chuyên đề phương trình bất phương trình luyện thi đại học

chuyên đề phương trình bất phương trình luyện thi đại họcchuyên đề phương trình bất phương trình luyện thi đại họcchuyên đề phương trình bất phương trình luyện thi đại họcchuyên đề phương trình bất phương trình luyện thi đại họcchuyên đề phương trình bất phương trình luyện thi đại học

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn PHƯƠNG TRÌNH-BÂT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ A Phương trình - bất phương trình chứa thức I Phương pháp biến đổi tương đương Kiến thức cần nhớ:  a n n a  ab    a, b  a  b  a n  b n a  b  a n 1 b n 1 a  b   a n  b n  a, b  a  b  a n 1  b n 1 Các dạng bản: * Dạng 1:  g  x  (Không cần đặt điều kiện f  x   ) f  x  g  x     f  x  g  x * Dạng 2: f  x   g  x  xét trường hợp:  g  x    g ( x)  TH1:  TH2:   f  x   g  x   f  x    f ( x)   * Dạng 3: f  x   g  x    g  x     f  x  g  x Lưu ý: + g(x) thường nhị thức bậc (ax+b) có số trường hợp g(x) tam thức bậc hai (ax2+bx+c), tuỳ theo ta mạnh dạn đặt điều kiện cho g  x   bình phương vế đưa phương trìnhbất phương trình dạng quen thuộc + Chia đa thức tìm nghiệm: Phương trình a0 x n  a1 x n 1  a2 x n   chia vế trái cho cho x– ta  x     b0 x n 1  b1 x n2  an 1 x  an  có nghiệm x=  bn2 x  bn1   , tương tự cho bất phương  trình * Phương trìnhbất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm nghiệm việc giải theo hướng đúng, không nhẩm nghiệm ta sử dụng phương pháp hàm số để giải tiếp phương pháp hàm số không ta phải quay lại sử dụng phương pháp khác * Phương trìnhbất phương trình bậc 4, lúc ta phải nhẩm nghiệm việc giải phương trình theo hướng đúng, nhẩm nghiệm sử dụng phương trìnhbất phương trình bậc không ta phải chuyển sang hướng khác Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x   x  3x   (ĐH Khối D – 2006) x    x  3x  (*), đặt điều kiện bình phương vế ta được: Biến đổi phương trình thành: x  x  11x  8x   ta dễ dạng nhẩm nghiệm x = sau chia đa thức ta được: (*) (x – 1)2(x2 – 4x + 2) =   Ví dụ 2: Giải bất phương trình:  x  1   x  10   2x , ĐK: x     pt  x2  x    x  5  x   x  ( x  5)  x   5x (1), Với x   âm nên ta bình phương vế: x3 – x2 – 5x –    x  3 x  1  b) Tương tự với dạng: * Ví dụ 1: Giải bất phương trình Giải 1  f  x  g  x * x2  x   x   1 x2  x   x  bất phương trình tương đương với hệ: Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ f  x  g  x hai vế (1) không Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn x  x    3 3 3    x   x   x3 2 x  x   2   2 x  x   x  1  x   Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x  2mx   m  có nghiêm Giải * Nếu m <  phương trình vô nghiệm * Nếu m   phương trình  x22mxm2+4m3=0 Phương trình có =2m24m+3>0 với m Vậy với m  phương trình cho có nghiêm Ví dụ 3: Tìm m để phương trình x  mx   x  có hai nghiệm phân biệt Giải:   x  1 Cách 1: PT   , phương trình (*) có nghiệm:   x   m   x   0, (*)  m  m2  4m  20  m  m2  4m  20  0, x2   Phương trình cho có nghiệm  (*) có 2 m   m  1 nghiệm x  1  x2  1   m  m2  4m  20   2   m   m  4m  20 Chú ý: + x1 > 0, x2 < x1 > x2 a.c < nên pt có nghiệm trái dấu + Cách thường dùng hệ số a dương âm + Cách 2: Đặt t = x + suy x = t – 1, với x  1  t  x1  (*) trở thành:  t  1   m   t  1   (**) Để (*) có nghiệm x  1thì (**) phải có nghiệm t  Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x  mx   x  , (1)  2 x   Giải: pt   để (1) có hai nghiệm thực phân biệt (2) có hai nghiệm lớn  3x   m   x   0,       m    12     1  hay  f     m 2   2 S   2 1 Chú ý : Cách 2: đặt t  x  , để (2) có hai nghiệm lớn  2 1 1    t     m    t     có hai nghiệm thực lớn 2    Các kỹ năng: a Để bình phương vế phương trình – bất phương trình ta biến đổi cho vế không âm hai đặt điều kiện cho vế không âm Ví dụ 1: Giải bất phương trình: x   x   x  (ĐH Khối A – 2005) Vế phải không âm, vế trái chưa nhận xét ta phải biến đổi thành: ta bình phương vế đưa dạng để giải Ví dụ 2: Giải phương trình: x  x  1  x  x    x