SKKN: Một số kinh nghiệm về phương pháp giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn

Trong chương trình Toán 10 nội dung kiến thức rất quan trọng và rất khó đó là phương trình bậc hai hai ẩn. Đối với các học sinh trung bình, yếu gặp rất nhiều khó khăn khi làm bài kiểm tra cuối chương, kỳ thi tốt nghiệp đặc biệt là thi Đại học – Cao đẳng. Dưới đây là sáng kiến kinh nghiệm về một số kinh nghiệm về phương pháp giải phương trình bậc hai hai ẩn giúp các giáo viên có tư liệu tham khảo trong việc giảng dạy giúp các em học sinh hiểu rõ và biết làm bài tập.

Tỉ: To¸n – Tin GV: V H i Anh - Trờng THPT số Bắc Hà Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm phơng pháp giải hệ phơng tr×nh bËc hai hμi Èn PH N M U Tính c p thi t c a đ tài, tình hình nghiên c u, m c đích nhi m v c a sáng ki n kinh nghi m, đ i t ng ph m vi nghiên c u - Trong chơng trình toán 10 nội dung kiến thức quan trọng khó, hệ phơng trình bậc hai hai ẩn Đối với học sinh đại trà, trung bình yếu gặp nhiều khó khăn làm kiểm tra cuối chơng, thi tốt nghiệp nh thi Đại học, Cao đẳng Vấn đề cấp thiết đặt làm để học sinh hiểu nắm đợc phơng pháp giải hệ phơng trình bậc hai hai Èn, biÕt vËn dơng vµo bµi tËp thi cuối kỳ nh ôn thi Đại học, Cao đẳng - Qua nhiều năm giảng dạy với đối tợng học sinh trờng THPT số I Bắc Hà, đà nghiên cứu rút số kinh nghiệm giảng dạy phơng pháp giải hệ phơng trình bậc hai hai ẩn để học sinh hiểu rõ biết làm tập Biện pháp thực hiện: - Nghiên cứu tài liêụ, sách tham khảo - Giới thiệu khoảng tiết học xong ch ơng phơng trình Hệ phơng trình - Đại số 10 Tổ: Toán Tin GV: V H i Anh - Tr−êng THPT sè Bắc Hà Phần nội dung Trong chơng trình Toán trờng THPT với đối tợng học sinh vùng cao, trờng dạy chơng trình chuẩn Trong chơng trình chuẩn phần lý thuyết hệ phơng trình bậc hai hai ẩn thu gọn, đơn giản Tuy nhiên phần áp dụng để làm tập đa dạng, phong phú Chúng thờng phải lấy quỹ thời gian chơng trình tự chọn bám sát, thời gian bồi dỡng buổi chiều để giảng dạy, bổ sung thêm cho học sinh Để giảm bớt khó khăn cho học sinh phơng pháp giải hệ phơng trình bậc hai hai ẩn từ đơn giản tới phức tạp, quy lại quen cho học sinh, học sinh nắm phơng pháp giải hệ đơn giản, Từ phân tích thêm phơng pháp giải hệ phơng trình phức tạp Tôi phân loại dạng tập hệ phơng trình Đàu tiên học sinh cần nắm phơng pháp giải hệ gồm phơng trình bậc phơng