chuyên đề mặt phẳng trong không gian luyện thi đại học

MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN (GA-12) A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I/. Phương trình mặt phẳng: 1). Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 với A 2 +B 2 +C 2 ≠0 là phương trình tổng quát của mặt phẳng, trong đó n (A;B;C)= r là một vectơ pháp tuyến của nó. 2). Mặt phẳng (P) đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và nhận vectơ n (A;B;C)= r làm vectơ pháp tuyến có dạng : A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0 . 3). Mặt phẳng (P) đi qua M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và nhận 1 2 3 a (a ;a ;a ) = r và 1 2 3 b (b ;b ;b ) = r làm cặp vectơ chỉ phương thì mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến : 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 a a a a a a n a,b ; ; b b b b b b     = =  ÷    ÷   r r r . II/. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng 1). Cho hai mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0 • (P) cắt (Q) ⇔ A : B : C ≠ A’: B’: C’ • (P) // (Q) ⇔ A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’ • (P) ≡ (Q) ⇔ A : B : C : D = A’: B’: C’: D’ 2). Cho hai mặt phẳng cắt nhau : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’= 0 . Phương trình chùm mặt phẳng xác định bởi (P) và (Q) là: m(Ax + By + Cz + D) + n(A’x + B’y + C’z + D’) = 0 (trong đó m 2 + n 2 ≠ 0) III/. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi công thức : 0 0 0 0 2 2 2 Ax By Cz D d(M , ) A B C + + + α = + + IV/. Góc gữa hai mặt phẳng Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’= 0. Ta có : n .n A.A' B.B' C.C' P Q cos cos(n ,n ) P Q 2 2 2 2 2 2 n . n A B C . A' B' C' P Q + + ϕ = = = + + + + uuur uuur uuur uuur uuur uuur (0 0 ≤φ≤90 0 ) • 0 P Q 90 n nϕ = ⇔ ⊥ uur uur ⇔ hai mặt phẳng vuông góc nhau. • Trong phương trình mặt phẳng không có biến x thì mặt phẳng song song Ox, không có biến y thì song song Oy, không có biến z thì song song Oz. 1 B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP I. LẬP MẶT PHẲNG : 1. Lập mặt phảng (P) đi qua điểm ( ) ; ; 0 0 0 M x y z và song song với mặt phẳng (Q) : Ax+By+Cz+D=0 . Cách giải : Cách 1: Vì : (P) //(Q) cho nên ( ) ; ; P Q n n A B C= = uur uur Do đó : (P) : ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0A x x B y y C z z− + − + − = . Cách 2: Mặt phẳng (P) // (Q) cho nên (P) có dạng : Ax+By+Cz+m=0 (1) Do (P) qua ( ) ; ; 0 0 0 M x y z , suy ra thay tọa độ của M vào (1) ta tìm được m . Và có (P) Ví dụ .( Bài 15 –tr99-HH12NC) Lập mặt phẳng (P) đi qua M(3;2;-1) và song song với mặt phẳng (Q) : x-5y+z=0 . Giải Mặt phẳng (P) //(Q) cho nên (P) : x-5y+z+m=0 (1) . (P) đi qua M cho nên : 3-2.5-1+m=0 suy ra m=-8 Vậy (P) : x-5y+z-8=0 . 