Trong các đề thi đại học những năm gần đây , ta gặp rất nhiều bài toán về hệ phương trình . Nhằm giúp các bạn ôn thi tốt , bài viết này tôi xin giới thiệu một số dạng bài và kĩ năng giải chúng. Đặc điểm chung của dạng hệ này là sử dụng các kĩ năng biến đổi đồng nhất đặc biệt là kĩ năng phân tích nhằm đưa một PT trong hệ về dạng đơn giản ( có thể rút theo y hoặc ngược lại ) rồi thế vào PT còn lại trong hệ . ...
PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT : 0976566882 MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trong đề thi đại học năm gần , ta gặp nhiều tốn hệ phương trình Nhằm giúp bạn ôn thi tốt , viết xin giới thiệu số dạng kĩ giải chúng I.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Đặc điểm chung dạng hệ sử dụng kĩ biến đổi đồng đặc biệt kĩ phân tích nhằm đưa PT hệ dạng đơn giản ( rút theo y ngược lại ) vào PT lại hệ *Loại thứ , hệ có phương trình bậc với ẩn x y ta tìm cách rút y theo x ngược lại Ví dụ Giải hệ phương trình x ( y + 1) ( x + y + 1) = 3x − 4x + xy + x + = x ( 1) ( 2) Giải Dễ thấy x = khơng thỏa mãn PT(2) nên từ (2) ta có : y + = x2 x2 −1 thay vào (1) ta x x2 −1 x2 −1 2 x + ÷ = 3x − 4x + ⇔ ( x − 1) ( 2x − 1) = ( x − 1) ( 3x − 1) x x x = ⇔ ( x − 1) ( 2x + 2x − x − 1) = ( x − 1) ( 3x − 1) ⇔ ( x − 1) ( 2x + 2x − 4x ) = ⇔ x = (loại) x = −2 Từ , ta nghiệm hệ : (1;-1) , (-2; − ) *Loại thứ hai , Một phương trình hệ đưa dạng tích phương trình bậc hai ẩn Ví dụ Giải hệ phương trình xy + x + y = x − 2y x 2y − y x − = 2x − 2y ( 1) ( 2) Giải Điều kiện : x≥1 ; y≥0 2 PT (1) ⇔ x − xy − 2y − ( x + y ) = ⇔ ( x + y ) ( x − 2y ) − ( x + y ) = ( từ điều kiện ta có x+y>0) ⇔ x − 2y − = ⇔ x = 2y + thay vào PT (2) ta : y 2x + 2y = 2y + ⇔ ( y + 1) ( ) 2y − = ( y ≥ ) ⇔ y = ⇒ x = *loại thứ ba , đưa phương trình hệ dạng phương trình bậc hai ẩn , ẩn lại tham số y = ( 5x + ) ( − x ) ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình 2 ( 2) y − 5x − 4xy + 16x − 8y + 16 = Giải 2 Biến đổi PT (2) dạng y − ( 4x + ) y − 5x + 16x + 16 = PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT : 0976566882 y = 5x + Coi PT (2) phương trình ẩn y tham số x ta có ∆ ' = 9x từ ta nghiệm y = − x Thay (3) vào (1) ta : ( 5x + ) ( 3) ( 4) x=− ⇒y=0 = ( 5x + ) ( − x ) ⇔ x = ⇒ y = x = ⇒ y = Thay (4) vào (1) ta : ( − x ) = ( 5x + ) ( − x ) ⇔ x = ⇒ y = 4 Vậy nghiệm hệ : (0;4) , (4;0) , ( − ;0) II.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Điểm quan trọng hệ dạng phát ẩn phụ a = f ( x, y ) ; b = g ( x, y ) có phương trình xuất sau phép biến đổi đẳng thức phép chia cho biểu thức khác x + + y ( y + x ) = 4y ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình ( x + 1) ( y + x − ) = y ( ) Giải x2 +1 y +y+x = Dễ thấy y=0 không thỏa mãn PT(1) nên HPT ⇔ x + ( y + x − ) = y ÷ Đặt a = a + b = x2 +1 ,b = y + x − ⇒ giải hệ ta a=b=1 từ ta có hệ y ab = Hệ bạn đọc giải dễ dàng 2 =7 4xy + ( x + y ) + ( x + y) Ví dụ Giải hệ phương trình 2x + = x+y Giải Điều kiện : x +y ≠0 2 =7 3 ( x + y ) + ( x − y ) + x + y) ( HPT ⇔ x + y + + x − y = x+y Đặt a = x + y + x+y ( 3a + b = 13 a ≥ ) ; b = x − y ta hệ a + b = ( 1) ( 2) x + = y x + y = PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT : 0976566882 =2 x + y = x = x + y + x+y ⇔ ⇔ Giải hệ ta a=2 , b=1 ( |a|≥2 ) từ ta có hệ x − y = y = x − y = III.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Hệ loại ta gặp nhiều hai dạng f(x)=0 (1)và f(x)=f(y) (2) với f hàm đơn điệu tập D x,y thuộc D Nhiều ta cần phải đánh giá ẩn x,y để x,y thuộc tập mà hàm f đơn điệu * Loại thứ , phương trình hệ có dạng f(x)=f(y) , phương trình cịn lại giúp ta giới hạn x,y thuộc tập D để để hàm f đơn điệu x − 5x = y − 5y ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình ( 2) x + y = Giải Từ PT (2) ta có x ≤ 1; y ≤ ⇔ x ≤ 1; y ≤ Xét hàm số f ( t ) = t − 5t; t ∈ [ −1;1] có f ' ( t ) = 3t − < 0; ∀t ∈ [ −1;1] f(t) nghịch biến khoảng (-1;1) hay PT (1) ⇔ x = y thay vào PT (2) ta PT : x + x − = −1 + −1 + ⇒ y = x = ±4 2 *loại thứ hai , dạng hệ đối xứng loại hai mà giải thường dẫn đến hai trường hợp (1) (2) Đặt a=x4 ≥0 giải phương trình ta a= x + x − 2x + = 3y −1 + Ví dụ Giải hệ phương trình x −1 y + y − 2y + = + Giải a + a + = 3b a = x − 1; b = y − Đặt ta hệ b + b + = 3a ( 1) ( 2) Trừ vế với vế PT ta : a + a + + 3a = b + b + + 3b (3) Xét hàm số f ( t ) = t + t + + 3t ;f ' ( t ) = Vì t2 +1 + t t +1 + 3t ln t + > t ≥ − t ⇒ t + + t > ⇒ f ' ( t ) > 0, ∀t hàm số f(t) đồng biến R Nên PT (3) ⇔ a = b thay vào PT (1) ta a + a + = 3a (4) ( ) Theo nhận xét a + a + > nên PT (4) ⇔ ln a + a + − a ln = ( lấy ln hai vế ) ( ) Xét hàm số g ( a ) = ln a + a + − a ln 3; g' ( a ) = − ln < − ln < 0, ∀a ∈ R a2 +1 hay hàm g(a) nghịch biến R PT (4) có nghiệm a=0 nên PT (4) có nghiệm a=0 Từ ta nghiệm hệ ban đầu : x=y=1 IV.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Với phương pháp này, cần lưu ý phát biểu thức không âm nắm vững cách vận dụng bất đẳng thức PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT : 0976566882 2xy = x2 + y x + x − 2x + Ví dụ Giải hệ phương trình 2xy y + = y2 + x y − 2y + Giải 2xy 2xy + = x + y (1) Cộng vế với vế hai PT ta 2 x − 2x + y − 2y + Ta có : Tương tự x − 2x + = 2xy ( x − 1) +8 ≥ ⇒ 2xy x − 2x + ≤ xy x − 2x + ≤ xy = xy ≤ xy mà theo bất đẳng thức Côsi x + y ≥ xy nên VT(1)≤VP(1) x − 2x + x = y = Dấu xảy thử lại ta nghiệm hệ : (0;0) , (1;1) x = y = 3 y = − x + 3x + Ví dụ Giải hệ phương trình x = 2y − 6y − Giải y − = − ( x − 3x − ) y − = − ( x + 1) ( x − ) ( 1) ⇔ HPT ⇔ x − = ( y − 3y − ) x − = ( y + 1) ( y − ) ( ) Nếu x>2 từ (1) suy y-2