Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình luyện thi đai học

Đây là bộ tài liệu luyện thi đại học cực hay, được tuyển chọn kĩ càng, có chất lượng cao, giúp các em học sinh lớp 12 củng cố và nâng cao kiến thức, phục vụ tốt việc luyện thi đại học của bộ môn. Bên cạnh phần lí thuyết được hệ thống hóa một cách khoa học và dễ hiểu là phần bài tập thực hành với lời giải chi tiết cụ thể, không những giúp các thầy cô có căn cứ để hướng dẫn và giảng dạy cho học sinh mà còn giúp cho các em tự học, tự kiểm tra và so sánh đối chiếu kết quả làm bài của mình khi không có sự trợ giúp của các thầy cô giáo.Hy vọng bộ tài liệu sẽ giúp ích đắc lực cho các em học sinh lớp 12 trong việc luyện thi đại học.

Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 1 1. 2 4 2x x x 2    2. x 4 1 x 1 2x     3. 2 x 4x 5 3x 17    4. 2 3x 19x 20 4x 4    5. x 12 2x 1 x 3     PHN I PHNG TRÌNH ậ BT PHNG TRÌNH  2 B0 AB AB        B0 AB AB        B0 AB AB        2 B0 A B A 0 AB            2 A0 B0 AB B0 AB                  TNG QUÁT : i vi nhng nhng phng trình, bt phng trình không có dng chun nh trên, ta thc hin: - t điu kin cho cn thc có ngha, - Chuyn v sao cho 2 v đu không âm, - Bình phng c hai v đ kh cn. VÍ D - BÀI TP Ví d 1: Gii các phng trình, bt phng trình sau: 1. 2 4 2x x x 2      2 2 2 x 2 0 4 2x x x 2 x2 x2 x3 x 0 x 3 x 3x 0                           Vy: x3 2. x 4 1 x 1 2x     x 4 1 x 1 2x      iu kin : x 4 0 1 1 x 0 4 x 2 1 2x 0              2 x 4 2 3x 2 2x 3x 1       2 2x 1 2x 3x 1     22 2x 1 0 (2x 1) 2x 3x 1          22 2x 1 0 4x 4x 1 2x 3x 1           2 1 x 2 2x 7x 0         1 x 2 x0 7 x 0 x 2                So điu kin nhn x0 Vy: x0 3. 2 x 4x 5 3x 17    2 22 2 x 4x 5 0 3x 17 0 x 4x 5 (3x 17) x 1 x 5 x 1 x 5 17 17 xx 33 21 8x 98x 294 0 x x 7 4 x7                                               Vy: x7 4. 2 3x 19x 20 4x 4    2 2 2 4x 4 0 4x 4 0 3x 19x 20 0 3x 19x 20 (4x 4)                2 x1 x1 4 x 5 x 13x 51x 4 0 3                   x1 4 x 5 x 1 1 3 x4 13                  4 x 5 x 1 1 x 4 3           Vy: 4 x 5 x 1 1 x 4 3          5. x 12 2x 1 x 3     x 12 x 3 2x 1      (*) CÁC DNG C BN www.MATHVN.com www.mathvn.com Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 2 iu kin: x 12 0 x 3 0 x 3 2x 1 0            (*) x 12 x 3 2x 1      2 2 x 12 x 3 2x 1 2 (x 3)(2x 1) 14 2x 2 (x 3)(2x 1) (x 3)(2x 1) 7 x (x 3)(2x 1) 0 7 x 0 (x 3)(2x 1) 49 14x x 1 x x 3 2 x7 x 9x 52 0 1 x x 3 2 1 x 7 x 3 x 4 2 x 4 x 13                                                                         So điu kin 3 x 4 . Vy: 3 x 4 Ví d 2: Gii các phng trình, bt phng trình sau: 1. 