chuyên đề mặt cầu oxyz , luyện thi đại học phương trình mặt cầuchuyên đề mặt cầu oxyz , luyện thi đại học phương trình mặt cầuchuyên đề mặt cầu oxyz , luyện thi đại học phương trình mặt cầuchuyên đề mặt cầu oxyz , luyện thi đại học phương trình mặt cầuchuyên đề mặt cầu oxyz , luyện thi đại học phương trình mặt cầuchuyên đề mặt cầu oxyz , luyện thi đại học phương trình mặt cầu
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn CHUYÊN ĐỀ VỀ MẶT CẦU A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa : * Mặt cầu tập hợp điểm M cách điểm I cố định khoảng không đổi * Điểm I cố định gọi tâm mặt cầu * Khoảng cách không đổi R : Gọi bán kính mặt cầu Phương trình mặt cầu : - Giả sử điểm cố định I=(a;b;c) R khoảng khơng đổi M=(x;y;z) theo định nghĩa : IM R x a y b z c 2 R x a y b z c R2 2 - Nếu khai triển (1) ta có : x y z 2ax 2by 2cz d a b c R d 1 2 - Như (1) (2) gọi phương trình tổng quát mặt cầu Riêng trường hợp phương trình (2) muốn phương trình mặt cầu phải thỏa mãn điều kiện : R a b2 c2 d * Điều kiện cần đủ để mặt phẳng (P) : Ax+By+Cz+D=0 tiếp xúc với cầu (S) : Khoảng cách từ tâm I cầu đế mặt phẳng (P) phải bán kính (S) : h I; P aA bB cC D A2 B C R 3 Khi mặt phẳng (P) gọi tiếp diện cầu (S) B MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP BÀI TOÁN 1: LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Để lập phương trình mặt cầu ta phải biết tọa độ tâm I cầu : ( Có ba ẩn số - ba tọa độ I ) biết bán kính R mặt cầu , có bốn ẩn số Vì tốn cho ta phải thiết lập bốn phương trình ta giải Đặc biệt tâm I mặt cầu mà nằm đường thẳng d , ta chuyển đường thẳng d sang tham số , ba tọa độ I ta biểu diễn qua ẩn t , sau ta cần tìm phương trình đủ Sau tham khảo số dạng toán hay gặp kỳ thi tôt nghiệp thi đại học năm gần Lập (S).đi qua bốn điểm : Bước 1: Viết phương trình (S) dạng (2) Bước 2: Cho (S) qua bốn điểm ta bốn phương trình Bước 3: Giải hệ bốn phương trình tìm , suy bốn ẩn : a,b,c d Bước 4: Thay bốn ẩn tìm vào (2) ta suy phương trình (S) VÍ DỤ MINH HỌA Trang Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Ví dụ ( TN-02-03) Trong khơng gian với tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A,B,C,D có tọa độ xác định hệ thức A(2;4;-1) , OB i j k ; C (2; 4;3); OD 2i j k 1/ Chứng minh : AB AC, AC AD, AD AB Tính thể tích khối tứ diện ABCD 2/ Viết phương trình tham số đường vng góc chung hai đường thẳng AB CD Tính góc đường thẳng mặt phẳng (ABD) Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D Viết phương trình tiếp diện cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD) GIẢI 1/ Chứng minh : AB AC, AC AD, AD AB Tính thể tích khối tứ diện ABCD Ta có : A(2;4;-1),B(1;4;-1),C(2;4;3) D(2;2;-1) suy : AB 1;0;0 AB AC AC 0;0; AC AD AB AC; AC AD, AD AB AD AB AD 0; 2;0 2/ Viết phương trình tham số đường vng góc chung hai đường thẳng AB CD Tính góc đường thẳng mặt phẳng (ABD) y Do đường vng góc chung : D N A E I z J x C B 0 1 1 AB u AB, CD ; ; CD 2 4 4 0 2 x 0; 4; / / u 0; 2; 1 : y 2t z 1 t Vì : CD 0; 2; 4 qua A(2;4;-1) - Mặt phẳng (ABD) qua A(2;4;-1) có n AC 0;0; / / k 0;0;1 ABD : z - Gọi ; ABD sin cos u , k u k u k 1 1.1 Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D Viết phương trình tiếp diện cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD) Cách 1: Gọi (S) : x y z 2ax-2by 2cz d a b c R d - (S) qua A(2;4;-1) suy : 4a +8b-2c-d= 21 (1) - (S) qua B(1;4;-1) suy : 2a +8b-2c-d= 18 (2) - (S) qua C(2;4;3) suy : 4a +8b+6c-d= 29 (3) Trang Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn - (S) qua D(2;2;-1) suy : 4a +4b-2c-d= (4) Như giải hệ bốn phương trình ta có : a ; b 4, c 1; d S x y z 3x y z 2 Cách 2: - Tâm đường tròn đáy tam giác (ABC) J trung điểm BC , suy J( ; 4;1 ) - Lập phương trình đường thẳng d qua J vng góc với (ABC) d có véc tơ x phương u k 0;0;1 : y z 1 t - Lập phương trình mặt phẳng (P) qua K(2;3;-1) trung điểm AD vng góc với AD suy (P) có véc tơ pháp tuyến k 0;0;1 P : z - Tâm I cầu (S) giao d với (P) I có tọa độ nghiệm hệ : x 3 y t t I ; 4;1 2 z 1 t z 2 3 1 - Tính bán kính R IA = S : x y 4 z 2 2 Ví dụ 2.