2. Lập mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C (Không thẳng hàng) Cách giải : • Bước 1: Lấy một trong ba điểm làm gốc , hai điểm còn lại làm hai ngọn của hai véc tơ . Sau đó tính tích của hai véc tơ đó ( Chính là véc tơ pháp tuyến của (P). • Bước 2: Lập (P) đi qua A và có véc tơ pháp tuyến : ,n AB AC   =   r uuur uuur . Ví dụ 1 : ( Bài 15-tr89-HH12NC) . Lập mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(2;0;-1),B(1;-2;3) và C(0;1;2) Giải - Ta có : ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 1; 2;4 , 2;1;3 , ; ; 7;1; 5 1 3 3 2 2 1 AB AC AB AC  − − − −    = − − = − ⇒ = = − −  ÷   − −   uuur uuur uuur uuur . - Vậy (P) đi qua A(2;0;-1) và có véc tơ pháp tuyến : ( ) 7;1; 5n = − − r có phương trình là : -7(x-2)+(y-0)-5(z+1)=0 .Hay (P) : -7x+y-5z +9=0 . Ví dụ 2. ( Bài 5-tr80-HH12CB) . Cho tứ diện ABCD với A(5;1;3),B(1;6;2),C(5;0;4) và D(4;0;6) . a/ Viết phương trình mặt phẳng (ACD) và (BCD) ? b/Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD Giải a/ Viết phương trình mặt phẳng (ACD) và (BCD) - Ta có : ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 1 1 1; 1;3 , 0; 1;1 , ; ; 2;1;1 1 1 1 0 0 1 AD AC AD AC  − − − −    = − − = − ⇒ = =  ÷   − −   uuur uuur uuur uuur . ( ) ( ) ( ) ( ) 6 2 2 4 4 6 4; 6;2 , D 1;0;2 , D ; ; 12; 10; 6 / / 6;5;3 0 2 2 1 1 0 BC B BC B m  − −    ⇔ = − = − ⇒ = = − − − =  ÷   − −   uuur uuur uuur uuur ur - Vậy: (ACD) đi qua A(5;1;3) và có ( ) 2;1;1n = r có phương trình là : 2(x-5)+(y-1)+(z-3)=0 . Hay (P) : 2x+y+z -14=0 . - Và (BCD) đi qua D(4;0;6) và có véc tơ pháp tuyến ( ) 6;5;3m = ur có phương trình là : 6(x-4)+5(y-0)+3(z-6)=0 ; Hay : 6x+5y+3z -42=0 . 2 b/ Lập (P) chứa AB và song song với CD . - Ta có : ( ) ( ) ( ) 5 1 1 4 4 5 4;5; 1 , D 1;0;2 , D ; ; 10;9;5 0 2 2 1 1 0 AB C AB C  − − − −    = − − = − ⇒ = =  ÷   − −   uuur uuur uuur uuur . - (P) đi qua A(5;1;3) và có véc tơ pháp tuyến ( ) 10;9;5n = r có phương trình là : (P): 10(x-5)+9(y-1)+5(z-3)=0 ,Hay : 10x+9y+5z -74=0 . Ví dụ 2. ( Bài 22-tr90-HH12NC). Cho tứ diện ABCD có các tam giác OAB ,OBC,OCA là những tam giác vuông đỉnh O . Gọi , , α β γ lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC),,(OCA) và (OAB) . Bằng phương pháp tọa độ , chứng minh : a/ Tam giác ABC là tam giác nhọn ( Tam giác có ba góc đều nhọn ). b/ CM: 2 2 2 os os os 1c c c α β γ + + = Giải a/ Với hệ tọa độ chọn trên , ta tìm tọa độ các đỉnh A(a;0;0) ,B(0;b;0) và C(0;0;c) . Giả sử : a>b>c Ta có : ( ) ( ) ; ;0 , ;0;AB a b AC a c= − = − uuur uuur 2 2 2 2 2 . cos AB AC a A AB AC a b a c ⇒ = = + + uuur uuur uuur uuur . Với : 2 2 2 2 2 2 2 2 1 os60 2 2 . 2 a a c a b a c a a ≥ = = + + o . Chứng tỏ tam giác ABC có ba góc đều nhọn . b/ Mặt phẳng (ABC): ( ) 1 1 1 1 ; ; ABC x y z n a b c a b c   + + = ⇒ =  ÷   uuuuur . Các mặt phẳng (OBC) ,(OCA) và (OAB) lần lượt có các véc tơ phấp tuyến là các véc tơ đơn vị : ( ) ( ) ( ) 1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1i j k= = = r r r . Theo giả thiết : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 . os os 1 . 1 1 1 n i bc b c a C c a b b c c a n i a b b c c a a b c α α ⇒ = = = ⇔ = + + + +       + +  ÷  ÷  ÷       r r r r ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 . os os 2 . 1 1 1 n j ac a c b C c a b b c c a n j a b b c c a a b c β β ⇒ = = = ⇔ = + + + +       + +  ÷  ÷  ÷       r r r r ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 . os os 3 . 1 1 1 n k ab b a c C c a b b c c a n k a b b c c a a b c γ γ ⇒ = = = ⇔ = + + + +       + +  ÷  ÷  ÷       r r r r Cộng ba kết quả (1),(2) và (3) vế với vế ta có điều phải chứng minh . 