6 3 x 9 5x 3x      (1) iu kin: 3 x 0 9 x 9 5x 0 5       (1) 2 9 x 5x 24x 27     22 9 x 0 81 18x x 5x 24x 27           2 x9 4x 6x 54 0 x9 9 x x 3 9 2 x x 3 2                         So điu kin nhn x3 Vy: x3 2. 2 x 16 5 x3 x 3 x 3      (2) iu kin : 2 x 4 x 4 x 16 0 x4 x3 x 3 0                Do x 3 0 nên quy đng b mu ta đc: (2) 2 x 16 8 x    2 22 x 16 0 8 x 0 8 x 0 x 16 (8 x)                     x 4 x 4 x8 x8 16x 80                      x8 x5 5x8         So điu kin nhn x5 Vy: x5 3. 2 (x 1) 16x 17 8x 15x 23     (3) iu kin : 17 16x 17 0 x 16      (3)   (x 1) 16x 17 (x 1) 8x 23        (x 1) 16x 17 8x 23 0      x1 16x 17 8x 23         2 x1 8x 23 0 16x 17 64x 368x 529                x1 x1 23 x x4 8 x 2 x 4                       So điu kin nhn x1 hoc x4 Vy: x1  hoc x4 1. 6 3 x 9 5x 3x      2. 2 x 16 5 x3 x 3 x 3      3. 2 (x 1) 16x 17 8x 15x 23     4. 22 (x 3) x 4 x 9    5. 22 2x 8x 6 x 1 2x 2      6. 2 51 2x x 1 1x    www.MATHVN.com www.mathvn.com Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 3 4. 22 (x 3) x 4 x 9    (4) iu kin : 2 x 4 0 x 2 x 2       (4)   2 (x 3) x 4 x 3 0      (*) Do ta cha bit du ca (x 3) nên ta chia làm 3 trng hp:  Trng hp 1: x3 (*) 2 x 4 x 3    2 22 x 3 0 x 4 0 x 3 0 x 4 x 6x 9 x3 x 2 x 2 x3 6x 13 x3 13 x 13 6 3x 6                                                         Trng hp 2: x3 tha (*)  Trng hp 3: x3 (*) 2 x 4 x 3    2 x 4 x 3    2 22 x 4 0 x 3 0 x 4 x 6x 9              x 2 x 2 x3 6x 13              x2 x 2 x 3 13 x 6             Vy: 13 x 6   hoc x3 5. 22 2x 8x 6 x 1 2x 2      (5) iu kin : 2 2 2x 8x 6 0 x 1 0 x 1 x 1 2x 2 0                  Trng hp 1: x1 tha (5).  Trng hp 2: x1 (5)   2 (x 1)(2x 6) (x 1)(x 1) 2 x 1          2 2 2x 6 x 1 2 x 1 2x 6 x 1 2 (2x 6)(x 1) 4(x 1) 2 (2x 6)(x 1) x 1 x 1 4(2x 6)(x 1) (x 1) 7x 18x 25 0 x1 x1 25 x 7                                         Vy: x1 hoc x1  6. 2 51 2x x 1 1x    (6) iu kin : 2 51 2x x 0 1 2 13 x 1 2 3 1 x 0 x1                    Do ta cha bit du ca (1 x) nên ta chia làm 2 trng hp.  Trng hp 1: 1 x 0 x 1    (6) 2 51 2x x 1 x     2 22 1 x 0 51 2x x 0 51 2x x (1 x)               x1 1 2 13 x 1 2 13 x 5 x 5                  1 2 13 x 5       Trng hp 2: 1 x 0 x 1    (6) 2 51 2x x 1 x     2 1 x 0 51 2x x 0         x1 1 2 13 x 1 2 13              1 x 1 2 13     Vy: 1 2 13 x 5     hoc 1 x 1 2 13    www.MATHVN.com www.mathvn.com Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 4 Ví d 3: Gii các phng trình, bt phng trình sau: 1. x 3 2 x 4 x 2 x 1 1           22 x 4 2 x 4 1 x 1 2 x 1 1 1 x 4 1 x 1 1 1 x 4 1 x 1 1 1 (1)                          iu kin: x 4 0 x4 x 1 0       (1) x 4 1 x 1 1 1       