( TN : 2003-2004 ) Trong không gia tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(1;-1;2),B(1;3;2),C(4;3;2) D(4;-1;2) Chứng minh A,B,C,D bốn đỉnh tứ diện Gọi A’ hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng Oxy Hãy viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A’,B,C,D Viết phương trình tiếp diện (P) mặt cầu (S) điểm A’ GIẢI Chứng minh A,B,C,D bốn đỉnh tứ diện AB 0; 4;0 - Ta có : AC 3; 4;0 AB, AC AD A,B,C,D đồng phẳng AD 3;0;0 Gọi A’ hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng Oxy Hãy viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A’,B,C,D - Nếu A’ hình chiếu A (Oxy) A’(1;-1;0) - Gọi (S) mặt cầu qua bốn điểm (S): Trang Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn x y z 2ax-2by 2cz d a b c R d * - (S) qua A’(1;-1;0) : 1+1-2a+2b+d=0 ; hay : 2a-2b-d=2 (1) - (S) qua B(1;3;2) : 1+9+4-2a-6b-4c+d=0 ; hay : 2a+6b+4c-d=14 (2) -(S) qua C(4;3;2) : 16+9+4-8a-6b-4c+d=0 ; hay : 8a+6b+4c-d=29 (3) -(S) qua D(4;-1;2) : 16+1+4-8a+2b-4c+d=0 ; hay : 8a-2b+4c-d =21 (3) Từ bốn phương trình ta có hệ Giải hệ ta tìm : a=5/2,b=2,c=1 d=-1 Thay vào (*) : S : x y z 5x-4 y 2z-1 Viết phương trình tiếp diện (P) mặt cầu (S) điểm A’ Nếu (P) tiếp diện (S) A’(1;-1;0) : IA ;3;1 / / n 3;6; làm véc tơ pháp 2 tuyến Cho nên (P): 3(x-1)+6(y+1)+2z=0 ; Hay (P): 3x+6y+2z+3=0 Ví dụ 3.(ĐH-KD-2008) Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(3;3;0),B(3;0;3),C(0;3;3),D(3;3;3) Viét phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D ? GIẢI Gọi phương trình (S) : x y z 2ax 2by 2cz d 2 * Nếu (S) qua bốn điểm A,B,C,D ta thay tọa độ bốn điểm vào (*) ta có hệ : a 6b 6c d 18 a b 2 6a 6c d 18 d 3 3 3 27 b S : x y z 2 2 2 6b 6c d 18 6a c 6a 6b 6c d 27 6b d BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài ( ĐHQG-KA-98 ) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho A(a;0;0),B(o;b;0),C(o;o;c) ( a,b,c>0 ) Dựng hình hộp chữ nhật có O,A,B,C làm bốn đỉnh Gọi D đỉnh đối diện O Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABD) Tìm tọa độ hình chiếu C lên mặt phẳng (ABD) Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC ? Bài 2.( HVCNBCVT-99) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a với A(a;0;0) ,D(0;0;0),C(0;a;0),D’(0;0;a) Gọi M trung điểm AD, N tâm hình vng CC’D’D Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BC’MN ? Gọi (P) mặt phẳng qua (BMN) Tính diện tích thiết diện hình lập phương tạo bới mặt phẳng (BMN) ? Bài 3.( HVHCQG-2000) Trang Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Trong không gian Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cho A trùng với gốc tọa độ O ,B(1;0;0),D(0;1;0),A’(0;0;1) Gọi M trung điểm AB , N tâm hình vng ADD’A’ Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm C,D’M,N ? Tìm bán kính đường trịn (C ) giao (S) với mặt mặt cầu (S’) qua A’BC’D ? Tính diện tích thiết diện hình lập phương tạo mặt phẳng (CMN) Bài ( ĐHAn Giang-2001) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên BB’,CC’,DD’ Với AB=a ,hai điểm M,N CC’sao cho CM=MN=NC’ Xét mặt cầu (K)đi qua bốn điểm A,B’M N Chứng minh điểm A’,B thuộc mặt cầu (K) Tính độ dài bán kính mặt cầu (K) Bài ( BK-KD-2011) Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC cạnh a Trên dường thẳng vng góc với mặt phẳng (P) B C lấy hai điểm D E nằm phía mp(P) cho BD a , CE a Tính độ dài cạnh AD ,AE DE tam giác ADE Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE ? Bài 6.(ĐHCĐ-2001) Trong khơng gian Oxyz , cho A(3;0;0),B(0;3;0),C(0;0;3) H hình chiếu vng góc O mặt phẳng (ABC) Tính diện tích tam giác ABC độ dài OH Gọi D điểm đối xứng với O qua H Chứng minh tứ diện ABCD tứ diện Tính thể tích tứ diện ABCD ? Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ? Bài ( ĐHKTCN-2001) Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A(3;6;-2),B(6;0;1),C(-1;2;0),D(0;4;1) Chứng minh ABCD tứ diện Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ? Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ? Tìm tâm bán kính đường trịn ? Bài ( CĐKTKT-2004) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm S(2;2;6),A(4;0;0),B(4;4;0),C(0;4;0) Chứng minh S.ABCO hình chóp tứ giác ? Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCO ? BÀI TỐN 2: LẬP MẶT CẦU (S) CÓ LIÊN QUAN ĐẾ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN I LẬP PHƯƠNG TRÌNH (S) BIẾT (S) QUA BA ĐIỂM A,B,C VÀ TÂM NẰM TRÊN MỘT MẶT PHẲNG (P) CHO SẴN HOẶC TIẾP XÚC VỚI (P) CÁCH GIẢI Trang Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Bước 1: Viết phương trình mặt cầu dạng tổng quát , sau cho (S) qua ba điểm A,B,C ta ba phương trình Bước 2: Thay tạo độ tâm I với a,b,c vào phương trình mặt phẳng (P) ta phương trình thứ tư Vậy ta có hệ bốn phương trình bốn ẩn Bước 3: Giải hệ , ta suy a,b,c d Thay vào phương trình tổng qt ta có phương trình (S) VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1.