3. Lập mặt phẳng đi qua hai điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng (Q) .Hoặc : (P) đi qua hai điểm A,B và song song với đường thẳng đi qua hai điểm C,D . Cách giải • Bước 1: Tính , ; Q Q P AB n AB n n   ⇒ =   uuur uur uuur uur uur . 3 O A B C • Bước 2: Lập (P) đi qua A và có véc tơ pháp tuyến P n r Ví dụ 1: ( Bài 15-tr89-HH12NC) Lập mặt phẳng đi qua hai điểm A(0;1;1) ,B(-1;0;2) và vuông góc với mặt phẳng (Q) có phương trình : x-y+z+1=0 . Giải - Ta có : ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1; 1;1 , 1; 1;1 , ; ; 0;2;2 1 1 1 1 1 1 Q Q AB n AB n  − − − −    = − − = − ⇒ = =  ÷   − −   uuur uur uuur uur . - Vậy (P) đi qua A(0;1;1) và có véc tơ pháp tuyến ( ) 0;1;1n = r ( ) : 1 1 0 2 0P y z y z⇒ − + − = ⇔ + − = . Chú ý : * Riêng với dạng này có thể hiểu : Lập (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q) . Ví dụ 2. ( Bài 47-tr126-BTHH12NC) . a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng (Q): 2x+y- 5 z =0. b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(3;0;0),B(0;0;1) và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc 60 o . Giải a/ Do (P) chứa trục Oz nên có dạng : Ax+By=0 ( ) ; ;0 P n A B⇒ = Ta có ( ) 2;1; 5 Q n = − uur . Theo giả thiết : ( ) 2 2 2A 1 os , os60 2 4 1 5 P Q B c n n c A B + = = = + + + o uur uur . Do đó : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2A 10. 6A 16A 6 0 1 1 : 0 3 3 1 3 : 3x 0 B A B B B A P x y B A P y ⇔ + = + ⇒ + − =  = ⇒ + =  ⇒ = →  = − ⇒ − + =   b/ Tương tự : Mặt phẳng (P) đi qua A,C và tạo với mp(Oxy) góc 60 o , nên (P) cắt Oy tại B(0;b;0) khác gốc tọ độ O ( b 0≠ ). Khi đó (P) : ( ) 1 x 3 3 z 3 0 ;3;3 3 1 Q x y z b y b b n b b b + + = ⇔ + + − = ⇒ = uur . Theo giả thiết : ( ) 2 2 3 1 3 os , 2 26 9 9 P b c n k b b b = = ⇒ = ± + + uur r . Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn : 26 3z 3 0 26 3z 3 0 x y x y  − + − =  + + − =   II. CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG –VUÔNG GÓC HAY TRÙNG NHAU . Bài toán : Cho hai mặt phẳng (P) có P n uur =(A;B;C) và mặt phẳng (Q) có Q n uur =(A’;B’;C’). Chứng minh rẳng : a/ (P)//(Q) : Điều kiện : ' ' ' ' A B C D A B C D = = ≠ b/ Nếu (P) ( ) AA' ' ' 0Q BB CC⊥ ⇒ + + = . 4 c/ Nếu (P) trùng (Q) thì điều kiện : ' ' ' ' A B C D A B C D = = = Ví dụ 1: ( Bài 10-tr81-HH12CB) . Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. a/ Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song với nhau ? b/ Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó ? Giải a/ Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song với nhau. - Chọn hệ tọa độ Oxyz : AB trùng với Ox,AD trùng với Oy và AA’ trùng với Oz . Khi đó tọa độ các đỉnh của hình lập phương là : A(0;0;0) ,B(1;0;0) ,D(0;1;0) A’(0;0;1) B’(1;0;1) ,D’(0;1;1) C(1;1;0) và C’(1;1;1) . -Ta có : ( ) ( ) ( ) ' 1;0;1 , D' 0;1;1 ', D' 1, 1,1AB A AB A   = = ⇒ = − −   uuuur uuuur uuuur uuuur ( ) ( ) ( ) ' 0; 1; 1 , ' 1;0 1 ' , ' 1;1; 1C B C D C B C D   = − − = − − ⇒ = −   uuuur uuuur uuuur uuuur - Hai mặt phẳng đi qua hai điểm A và C’ không trùng nhau và có hai véc tơ pháp tuyến song song . Cho nên chúng song song nhau . b/ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng bằng khoảng cách từ C’(1;1;1) đến mặt phẳng (AB’D’) : x+y-z=0 . Suy ra ( ) 1 1 1 1 '; ' ' 1 1 1 3 d C AB D + − = = + + . Ví dụ 2. ( Bài 49-tr126-BTHH12NC) . Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0), B(a;0;0),D(0;a;0),A’(0;0;b) với a,b là những số dương và M là trung điểm của CC’ a/ Tính thể tích tứ diện BDA’M ? b/ Tìm tỉ số a/b để mặt phẳng (A’BD) vuông góc với mp(MBD) ? Giải a/ Từ giả thiết ta tìm tọa độ các đỉnh còn lại : C’(a;a;b),M( a;a;b/2) . Ta có : ( ) 2 D ; ;0 , ; ; 2 2 ab ab B a a BM a   = − = −  ÷   uuur uuuur . Vậy : 2 D ' 1 D, 6 4 B A M a b V B BM   = =   uuur uuuur . b/ Mặt phẳng (A’BD) có véc tơ pháp tuyến : ( ) 2 1 D, ' ; ;n B BA ab ab a   = =   ur uuur uuur Mặt phẳng (MBD) có véc tơ pháp tuyến 2 2 D, ; ; 2 2 ab ab n B BM a     = = −  ÷     uur uuur uuuur Để hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì : 2 2 2 2 4 1 2 0 0 1 2 2 a b a b a n n a b ⇒ = ⇔ + − = ⇔ = uruur Ví dụ 3.( Bài 54-tr127-BTHH12NC). Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. a/ Tính góc tạo bới các đường thẳng AC’ và A’B 5 A B C D A’ B’ C’ D’ A B C D A’ B’ C’ D’ M b/ Gọi M;N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’, BC, DD’. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mặt phẳng (MNP) . c/ Tính thể tích khối tứ diện AMNP ? Giải a/ Tính góc tạo bới các đường thẳng AC’ và A’B Từ giả thiết , ta tìm tọa độ các đỉnh : A’(0;0;0) B’(1;0;0) ,D’(0;1;0) ,A(0;0;1) C(1;1;1),B(1;0;1) D(0;1;1) và C’(1;1;0) . Từ đó ta có : ( ) ( ) ' 1;1; 1 , ' 1;0;1 '. ' 0 ' 'AC A B AC A B AC A B= − = ⇒ = ⇔ ⊥ uuuur uuuur uuuur uuuur b/ Chứng minh AC’vuông góc với (MNP) . Ta có M(1/2;0;0),N=( 1;1/2;1) , P=(0;1;1/2) . Cho nên : 1 1 ; ;1 . ' 0 ' 2 2 MN MN AC MN AC   = ⇒ = ⇔ ⊥  ÷   uuuur uuuur uuuur . 1 1 ;1; . ' 0 ' 2 2 MP MP AC MP AC   = − ⇒ = ⇔ ⊥  ÷   uuur uuur uuuur . Chứng tỏ : AC’ vuông góc với mp(MNP ). c/ Tính thể tích khối tứ diện AMNP. Ta có : 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 2 2 2 2 ;0;1 , ; ; ; ; 1 1 1 1 2 4 4 4 1 1 2 2 2 2 MA MN MA    ÷        ÷ = − ⇒ = = −  ÷  ÷        ÷ − −  ÷   uuur uuuur uuur . Do đó : 1 1 9 3 , . 6 6 8 16 AMNP V MN MP MA   = = =   uuuur uuur uuur III. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG – GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP a/ Lập mặt phẳng (P) cách mặt phẳng (Q) cho sẵn một khoảng d cho trước . b/ Lập mặt phẳng (P) cách đều hai mặt phẳng cho sẵn c/ Lập mặt phẳng (P) đi qua hai điểm và tạo với mặt phẳng (Q) cho sẵn một góc bằng 0 A , hay lập lập (P) chứa đường thẳng d và tạo với (Q) một góc 0 A . CÁCH GIẢI a/ Cho mặt phẳng (Q) có phương trình : Ax+By+Cz+D=0 , và điểm ( ) 0 0 0 ; ;M x y z . Lập mặt phẳng (P) cách mặt phẳng (Q) một khoảng bằng d . Giải • Mặt phẳng (P) có dạng : Ax+By+Cz+D’=0 . • Theo giả thiết thì : 2 2 2 2 2 2 ' ' . D D d D D d A B C A B C − = ⇒ − = + + + + . Từ đó tìm được hai giá trị của D’ ( có nghĩa là có hai mặt phẳng ). • Thay D’ tìm được vào (P) . b/ Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) , lập phương