skkn một số kinh nghiệm về phương pháp giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn

- Trong chương trình toán 10 một nội dung kiến thức rất quan trọng và rất khó, đó là hệ phương trình bậc hai hai ẩn.. Vấn đề cấp thiết đặt ra là làm thế nào để học sinh hiểu và nắm được

Sáng kiến kinh nghiệm

Một số kinh nghiệm về phương pháp giải

hệ phương trình bậc hai hμi ẩn

Tớnh c p thi t c a đ tài, tỡnh hỡnh nghiờn c u, m c đớch và nhi m v c a sỏng ki n kinh nghi m, đ i t ng và ph m vi nghiờn c u

- Trong chương trình toán 10 một nội dung kiến thức rất quan trọng và rất khó, đó là hệ phương trình bậc hai hai ẩn Đối với học sinh đại trà, trung bình yếu gặp rất nhiều khó khăn khi làm bài kiểm tra cuối chương, thi tốt nghiệp cũng như thi Đại học, Cao đẳng Vấn đề cấp thiết đặt ra là làm thế nào để học sinh hiểu và nắm được phương pháp giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn, biết vận dụng vào bài tập thi cuối kỳ cũng như ôn thi Đại học, Cao đẳng

- Qua nhiều năm giảng dạy với đối tượng học sinh của trường THPT số I Bắc

Hà, tôi đã nghiên cứu và rút ra một số kinh nghiệm giảng dạy phương pháp giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn để học sinh hiểu rõ và biết làm bài tập

Biện pháp thực hiện:

- Nghiên cứu các tài liêụ, các sách tham khảo

- Giới thiệu khoảng 8 tiết khi học xong ch ơng phương trình – Hệ phương trình - Đại số 10

Phần nội dung

Trong chương trình Toán ở trường THPT với đối tượng học sinh vùng cao, trường tôi dạy chương trình chuẩn Trong chương trình chuẩn phần lý thuyết về hệ phương trình bậc hai hai ẩn hết sức thu gọn, đơn giản Tuy nhiên phần áp dụng để làm bài tập thì rất đa dạng, phong phú Chúng tôi thường phải lấy quỹ thời gian

trong chương trình tự chọn bám sát, thời gian bồi dưỡng buổi chiều để giảng dạy,

bổ sung thêm cho học sinh Để giảm bớt sự khó khăn cho học sinh về phương pháp giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn bao giờ tôi cũng đi từ đơn giản tới phức tạp, quy lại và quen cho học sinh, học sinh nắm chắc phương pháp giải hệ đơn giản, cơ bản nhất Từ đó phân tích thêm về phương pháp giải các hệ phương trình phức tạp hơn Tôi phân loại các dạng bài tập về hệ phương trình

Đàu tiên học sinh cần nắm chắc phương pháp giải hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai của hai ẩn Trong phần này phương pháp giải cơ bản áp dụng được cho mọi bài là phương pháp thế Rút một ẩn từ phương trình bậc nhất thế vào phương trình bậc hai

Các dạng bμi tập áp dụng:

1 Hệ phương trình đối xứng loại 1:

Cho học sinh nhận được thế nào là hệ đối xứng loại 1, học sinh biết cách nhận dạng được các hệ đối xứng loại 1 dù đó là hệ bậc 2 hay bậc cao

* Phương pháp giải đặt S = x + y, P = x.y

Giải hệ tổng quát từ S, P sau đó lập luận ra x và y là nghiệm phương trình bậc 2: 2 Có thể biệm luận luôn hệ có nghiệm (x,y) khi và chỉ khi

0

4

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 2 2

5 5

+ + =

⎧

⎨ + =

⎩

Giải:

Đặt S = x+y, P = x.y có hệ

2 2

3 5

2

2 5

3

5 5

10

S

P

S

S S

P

⇔

2 15 0

⎡ ⎧ =

= ư

= ư

⎩

⎩

=

⎢⎩

⎣

3 2 0

2

t

t t

t

=

⎡

ư + = ⇔ ⎢ =

⎣

2

5 10 0

t + +t =

+ Với S = 3, P = 2 suy ra x và y la nghiệm phương trình

Trường hợp này hệ có 2 nghiệm: (1;2), (2;1)

+ Với S = -5, P = 10 suy ra x và y la nghiệm phương trình

Phương trình vô nghiệm Vậy hệ có 2 nghiệm: (1;2), (2;1)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 2

x y x 2

11 30

xy x y y

+ + =

⎧

⎨

⎩

Giải:

Hệ trên tương đương với

11

xy x y

( ) 30

xy x y

+ + =

⎧

⎩

5 6 11

S P

S P

Đặt S = x+y, P = x.y

Hệ đã cho tương đương với

5

P

⎡⎧ =

⎨

⎢ = + =

=

⎧

⎢⎨

⎩

=

⎢⎩

⎣

Tìm x, y trong hai trường hợp suy ra hệ có 4 nghiệm (1;5), (5;1), (2;3), (3;2)

2 1

xy x y m

x y xy m

+ + = +

⎧

⎩

a) Giải hệ khi m = -3

b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

Gi¶i:

§Æt S = x+y, P = x.y cã hÖ ⎧⎨ 2(1)

1(2)

S P m

S P m

+ = +

= +

⎩

⇔

a) Víi m = -3 cã hÖ

2 1

S P

hoÆc ⎧⎨ =⎩ = −

2 0

2

t

t t

t

= −

⎡

− − = ⇔ ⎢ =

⎣

2

t + + = ⇔ = = −t t t

2 2

( 2) 1 0( )

m P P m

m P P m

P m P

P

P m

=

⎡

⇔ ⎢ = +

⎣

S P m

m

+ Víi S = 1, P = -2 suy ra x vµ y la nghiÖm ph−¬ng tr×nh

Tr−êng hîp nµy hÖ cã 2 nghiÖm: (-1;2), (2;-1)

+ Víi S = -2, P = 1 suy ra x vµ y la nghiÖm ph−¬ng tr×nh

1 2 Tr−êng hîp nµy hÖ cã 1 nghiÖm: (-1;-1)

VËy hÖ cã 3 nghiÖm: (-1;2), (2;-1), (-1;-1)

b) Tõ (1) ⇒ = + −S m 2 P thay vµo (2) ®−îc

1 2

1 1

m+

+ Víi P = 1 ⇒ S = m+1 §Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt th×:

5

=

⎡

= ⇔ + = ⇔ ⎢ = −

⎣

⇒

+ Víi P = m + 1 S = 1

§Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt th× 2

S 4P 1 4( 1) 4 3 3

4

= ⇔ = + ⇔ = − ⇔ = −

VËy víi m = 3 ; m = -5 hoÆc 3

4

m= − th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt

VÝ dô 4: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: 2 2

2

2(1 )

x y

⎪

⎨

⎪⎩

a) Gi¶i hÖ khi a = 1

b) Tìm m để hệ có đúng 2 nghiệm

Giải:

Đặt S = x+y, P = x.y có hệ

2 2

2 2(1 ) 4

S

=

⎪⎩

2 4

S

⎧

⎪

a) Với a = 1 có hệ

2 2

S

⇔

⎪

= ±

=

⎩

⇒

⇒

+ Với S = 2, P = 0 hệ có hai nghiệm (0;2), (2;0)

+ Với S =-2, P = 0 hệ có hai nghiệm (0;-2), (-2;0)

Vậy hệ có 4 nghiệm (0;2), (2;0), (0;-2), (-2;0)

b) Giả sử hệ có nghiệm ( ;x y0 0) ⇒ các cặp số ( ưx0; ưy0); (y x0; 0), ( ưy0; ưx0)

cũng là nghiệm của hệ Cặp số ( ;x y0 0 ) ≠ ( ưx0; ưy0) vì nếu ngược lại thì x0 = 0 và

mà cặp số (0;0) không phải là nghiệm của hệ

0 0

y =

Vậy hệ có 2 nghiệm là ( ;x y0 0) và ( ưx0; ưy0) ⇒ ( ;x0 y0)= (y0;x0)

0 0

( ;

,

)

x y

ư ư = ( ưy0; ưx0)

0

0

x

⎧⎪

⎨

⎪⎩

2 2 2

2

x y

x y

⎧

khi đó ta có: 2 2 2(1 )

a

= +

⇒ =

=

Ngược lại với a = 0 ta có hệ ⎪⎨ + =

⎪⎩

Giải hệ được 2 nghiệm (-1;-1), (1;1)

Vậy a = 0 là giá trị cần tìm

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:

2 2

4 4 2 2

7 21

x y xy

x y x y

⎧ + + =

⎪

⎨

⎪⎩

Giải:

Hệ này là hệ đối xứng loại 1:

Hệ đã cho tương đương với { 2

2 2 2 2 2

( )

x y xy

x y x y

7(1)

=

Đặt S = x+y, P = x.y Phương trình (1) ⇔ ư = ⇒ = +

Thay vào (2) ⇒ 2

(7 P) P 21 14P 28 P 2

9 = ± 3

1

3 2 0

2

t

t

=

⎡

ư + = ⇔ ⎢ =

⎣

⇒

1 2

2

1

3 2 0

2

t

t

= ư

⎡ + + = ⇔ ⎢ = ư

⎣

⇒

Vậy 2

S = ⇒S

+ Với S = 3, P = 2 suy ra x và y là nghiệm phương trình

2

Hệ có 2 nghiệm (1;2) và (2;1)

+ Với S = -3, P = 2 suy ra x và y là nghiệm phương trình

Hệ có 2 nghiệm (-1;-2) và (-2;-1)

Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm (1;2), (2;1), (-1;-2) và (-2;-1)

2 Hệ phương trình đối xứng loại 2

Phân tích cho học sinh nắm chắc dạng tổng quát của hệ phương trình đối xứng loại 2, cách nhận dạng hệ phương trình đối xứng loại 2 và nắm được phương pháp giải hệ này là trừ từng vế của hệ sau đó biến đổi phương trình tìm được về phương trình tích, đưa việc giải hệ đã cho về việc giải 2 hệ phương trình quen thuộc

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: ⎧

3 3

7 3

7 3

x = x y

y y x

+

⎪

⎨

= +

⎪⎩

Giải:

Trừ từng vế hệ phương trình ta được:

3 3

7( ) 3( )

0

x y x y y x

0

4 0

x y x xy y x y

x y

x y

x xy y

x xy y

⎡

⇔ ⎢

⎣

3

3

0

7 3

4 0

7 3

x y

x x

x xy y

x x y

⎡ ⎧ ư =

⎢⎨

= +

⎩

⎢

⎢⎧

+ + ư =

ư = + + ư =

Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với

+ + ư =

⎪

⎢⎨

⎢ ⎪⎩ = +

⎣

Hai hệ phương trình cơ bản giải được nghiệm

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: ⎧

3 3

5 5

x = x+y

⎪

⎨

y = y+x

⎪⎩

3 3

5( )

0

4 0

x y x y y x

Trừ từng vế hệ phương trình ta được: x y x xy y x y

x y

x xy y

ư =

⎡

⇔ ⎢ + + ư =

⎣

Giải tương tự ví dụ 1

3 Hệ đẳng cấp bậc 2:

Dạng tổng quát

a x b xy c y m

a x b xy c y n

⎪

⎨

⎪⎩

Trong đó x, y là ẩn, còn laiij là hệ số:

Phương pháp giải: Quy đồng hệ số ở vế phải sau đó trừ từng vế hệ phương trình tìm được rồi đặt x = ky (Biệm luận y≠ 0)

2 3 9(1)

x xy y

x xy y

⎪

⎨

⎪⎩

Giải:

Hệ trên tương đương với:

x xy y

x xy y

x xy y

18

⎨

⎪⎩

Từ hệ ta thấy y = 0 không phải là nghiệm của hệ nên có

2

14 3 0

3 8 16

1 2

x y x y

⎡ = ư

⎢

⎢

⇔

⎢

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎢

⎣

x

x y

y = ư ⇒ = ư Thay vào (2) ta được:

2

2

32 4

9 24

17 64

y y y y

y y y

y y

⎛− ⎞ + ⎛− ⎞ + =

2

32 64

y

y

=

= ⇒ = ± = ±

HÖ cã 2 nghiÖm 3 17 3 17 8 17;

8 17

17

2

x

y x y

−

= ⇒ = − thay y= − 2x

2

2 2 ( 2 ) ( 2 ) 2

x x x x

⇔ = ⇔ = ±

2

4

vµo (2) ta ®−îc:

VËy hÖ cã 2 nghiÖm (1;-2), (-1:2)

VÝ dô2: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh x xy y k

y xy

⎪

⎨

⎪⎩

a) Gi¶i hÖ khi k = 1

b) Chøng minh r»ng hÖ cã nghiÖm víi mäi k

Gi¶i:

Víi k = 1 cã hÖ

2

2

3 4

y xy

y xy

y x

⎪

⎨

⎪⎩

⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

=

⎡

⎢

⇔

⎢ =

⎣

3

+ Víi x= y Thay vµo (2) ⇒ y2 − 9y2 = ⇔ − 4 8y2 = 4 ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm

+ Víi

4

y

x= Thay vµo (2) 2 3 2 2

4

y

Tr−êng hîp nµy hÖ cã 2 nghiÖm (1;4) vµ (-1;-4)

b) Trong trường hợp tổng quát từ phương trình (2) ⇒ ≠y 0 Vậy

2 4 3

y x y

ư

= thay vào phương trình (1) rút ngọn được: 4 ( ) 2

2 0

y >

Với mọi k phương trình luôn có nghiệm từ đó tìm được y Do đó hệ đã cho

có nghiệm với mọi k

Phương pháp giải hệ phương trình bậc 2 hai ẩn chủ yếu bằng cách biến đổi tương đương đưa về hệ cơ bản hoặc đặt ẩn phụ đưa về hệ cơ bản Tất cả các hệ phương trình đã nói trên đều coi như hệ cơ bản mà học sinh phải nắm chắc phương pháp giải Sau đây là một số ví dụ về giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ đưa

hệ đã cho về hệ cơ bản

2 2 2

6 (1)

y xy x

x y x

⎧ + =

⎪

⎨

⎪⎩

Giải:

Từ (2) ⇒ ≠x 0 Chia các vế của từng phương trình trong hệ cho x2 được hệ phương trình:

2

2

1

6 6

5

y

y x

⎪

2

2

x x

y y

⎛ + ⎞ ư =

Đặt y =u,1 =v

x x Được hệ

2

2

2

3

5

5

2

3

5 12 0 6

2

v

v u

v v

v v v

=

⎪

2

v u

⎨ ư = ⎨⎪ ư = ⎩⎨ ⎪ ư ư = ⎨ =⎩

⎪⎩

⎩

Việc giải hệ đã cho tương đương với giải hệ

1

1 3

1 1

2 2

y x

x y y

x

⎪ = ⎪ =⎩

⎪⎩

hoặc

1 2 1

x y

⎧ =

⎪

⎨

⎪ =

⎩

Vậy nghiệm của hệ phương trình (1;2) và 1;1

2

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

VÝ dô2: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh 2 2 1 7 (1) 2

1 13 (2)

+ + =

⎧

⎨ + + =

⎩

Gi¶i:

Tõ ph−¬ng tr×nh (2) suy ra y = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña hÖ

Do y≠ 0 hÖ ®É cho t−¬ng ®−¬ng víi

2 2

1

7 1

13

x x

y y x x

⎧ + + =

⎪

⎪

y y

⎪

⎨ + + =

⎪⎩

§Æt u x 1;v x

y y

5 12

u

Ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh

3

v u v

⎡ ⎧ = −

⎨

⎢ =

⎨ − = ⎨ − + − = ⎨ + − = ⎢⎢⎩

=

⎧

⎢⎨

=

⎢⎩

⎣

+ Víi u = -5; v = 12 Ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh

1 5

x

⎧

12

y x y

+ = −

⎪⎪

⎨

⎪ =

⎪⎩

+ Víi u = 4; v = 3 Ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh

1 4

x y

⎧

3

x y

+ =

⎪⎪

⎨

⎪ =

⎪⎩

Hai hÖ ph−¬ng tr×nh nµy lµ hÖ c¬ b¶n cã thÓ gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p thÕ

VÝ dô 3: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh

2 2

( 1)( 2)

x y y x y

x y x y

⎧ + + + =

⎪

⎨

⎪⎩

Gi¶i:

Ta thÊy y = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh Nªn chia tõng vÕ

cña c¸c ph−¬ng tr×nh trong hÖ ph−¬ng tr×nh cho y ta ®−îc:

2 1

x

y x

⎧ + + + = 2

1

y x

y x

⎪ +

⎪⎩

⎪

⎨

Đặt

2 1

;

x

y

+

= = + Ta có hệ phương trình

2

4

= ư

⎧

⎩

⇔

ư + =

Hệ đã cho tương đương với

2 1 1 3

x y

x y

⎧ + =

⎪

⎨

⎪ + =

⎩

Đến đây giải hệ bằng phương pháp thế

Phần kết luận

Qua thực tế giảng dạy lớp 10 A1 và ôn thi Đại học, Cao đẳng cho học sinh lớp 12A1 khi vận dụng các phương pháp trên trong phần này Tôi nhận thấy học sinh tiếp cận kiến thức một cách dễ dàng, học sinh hứng thú học tập và nắm được phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình bậc hai hai ẩn Cụ thể qua bài khảo sát lần hai số học sinh đạt điểm trung bình trở lên là 80%

Trên đây là một vài kinh nghiệm của tôi về phgương pháp giảng dạy phần hệ phương trình bậc hai hai ẩn với mục tiêu học sinh nắm được kiến thức cơ bản và biết vận dụng vào giải bài tậpk Rất mong được sự đóng góp của các đồng chí đồng nghiệp về bài viết của tôi

Bắc Hμ, ngμy 15 tháng 3 năm 2011

Người viết sáng kiến