(ĐH-KD-2004 ) Cho ba điểm A(2;0;1),B(1;0;0) ,C(1;1;1) mặt phẳng (P): x+y+z-2=0 Viết phương trình mặt cầu (S) qua A,B,C có tâm thuộc (P) GIẢI 2 Mặt cầu (S) có dạng : x y z 2ax 2by 2cz d * (S) qua A,B,C ta thay tọa độ A,B,C vào (*) ta hệ ba phương trình : 4a 2c d 2a 2c c 2a d d 2a d 2 S : x 1 y z 1 2a 2b 2c d b c b a b c a a Ví dụ 2.Lập mặt cầu (S) qua ba điểm A(-2;4;1) ,B(3;1;-3),C(-5;0;0) có tâm thuộc mặt phẳng (P) : 2x+y-z+3=0 GIẢI Gọi (S) có tâm I(a;b;c) bán kính R Nếu (S) qua A,B,C có tâm thuộc mặt phẳng (P) ta có hệ : 4a+8b+2c-d=21 A S 4a+8b+2c-d=21 4a+8b+2c-d=21 a b 2 6a 2b 6c d B S 10a 6b 8c 21 3a 4b c 10a d 25 C S 3a 4b c 3b c c 2a b c I P 6a 7b 3c 24 34a=34 d 35 Vậy mặt cầu (S) có phương trình x2 y z 2x y 6z 35 Chú ý : Dạng tốn cịn có dạng Lập mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) cho sẵn CÁCH GIẢI Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I vng góc với (P) ud nP Bước 2: Tìm tọa độ H giao d với (P) ( H tiếp diểm ) Bước 3: Tính độ dài IH = R VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): 2x+y-z+5=0 điểm I Trang P H Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn A(0;0;4),B(2;0;0) Viết phương trình mặt cầu qua O,A,B tiếp xúc với mặt phẳng (P) GIẢI Cách 1: Gọi (S) có tâm I(a;b;c) bán kính R có dạng tổng quát : Nếu (S) qua O,A,B ta có hệ ba phương trình : d a 8c d 16 c c b a a 4a-d=4 2a b c c 2 2 2 b 10 b b b d R 11 Vậy (S) : x 1 y 1 z Cách 2: Nhận xét : A ,B nằm hai trục Ox Oz , OAB thuộc mặt phẳng (Oxz) vng góc với trục Oy Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OAB trung điểm M(1;0;2) AB Lập đường thẳng d qua M vng góc với mp(OAB) ( Là trục đường tròn qua OAB 2 x ) d song song với Oy u j 0;1;0 d : y t Tâm I mặt cầu thuộc d z tọa độ I(1;t;2) Vì (S) tiếp xúc với (P) : h(I,P)=R =IO t2 2t 25 t 2t 1 t I 1;1; Do mặt cầu (S) có phương trình : x 1 y 1 z Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x+2y-2z+2=0 , điểm I có tọa độ I(1;2;2) a/ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) b/ Tìm tọa độ giao điểm (S) với đường thẳng qua hai điểm M(1;2;1);N(2;1;1) c/ Lập phương trình mặt phẳng qua M,N tiếp xúc với (S) GIẢI a/ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) - Lập đường thẳng d qua I(1;2;2) vuông góc với (P) u n 1;2; 2 Cho nên d có phương trình : x=1+t ; y=2+2t;z=2-2t - Tìm tọa độ H giao d với (P) , tọa độ H nghiệm hệ : 2 x 1 t y 2t 8 1 t 2t 2t 9t 3 t H ; ; 3 3 z 2t x y 2z Trang Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 2 Vậy : IH 1 216 3 3 216 2 24 (*) Cho nên : S : x 1 y z b/ Tìm tọa độ giao điểm (S) với đường thẳng qua hai điểm M(1;2;1);N(2;1;1) - x 1 t Đường thẳng (MN) qua M(1;2;1) có véc tơ phương u 1; 1;0 ( MN ) : y t z - Nếu (MN) cắt (S) : thay giao điểm A (MN) với cầu (S) vào (*) A(t+1;2-t;1) 30 30 30 30 30 Do có hai điểm : A1 1 ;2 ;1 ; A2 1 ;2 ;1 2 2 ta có : t 1 t 1 24 2t 24 15 t - 2 c/ Lập mặt phẳng (P) qua (MN) tiếp xúc với (S) x y 1 z 1 - Đường thẳng (MN) giao hai mặt phẳng : - Suy (P) qua (MN) (P) thuộc chùm : x+y-1+m(z-1)=0 hay : x+y+mz-1-m=0 (*) - Nếu (P) tiếp xúc với (S) : m 2 6 24 m 24 1 m 2 6 x y 6 z 1 6 Thay vào (*) ta có hai mặt phẳng : x y 6 z 1 6 h I , P R - 2m m II LẬP (S) CÓ TÂM I ĐỒNG THỜI CẮT (P) THEO MỘT ĐƯỜNG TRÒN XÁC ĐỊNH ( Biết bán kính-hoặc chu vi-hoặc diện tích ) I K Trang B CÁCH GIẢI Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I vng góc với (P) u n P Bước 2: Tìm tọa độ tâm K đường tròn giao tuyến giao d với (P) Từ tìm IK Bước 3:Dựa vào giả thiết cho biết đường trịn (C ) ta tính r Bước 4: Tính R IK r Thay vào phương trình mặt cầu MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho điểm I(1;2;-2) đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng 2x-y-5=0 y-z+3=0 1.Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I ,đồng thời mặt phẳng (P): 2x+2y+z+5=0 cắt (S) theo giao tuyến đường trịn có chu vi 8 2.Viết phương trình tiếp diện (S) qua d ? GIẢI 2425 d Theo giả thiết : 8 2 r r ( bán kính đường 2 tròn C ) Vậy : R d r 16 25 R S : x 1 y z 25 Tính h(I,P)= Mặt phẳng tiếp diện (S) gọi (Q) Do mp(Q) qua d (Q) thuộc chùm mặt phẳng : m(2x-y-5)+n(y-z+3)=0 ; hay : 2mx-(m-n)y-nz+3n-5m =0 (*) H(I,Q)= 7n 5m 7n 5m 25 5m2 2mn 2n 10m n 4m m n n 2 Nếu chọn : m=1, n=-10 , thay vào phương trình (*) ta có phương trình tiếp diện : 2x-11y+10z-35=0 Ví dụ Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;3;-1) định đường thẳng d có phương trình giao tuyến hai mặt phẳng : 5x-4y+3z+20=0 , 3x-4y+z-8=0 dây cung có độ dài 16 GIẢI Ta tính h(I,d) x 2t - Đường thẳng d viết lại : y 5 t Gọi H điểm z 15 2t I A B thuộc d H(1+2t;-5+t;-15-2t) d IH 2t 1; t 8; 2t 14 u 2;1; 2 H IH u ' 2t 1 t 8 2t 14 9t 18 t 2 Vậy : H 5; 10; 10 IH 25 100 100 225 R AB IH 64 225 269 Vậy : S: x y 3 z 1 289 2 IM , u ; M 1; 5; 15 - Ta cịn có cách tính IH công thức : h I , d u Trang Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 2 14 14 IM , u 302 302 152 2025 2 2 IM 1;8;14 IH 15 3 1 u 2 AB 16 Theo cách tính : R IH 225 225 64 269 2 2 Ví dụ 3.