 < (2x + 1) 2 ⇔ 3x 2 + 8x − 3 > 0 ⇔  x > 1 3 x < −3 . Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3) ∪  1 3 ; +∞  . f) Điều kiện: x = 3. Bất phương trình tương đương với |2x − 3| ≤ |x − 3| ⇔ (2x − 3) 2 ≤ (x − 3) 2 ⇔ 3x 2 − 6x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 (thỏa mãn) Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [0; 2]. Bài tập 9.7. Giải các phương trình, bất phương trình sau: a)   x 2 − 5x + 4   − x = 4. b) √ x 2 + 4x + 4 = 5 −x 2 . c)   x 2 − 2x   + x 2 − 4 > 0. d)   x 2 − 5x + 4   ≤ x 2 + 6x + 5. e)  x 2 − x  2 +   x 2 − x   − 6 = 0. f) 3  2x − 1 x + 1  2 −     x + 1 2x − 1     − 2 = 0. Lời giải. a) Với x 2 − 5x + 4 ≥ 0 ⇔  x ≥ 4 x ≤ 1 , PT trở thành x 2 − 5x + 4 −x = 4 ⇔  x = 0 x = 6 (thỏa mãn). Với x 2 −5x + 4 < 0 ⇔ 1 < x < 4, PT trở thành −x 2 + 5x −4 −x = 4 ⇔ x 2 −4x + 8 = 0 (vô nghiệm). Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 6. b) Phương trình tương đương với |x + 2| = 5 − x 2 . Với x+2 ≥ 0 ⇔ x ≥ −2, phương trình trở thành x+2 = 5−x 2 ⇔ x 2 +x−3 = 0 ⇔  x = −1+ √ 13 2 x = −1− √ 13 2 (loại) Với x+2 < 0 ⇔ x < −2, phương trình trở thành −x−2 = 5−x 2 ⇔ x 2 −x−7 = 0 ⇔  x = 1+ √ 29 2 (loại) x = 1− √ 29 2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 + √ 13 2 , x = 1 − √ 29 2 . c) Với x 2 − 2x ≥ 0 ⇔  x ≥ 2 x ≤ 0 , bất phương trình trở thành x 2 − 2x + x 2 − 4 > 0 ⇔  x > 2 x < −1 (thỏa mãn) ⇒ S 1 = (−∞; −1) ∪ (2; +∞) Với x 2 − 2x < 0 ⇔ 0 < x < 2, bất phương trình trở thành −x 2 + 2x + x 2 − 4 > 0 ⇔ x > 2 (loại) ⇒ S 2 = ∅ Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = S 1 ∪ S 2 = (−∞; −1) ∪ (2; +∞). 7 Nguyễn Minh Hiếu d) Với x 2 − 5x + 4 ≥ 0 ⇔  x ≥ 4 x ≤ 1 , bất phương trình trở thành x 2 − 5x + 4 ≤ x 2 + 6x + 5 ⇔ x ≥ − 1 11 ⇒ S 1 =  − 1 11 ; 1  ∪ [4; +∞) Với x 2 − 5x + 4 < 0 ⇔ 1 < x < 4, bất phương trình trở thành −x 2 + 5x − 4 ≤ x 2 + 6x + 5 ⇔ 2x 2 + x + 9 ≥ 0 (đúng ∀x ∈ (1; 4)) ⇒ S 2 = (1; 4) Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = S 1 ∪ S 2 =  − 1 11 ; +∞  . e) Đặt |x 2 − x| = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành t 2 + t − 6 = 0 ⇔  t = 2 t = −3 (loại) . Với t = 2 ⇒   x 2 − x   = 2 ⇔  x 2 − x = 2 x 2 − x = −2 (vô nghiệm) ⇔  x = 2 x = −1 . Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = −1. f) Điều kiện: x = −1, x = 1 2 . Đặt | x + 1 2x − 1 | = t (t > 0). Phương trình trở thành 3 t 2 − t − 2 = 0 ⇔ t 3 + 2t − 3 = 0 ⇔ t = 1. Với t = 1 ⇒     x + 1 2x − 1     = 1 ⇔ |x + 1| = |2x − 1| ⇔  x + 1 = 2x −1 x + 1 = −2x + 1 ⇔  x = 2 x = 0 . Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 0. Bài tập 9.8. Giải các phương trình, bất phương trình sau: a) √ x 2 − 2x + 1 + √ x 2 + 4x + 4 = 5. b)   x 2 − 5x + 4   +   x 2 − 5x   = 4. c) |9 − x| = |6 − 5x| + |4x + 3|. d) |7 − 2x| = |5 − 3x| + |x + 2|. e) |x − 1| −2 |x − 2| + 3 |x −3| = 4. f)  x + 2 √ x − 1 +  x − 2 √ x − 1 = 2. Lời giải. a) Phương trình tương đương với |x − 1| + |x + 2| = 5. Bảng xét dấu x −∞ −2 1 +∞ x − 1 − | − 0 + x + 2 − 0 + | + Với x ∈ (−∞; −2], phương trình trở thành −x + 1 − x − 2 = 5 ⇔ x = 3 (loại). Với x ∈ (−2; 1], phương trình trở thành −x + 1 + x + 2 = 5 ⇔ 3 = 5 (vô lý). Với x ∈ (1; +∞), phương trình trở thành x − 1 + x + 2 = 5 ⇔ x = 2 (thỏa mãn). Vậy phương trình có nghiệm x = 2. b) Bảng xét dấu x −∞ 0 1 4 5 +∞ x 2 − 5x + 4 + | + 0 − 0 + | + x 2 − 5x + 0 − | − | − 0 + Với x ∈ (−∞; 0], phương trình trở thành x 2 − 5x + 4 + x 2 − 5x = 4 ⇔  x = 0 (thỏa mãn) x = 5 (loại) . Với x ∈ (0; 1], phương trình trở thành x 2 − 5x + 4 −x 2 + 5x = 4 ⇔ 4 = 4 (đúng, ∀x ∈ (0; 1]). Với x ∈ (1; 4], phương trình trở thành −x 2 + 5x − 4 −x 2 + 5x = 4 ⇔  x = 4 (thỏa mãn) x = 1 (loại) . Với x ∈ (4; 5], phương trình trở thành x 2 − 5x + 4 −x 2 + 5x = 4 ⇔ 4 = 4 (đúng, ∀x ∈ (4; 5]). Với x ∈ (5; +∞), phương trình trở thành x 2 − 5x + 4 + x 2 − 5x = 4 ⇔  x = 0 (loại) x = 5 (loại) . Vậy phương trình có tập nghiệm S = [0; 1] ∪[4; 5]. 8 Chuyên đề 9. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số c) Bảng xét dấu x −∞ − 3 4 6 5 9 +∞ 9 − x + | + | + 0 − 6 − 5x + | + 0 − | − 4x + 3 − 0 + | + | + Với x ∈  −∞; − 3 4  , phương trình trở thành 9 − x = 6 − 5x − 4x − 3 ⇔ x = − 3 4 (thỏa mãn). Với x ∈  − 3 4 ; 6 5  , phương trình trở thành 9 − x = 6 − 5x + 4x + 3 ⇔ 9 = 9 (đúng, ∀x ∈  − 3 4 ; 6 5  ). Với x ∈  6 5 ; 9  , phương trình trở thành 9 − x = −6 + 5x + 4x + 3 ⇔ x = 6 5 (loại). Với x ∈ (9; +∞), phương trình trở thành −9 + x = −6 + 5x + 4x + 3 ⇔ x = − 3 4 (loại). Vậy phương trình có tập nghiệm S =  − 3 4 ; 6 5  . d) Bảng xét dấu x −∞ −2 5 3 7 2 +∞ 7 − 2x + | + | + 0 − 5 − 3x + | + 0 − | − x + 2 − 0 + | + | + Với x ∈ (−∞; −2], phương trình trở thành 7 − 2x = 5 −3x − x − 2 ⇔ x = −2 (thỏa mãn). Với x ∈  −2; 5 3  , phương trình trở thành 7 − 2x = 5 − 3x + x + 2 ⇔ 7 = 7 (đúng, ∀x ∈  −2; 5 3  ). Với x ∈  5 3 ; 7 2  , phương trình trở thành 7 − 2x = −5 + 3x + x + 2 ⇔ x = 5 3 (loại). Với x ∈  7 2 ; +∞  , phương trình trở thành −7 + 2x = −5 + 3x + x + 2 ⇔ x = −2 (loại). Vậy phương trình có tập nghiệm S =  −2; 5 3  . e) Bảng xét dấu x −∞ 1 2 3 +∞ x − 1 − 0 + | + | + x − 2 − | − 0 + | + x − 3 − | − | − 0 + Với x ∈ (−∞; 1], phương trình trở thành −x + 1 − 2 (−x + 2) + 3 (−x + 3) = 4 ⇔ x = 1 (thỏa mãn). Với x ∈ (1; 2], phương trình trở thành x −1 −2 (−x + 2) + 3 (−x + 3) = 4 ⇔ 4 = 4 (đúng, ∀x ∈ (1; 2]). Với x ∈ (2; 3], phương trình trở thành x − 1 − 2 (x − 2) + 3 (−x + 3) = 4 ⇔ x = 2 (loại). Với x ∈ (3; +∞), phương trình trở thành x − 1 − 2 (x − 2) + 3 (x −3) = 4 ⇔ x = 5 (thỏa mãn). Vậy phương trình có tập nghiệm S = [1; 2] ∪{5}. f) Phương trình tương đương với √ x − 1 + 1 +   √ x − 1 −1   = 2. Với   √ x − 1 −1   ≥ 0 ⇔ x ≥ 2, phương trình trở thành √ x − 1 + 1 + √ x − 1 −1 = 2 ⇔ √ x − 1 = 1 ⇔ x = 2 (thỏa mãn) Với   √ x − 1 −1   < 0 ⇔ 1 ≤ x < 2, phương trình trở thành √ x − 1 + 1 − √ x − 1 + 1 = 2 ⇔ 2 = 2 (đúng, ∀x ∈ [1; 2)) Vậy phương trình có tập nghiệm S = [1; 2]. §3. Phương Trình & Bất Phương Trình Chứa Căn Bài tập 9.9. Giải các phương trình, bất phương trình sau: a) 3 √ 6x − 9x 2 < 3x. b)  2x + √ 6x 2 + 1 = x + 1. c) x − √ x − 1 −7 = 0. d) (D-06) √ 2x − 1 + x 2 − 3x + 1 = 0. Lời giải. a) Bất phương trình tương đương với 6x − 9x 2 < 27x 3 ⇔ 27x 3 + 9x 2 − 6x > 0. Bảng xét dấu x −∞ − 2 3 0 1 3 +∞ VT − 0 + 0 − 0 + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =  − 2 3 ; 0  ∪  1 3 ; +∞  . 9 Nguyễn Minh Hiếu b) Phương trình tương đương với  x + 1 ≥ 0 2x + √ 6x 2 + 1 = x 2 + 2x + 1 ⇔  x ≥ −1 6x 2 + 1 = x 4 + 2x 2 + 1 ⇔        x ≥ −1   x = 0 x = 2 x = −2 (loại) ⇔  x = 0 x = 2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 2. c) Phương trình tương đương với √ x − 1 = x −7 ⇔  x ≥ 7 x − 1 = x 2 − 14x + 49 ⇔    x ≥ 7  x = 5 (loại) x = 10 ⇔ x = 10 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5. d) Phương trình tương đương với √ 2x − 1 = −x 2 + 3x − 1 ⇔  −x 2 + 3x − 1 ≥ 0 2x − 1 = x 4 + 9x 2 + 1 − 6x 3 + 2x 2 − 6x ⇔  −x 2 + 3x − 1 ≥ 0 x 4 − 6x 3 + 11x 2 − 8x + 2 = 0 ⇔  −x 2 + 3x − 1 ≥ 0 (x − 1) 2  x 2 − 4x + 2  = 0 ⇔        −x 2 + 3x − 1 ≥ 0   x = 1 x = 2 + √ 2 (loại) x = 2 − √ 2 ⇔  x = 0 x = 2 − √ 2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 2 − √ 2. Bài