trình bậc hai hai ẩn Trong phần phơng pháp giải áp dụng đợc cho phơng pháp Rút ẩn từ phơng trình bậc vào phơng trình bậc hai Các dạng bi tập áp dụng: Hệ phơng trình đối xứng loại 1: Cho học sinh nhận đợc hệ đối xứng loại 1, học sinh biết cách nhận dạng đợc hệ đối xứng loại dù hệ bậc hay bậc cao * Phơng pháp giải đặt S = x + y, P = x.y Giải hệ tổng quát từ S, P sau lập luận x y nghiệm phơng trình bậc 2: t − St + Pt = Cã thĨ biƯm ln lu«n hƯ cã nghiƯm (x,y) vµ chØ S ≥ P ⎧ x + y + xy = VÝ dô 1: Giải hệ phơng trình: x + y = Giải: Đặt S = x+y, P = x.y cã hƯ Tỉ: To¸n – Tin GV: V H i Anh - Trờng THPT số Bắc Hà S + P = ⎧P = − S ⇔⎨ ⎨ ⎩ S + P = ⎩ S − 2(5 − S ) = ⎡⎧S = ⎧P = − S ⎢⎨ ⎧P = − S ⎪ ⎩P = ⇔⎨ ⇔ ⎨⎡ S = ⇔ ⎢ ⎢ ⎧ S = −5 ⎩ S + S − 15 = ⎪ ⎢ S = −5 ⎢⎨ ⎣ ⎩ ⎣⎢ ⎩ P = 10 + Víi S = 3, P = suy x y la nghiệm phơng trình ⎡t = t − 3t + = t = Trờng hợp hệ cã nghiƯm: (1;2), (2;1) + Víi S = -5, P = 10 suy x vµ y la nghiƯm phơng trình t + 5t + 10 = Phơng trình vô nghiệm Vậy hệ có nghiệm: (1;2), (2;1) ⎧ xy + x + y = 11 VÝ dụ 2: Giải hệ phơng trình: x y + xy = 30 Gi¶i: ⎧ xy + x + y = 11 Hệ tơng đơng với xy ( x + y ) = 30 Đặt S = x+y, P = x.y ⎡⎧S = ⎢⎨ ⎧ S + P = 11 ⎢ ⎩ P = Hệ đà cho tơng đơng với S = ⎩ S P = 30 ⎢⎨ ⎣⎢ ⎩ P = Tìm x, y hai trờng hợp suy hÖ cã nghiÖm (1;5), (5;1), (2;3), (3;2) ⎧ xy + x + y = m + VÝ dụ 3: Giải hệ phơng trình: x y + xy = m + a) Gi¶i hƯ m = -3 b) Tìm m để hệ có nghiƯm nhÊt Tỉ: To¸n – Tin GV: V H i Anh - Trờng THPT số Bắc Hà Gi¶i: ⎧ S + P = m + 2(1) ⎩ S P = m + 1(2) Đặt S = x+y, P = x.y cã hÖ ⎨ ⎧ S + P = −1 ⎧ S = ⎧ S = −2 hc ⎨ ⇔⎨ ⎩P = ⎩ S P = −2 ⎩ P = −2 a) Víi m = -3 cã hƯ ⎨ + Víi S = 1, P = -2 suy x y la nghiệm phơng trình ⎡ t = −1 t2 − t − = t = Trờng hợp hệ cã nghiƯm: (-1;2), (2;-1) + Víi S = -2, P = suy x vµ y la nghiƯm phơng trình t + 2t + = t1 = t2 = Trờng hợp hệ cã nghiÖm: (-1;-1) VËy hÖ cã nghiÖm: (-1;2), (2;-1), (-1;-1) b) Tõ (1) ⇒ S = m + P thay vào (2) đợc (m + − P) P = m + ⇔ (m + 2) P − P = m + ⇔ P − (m + 2) P + m + = 0(∗) ⎡ P1 = ⇔⎢ ⎣ P2 = m + + Víi P = ⇒ S = m+1 §Ĩ hƯ cã nghiƯm nhÊt th×: ⎡m = S = P ⇔ (m + 1) = ⇔ ⎢ ⎣ m = −5 + Víi P = m + ⇒ S = Để hệ có nghiệm S = P ⇔ = 4(m + 1) ⇔ 4m = −3 ⇔ m = − VËy víi m = ; m = -5 hc m = − th× hƯ cã nghiƯm nhÊt ⎧ x + y = 2(1 + a) Ví dụ 4: Giải hệ phơng trình: ( x + y ) = a) Gi¶i hƯ a = 4 Tỉ: To¸n – Tin GV: V H i Anh - Tr−êng THPT sè Bắc Hà b) Tìm m để hệ có nghiƯm Gi¶i: ⎪⎧ S − P = 2(1 + a ) S = Đặt S = x+y, P = x.y cã hÖ ⎨ ⎧S − 2P = ⎧P = a) Víi a = cã hÖ ⎪⎨ ⇔⎨ ⎩ S = ±2 ⎪⎩ S = + Víi S = 2, P = ⇒ hÖ cã hai nghiÖm (0;2), (2;0) + Víi S =-2, P = ⇒ hƯ cã hai nghiÖm (0;-2), (-2;0) VËy hÖ cã nghiÖm (0;2), (2;0), (0;-2), (-2;0) b) Gi¶ sư hƯ cã nghiƯm ( x0 ; y0 ) cặp số ( x0 ; − y0 ) ; ( y0 ; x0 ) , (− y0 ; − x0 ) cịng lµ nghiƯm cđa hƯ CỈp sè ( x0 ; y0 ) ≠ ( x0 ; y0 ) ngợc lại x0 = y0 = mà cặp số (0;0) nghiệm hệ Vậy hệ cã nghiƯm lµ ( x0 ; y0 ) vµ (− x0 ; − y0 ) ⇒ ( x0 ; y0 ) = ( y0 ; x0 ) , (− x0 ; − y0 ) = (− y0 ; − x0 ) ⎧⎪2 x0 = 2(1 + a) ⇒a=0 ⇒ x0 = y0 ®ã ta cã: ⎨ ⎪⎩4 x0 = ⎧ x2 + y = Ngợc lại với a = ta có hệ ⎪⎩( x + y ) = Gi¶i hƯ đợc nghiệm (-1;-1), (1;1) Vậy a = giá trị cần tìm 2 x + y + xy = Ví dụ 5: Giải hệ phơng tr×nh: ⎨ 4 2 ⎪⎩ x + y + x y = 21 Giải: Hệ hệ ®èi xøng lo¹i 1: {( x + y) HƯ ®· cho tơng đơng với xy = 7(1) ( x + y ) − x y = 21(2) Đặt S = x+y, P = x.y Phơng trình (1) S P = ⇒ S = P + Tỉ: To¸n – Tin GV: V H i Anh - Trờng THPT số Bắc Hà Thay vào (2) ⇒ (7 − P)2 − P = 21 ⇔ 14 P = 28 ⇔ P = VËy S = ⇒ S = ±3 + Víi S = 3, P = suy x vµ y lµ nghiệm phơng trình t = t 3t + = ⇔ ⎢ ⎣t = ⇒ HƯ cã nghiƯm (1;2) vµ (2;1) + Víi S = -3, P = suy x y nghiệm phơng trình t1 = t + 3t + = ⇔ ⎢ ⎣t2 = −2 ⇒ HƯ cã nghiƯm (-1;-2) vµ (-2;-1) VËy hƯ ®· cho cã nghiƯm (1;2), (2;1), (-1;-2) (-2;-1) Hệ phơng trình đối xứng loại Phân tích cho học sinh nắm dạng tổng quát hệ phơng trình đối xứng loại 2, cách nhận dạng hệ phơng trình đối xứng loại nắm đợc phơng pháp giải hệ trừ vế hệ sau biến đổi phơng trình tìm đợc phơng trình tích, đa việc giải hệ đà cho việc giải hệ phơng trình quen thuộc x = 7x + 3y Ví dụ 1: Giải hệ phơng tr×nh: ⎪⎨ 3 ⎪⎩ y = y + x Gi¶i: x3 − y = 7( x − y ) + 3( y − x) ⇔ ( x − y )( x + xy + y ) = 4( x − y ) Trõ tõng vế hệ phơng trình ta đợc: ( x y )( x + xy + y − 4) = ⎡x − y = ⇔⎢ 2 ⎣ x + xy + y − = ⎡⎧ x − y = ⎢⎨ ⎩x = 7x + Vậy hệ phơng trình đà cho tơng đơng với 2 x + xy + y − = ⎢ ⎣ ⎪⎩ x = x + y Tæ: To¸n – Tin GV: V H i Anh - Tr−êng THPT số Bắc Hà Hai hệ phơng trình giải đợc nghiệm x = x + y Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình: ⎪⎩ y = y + x x3 − y = 5( x − y ) + y x Trừ vế hệ phơng trình ta đợc: ⇔ ( x − y )( x + xy + y ) = ( x − y ) ⎡x − y = ⇔⎢ 2 ⎣ x + xy + y = Giải tơng tự ví dụ Hệ đẳng cấp bậc 2: 2 ⎪⎧a1 x + b1 xy + c1 y = m Dạng tổng quát 2 a2 x + b2 xy + c2 y = n Trong ®ã x, y ẩn, laiij hệ số: Phơng pháp giải: Quy đồng hệ số vế phải sau trừ vế hệ phơng trình tìm đợc ®Ỉt x = ky (BiƯm ln y ≠ ) 2 ⎪⎧ x + xy + y = 9(1) Ví dụ1: Giải hệ phơng trình 2 ⎪⎩2 x + xy + y = 2(2) Gi¶i: ⎧⎪2 x + xy + y = 18 ⇔ 16 x + 14 xy + y = Hệ tơng đơng víi: ⎨ 2 ⎪⎩18 x + 18 xy + y = 18 Tõ hÖ ta thÊy y = nghiệm hệ nên có ⎡x =− ⎢ y ⎛x⎞ x 16 ⎜ ⎟ + 14 + = ⇔ ⎢ y ⎢x ⎝ y⎠ ⎢y =−2 ⎣ Tõ x 3 = − ⇒ x = − y Thay vµo (2) ta đợc: y 8 Tổ: Toán Tin GV: V H i Anh - Tr−êng THPT sè Bắc Hà ⎜ − y ⎟ + ⎜ − y ⎟ y + y2 = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇔ y − y + y2 = 32 ⇔ y − 24 y + 32 y = 64 ⇔ 17 y = 64 ⇔ y = 64 64 17 ⇒ y=± =± 17 17 17 ⎛ 17 −8 17 ⎞ ⎛ −3 17 17 ⎞ ; ; ⎟⎟ ; ⎜⎜ ⎟ 17 17 17 17 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ HÖ cã nghiÖm ⎜⎜ Tõ x −1 = ⇒ y = −2 x thay y = x vào (2) ta đợc: y 2 x + x(−2 x) + (−2 x) = ⇔ x = ⇔ x = ±1 VËy hÖ cã nghiÖm (1;-2), (-1:2) ⎧ x − xy + y = k Ví dụ2: Giải hệ phơng trình y − xy = a) Gi¶i hƯ k = b) Chøng minh r»ng hÖ cã nghiÖm víi mäi k Gi¶i: ⎧⎪ x − xy + y = ⎨ ⎪⎩ y − xy = 2 ⎪⎧4 x − 16 xy + y = ⇔⎨ Víi k = cã hÖ ⎪⎩ y − 3xy = ⇔ x − 13xy + y = ⎡x = 3y ⇔⎢ ⎢x = y ⎣ + Víi x = y Thay vµo (2) ⇒ y − y = ⇔ y = phơng trình vô nghiệm + Víi x = y 3y2 Thay vµo (2) ⇒ y − = ⇔ y = 16 ⇔ y = 4 Trờng hợp hệ có nghiệm (1;4) (-1;-4) Tổ: Toán Tin GV: V H i Anh - Tr−êng THPT sè Bắc Hà b) Trong trờng hợp tổng quát từ phơng tr×nh (2) ⇒ y ≠ VËy x = y2 3y thay vào phơng trình (1) rút đợc: 14 y + ( 9k y ) y − 16 = Víi mäi k phơng trình có nghiệm y > từ tìm đợc y Do hệ đà cho có nghiệm với k Phơng pháp giải hệ phơng trình bậc hai ẩn chủ yếu cách biến đổi tơng đơng đa hệ đặt ẩn phụ đa hệ Tất hệ phơng trình đà nói coi nh hệ mà học sinh phải nắm phơng pháp giải Sau số ví dụ giải hệ phơng trình cách đặt ẩn phụ đa hệ đà cho hệ y + xy = x (1) VÝ dơ1: Gi¶i hƯ phơng trình 2 + x y = x (2) Gi¶i: Tõ (2) ⇒ x ≠ Chia vế phơng trình hệ cho x2 đợc hệ phơng trình: y1 y y2 + y⎟ = ⎜ ⎪ + = ⎪⎪ x x ⎠ ⎪x⎝ x ⇔⎨ ⎨ ⎪ + y=5 ⎪⎛ + y ⎞ − y = ⎜ ⎟ ⎩⎪ x x ⎠ ⎩⎪⎝ x ⎧ v2 − ⎧ v2 − u = ⎪⎪ ⎧u.v = = u u = y Đặt = u, = v Đợc hệ x x ⎩v = ⎩v − 2u = ⎪ v − v = ⎪v − 5v − 12 = ⎩ ⎪⎩ ViÖc giải hệ đà cho tơng đơng với giải hệ ⎧1 ⎪⎪ x + y = ⎪⎧ = ⎪ =2 hc ⎨ x ⇔ ⎨x ⎨ ⎪⎩ y = ⎪ y = ⎪⎩ y = ⎪⎩ x VËy nghiƯm cđa hƯ ph−¬ng trình (1;2) ;1 Tổ: To¸n – Tin GV: V H i Anh - Tr−êng THPT số Bắc Hà xy + x + = y (1) Ví dụ2: Giải hệ phơng tr×nh ⎨ 2 ⎩ x y + xy + = 13 y (2) Giải: Từ phơng trình (2) suy y = nghiệm cđa hƯ x ⎧ ⎪x + y + y = Do y hệ đẫ cho tơng ®−¬ng víi ⎪⎨ ⎪ x + + x = 13 y2 y y Đặt u = x + ; v = x Ta cã hƯ ph−¬ng tr×nh y ⎡ ⎧u = −5 ⎢⎨ ⎧u + v = ⎧v = − u ⎧v = − u ⎩v = 12 ⎢ ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔ ⎨ ⎢ ⎧u = ⎩u − v = 13 ⎩u − + u − 13 = ⎩u + u − 20 = ⎢⎨ ⎢⎣ ⎩v = ⎧ ⎪ x + y = −5 + Víi u = -5; v = 12 Ta có hệ phơng trình x = 12 y ⎧ ⎪x + y = + Víi u = 4; v = Ta cã hƯ ph−¬ng trình x =3 y Hai hệ phơng trình hệ giải phơng ph¸p thÕ ⎧ x + + y ( y + x) = y VÝ dơ 3: Gi¶i hệ phơng trình ( x + 1)( y + x − 2) = y Gi¶i: Ta thÊy y = nghiệm hệ phơng trình Nªn chia tõng vÕ ⎧ x2 + + ( y + x) = ⎪ ⎪ y cđa c¸c phơng trình hệ phơng trình cho y ta đợc: ⎨ ⎪ x + ( y + x − 2) = ⎪⎩ y 10 Tỉ: To¸n – Tin Đặt u = GV: V H i Anh - Trờng THPT số Bắc Hà x2 + ; v = y + x Ta có hệ phơng trình y ⎧v = − u ⎧u + v = ⎧v = − u ⎧u = ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ ⎩u (v − 2) = ⎩u (2 − u ) − = ⎩v = ⎩u − 2u + = ⎧ x2 + =1 Hệ đà cho tơng đơng với y x + y = Đến giải hệ phơng pháp Phần kết luận Qua thực tế giảng dạy lớp 10 A1 ôn thi Đại học, Cao đẳng cho học sinh lớp 12A1 vận dụng phơng pháp phần Tôi nhËn thÊy häc sinh tiÕp cËn kiÕn thøc mét c¸ch dễ dàng, học sinh hứng thú học tập nắm đợc phơng pháp giải toán hệ phơng trình bậc hai hai ẩn Cụ thể qua khảo sát lần hai số học sinh đạt điểm trung bình trở lên 80% Trên vài kinh nghiệm phgơng pháp giảng dạy phần hệ phơng trình bậc hai hai ẩn với mục tiêu học sinh nắm đợc kiến thức biết vận dụng vào giải tậpk Rất mong đợc đóng góp đồng chí đồng nghiệp viết Bắc H, ngy 15 tháng năm 2011 Ngời viết sáng kiến Vũ Thị Hải Anh 11 Tổ: To¸n – Tin GV: V H i Anh - Tr−êng THPT số Bắc Hà 12 ... phơng pháp giải toán hệ phơng trình bậc hai hai ẩn Cụ thể qua khảo sát lần hai số học sinh đạt điểm trung bình trở lên 80% Trên vài kinh nghiệm phgơng pháp giảng dạy phần hệ phơng trình bậc hai hai... trình bậc hai ẩn chủ yếu cách biến đổi tơng đơng đa hệ đặt ẩn phụ đa hệ Tất hệ phơng trình đà nói coi nh hệ mà học sinh phải nắm phơng pháp giải Sau số ví dụ giải hệ phơng trình cách đặt ẩn phụ... pháp giải hệ đơn giản, Từ phân tích thêm phơng pháp giải hệ phơng trình phức tạp Tôi phân loại dạng tập hệ phơng trình Đàu tiên học sinh cần nắm phơng pháp giải hệ gồm phơng trình bậc phơng trình