( ĐHLN-2001) x t Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: y 1 2t mp (P): 2x-y-2z-2=0 z t 1/ Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng d tâm I cách mặt phẳng (P) khoảng đồng thời (S) cắt (P) theo đường trịn có bán kính 2/ Viết phương trình mặt phẳng ® qua d tạo với (P) góc nhỏ GIẢI 1/ Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng d tâm I cách mặt phẳng (P) khoảng Nếu I d I t; 1 2t; t h I , P 2 t 2t 1 t 1 6t 13 I1 ; ; t 6t 6 Tính khoảng cách từ hai tâm đến (P) t 11 11 14 t I2 ; ; 6 6 1 13 11 14 1 2 2 2 2 6 6 6 2; h I , P Do : h I1 , P 1 4 1 2 1 13 R1 13 S1 : x y z 13 6 3 6 2 11 14 R2 13 S : x y z 13 6 3 6 x y 1 1 2x y 2/ Đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng : x z x z2 1 Do mặt phẳng (R ) qua d (R ) thuộc chùm : 2x+y+1+m(x+z-2)=0 Hay mp( R) : (2+m)x+y+mz+1-2m=0 (*) Mp( R) có n1 m 2;1; m ; nP 2; 1; 2 Vậy : cos Trang 10 n1.nP n1 nP m 2m m 2 m2 2m 4m 5 m 12 3 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Do nhỏ cos lớn m=-1 Vậy thay vào (*) ta có mp( R): x+y-z+3=0 Chú ý : Dạng tốn cịn có cách giải khác : Giả sử ( R) mặt phẳng qua d cắt (P) theo giao B tuyến A=d giao với (P) B điểm d Kẻ BH ( P), BC BHC BHC d Là góc phẳng nhị diện tạo (P) ( R) H A P Vì HC HC HA tan BH BH số HC HA Nên có giá trị nhỏ C trùng với A d Vậy ( R) mặt phẳng qua AB cắt (P) theo giao tuyến ABH Ta có : C vd 1; 2;1 , nP 2; 1; 2 vd , nP 3;0; 3 / / v 1;0;1 Mặt khác ta lại có : vd , v 2; 2; 2 / / 1;1; 1 nR Để ý M(0;-1;2) thuộc d nằm ( R) Ta có phương trình mặt phẳng ( R) : x+y+1-(z-2)=0 ,Hay : x+y-z+3=0 BÀI TOÁN 3: LẬP MẶT PHẲNG-ĐƯỜNG THẲNG KHI CHO PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT CẦU (S) I LẬP MẶT PHẲNG TIẾP XÚC VỚI MẶT CẦU Chú ý : - Giả sử cần lập mặt phẳng (P) tiếp xúc với cầu (S) có tâm I(a;b;c;) bán kính R Mặt phẳng (P) : Ax+By+Cz+D=0 xác định tối thiểu phải biết ba ẩn số Trong điều kiện để mặt phẳng (P) tiếp xúc với cầu (S) có kiện h(I,P)=R aA bB cC D A2 B C R - Vì cho thêm tối thiểu hai dự kiện Lập mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng d cho sẵn ( song song với mặt phẳng (Q) cho sẵn ) tiếp xúc với cầu (S) CÁCH GIẢI Bước 1: Nếu (P) vng góc với d nP ud A; B; C P : Ax By Cz m * Bước 2: Nếu (P) tiếp xúc với cầu (S) : aA bB cC m A2 B C R 1 Bước 3: Giải (1) ta tìm ẩn m thay vào (*) ta có mặt phẳng (P) Trường hợp (P) song song với (Q) véc tơ pháp tuyến (Q) (P) MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Trang 11 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 2x y 4z mặt cầu (S) có phương trình : x y 2z Ví dụ 1; Cho đường thẳng d : x2 y z 4x y 6z Hãy lập phương trình mặt phẳng (P) vng góc với d tiếp xúc với mặt cầu (S) GIẢI 4 4 ; Đường thẳng d có véc tơ phương u n1 , n2 2 Mặt cầu (S) có tâm I(2;-1;3) có bán kính R= 20 Do (P) vng góc với d có dạng : 2x+z+m=0 (*) Nếu (P) tiếp xúc với (S) : h I , P 2.2 m 1 P1 : 2x z 2 ; 2;0;1 nP 1 1 1 m 20 m 10 m 17 Vậy có hai mặt phẳng : P2 : 2x z 17 Ví dụ 2.( Bài 87- tr137-BTHH12NC) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu : S : x y z 10x y 26z 113 x y z 13 Và hai đường thẳng d : ; 3 x 7 3t d ' : y 1 2t z a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) vng góc với d b/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) song song với d ,d’ GIẢI a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) vng góc với d Mặt cầu (S) có tâm I(5;-1;-13) có bán kính R= 308 Đường thẳng d có véc tơ phương u 2; 3; nP Nếu (P) vng góc với d (P): 2x-3y+2z+m=0 (*) Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) : h I , P 10 26 m 494 308 m 13 17.308 m 13 5236 Tóm lại có hai mặt phẳng : 2x-3y+2z 13 5236 =0 b/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) song song với d ,d’ ud 2; 3; 3 2 2 3 Ta có : ud , ud ' ; ; 4;6;5 nQ ud ' 3; 2;0 2 0 3 2 Vậy (Q) có dạng : 4x+5y+6z+m=0 (*) Nếu (Q) tiếp xúc với (S) : h I , Q Trang 12 m 103 308 m 51 154 16 36 25 m 205 20 65 m Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Q1 : 4x y 6z 103 Vậy có hai mặt phẳng (Q) : Q2 : 4x y 6z 205 Lập mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d tiếp xúc với cầu (S) CÁCH GIẢI Bước 1: Chuyển đường thẳng d sang dạng giao tuyến hai mặt phẳng Bước 2: Nếu (P) chứa d (P) thuộc chùm mặt phẳng Viết phương trình chùm mặt phẳng sau chuyển dạng mẫu mực Bước 3: Sử dụng điều kiện : (P) tiếp xúc với (S) h(I,P) = R , ta thu phương trình mặt phẳng (P) VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1.