tập 9.10. Giải các phương trình, bất phương trình sau: a) √ x 2 − 4x − 12 ≤ x − 4. b) √ x 2 − 4x − 12 > 2x + 3. c) (A-04)  2 (x 2 − 16) √ x − 3 + √ x − 3 > 7 − x √ x − 3 . d) √ x 3 + 1 ≤ x + 1. Lời giải. a) Bất phương trình tương đương với    x − 4 ≥ 0 x 2 − 4x − 12 ≥ 0 x 2 − 4x − 12 ≤ x 2 − 8x + 16 ⇔        x ≥ 4  x ≥ 6 x ≤ −2 x ≤ 7 ⇔ 6 ≤ x ≤ 7 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [6; 7]. b) Bất phương trình tương đương với      2x + 3 < 0 x 2 − 4x − 12 ≥ 0  2x + 3 ≥ 0 x 2 − 4x − 12 > 4x 2 + 12x + 9 ⇔          x < − 3 2  x ≥ 6 x ≤ −2  x ≥ − 3 2 −3 < x < − 7 3 ⇔ x ≤ −2 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −2]. 10 [...]... x ≤ −3 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3] ∪ [1; +∞) √ t≥2 d) Đặt x2 + x + 4 = t (t ≥ 0) Bất phương trình trở thành t2 − 4 − t + 2 ≥ 0 ⇔ t ≤ −1 (loại) x≥0 Với t ≥ 2 ⇒ x2 + x + 4 ≥ 4 ⇔ x ≤ −1 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −1] ∪ [0; +∞) 14 Chuyên đề 9 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số e) Điều kiện: x>0 Đặt x < −1 x+1 = t (t > 0) Bất phương trình trở.. .Chuyên đề 9 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số c) Điều kiện: x ≥ 4 Bất phương trình tương đương với  2 (x2  ⇔ − 16) + x − 3 > 7 − x ⇔ x>5 x ≤ 5√ √ 10 − 34 < x < 10 + 34 − 16) > 10 − 2x ⇔  ⇔ √ x > 5√ ⇔ x > 10 − 34 10 − 34 < x ≤ 5 Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = 10 − d) Bất phương trình tương đương với  3  x +1≥0 x+1≥0... phải là nghiệm phương trình, do đó phương trình có nghiệm x = −1 d) Ta có phương trình hệ quả x2 − 7 =x− x2 ⇒ x 1−2 x− 7 x2 x− 7 7 7 ⇒ x2 − 2 = x2 + x − 2 − 2x 2 x x x =0⇒2 x− 7 7 =1⇒4 x− 2 2 x x x− 7 x2 =1 ⇒ 4x3 − x2 − 28 = 0 ⇒ x = 2 Thử lại ta thấy x = 2 là nghiệm phương trình, do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 Bài tập 9.14 Giải các phương trình, bất phương trình sau: √ √ 2x > 2x + 2 b) √... Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (2; −1) và (x; y) = (−2; 1) 26 2 Chuyên đề 9 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số x3 − y 3 = 2 (4x + y) 3x3 − 3y 3 = 6 (4x + y) (1) ⇔ x2 − 3y 2 = 6 x2 − 3y 2 = 6 (2) Thay (2) vào (1) ta có 3x3 − 3y 3 = x2 − 3y 2 (4x + y) ⇔ x3 + x2 y − 12xy 2 = 0 (∗) Nhận thấy x = 0 không phải nghiệm của hệ Với x = 0, chia hai vế phương trình (∗) cho x3 ta có c) Hệ. .. 