x 4 1 2 x 1 2 x 1 0 x 4 1 2 x 1 x 4 1 2 x 1 x5 VN do x 5 x 4 1 x 1 1 x 4 x5 x 1 1 x 4 2 x 4 x5 x5 x5 x5 x 4 1                                                                                Vy: x5 2. x 14x 49 x 14x 49 14      14x 14 14x 49 14x 14 14x 49 14       22 ( 14x 49 7) ( 14x 49 7) 14       14x 49 7 14x 49 7 14       (2) iu kin : 49 14x 49 0 x 14     (2) t t 14x 49 7 14x 49 t 7       Phng trình tr thành: t 7 7 t 14    t t t 0     14x 49 7 0 14x 49 7 7 14x 49 0 x 7 x7 2 14x 98 2 x7                        Vy: 7 x7 2  3. 3 x 2 x 1 x 2 x 1 2       3 x 1 2 x 1 1 x 1 2 x 1 1 2                22 3 x 1 1 x 1 1 2        3 x 1 1 x 1 1 2        3 x 1 1 x 1 1 2        (3) iu kin : x 1 0 x 1    (3) 1 x 1 1 x 1 2       1 x 1 1 x 1 2 1 x 1 1 x 1 (*) 2                   (*) luôn đúng nên h đúng vi mi x tha điu kin. Vy: x1 Chú ý : CÁC DNG PHNG TRỊNH – BT PHNG TRỊNH CHA DU TR TUYT I  AB AB AB        B0 AB AB AB              A B (A B)(A B) 0      AB AB AB        AB AB AB       1. x 3 2 x 4 x 2 x 1 1       2. x 14x 49 x 14x 49 14      3. 3 x 2 x 1 x 2 x 1 2       www.MATHVN.com www.mathvn.com Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 5  33 3 A B C   33 3 A B 3 A.B A B C     Thay 33 3 A B C ta đc: 3 A B 3 A.B.C C     f(x) g(x) h(x) k(x)   Mà có: f(x) h(x) g(x) k(x) f(x).h(x) g(x).k(x)         Bin đi phng trình v dng: f(x) h(x) k(x) g(x)  Bình phng, gii phng trình h qu VÍ D VÀ BÀI TP Ví d 1: Gii phng trình sau: w 1. 33 3 x 1 x 2 x 3 0            33 3 3 33 3 3 3 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 2x 3 3 x 1 x 2 x 1 x 2 x 3                          Ta thay 33 3 x 1 x 2 x 3      3 3 2 3 (x 1)(x 2)(x 3) 3(x 2) (x 1)(x 2)(x 3) (x 2) (x 2) (x 1)(x 3) (x 2) 0 (x 2)( 1) 0 x2                             Th li nhn x2 Vy: x2 Nhn xét :  Khi thay 33 3 x 1 x 2 x 3      ta ch nhn đc phng trình h qu do phng trình đu cha bit có nghim hay không?  BƠi toán cng có th gii:   33 3 3 3 3 3 x 1 x 2 x 3 2x 3 3 x 1 x 2 x 1 x 2 x 3                       2. x 3 3x 1 2 x 2x 2      (2) iu kin : x 3 0 3x 1 0 x0 x0 2x 2 0             (2) 3x 1 2x 2 4x x 3 (*)       22 2 5x 3 2 (3x 1)(2x 2) 5x 3 2 4x(x 3) (3x 1)(2x 2) 4x(x 3) 6x 8x 2 4x 12x 2x 4x 2 0 x1                         Th li nhn x1 Vy: x1 Nhn xét :  Do ta cha xác đnh đc 2 v phng trình (*) đu dng nên khi bình phng ta ch thu đc phng trình h qu.  Bài toán vn có th gii theo cách bin đi tng đng nhng so vi cách này thì phc tp. 3. 3 2 x1 x 1 x x 1 x 3 x3          (3) iu kin : x1  (3) 3 2 x1 x 3 x x 1 x 1 x3             2 3 2 2 3 2 x1 x 3 x x 1 x 1 x3 x1 x x 1 x3                     2 x 1 3 x 2x 2 0 x 1 3            Th li nhn x 1 3 ; x 1 3 Vy: x 1 3 ; x 1 3 Nhn xét chung:  Thy trng hp phng trình cn bc ba và phng trình cha bn cn bc hai nh trên thì ta có th ngh đn phng trình h qu.  