( MĐC-98) Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : x 13 y z mặt cầu (S) có 1 phương trình : x2 y2 z 2x y 6z 67 Hãy lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d tiếp xúc với (S) GIẢI ( Chuyển d dạng giao tuyến hai mặt phẳng ) Đường thẳng d giao hai mặt phẳng : x 13 z 1 4x z 52 y z y z I d M Nếu (P) chứa d (P) thuộc chùm : 4x+z-52+m(4y-z+4)=0 ; Hay : 4x+4my+(1-m)z+4m-52=0 (*) Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) có bán kính R=9 Cho nên (P) tiếp xúc với (S) : Khoảng cách từ tâm I đến (P) bán kính : P H u m 1 9m 45 17m 2m 17 2m m m 16 16m 1 m P : 2x y z 28 Thay vào (*) ta có hai mặt phẳng : P2 : 8x y z 100 8x 11y 8z 30 Ví dụ Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : mặt x y 2z 8m 3(1 m) 4m 52 2 cầu (S) có phương trình : x2 y z 2x y 4z 15 Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d tiếp xúc với cầu (S) GIẢI Cầu (S) có tâm I(-1;3;-2) có bán kính R= 29 Trang 13 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Mặt phẳng (P) chứa d (P) thuộc cùm mặt phẳng : 8x-11y+8z-30+m(x-y-2z)=0 ; hay : (8+m)x-(11+m)y+(8-2m)z-30=0 (*) Néu (P) tiếp xúc với (S) : h I , P m 11 m 8 2m 30 8 m 11 m 8 2m 2 29 87 6m2 6m 249 29 m 6.m 6.m 249 3.87 m m m 2 Nếu m=1: (P) : 9x-12y+6z-30=0 ; hay : 3x-4y+2z-10=0 Nếu m=-2 (P): 6x-9y+12z-30=0 , hay (P): 2x-3y+4z-10=0 Như có hai mặt phẳng chứa d tiếp xúc với (S) II MẶT PHẲNG CẮT MẶT CẦU – TÌM TỌA ĐỘ TÂM VÀ BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN GIAO TUYẾN BÀI TỐN : Cho mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) bán kính R Mặt phẳng (P) Ax+By +Cz+D=0 Chứng minh (P) cắt (S) Tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn giao tuyến CÁCH GIẢI Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua tâm cầu I vng góc với mặt phẳng (P) : u n A; B; C Bước 2: Tìm tọa độ giao điểm K d với (P) ( Đó tâm đường trịn giao tuyến ) Sau tính độ I dài đoạn thẳng d=IK R d Bước 3: Để tính bán kính đường trịn ( C) ta sử dụng K công thức : r R2 d R2 IK r MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1.( Bài 3.59-Ơn chương III-tr117-BTHH12CB) Trong không gian cho bốn điểm A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1) D(1;1;0) a/ Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D / b/ xác định tâm bán kính đường tròn giao tuyến mặt phẳng(ACD) với mặt cầu (S) GIẢI a/ Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D Từ hình vẽ , dễ dàng tìm tọa độ tâm cầu (S) I : - Gọi J trung điểm AB J ; ;0 2 - Kẻ đường thẳng m qua J song song với Oz cắt CD I ( I trung điểm CD ) Do : 1 C K I B O Trang 14 A J D Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 1 1 I ; Bán kính cầu (S) đoạn thẳng OI= 2 2 1 1 1 ; ; Ta có : AC 1;0;1 , AD 0;1;0 AC , AD 1 0 0 1 4 0 1;0; 1 / / n 1;0;1 1 Mặt phẳng (ACD) qua A(1;0;0) có véc tơ pháp tuyến AC , AD 1;0; 1 ACD : x z b/ xác định tâm bán kính đường trịn giao tuyến mặt phẳng(ACD) với mặt cầu (S) - x t Gọi d đường thẳng qua tâm cầu I vng góc với (ACD) d : y z t - Đường thẳng d cắt ACD) điểm H tọa độ H nghiệm hệ : 1 1 1 t t 1 t H ; ; 2 2 2 - trùng với I Vì (ACD) cắt (S) theo đường trịn lớn có bán kính bán kính (S) r R Ví dụ 2.( Bài 3.54-Ơn chương III-tr116-BTHH12CB) Cho mặt phẳng (P): 2x-3y+4z-5=0 mạt cầu (S): x2 y z 3x y 5z a/ Xác định tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu (S) b/ Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) Từ chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn mà ta ký hiệu (C ) Xác định bán kính r tâm H đường tròn (C ) GIẢI a/ Xác định tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu (S) 25 26 Mặt cầu (S) có tâm I= ; 2; ; R 2 4 3 5 2 2 29 R b.Ta có khoảng cách từ tâm I đến (P) : h( I , P) 16 29 Chứng tỏ : (P) cắt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn Tìm tâm bán kính ( C) Trang 15 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn x 2t Đường thẳng d qua I vng góc với (P) : y 2 3t z 4t Đường thẳng d cắt (P) H ( tâm đường tròn ) : Tọa độ H nghiệm hệ : x 2t y 2 3t 5 119 34 81 2t 2 3t 4t t H ; ; 2 29 58 29 58 z 4t 2x y 4z Bán kính r ( C) : r R h2 I , P 26 64 249 249 r 26 58 58 Ví dụ ( ĐH-Đà lạt -2001) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm I(0;1;2) ,A(1;2;3) ,B(0;1;3) 1/ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I qua A ? 