4) ⇔ x + 4x + 4 > 2x − 6x + 4 ⇔ 0 < x < 10 Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [2; 10) d) Điều kiện: x ≥ 2 Bất phương trình tương đương với x + 1 + 4 (x − 2) + 4 (x + 1) (x − 2) ≤ 5x + 1 ⇔ x2 − x − 2 ≤ 4 ⇔ −2 ≤ x ≤ 3 Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [2; 3] Bài tập 9.12 Giải các phương trình, bất phương trình sau: √ √ √ b) x + x − 4 ≥ 8 − x a) (D-05) 2 x + 2 + 2 x... 2 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = −∞; − 1 ∪ [3; +∞) ∪ {2} 2 d) Bất phương trình tương đương với (x − 2) x2 + 4 < (x − 2) (x + 2) ⇔ (x − 2) x2 + 4 − x − 2 < 0   x−2>0 x>2 √   x>2 x2 + 4 < x + 2 x2 + 4 < x2 + 4x + 4 ⇔ ⇔ ⇔   x x + 2 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; 0) ∪ (2; +∞) Bài tập 9.13 Giải các phương trình, bất phương trình. .. + 2x − 24 Phương trình trở thành Với t = 3 ⇒ t2 + 2x − 24 + 4x = (x + 2) t ⇔ t2 − (x + 2) t + 6x − 24 = 0 ⇔ √ √ x2 − 2x + 24 = 6 ⇔ x2 − 2x − 12 = 0 ⇔ x = 1 ± 13 √ x−4≥0 Với t = x−4 ⇒ x2 − 2x + 24 = x−4 ⇔ ⇔ x2 − 2x + 24 = x2 − 8x + 16 √ Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 ± 13 Với t = 6 ⇒ t=6 t=x−4 16 x≥4 (vô nghiệm) x = −4 3 Chuyên đề 9 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Bài... (2x − t) 4x2 + 2xt + t2 + 1 = 0 ⇔ t = 2x 4x2 + 2xt + t2 + 1 = 0 (vô nghiệm) 18 Chuyên đề 9 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số √ x≥0 √ 1+ 5 2x ≥ 0 Với t = 2x ⇒ 2x + 1 = 2x ⇔ ⇔x= ⇔ 2x + 1 = 4x2 4 x = 1±4 5 √ 1+ 5 Vậy phương trình có nghiệm x = 4 π c) Nhận thấy 0 ≤ x ≤ 1 nên đặt x = sin t t ∈ 0; Phương trình trở thành 2 √ 1+ 1 − sin2 t = sin t 1 + 2 1 − sin2 t ⇔ √ 1 + cos t = sin... 12 x=1 x = − 25 (loại) 7 Chuyên đề 9 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Với x ≤ −3, phương trình trở thành √ √ √ √ √ √ √ −x − 1 −2x − 6 + 1 − x − 2 −x − 1 = 0 ⇔ −2x − 6 + 1 − x = 2 −x − 1 ⇔ − 2x − 6 + 1 − x + 2 (2x + 6) (x − 1) = 4 (−x − 1) ⇔ 2 ⇔ 4 2x2 + 4x − 6 = x2 − 2x + 1 ⇔ 7x2 + 18x − 25 = 0 ⇔ 2x2 + 4x − 6 = 1 − x x = 1 (loại) x = − 25 7 25 Vậy phương trình có ba nghiệm x =... = −2 3 và (x; y) = 1; − 2 Bài tập 9.29 Giải các hệ phương trình sau: x3 y 3 − 2y 3 = 6 a) 4x2 y − 2y 2 = 7x c) 5 4 (1) (2) 4x2 + y 4 − 4xy 3 = 0 4x2 + 2y 2 − 4xy = 1  2  1 1  x− 1  +x + 3 x x y d)  2 3x + 1 = 4  y2 b) Lời giải a) Nhận thấy y = 0 không phải nghiệm của hệ 28 =0 Chuyên đề 9 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số x3 y 3 − 2y 3 = 6 (1) 2 y 2 − 2y 3 = 7xy