Nu khi gii cách phng trình  phn trc cm thy khó khn trong vic gii các điu kin và s “sót điu kin” thì ta cng có th gii bng phng trinh h qu sau đó th li. GII PHNG TRÌNH H QU 1. 33 3 x 1 x 2 x 3 0      2. x 3 3x 1 2 x 2x 2      3. 3 2 x1 x 1 x x 1 x 3 x3          www.MATHVN.com www.mathvn.com Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 6  a.f(x) b f(x) c 0; a 0.    Phng pháp : t t f(x), t 0  a( A B) b(A B 2 AB) c 0      Phng pháp : t t A B          nn 22 n 22 a. A b. AB c. B 0 a.A x bB x c A x .B x A B mA nB                Phng pháp : Bng cách đt n ph u, v ta đa đc v dng phng trình: 22 u uv v 0    B1: Th trng hp v = 0  B2: Xét v0 phng trình tr thành : 2 uu 0 vv                 t t = u v phng trình tr thành 2 t t 0   Tham s bin thiên VÍ D VÀ BÀI TP Ví d 1: Gii các phng trình, bt phng trình sau: 1. 2 (x 4)(x 1) 3 x 5x 2 6      22 22 x 5x 4 3 x 5x 2 6 x 5x 2 3 x 5x 2 0               iu kin : 2 x 5x 2 0   5 17 5 17 xx 22         t 2 t x 5x 2 (t 0)    22 22 t x 5x 2 x 5x t 2         Phng trình tr thành: 2 t1 t 3t 4 0 t 4 t4            Vi t4 22 x 5x 4 2    2 x 5x 14 0 x 2;x 7        Vy: x2 hoc x7 2. 22 2x 15 x 5x 6 10x     22 2x 10x 15 x 5x 6 0       iu kin: 2 x 5x 6 0 x 1 x 6       t 2 t x 5x 6 (t 0)    22 22 t x 5x 6 x 5x t 6         Bt phng trình tr thành: 2 2(t 6) 15 t 0    2 3 t 2t t 3 0 t 1 2 t1              Vi 2 t 1 x 5x 6 1     2 x 5x 6 1    2 x 5x 7 0 5 53 5 53 xx 22          Vy: 5 53 5 53 xx 22     3. 22 2x 5x 2 2 2x 5x 6 1      iu kin: 2 2x 5x 6 0   5 73 5 73 xx 44         t 2 t 2x 5x 6 (t 0)    2 2x 5x 2 t 8     Phng trình tr thành: t 8 2 t 1   t 8 1 2 t      2 t 8 1 2 t    4 t 7 3t   2 7 3t 0 t1 16t (7 3t)         Vi 2 7 t 1 2x 5x 6 1 x 1;x 2          Vy: x1 hoc 7 x 2  CÁC DNG T MT N PH 1. 2 (x 4)(x 1) 3 x 5x 2 6      2. 22 2x 15 x 5x 6 10x     3. 22 2x 5x 2 2 2x 5x 6 1      4. x x 1 3 x 1 x 2    www.MATHVN.com www.mathvn.com Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 7 4. x x 1 3 x 1 x 2    iu kin: x 0 x 0 x 1 x1       t x t (t 0) x1   Bt phng trình tr thành: 13 t t 2  2 2t 3t 2 0    1 t t 2 2     Vi 1 t 2  x1 x1 2   x1 0 x 1 2     x 0 x 1 1x1           1 x 0    Vi t2 x 2 x1   x 2 x1   x 2x 2 0 x1    x2 0 1 x 2 x1        Vy: 1 x 0   hoc 1 x 2  Cách khác: x x 1 3 x 1 x 2    (*) iu kin : x 0 x 0 x 1 x1       (*)  2 x x 1 9 x 1 x 2        22 x x 1 5 x 1 x 2 2x 2(x 1) 5x(x 1) 0 2(x 1)x            2 x x 2 0 2(x 1)x      1 x 0    hoc 1 x 2 Ví d 2: Gii các phng trình sau: 1. 