2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B có véc tơ pháp tuyến n 1;1;1 3/ Chứng minh (P) cắt (S) theo đường trịn ( C) Tìm tâm bán kính ( C) ? GIẢI 1/ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I qua A ? 2 Nếu (S) qua A(1;2;3) , IA=R R IA2 1 1 Vậy (S) : x 1 y z 3 2/ Lập mặt phẳng (P) qua B(0;1;3) có n 1;1;1 , (P) : x+y+z-4=0 (*) 2 3/ Chứng minh (P) cắt (S) : Ta có h I , P 1 R P S x t Tìm tọa độ tâm : Lập d qua I ( 0;1;2) vng góc với (P) : d : y t z t x t y 1 t 1 7 Tâm H ( C) d cắt (P) , d : 3t t H ; ; 3 3 z t x y z 8 Bán kính r ( C) : r R h2 I , P r 3 3 BÀI TOÁN 4: Trang 16 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn TÌM ĐIỂM TRÊN CẦU (S) THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – (S) CHỨA THAM SỐ BÀI TOÁN : Cho mặt cầu (S) : F(x,y,z)=0 (1) F(x,y,z,m)=0 (2) Mặt phẳng (P) hay đường thẳng d ( cho phương trình ) 1/ Tìm điểm M (S) cho khoảng cách từ M đến (P) nhỏ , lớn 2/ Tìm m để d cắt (S) : F(x,y,z,m) =0 hai điểm M,N cho MN=a ( số ) 3/ Tìm quỹ tích tâm I (S) CÁCH GIẢI 1/ Tìm điểm M (S) cho khoảng cách từ M đến (P) nhỏ , lớn Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I vng góc với (P) Bước 2: Tìm tọa độ H ,K giao d với (Q) Sau tính IH IK H,K điểm cần tìm 2/ Tìm m để d cắt (S) : F(x,y,z,m) =0 hai điểm M,N cho MN=a ( số ) Bước 1: Chuyển d sang tham số Lập hệ để tìm giao d (S) suy g(t,m)=0 Bước 2: Lấy d điểm H , tính IH theo cơng thức (1) MN Bước 3: Sử dụng IH R 2 Từ (1) (2) suy m cần tìm 3/ Tìm quỹ tích tâm I (S) * Sử dụng phương pháp tìm quỹ tích hàm số MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Trong không gian tọa độ Oxyz , cho (S) : x2 y2 z 2x 2z mặt phẳng (P) : 2x-2y+z+6=0 Tìm điểm A (S) cho khoảng cách từ A đến (P) lớn , nhỏ ? GIẢI 2 Mặt cầu (S) : x 1 y z 1 I 1;0; 1 , R x 2t Đường thẳng d qua I(1;0;-1) vng góc với (P) : d : y 2t z 1 t Đường thẳng d cắt (S) thơng qua phương trình : 1 2t 1 2t 1 t 1 2 9t 13 7 1 t A ; ; h( A, P) t 5 t A ; ; h( A, P) 3 3 3 Trang 17 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 2x y z mặt cầu x y 2z Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : (S) : x2 y2 z 4x y m Tìm m để d cắt (S) hai điểm M,N cho MN=8 GIẢI Mặt cầu (S) có tâm I(-2;3;0) bán kính R= m 13 m m 13 * 2 MN 8 Mặt khác ta có : IH R r 13 m 13 m m IH m (1) 2 2 Lại có IH=h(I,d) Ta có d qua M(0;1;-1) có véc tơ phương tích có hướng hai véc tơ pháp tuyến hai mặt phẳng : 2 1 1 2 2 u n, n ' ; ; 6;3;6 / / u ' 2;1; ; MI 2; 2;1 1 2 2 MI , u ' 36 36 (2) Do : h I , P 1 u' Từ (1) (2) : m m 12 Vậy với m=-12 thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho họ : Sm : x y z 4mx 2my 6z m2 4m 1/ Tìm m để S m phương trình mặt cầu ? 2/ Chứng minh tâm I S m nằm đường thẳng cố định ( với giá trị m tìm ) GIẢI 1/ Tìm m để S m phương trình mặt cầu ? Sm : x 2m y m z 3 4m2 4m (*) Để S m phương trình mặt cầu : 4m2 4m ' 36 32 Do với 2 m (*) ln phương trình (S) 2/ Ta có tọa độ tâm I S m x 2m x y : y m Đây giao hai mặt z z phẳng Do giao tuyến chúng đường thẳng cố định ( ví khơng phụ thuộc vào m ) MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYÊN Bài ( ĐH-Thủy lợi -2000) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) : x2 y2 z 6x y 2z mặt phẳng (P) : x+2y+2z+11=0 a/ Tìm tọa độ tâm bán kính (S) Trang 18 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn b/ Tìm điểm M mặt cầu (S) cho khoảng cách từ đến mặt phẳng (P) ngắn ? Bài ( ĐHAN-KA-98) Cho tam diện vuông Oxyz phần tám mặtcầu đơn vị : x y z (x,y,z ), góc tam diện Một mặt phẳng (P) tiếp xúc với phần tám mặt cầu điểm M cắt trục Ox, Oy,Oz thứ tự A,B,C cho OA=a,OB=b,OC=c (a,b,c>0) 1 1 ? a b2 c2 b/ Chứng minh : 1 a 1 b2 1 c 64 Tìm vị trí M dấu đẳng thức xảy ? a/ Chứng minh : Bài ( ĐHQG-A-99) Cho đường tròn ( C) giao tuyến cầu (S) : x2 y z 4x y 6z 17 với (P) có phương trình : x-2y+2z+1=0 1/ Tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn ( C) 2/ Lập phương trình mặt cầu (S’) chứa đường trịn ( C) có tâm nằm mặt phẳng (Q) : x+y+z+3=0 Cho họ : Cm : x y z m 1 x m y 6m ( với m tham số ) 1/ Tìm quỹ tích tâm I họ Cm 2/ Tìm tọa độ tâm thuộc họ mà tiếp xúc với Oy 2x y 2z 12 Lập phương trình đường trịn ( C) có tâm 4x y z Bài Cho đường thẳng : I(1;-1;-2) cắt hai điểm A,B cho AB=8 Bài ( ĐH-Thủy lợi -2000) Cho mặt cầu (S) : x2 y2 z 6x y 2z Và mặt phẳng (P) : x+2y+2z+11=0 1/ Tìm tọa độ tâm bán kính ( C) giao (P) với (S) ? 2/ Tìm tọa độ điểm M (S) cho khoảng cách từ đến (P) nhỏ ? Bài ( ĐH-YHP-2000) Cho điểm A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) ( a,b,c>0) : 1 2 a b c 1/ Chứng minh a,b,c thay đổi mặt phẳng (ABC) ln qua điểm cố định Tìm tọa độ điểm cố định ? 