Giải Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ 1 5x   x   x  Gia sư Thành Được x 1 Điều kiện:  x  2 *  x  www.daythem.com.vn 1  x2  x  x  x  1 x    x  x  x  1 x    x  x  1  x  x  x    x  x  1  x2 8x    Vậy phương trình cho có hai nghiệm x=0, x  (Hãy tìm thêm cách giải khác) Ví dụ 3: Tìm m để phương trình x  mx  x   có nghiệm HD: Chuyển vế, đặt điều kiện, bình phương hai vế tìm x1,2  m  m2  16 Kết hợp với điều kiện ta tìm |m|  b Chuyển phương trình – bất phương trình tích: - Đặt nhân tử chung, đẳng thức Lưu ý: Để sử dụng phương pháp ta phải ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích Ví dụ 4: Giải phương trình: x  x   HD:  Bình phương hai vế  Dùng đẳng thức a2  b2=0  29  Nghiệm x  2, x  x2 x4 Ví dụ 5: Giải bất phương trình: a b x2  3x x2  3x   1 1 x     1  ĐS: a 1x x  pt  x  2x  4  mx  2   Để chứng minh m  , phương trình (1) có  x  x  32  m, (2) nghiệm phân biệt cần chứng minh phương trình (2) có nghiệm khác Thật vậy: đặt f  x   x3  6x2  32, x  , ta có f(2) = 0, lim f  x   , f '  x   3x  12 x  0, x  x  nên f(x) hàm liên tục  2;   đồng biến khoảng suy m  phương trình (2) có nghiệm x0 mà < x0 <   Một số dạng chuyển thành tích: a - c x  b - d  - Dạng: ax  b  cx  d  m Ta biến đổi thành: m( ax  b  cx  d )   ax  b    cx  d  x   3x   Ví dụ: Giải phương trình: x3 ĐS: x=2 - Dạng: u+v=1+uv  (u-1)(v-1)=0 Ví dụ: Giải phương trình: x   x    x  3x  Ví dụ: Giải phương trình: x   x   x3  x - Dạng: au+bv=ab+uv  (ub)(va)=0 Ví dụ 1: Giải phương trình: ĐS: x=0, x=1 x   2x x   2x  x2  4x  Ví dụ 2: Giải phương trình: x3  x  3x   x  x   x  x - Dạng: a3b3  (ab)(a2+ab+b2)=0  a=b Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ ĐS: x=0, x=1 ĐS: x=0, x=1 ĐS: x=0 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Ví dụ: Giải phương trình:  3 x2  x    x  3 3x  x   ĐS: x=1 c Chuyển dạng: A1 + A2 + + An = với Ai  0,  i  n pt tương đương với: A1  0, A2  0, An  Ví dụ 1: Giải phương trình: x  3x   x x   2 x     HD: Phương trình tương đương x2  x x   x   2 x   x   Ví dụ 2: Giải phương trình: Giải ĐS: x=1 4x  y  y   4x2  y Bình phương hai vế ta  x  1   y    2  y  2  x2  y    x  , y  2 d Sử dụng lập phương: Với dạng tổng quát a  b  c ta lập phương hai vế sử dụng đẳng thức 3   a b c 3 a  b  a  b  ab a  b Giải hệ ta có     phương trình tương đương với hệ   a  b  abc  c nghiệm phương trình Ví dụ: Giải bất phương trình x   x   x  ĐS: x  1; x  2; x  e Nếu bất phương trình chứa ẩn mẩu: - TH1: Mẩu dương âm ta quy đồng khử mẩu: Ví dụ 1: Giải bất phương trình: Giải ĐK: x  1  x3  x3  7x x3 1 (ĐH Khối A2004)  x2  16  x    x   x2  16  10  x  x    10  x   10  x    2  x  16   10  x 2   -  x2  16   x5  10  34  x  Vậy tập nghiệm bất phương trình là: x  10  34 TH2: Mẩu âm dương khoảng ta chia thành trường hợp: Ví dụ 2: Giải bất phương trình: a  x  3 x   x  HD: a Xét ba trường hợp x=3, x>3 x[...]... D Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi f  0  m  f  4 Ví dụ 4: Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x  3  m x 2  1 x3 Giải: Phương trình được viết lại dưới dạng: m x2  1 x3 Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của (C): y  và đường thẳng: y = m x2  1 Lập BBT :  x 1/3  y’ + 0  10 y 1 1 KL: m  1  m  10 : phương trình vô nghiệm 1  m  1hoặc m  10 : phương trình. .. nhất 1  m  10 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x  1  3  x   x  1 3  x   m , (1) Giải: ĐK: 1  x  3 Đặt t  x  1  3  x , lập BBT của t(x) với 1  x  3 ta có 2  t  2 1 Khi đó phương trình (1) trở thành:  t2 + t + 1 = m, lập bảng biến thi n của hàm số vế trái với 2 đó kết luận: 1  m  2 Bài tập: Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:... của hàm số vế trái với 2 đó kết luận: 1  m  2 Bài tập: Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Bài 2 Giải các phương trình sau: 1 x2  x  1  x2  x  1  3  1 2 x 1  3  x  3 x x  x  12  12 x  9  x   x2  9x  m  x  13  x   1  5 x  4 x  Hết Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ 11 2  t  2 từ