trình mặt phẳng (R ) cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q). - Trường hợp (P) và (Q) song song : ( ) : Ax z 0 ( ) : Ax z ' 0 P By C D Q By C D + + + =  + + + =  . Giải • Mặt phẳng (R ) có dạng : Ax+By+Cz+m=0 (1) 6 D B C A’ B’ C’ D’ N P A • Nếu (R ) cách đếu (P) và (Q) thì : 'm D m D m− = − ⇒ .Hay : m= ' 2 D D+ • Thay m tìm được vào (1) ta suy ra (R ). - Trường hợp (P) cắt (Q) theo một đường thẳng . ( ) : Ax z 0 ( ) : ' ' ' ' 0 P By C D Q A x B y C z D + + + =   + + + =  Giải • Nếu M(x;y;z) nằm trên (R ) thì khoảng cách từ M đến hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng nhau : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Ax z A'x ' 'z ' Ax z A'x ' 'z ' ' ' ' ' ' ' By C D B y C D By C D B y C D A B C A B C A B C A B C + + + + + + + + + + + + = ⇔ = ± + + + + + + + + . • Từ đó suy ra có hai mặt phẳng . Hai mặt phẳng này chính là hai mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi hai mặt phẳng cắt nhau . c/ Cho mặt phẳng (Q): Ax+By+Cz+D=0 và hai điểm M( ( ) 1 1 1 2 2 2 ; ; ), ; ;x y z N x y z . Lập mặt phẳng (P) chứa M,N và tạo với (Q) một góc 0 A . Giải • Tính : ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 ; ; , ; ;MN x x y y z z n A B C= − − − = uuuur r • Theo giả thiết : ( ) ( ) 0 . os , cos * . MN n c MN n A MN n = = uuuur r uuuur r uuuur r . • Từ (*) ta lập phương trình Ví dụ 1.(Bài 19-tr90-HH12NC). Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng (P) và (P’) trong các trường hợp sau a/ (P) : 2x-y+4z+5=0 , (P’) : 3x+5y-z-1=0. b/ (P): 2x+y-2z-1=0 , (P’): 6x-3y+2z-2=0 c/ (P): x+2y+z-1=0 , (P’): x+2y+z+5=0 . Giải Gọi M(x;y;z) là điểm bất kỳ trong không gian , theo giả thiết : a/ Ta có : ( ) ( ) 15 2x 4z 5 3x 5 1 2x 4z 5 3x 5 1 5 4 1 16 9 25 1 15 2x 4z 5 3x 5 1 5 y y z y y z y y z  − + + = + − −  − + + + − −  = ⇔  + + + + − + + = − + − −   b/ Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 7 2x 2z 1 3 6x 3 2z 2 2x 2z 1 6x 3 2z 2 3 7 7 2x 2z 1 3 6x 3 2z 2 y y y y y y + − − = − + − + − − − + − = ⇔  + − − = − − + −   c/ (P) : x+2y+z+m=0 (1) . Theo giả thiết : 5 1 5 1 2m m m m m− = + ⇔ − = − − ⇒ = . Vậy (P) : x+2y+z+2=0 , cách đều hai mặt phẳng . Ví dụ 2. (ĐH-KA-2006). Trong không gian Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0),B(1;0;0) ,D(0;1;0),A’(0;0;1) . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD . a/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN b/ Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α , biết 1 os 6 c α = . 7 S A B CD I O M Giải : Tọa độ của các đỉnh còn lại : C(1;1;0),B’(1;01),D’(0;1;1) C’(1;1;1) . a/ Ta có : ( ) ( ) 1 ' 1;1;1 , 0;1;0 , ' ;0;1 2 A C MN A M   = = =  ÷   uuuur uuuur uuuuur Do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN là : ( ) ' , ' ' , ' , A C MN A M d A C MN A C MN     =     uuuur uuuur uuuuur uuuur uuuur Hay : d(A’C,MN)= 2 2 2 1 1 1 1 1 3 2 1 0 0 1 3 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1   −  ÷ −   = = + + + . b/ Mặt phẳng (Oxy) có ( ) 0;0;1n k= = r r . Mặt phẳng (P) có dạng : ax+by+cz+d=0 . (P) qua A’(0;0;1) thì : c+d=0 (P) qua C(1;1;0) thì : a+b+d=0 . Từ đó suy ra : c=-d .