2/ Tìm tâm bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC ? chứng minh : r 1 BỔ SUNG THÊM Bµi Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (Pm): 2x+2y+z m2-3m=0 mặt cầu (S): (x-1)2+(y+1)2+(z-1)2=9 a.Tìm m để mặt phẳng (Pm) tiếp xúc mặt cầu (S) Với m tìm đ-ợc, hÃy xác định toạ độ tiếp điểm mặt phẳng (Pm) mặt cầu (S) b Cho m=2 Chøng minh r»ng mp(P2) tiÕp xóc với (S) Tìm toạ độ tiếp điểm c Xác định m Trang 19 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn ®Ĩ (Pm) cắt (S) theo đ-ờng tròn (C) có bán kính r=2 Bài2 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho ba điểm A(2;0;1),B(1;0;0), C(1;1;1) mặt phẳng (P): x+y+z-2=0 Viết ph-ơng trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (P) Bài Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hình lăng trụ ®øng ABCA1B1C1 víi A(0;-3;0), B(4;0;0), C(0;3;0), B1 (4;0;4) a T×m toạ độ đỉnh A1, C1 Viết ph-ơng trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1) b Gọi M trung điểm A1B1 Viết ph-ơng trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt đ-ờng thẳng A1C1 N Tính độ dài đoạn MN Bài Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho ba điểm A(2;0;0), C(0;4;0), S(0;0;4) a Tìm toạ độ điểm B thuộc mặt phẳng Oxy cho tứ giác OABC hình chữ nhật Viết ph-ơng trình mặt cầu qua bốn điểm O, B, C, S b Tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với điểm A qua đ-ờng thẳng SC Bài Trong kg với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho ba điểm A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2) a Viết ph-ơng trình mặt phẳng (P) qua gốc toạ độ O vuông góc với BC Tìm toạ độ giao điểm đ-ờng thẳng AC với mặt phẳng (P) b CM ABC tam giác vuông Viết ph-ơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Bài Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x+y-z+5=0 điểm A(0;0;4), B(2;0;0) a Viết ph-ơng trình hình chiếu vuông góc đ-ờng thẳng AB mặt phẳng (P) b Viết ph-ơng trình mặt cầu qua O, A, B tiếp xúc với mặt phẳng (P) Bài Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông gãc Oxyz cho ®iĨm S(2;2;6), A(4;0;0), B(4;4;0), C(0;4;0) a CMR hình chóp SABCO hình chóp tứ giác b Viết ph-ơng trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCO Bài Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho đ-ờng thẳng d: x y z vµ mặt cầu (S): x2+y2+z2+4x-6y+m=0 Tìm m để đ-ờng thẳng d cắt mặt x y 2z cầu (S) hai điểm M, N cho khoảng cách hai điểm Bµi Trang 20 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho A(0;3;-3), B(1;1;3) đ-ờng x 2t th¼ng d: y 5 2t z 1 t a CMR ABd b T×m h×nh chiếu A, B d c Tìm Md để MA+MB nhỏ d Viết ph-ơng trình mặt cầu nhỏ nhÊt qua A, B vµ tiÕp xóc d Bµi 10 Gọi (C) giao tuyến mặt cầu (S): (x-3)2+(y+2)2+(z-1)2=100 (P): 2x-2y-z+9=0 Xác định toạ độ tâm bán kính (C) Bài11 Trong kg gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P): x+y+z-1=0 đ-ờng thẳng d: x y z 1 a Viết PTCT đ-ờng thẳng giao tuyến mp(P) với mặt phẳng toạ độ Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết A, B, C giao điểm t-ơng ứng mp(P) với trục toạ độ Ox, Oy, Oz D giao điểm đ-ờng thẳng d với mặt phẳng toạ độ Oxy b Viết ph-ơng trình mặt cầu (S) qua điểm A, B, C, D Xác định toạ độ tâm bán kính đ-ờng tròn giao tuyến mặt cầu (S) với mp(ACD) Bài12 Trong kg Đềcác vuông góc Oxyz cho A(-3;1;2) mp(P): 2x+3y+z-13=0 a HÃy viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng d qua A vuông góc với mp(P) Tìm toạ độ giao điểm M d (P) b Viết ph-ơng trình mặt cầu tâm A bán kính R=4 CMR mặt cầu cắt mp(P) tìm bán kính đ-ờng tròn giao mặt cầu mp(P) Bài13 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho điểm A, B, C, D có toạ độ xác định A(2;4;-1); OB i j k ; C(2;4;3); OD 2i j k a CMR ABAC; ABAD; ACAD vµ tÝnh thĨ tÝch cđa tø diƯn ABCD b ViÕt PTTS cđa ®-êng vuông góc chung đ-ờng thẳng AB CD c Viết PTmp(ABD) tính góc đ-ờng thẳng với mp(ABD) d Viết ph-ơng trình mặt cầu (S) ®i qua ®iĨm A, B, C, D Bµi14 Trong kg hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho I(1;2;2) mp(P): x+2y-2z+2=0 a Viết ph-ơng trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với (P) Tìm tiếp điểm b Tìm giao điểm (S) với đ-ờng thẳng qua điểm M(1;2;1); N(2;1;1) c Lập ph-ơng trình mp qua MN tiếp xúc với (S) Bài15 Trong kg vuông góc Oxyz cho mặt cầu (S): x2+y2+z2-2x+4y-6z=0 a Xác định vị trí t-ơng đối (S) với đ-ờng thẳng d qua M(1;-1;1), N(2;1;5) Tìm toạ độ giao điểm (S) d (nếu có) Xác định tâm tính bán kính đ-ờng tròn giao tuyến Trang 21 Gia s Thnh c www.daythem.com.vn (S) với mp Oxy b Tìm m để mp(P): x-y-z-m=0 tiếp diện (S) Khi tìm góc tạo (P) tiếp diện (Q) cđa (S) biÕt (Q) qua gèc O Bµi 16 Cho hình chóp tứ giác SABCD có độ dài tất cạnh a a CMR đáy ABCD hình vuông b Năm điểm S, A, B, C, D nằm mặt cầu Tìm tâm bán kính mặt cầu Bài17 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho tứ diện OABC có O gốc toạ độ, AOx, BOy COz mp(ABC) có ph-ơng trình 6x+3y+2z-6=0 a Tính thể tích khối tứ diện OABC b Xác định toạ độ tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện OABC Bài18 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho mặt cầu (S): x2+y2+z2=2(x+2y+3z) a Gọi A, B, C giao điểm (khác điểm O(0;0;0)) mặt cầu (S) với trục 0x, 0y, 0z Xác định A, B, C viết ph-ơng trình mặt phẳng (ABC) b Xác định tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp ABC Bài19 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho mặt cầu (S) có ph-ơng trình x2+y2+z2=4 mặt phẳng (P) có ph-ơng trình x+y+z=1 a Tính khoảng cách từ tâm I mặt cầu (S) tới mặt phẳng (P) chứng tỏ mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đ-ờng tròn b Viết ph-ơng trình đ-ờng tròn (C) giao tuyến mặt phẳng (P) mặt cầu (S) HÃy xác định toạ độ tâm H tính bán kính đ-ờng tròn (C) Bài20 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho A(0;-2;0), B(2;1;4) mặt phẳng (): x+y-z+5=0 a Viết PTTS đ-ờng thẳng d qua A B b Tìm đ-ờng thẳng d điểm M, cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng () c Viết ph-ơng trình mặt cầu (S) có đ-ờng kính AB Xét vị trí t-ơng đối mặt cầu (S) mặt phẳng () Bài 21 x y 3z 20 điểm I(2;3;-1) 3x y z Cho đ-ờng thẳng : a Tính khoảng cách từ điểm I đến đ-ờng thẳng b Viết ph-ơng trình mặt cầu (S) tâm I cắt đ-ờng thẳng hai điểm phân biệt A, B cho AB=8 Bài 22 Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến đ-ờng thẳng Trên lấy hai điểm A, B với AB=a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, mặt phẳng (Q) lấy ®iĨm D cho AC, BD cïng vu«ng gãc víi AC=BD=AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp Trang 22 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn tø diÖn ABCD tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) theo a Bài 23 Cho hình chóp tứ giác SABCD, biết đỉnh S(3;2;4), A(1;2;3), C(3;0;3) Gọi H tâm hình vuông ABCD a Viết ph-ơng trình mặt cầu ngoại tiếp h×nh chãp SABCD b TÝnh thĨ tÝch cđa khèi chãp có đỉnh S, đáy thiết diện tạo hình chóp SABCD với mp qua H vuông góc với SC Bài 24 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi, AC cắt BD tai gốc 0, biÕt A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2 ) Gäi M lµ trung điểm SC a Tính góc khoảng cách hai đ-ờng thẳng SA BM b Giả sử mp(ABM) cắt đ-ờng thẳng SD N Tính thể tích khối chãp SABMN Bµi 25 8 x 11y z 30 tiếp xúc với mặt cầu x y 2z Lập ph-ơng trình mp chứa đ-ờng thẳng: x2+y2+z2+2x-6y+4z-15=0 Bài 26 Lập ph-ơng trình mp tiếp xúc với mặt cầu: x2+y2+z2-10x+2y+26z-113=0 song song với hai đ-ờng thẳng : x y z 13 x y 1 z , ’: 3 2 Bµi 27 LËp pt mặt cầu có tâm I: x y z 1 vµ tiÕp xóc víi hai mp 3 2 (P): x+2y-2z-2=0, (Q): x+2y-2z+4=0 Bµi 28 Cho mặt cầu (S): (x-3)2+(y+2)2+(z-1)2=9 mp(P): x+2y+2z+11=0 Tìm điểm M mặt cầu cho khoảng cách từ M đến mp(P) ngắn Bài 29 Cho hai đ-ờng thẳng d1: x y2 z4 x y z 10 , d2: 1 2 1 a ViÕt pt®t d song song với 0x cắt d1 M, cắt d2 N Tìm toạ độ M, N b Ad1, Bd2 AB vuông góc d1 d2 Viết pt mặt cầu ®-êng kÝnh AB Bµi 30 Cho A(3;6;-2), B(6;0;1), C(-1;2;0), D(0;4;1) a CMR A, B, C, D đỉnh tø diƯn TÝnh thĨ tÝch cđa tø diƯn ®ã b Viết PT mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định toạ độ tâm bán kính mặt cầu c Viết ph-ơng trình đ-ờng tròn qua A, B, C Xác định toạ độ tâm bán kính đ-ờng tròn Bi 31.Trong khụng gian vi h tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: d1 : x y 1 z x2 y3 z d2 : 1 2 Trang 23 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng d d2 Bài 32 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định toạ độ tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3) Trang 24 ... góc Oxyz cho mặt phẳng (Pm): 2x+2y+z m2-3m=0 mặt cầu (S): (x-1)2+(y+1)2+(z-1)2=9 a.Tìm m để mặt phẳng (Pm) tiếp xúc mặt cầu (S) Với m tìm đ-ợc, hÃy xác định toạ độ tiếp điểm mặt phẳng (Pm) mặt cầu. .. khoảng cách từ tâm I mặt cầu (S) tới mặt phẳng (P) chứng tỏ mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đ-ờng tròn b Viết ph-ơng trình đ-ờng tròn (C) giao tuyến mặt phẳng (P) mặt cầu (S) HÃy xác định... (P) b Viết ph-ơng trình mặt cầu tâm A bán kính R=4 CMR mặt cầu cắt mp(P) tìm bán kính đ-ờng tròn giao mặt cầu mp(P) Bài13 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho điểm A, B, C,