2 x 1 4 x x 3x 4 5        x 1 4 x (x 1)(4 x) 5        iu kin: x 1 0 1 x 4 4 x 0          t t x 1 4 x (t 0)     2 2 t x 1 4 x 2 (x 1)(4 x) t5 (x 1)(4 x) 2              Phng trình tr thành: 2 t5 t5 2   2 t3 t 2t 15 0 t 3 t5             2 2 25 x 3x 4 2       22 x0 x 3x 4 2 x 3x 0 x3                Vy: x0 hoc x3 2. 2 2x 3 x 1 3x 2 2x 5x 3 16        iu kin : 2 2x 3 0 x 1 0 x 1 2x 5x 3 0               t t 2x 3 x 1 (t 0)     22 22 t 3x 4 2 2x 5x 3 3x 2 2x 5x 3 t 4             Phng trình tr thành: 2 t t 4 16   2 t5 t t 20 0 t 4 ( )           loaïi Vi t5 2x 3 x 1 5     22 2 2 3x 2 2x 5x 3 5 4 2 2x 5x 3 21 3x 1 x 7 x 146x 429 0 1 x 7 x3 x 3 x 143                                  Vy: x3 1. 2 x 1 4 x x 3x 4 5        2. 2 2x 3 x 1 3x 2 2x 5x 3 16        www.MATHVN.com www.mathvn.com Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 8 Ví d 3: Gii các phng trình sau: 1. 2 2 2 3 3 3 4 (x 2) 7 (4 x ) 3 (2 x) 0      (1) Ta có: 2 x 0 x 2    không là nghim phng trình. Chia 2 v cho: 2 3 (2 x) ta đc: (1) 2 3 3 x 2 x 2 4 7 3 0 2 x 2 x          t 3 x2 t 2x    phng trình tr thành: 2 t1 4t 7t 3 0 3 t 4           Vi 3 x 2 x 2 t 1 1 1 x 0 2 x 2 x          Vi 3 3 x 2 3 x 2 27 74 tx 4 2 x 4 2 x 64 91            Vy: x0 hoc 74 x 91    Cách khác: 2 2 2 3 3 3 4 (x 2) 7 (4 x ) 3 (2 x) 0      t 3 u x 2 và 3 v 2 x Phng trình tr thành: 22 4u 7uv 3v 0   Do v0 không là nghim phng trình. Chia 2 v cho v0 ta đc: 2 2 uu 4 7 3 0 vv    u u 3 1 v v 4     Vi u 1 v  3 x 2 x 2 1 1 x 0 2 x 2 x         Vi 3 u x 2 3 x 2 27 74 1x v 2 x 4 2 x 64 91            Vy: x0 hoc 74 x 91   2.   23 2 x 2 5 x 1   (2) iu kin: 3 x 1 0 x 1     (2) 22 2(x x 1) 2(x 1) 5 (x 1)(x x 1)         Do   2 x x 1 0   chia hai v cho   2 x x 1 : 22 x 1 x 1 2 2 5 x x 1 x x 1         t 2 x1 t (t 0) x x 1    Phng trình tr thành: 2 t2 2t 5t 2 0 1 t 2           Vi 22 x 1 x 1 t 2 2 4 (VN) x x 1 x x 1           Vi 22 1 x 1 1 x 1 1 t 2 x x 1 2 x x 1 4           5 37 x 2   Vy: 5 37 x 2   Nhn xét :  Khó khn ca ta là trong vic phân tích:   22 2 x 2 2(x x 1) 2(x 1)      .  Vic này có th thc hin d dàng do: 32 x 1 (x 1)(x x 1)      Bng cách đng nht h s:   2 2 2 (x x 1) (x 1)2 x 2 2(x 2)        ta d dàng chn  và  .  Mt s khai trin đa thc thành nhân t:      32 x 1 x 1 x x 1        4 2 4 2 2 x x 1 x 2x 1 x         22 x x 1 x x 1         4 2 2 x 1 x 2x 1 x 2x 1          4 2 2 4x 1 2x 2x 1 2x 2x 1      3. 2 2 4 2 x 3 x 1 x x 1     iu kin : 2 x 1 0 x 1 x 1       Ta đt: 2 ux , 2 v x 1 (u,v 0)   . Phng trình tr thành : 22 u 3v u v   2 2 2 2 u 6uv 9v u v     2 v0 10v 6uv 0 v 0 3 vu 5             Vi 22 v 0 x 1 0 x 1 x 1         Vy: x1  1. 2 2 2 3 3 3 4 (x 2) 7 (4 x ) 3 (2 x) 0      2.   23 2 x 2 5 x 1   3. 2 2 4 2 x 3 x 1 x x 1     www.MATHVN.com www.mathvn.com Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 9 Ví d 4: Gii các phng trình sau: 1. 22 x 2(x 1) x x 1 x 2 0       (1) iu kin : 2 x x 1 0 x       22 (1) x x 1 2(x 1) x x 1 2(x 1) 1 0           t 2 t x x 1; t 0.    phng trình tr thành: 2 t 2(x 1)t 2x 1 0, t 0      , 2 'x t1 t 1 2x       Vi 2 t 1 x x 1 1 x 0; x 1.          Vi 2 t 1 2x x x 1 1 2x        22 2 1 2x 0 x x 1 (1 2x) 1 x x0 2 3x 5x                    Vy: x0 hoc x1 2.   22 x 1 x 2x 3 x 1       22 x 1 x 2x 3 x 2x 3 2x 2         iu kin : 2 x 2x 3 0 x     t 2 t x 2x 3   . Phng trình tr thành:   2 x 1 t t 2x 2        2 t2 t x 1 t 2 x 1 0 t x 1             Vi 2 x 1 2 t 2 x 2x 3 2 x 1 2             Vi 2 t x 1 x 2x 3 x 1       22 x 1 0 (VN) x 2x 3 x 2x 1           Vy: x 1 2 Phng pháp chung :  t các n ph. Tìm mi liên h gia các n ph. Kt hp vi phng trình ban đu ca bài toán ta đc h phng trình.  Lu ý các phng pháp gii h phng trình. Ví d 1: Gii các phng trình sau: 1.   33 33 x 25 x x 25 x 30    t 3 3 3 3 y 35 x x y 35     Khi đó phng trình chuyn v h sau: 33 xy(x y) 30 x y 35      ơy lƠ h đi xng loi 1. Gii h ta tìm đc cp nghim là (2;3) hoc (3;2) Vy: x2 hoc x3 2. 33 1 x 1 x 2    t 3 3 u 1 x v 1 x        . Khi đó phng trình chuyn v h sau: 22 u v 2 u v 2      u v 2 uv 1       u v 1 x 0     Vy: x = 0. 3. 3 2 x 1 x 1    iu kin : x 1 0 x 1    t 3 u 2 x v x 1 (v 0)          Khi đó phng trình chuyn v h sau: 32 u + v =1 u + v =1    2 u(u u 2) 0 v 1 u         1. 22 x 2(x 1) x x 1 x 2 0       2.   22 x 1 x 2x 3 x 1     T N PH A V H 1.   33 33 x 25 x x 25 x 30    2. 33 1 x 1 x 2    3. 3 2 x 1 x 1    4. 3 3 x 1 2 2x 1   5.     22 3 2 33 3x 1 3x 1 9x 1 1       www.MATHVN.com www.mathvn.com Chuyên đ: PT- BPT - HPT VÔ T CAO HOÀNG NAM Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460 Trang 10 u0 x2 u1 x1 u2 x 10 v 1 u                          Vy: x2 hoc x1 hoc x 10 4. 3 3 x 1 2 2x 1   t 3 3 y 2x 1 y 1 2x     . Khi đó phng trình chuyn v h sau: 3 3 x 1 2y y 1 2x        3 33 x 1 2y x y 2(y x)           3 22 x 1 2y (x y)(x xy y 2) 0             (Do 2 2 2 2 y3 x xy y 2 x y 2 0 24            ) 3 x 1 2y x y 0       3 x1 x 1 2x 15 x y 0 x 2               Vy: x1 hoc 15 x 2   5.     22 3 2 33 3x 1 3x 1 9x 1 1      t: 3 u 3x 1 và 3 v 3x 1 Khi đó phng trình chuyn v h sau: 22 33 u v u.v 1 u v 2          u v 2 u v 2      Do đó:     2 2 v 2 v v v 2 1       2 2 3v 6v 3 0 3 v 1 0 v 1 u 1             3 3 u 3x 1 1 x0 v 3x 1 1                Vy: x0 Ví d 2: Gii các phng trình sau: 1. 