(P) : ax+by+cz-c=0 (1) Như vậy : ( ) ; ; P n a b c= uur . Theo giả thiết : ( ) . 1 1 2 2 2 2 2 2 2 os 6 5 2 2 2 2 6 6 n k c P c c a b c a b c n k a b c P α = = ⇔ = ⇔ = + + ⇔ + = + + uuurur uuur ur Như vậy : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 5 2 0 5 b a c a b c b a c b a c a c a c a b c a ac c a a c c                     = − + = = − = − ⇔ ⇔ ⇔ + − = + = − − = + − = 2 ( ):ax 2a 0 2 1 0 ( ) :2 x z 0 2x 1 0 2 2 b a c b a P y az a x y z c a c a b a c b c P c cy c c y z a c a c                           = − = ⇒ + − + = ⇔ + − + = = − = − ⇒ ⇔ = − = ⇒ + + − = ⇔ + + − = = = Ví dụ 3.( Bài 53-tr127-BTHH12NC) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h . Gọi I là trung điểm của cạnh bên SC . Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABI). Giải . Ta chọn hệ tọa độ : OB trùng với Ox,OC trùng với Oy và OS trùng với Oz .Do đó tọa độ các đỉnh xác định bởi : 8 M z y x A B C D A’ B’ C’ D’ N 2 2 2 2 ;0;0 , ;0;0 , 0; ;0 , ;0;0 2 2 2 2 a a a a B C A D         − −  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷         H(0;0;h). và 2 ;0; 4 2 a h I    ÷  ÷   .M là trọng tâm tam giác SAC cho nên M(0;0;h/3) Mặt phẳng (ABI) chính là mặt phẳng (ABM) . Theo phương trình đường thẳng đoạn chắn , ta có (ABM): ( ) 2 2 2a 1 0 ,( ) 2 2 4 9a 3 2 2 x y z h d S ABM h a a h − + − = ⇒ = + BÀI TẬP TỰ LUYỆN : Bài 1. Lập phương trình tổng quát của ( ) mp α đi qua ( ) 2;1; 1A − và vuông góc với đường thẳng xác định bởi 2 điểm ( ) ( ) 1;0; 4 , 0; 2; 1B C− − − − . Bài 2. Lập phương trình tổng quát của ( ) mp α đi qua hai điểm ( ) ( ) 2; 1;4 , 3;2; 1A B− − và vuông góc với ( ) : 2 3 0mp x y z β + + − = . Bài 3. a) Lập phương trình tổng quát của ( ) mp α đi qua ( ) 1;0;5A và song song với ( ) : 2 17 0mp x y z γ − + − = . b) Lập phương trình ( ) mp β đi qua 3 điểm ( ) ( ) ( ) 1; 2;1 , 1;0;0 , 0;1;0B C D− và tính góc nhọn ϕ tạo bởi 2 ( ) mp α và ( ) β . Bài 4. Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng ( ) 2 0 : 3 2 3 0 x z x y z − =  ∆  − + − =  và vuông góc với ( ) : 2 5 0mp P x y z− + + = . Bài 5. Viết phương trình ( ) mp P chứa Ox và tạo với ( ) : 2 5 0mp x y z α + − = một góc 0 60 . Bài 6. Trong không gian Oxyz . a) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng qua ( ) ( ) 0;0;1 , 3;0;0M N và tạo với ( ) mp Oxy một góc 3 π . b) Cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) ;0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c với , , 0a b c > thay đổi luôn luôn thỏa: 2 2 2 3a b c+ + = . Xác định , ,a b c sao cho khoảng cách từ O đến ( ) mp ABC đạt GTLN. Bài 7. Viết phương trình ( ) mp α chứa gốc tọa độ O và vuông góc với 2 ( ) : 7 0mp P x y z− + − = và ( ) :3 2 12 5 0Q x y z+ − + = . Bài 8. Cho ( ) ( ) ( ) 5;1;3 , 1;6;2 , 5;0;4A B C . a) Viết phương trình ( ) mp ABC . Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến ( ) mp ABC . b) Viết phương trình mặt phẳng qua ,O A và song song với BC. c) Viết phương trình mặt phẳng qua ,C A và vuông góc với ( ) : 2 3 1 0mp x y z α − + + = . d) Viết phương trình mặt phẳng qua O và vuông góc với ( ) mp α và ( ) mp ABC . e) Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của 2 ( ) mp α , ( ) ABC và qua ( ) 1;2;3I − . Bài 9. Xác định các tham số m, n để mặt phẳng 5 4 0x ny z m+ + + = thuộc chùm mặt phẳng có phương trình: ( ) ( ) 3 7 3 9 3 5 0x y z x y z α β − + − + − − + = . 