2 x3 2x 4x 2   Cách 1: 2 x3 2x 4x 2   (1) iu kin : x3 . (1) 2 (x 1) 2 2(x 1) 2 2      2 1 x 1 (x 1) 1 1 22       . t 2 t y1 x 1 t t x 1;y 1 1 2 22 y0                . Khi đó phng trình chuyn v h sau: 2 2 1 t 1 y 2 1 y 1 t 2          ty 1 (t y)(t y ) 0 1 2 yt 2               Vi 2 2 t t1 2t t 2 0 ty 2 t0 t y 0                 1 17 3 17 tx 44        (tha). Vi 2 2 1t (t ) 1 4t 2t 3 0 1 22 yt 1 1 2 t t 2 2                       1 13 5 13 tx 44         (tha) Vy: 3 17 5 13 x ;x 44      . 1. 2 x3 2x 4x 2   2. 2 x x 1000 1 8000x 1000    3. 2 4x 7x 1 2 x 2    4. 32 3 4 81x 8 x 2x x 2 3      5. 2 2 2 3 7x 13x 8 2x . x(1 3x 3x )     6. 22 4x 11x 10 (x 1) 2x 6x 2      www.MATHVN.com www.mathvn.com [...]... m CAO HOÀNG NAM x 2 6x 13 4 c (x 3)2 2 ng gi i quy t: H ng 1: Chuy n ph ng trình v d ng: f (x) k Xét hàm s y f (x) Nh n xét: V i x x0 f (x) f (x 0 ) k x 0 là nghi m V i x x0 f (x) f (x 0 ) k ph ng trình vô nghi m V i x x0 f (x) f (x 0 ) k ph ng trình vô nghi m V y x 0 là nghi m duy nh t c a ph ng trình H ng 2: Chuy n ph ng trình v d ng: f (x) g(x) Dùng l p lu n kh nh r ng f (x) và g(x) có nh ng tính... Xét hàm s f x TRÌNH H CH A THAM S 1 ; 2 \ 0 I Ki n th c c n nh f' x Cho hàm s y f x liên t c trên t p D Yêu c u f x f x Khai thác min f x m có nghi m x D min f x m có nghi m x D lim 3x 4 x x 0 lim f x f x m có nghi m max f x m \ 0 x 1 x ; 1 x B ng bi n thi n: x D min f x x D x 1 0 2 m + - I gi i bài toán tìm giá tr c a tham s m sao f(x) 9 2 có nghi c 1: Bi trình v d ng: f x f x S nghi m c trình, b g m... trình H ng 2: Chuy n ph ng trình v d ng: f (x) g(x) Dùng l p lu n kh nh r ng f (x) và g(x) có nh ng tính ch t trái ng nh x 0 sao cho f (x 0 ) g(x 0 ) V y x 0 là nghi m duy nh t c a ph ng trình H ng 3: Chuy n ph ng trình v d ng f (u) f (v) Xét hàm s y f (x) , dùng l p lu n kh ng nh hàm s u f (u) f (v) u v Ví d 1: Gi 1 3x 2 6x 7 5x 2 10x 14 2 x 2 6x 11 (x 3)2 D ng y ra 7 2 7 2 3 x 2 3x x 2 4x 5 3 Ta... B B A 2 3 AB 3 B2 A B A 3B M ts 3 A2 3 AB 3 B2 A B 3 A 3 : ng d liên hi xu t hi n nhân t chung Cách trái, v ph m Ví d 1: Gi i ph x 1 (x 1)u 2 ng dùng: 3 3 (x 1)(2x 3) x 1 , n v h sau: x 1 (x 1)v v2 ng trình, b ng ch ng minh h sau: 2x 3; v 1 V i u v 1 x 2x 3 2x 2 6x 2 1 x x 2 12 5 3x x2 5 2 4x 1 x 3 5 3 2 u v (x 1)(v u) (u v)(u v x 1) 0 V i u v u 2 x 1 (x 1)u (2x 3)2 x 1 (x 1)(2x 3) 2x 2 6x 7 0 (VN)... f x f x S nghi m c trình, b g m ho c g m ho c f x c f x c 3: L p b ng bi n thi n c a hàm s y f x trên D c 4: Tìm min f x ; max f x x D Ví d 1: th c phân bi t: x 2 x x mx mx 2 2x 1 mx 2 mx 2 0 m 1 3x 4 x f x 1 ; 2 m trên mi n ng th ng \ 0 D a vào b ng bi c giá tr c a m th a mãn yêu c u bài toán là m 9 2 9 2 Ví d 2: thu c 0;1 trình sau có nghi m 3 x 2 2x 2 1 m x 2 x 0 2x 1 2x 1 2 1 2 3x 2 4x 1 * * V... x x 2 2x 4 ng s giao ng th ng m trên u ki n: D Xét hàm s f x 2 f(x) -2 Ví d 3: Tìm m x2 - 2 3 f 2 1;2 x2 2 4 x2 1 có nghi m b V y: m 2 1 x B ng bi n thi n c a hàm s f x m 0;1 4 x2 + B x x 2 2x 4 2x 4 2 1 x + 2 3 2 4 lim x 2 x 2 2x 4 4x lim x B ng bi n thi n c a hàm s f t t 2 x t2 2 m (do 1 t 2 ) t 1 t2 2 Xét hàm s f t trên t p 1; 2 t 1 t 1 4x lim 2 (1) x 2 2x 4 3 0, t 1 x m: 8 x 8 x 1 x 8 x 1 x 8 x... www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T B ng bi n thi n: x CAO HOÀNG NAM x 2 3x 4 0 7 2 -1 + x 3 3 x x m 2 15m 0 8 Ta có: x 2 3x 4 0 H - 0 3 2 t 1 x 4 m x 3 3 x x m2 15m 0 có nghi m x x 3 3 x x m2 15m có nghi m x 3 3 tf x x 3 3x x n3 t 3 2 T Do t 1 x x 1 8 x t t 2 9 2 m 2 t2 8 x 1 x 8 x 3x f' x 2 0 3x khi 0 x 1 x 0; x 1 x 2 6x khi 0 x x 1;4 0 4 0 4 2 B ng bi n thi n : 0 -1 x t 2 2t 9 2m - Xét hàm s f t x... f(x) f' t 2t 2 0 v i x 2 3;3 2 B ng bi n thi n: t 3 3 2 f x m max f x + 1;4 9 6 2 f(t) 2 -4 15m có nghi m x m2 15m m2 15m 16 0 V y: 16 m 1 1;4 16 m2 15m 16 m 1 6 S nghi m c m c th hàm s y ng s giao ng th ng y f t 2m trên 3;3 2 D a vào b ng bi nghi m 6 2m 9 6 2 V y: 3 m 3 m 9 6 2 2 9 6 2 2 Ví d 5: Tìm m nghi m: h b t x 2 3x 4 0 x 3 3 x x m 2 15m 0 Trong quá trình t ng h p, biên so n các ki n th c không... VÔ T t u 1 ;v y x H x y 3 3 1 y 2 v 3 3u 2 1 1 y x y 7 x x y 3 2 y 3 10 x 4 10 2 8 3 3 2 v) y 1 x2 2 7x 9 ta 7x 9 x 3 2 y2 1 4 2 x 4 2 x y x y2 Gi i (2): 2xy x x y 4 1 2 3 3 x 0 1 0 2(l) 1 y2 1 2 2 ng trình 2 2 x y (1) 3 x y2 2 c: y V y: Nghi m h ph 4 0 8 2 2 y 3 x x 3 45 24 2 5 x 2 x y2 u v 2 xy 2 1 x x 2 y 4 2xy 2 y 4 1 2 3 0 ** y2 (x 3) 1 0 do ( u Ví d 2: (D2-10) Gi i h 2 v2 2 45 24 2 v 2 2 uv xy... V i u y2 1 21 1 y x xy2 y2 1 xy2 x y 3 1 y x CAO HOÀNG NAM 2;1 ; 2; 1 ; 4 2; 1 2 ; 4 2; 1 (2) 3 3 x 0 x y2 9 6x x 2 y2 Gi i (1): B 2 y là c: 2 x 2 y4 2xy2 y4 1 2 3 2 (x 1)y2 1 (x 1)y2 1 x 2 7x 9 bi n thi n coi 2 x y2 2 3 2 x y2 Caohoangnamvn@gmail.com - 0907894460www.mathvn.com Trang 23 2 www.MATHVN.com : PT- BPT - HPT VÔ T Do x P Ví d : Gi i h : 3 x2 1 3 y 2 x 2 3 2 y 1 5 x 2 V y: Nghi m h x 4 4 1 . trình vô nghim. Ví d 1: Gii phng trình, bt phng trình sau: 1. 22 x 12 5 3x x 5     iu kin : x Nhn xét ta d dàng nhm đc x2 là nghim phng trình. u v phng trình tr thành 2 t t 0   Tham s bin thi n VÍ D VÀ BÀI TP Ví d 1: Gii các phng trình, bt phng trình sau: 1. 2 (x 4)(x 1) 3 x 5x 2 6  . các n ph. Kt hp vi phng trình ban đu ca bài toán ta đc h phng trình.  Lu ý các phng pháp gii h phng trình. Ví d 1: Gii các phng trình sau: 1.