9 Bài 10. Trong không gian Oxyz cho ( ) ( ) : 2 1 1 0 m mp P x y z m x y z+ + + + + + + = với m là tham số. a) Chứng minh rằng với mọi m, ( ) m mp P luôn đi qua đường thẳng ( ) d cố định, b) Tìm m để ( ) m mp P vuông góc với ( ) 0 : 2 1 0P x y z+ + + = . c) Tìm khoảng cách từ O đến đường thẳng ( ) d . Bài 11. Trong không gian Oxyz cho 2 ( ) ( ) : 2 3 1 0, : 5 0mp x y z x y z α β − + + = + − + = và điểm ( ) 1;0;5M . a) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( ) mp α . b) Viết phương trình ( ) mp P đi qua giao tuyến ( ) d của ( ) α và ( ) β đồng thời vuông góc với ( ) :3 1 0mp Q x y− + = . Bài 12. Cho ( ) ( ) ( ) 1;1;3 , 1;3;2 , 1;2;3A B C− − . a) Kiểm chứng ba điểm A, B, C không thẳng hàng và viết phương trình ( ) mp P chứa 3 điểm này. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến ( ) mp P . b) Tính ABC S ∆ và tính thể tích tứ diện OABC. Bài 13. Cho ( ) ( ) ( ) 2;0;0 , 0;3;0 , 0;0;3A B C . Các điểm M, N lần lượt là trung điểm OA và BC; P, Q là 2 điểm trên OC và AB sao cho 2 3 OP OC = và 2 đường thẳng MN, PQ cắt nhau. Viết phương trình ( ) mp MNPQ và tìm tỉ số AQ AB . Bài 14. Trong không gian Oxyz cho ( ) ( ) ( ) ( ) ;0;0 , 0; ;0 , ; ;0 , 0;0;A a B a C a a D d với 0, 0a d> > . Gọi là hình chiếu vuông góc của O xuống hai đường thẳng DA, DB. a) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng OA, OB. Chứng minh rằng mặt phẳng đó vuông góc CD. b) Tính d theo a để số đo · 0 45AOB = . Bài 15. Tìm trên trục tung các điểm cách đều 2 ( ) ( ) : 1 0, : 5 0mp x y z x y z α β + − + = − + − = . Bài 16. a) Tính góc của 2 ( ) mp P và ( ) Q cùng đi qua điểm ( ) 2;1; 3I − , ( ) P chứa trục Oy, ( ) Q chứa trục Ox. b) Tìm tập hợp các điểm cách đều 2 ( ) mp P , ( ) Q nói trên. Bài 17. Trong không gian Oxyz. Xét AOB∆ đều, nằm trong ( ) mp Oxy có cạnh a, đường thẳng AB song song trục tung. Điểm A nằm trên phần tư thứ nhất trong ( ) mp Oxy . Cho 0;0; 3 a S    ÷   . a) Xác định A, B và trung điểm E của OA, viết phương trình ( ) mp P chứa SE và song song với trục hoành. b) Tính ( ) ( ) ;d O P . Suy ra ( ) ;d Ox SE . Bài 18. Trong không gian Oxyz cho các điểm ( ) ( ) ( ) 1;4;5 , 0;3;1 , 2; 1;0A B C − và ( ) :3 3 2 15 0mp P x y z− − − = . Gọi G là trọng tâm của ABC∆ . Chứng minh điều kiện cần và đủ để điểm M nằm trên ( ) mp P 10 . MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG – GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP a/ Lập mặt phẳng (P) cách mặt phẳng (Q) cho sẵn một khoảng d cho trước . b/ Lập mặt phẳng (P) cách đều hai mặt phẳng cho. Q 90 n nϕ = ⇔ ⊥ uur uur ⇔ hai mặt phẳng vuông góc nhau. • Trong phương trình mặt phẳng không có biến x thì mặt phẳng song song Ox, không có biến y thì song song Oy, không có biến z thì song song. MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN (GA-12) A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I/. Phương trình mặt phẳng: 1). Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz +