Một số kỹ năng giải hệ phương trình

A MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Với tư tưởng dạy học sinh không dạy kiến thức cho em, mà cần dạy phương pháp suy luận, khả vận dụng, khả kết nối môn khoa học, hướng tư khái quát phát minh khoa học Người thầy phải thực điều hướng dẫn hoc sinh thực tiết học Tất nhiên để làm được, người thầy phải có khả trên, với yêu nghề đam mê khoa học, đồng thời phải có phương pháp tạo tình có vấn đề cho hoc sinh, từ đưa tư tưởng phát minh vào tiết học, với xuất phát điểm phải từ SGK sau phát triển toán, dạng toán lên để đáp ứng nhu cầu học tập học sinh Hệ phương trình nội dung quan trọng chương trình toán sở phổ thông Hệ phương trình có nhiều dạng cách giải khác Đơn giản hệ hai phương trình bậc hai ẩn, hệ ba phương trình bậc ba ẩn Hệ hai phương trình bậc hai ẩn học sinh học cấp hai, đến lớp 10 ôn tập lại học hệ ba phương trình bậc ba ẩn Hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II, hệ đẳng cấp nhiều hệ phương trình không mẫu mực khác học sinh không tìm hiểu thức chương trình học, nhà trường có biết thông qua tài liệu tham khảo, tự học Chính bồi dưỡng học sinh giỏi không đơn cung cấp cho em hệ thống tập nhiều, tốt, khó hay mà phải cần rèn luyện khả sáng tạo cho học sinh Dạng toán giải Giải hệ phương trình mảnh đất thuận lợi cho thực công việc THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU: Ở kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh thi vào trung học phổ thông môn Toán Huyện Hậu Lộc nhiều năm đạt kết cao số năm không tốt Đó điều mà người giáo viên đứng lớp lúc phải suy nghĩ, băn khoăn, trăn trở, tìm hiểu nguyên nhân, lý kết không bền vững Để chất lượng đội tuyển bền vững thân thiết nghĩ chương trình dạy học phần quan trọng trình dạy học Trong mảng Giải hệ phương trình năm thi học sinh giỏi cấp Tỉnh có Nhưng chương trình sách giáo khoa THCS đưa số dạng đơn giản không đáp ứng yêu cầu đòi hỏi thi Cho nên thân mạnh dạn tìm tòi nghiên cứu đưa “một số kỹ giải hệ phương trình” nhằm đáp ứng tốt bền vững trình ôn thi học sinh giỏi cấp Tỉnh cấp cao B NỘI DUNG 1.CƠ SỞ LÝ LUẬN: Cung cấp cho học sinh không kiến thức mà phương pháp suy luận, khả tư Từ kiến thức phải dẫn dắt hoc sinh có kiến thức nâng cao cách tự nhiên (chứ không áp đăt kiến thức nâng cao) THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Trong buổi học thông qua tình có vấn đề tập đưa ra, người thầy phải hướng dẫn học sinh khai thác, mở rộng toán, biết nhìn toán nhiều góc độ Để cụ thể hoá điều trên, đă trình bày đề tài này: Xuất phát từ môt toán yêu cầu học sinh phải phán đoán đưa nhận xét hướng giải Tìm nhiều cách giải thú vị gây hứng thú học tập CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN: Để đánh giá khả giải toán có phương án, phương pháp truyền đạt đến học sinh Tôi tiến hành kiểm tra 10 em đội tuyển học sinh giỏi dự thi cấp Tỉnh Huyện Hậu Lộc dự thi cấp tỉnh năm học 2015-2016 thời gian làm 30 phút Đề bài:  x + y + xy = Bài (5đ): Giải hệ phương trình:  2  x − y + xy =  x 2  y ( x + y ) = Bài (5đ): Giải hệ phương trình:   y (2 x − y ) =  x Kết cụ thể: Điểm SL % 0,0 Điểm 5-6 SL % 50 Điểm 7-8 SL % 40,0 Điểm 9-10 SL % 10,0 Qua kiểm tra thấy 10 học sinh đội tuyển Toán thức Nhưng chất lượng làm không cao Nếu làm lập luận thiếu chặt chẽ Cho nên từ phân dạng để học sinh dễ tiếp thu: Hệ phương trình đối xứng loại I: - Nhận dạng: Đổi chỗ hai ẩn hệ phương trình không thay đổi trật tự phương trình không thay đổi - Cách giải: Biến đổi đưa dạng tổng - tích + Đặt S = x + y; P = xy + Giải hệ với ẩn S; P với điều kiện có nghiệm (x; y) S ≥ P + Tìm nghiệm (x; y) cách vào phương trình X − SX + P = Hệ phương trình đối xứng loại II - Nhận dạng: Đổi chỗ hai ẩn hệ phương trình không thay đổi trật tự phương trình thay đổi (phương trình trở thành phương trình kia) - Cách giải: Lấy vế trừ vế phân tích thành nhân tử, lúc đưa dạng ( x − y ) f ( x, y ) = , tức có x = y Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai: 2 2  a1 x + b1 xy + c1 y = d1 d (a1 x + b1 xy + c1 y ) = d1.d (1) ⇔  2 2  a2 x + b2 xy + c2 y = d d1 (a2 x + b2 xy + c2 y ) = d1.d (2) Lấy (1) - (2) ⇒ (a1d − a2 d1 ) x + (b1d − b2 d1 ) xy + (c1d − c2 d1 ) y = phương trình đẳng cấp bậc hai nên tìm liên hệ x, y (bản chất nhân chéo hai phương trình lại với tạo đồng bậc) Lưu ý: Ta làm tương tự dạng đẳng cấp bậc ba bậc bốn Sử dụng phương pháp tạo phương trình đẳng cấp (đồng bậc)  f m ( x; y ) = a với f m ( x; y ); f n ( x; y ); f k ( x; y ) biểu thức  f n ( x; y ) = f k ( x; y ) Dạng thường gặp  đẳng cấp bậc m; n; k thỏa mãn m + n = k Phương pháp giải: Sử dụng kỹ thuật đồng bậc, tức là:  a = f m ( x; y )  ⇒ f m ( x; y ) f n ( x; y ) = a f k ( x; y ) phương trình đẳng Hệ ⇔ ↓ a f ( x; y ) = a f ( x; y ) k  n cấp bậc k, tìm liên hệ x; y Bài toán cụ thể:  x3 + y = Bài toán 1: Giải hệ phương trình:   x + y + xy = (1) Phân tích: Khi thay đổi vị trí x y cho hệ không thay đổi trật tự phương trình hệ không thay đổi ⇒ hệ đối xứng loại I phương pháp giải biến đổi tổng tích Lời giải: Đặt s = x + y; p = xy, ( s ≥ p) Khi đó: x3 + y3 = ( x + y )( x − xy + y ) = ( x + y )[( x + y )2 − 3xy ] = s − ps  s − 3sp = 2 p = − s s = (1) ⇔  ⇔ ⇔ (thỏa mãn đk) p = s + p = 2 s + 3s − s − 16 = s = x + y = x = x = ⇒ ⇔   p =  xy = y = y = Với  Vậy tập nghiệm hệ cần tìm S = ( x; y ) = { (2;0);(0; 2)}  x y + y x = Bài toán 2: Giải hệ phương trình:  (2) 2  x y + y x = 20 Phân tích: Khi thay đổi vị trí x y cho hệ không thay đổi trật tự phương trình hệ không thay đổi ⇒ hệ đối xứng loại I Nhưng hệ phương trình có chứa x ; y , nên ta đặt s = x + y ; p = xy ta đặt u = x ; v = y , sau đặt s; p theo u, v kết tương tự Lời giải: Điều kiện x; y ≥ Đặt u = x ≥ 0; v = y ≥ u 2v + uv = uv(u + v) =  ps = (2) ⇔  ⇔ ⇔   2 2 2 u v + u v = 20 u v [(u + v) − 2uv ] = 20  p ( s − p ) = 20  ps = s = u + v p = u + v = u = ( s ≥ p) ⇔  2 ⇔ ⇔ ⇔  p = uv s = u + v = v =  p s − p = 20 với  u =  v =  x =  x = x = x = ⇔ Suy ra:    y = y =1  y =  y = So với điều kiện, nghiệm hệ S = ( x; y ) = { (1; 4);(4;1)}  x + x y = Bài toán 3: Giải hệ phương trình:   y + xy = (1) (2) (3) Phân tích: Nếu thay đổi vị trí x y cho hệ không thay đổi phương trình trở thành phương trình ⇒ hệ đối xứng loại II (lấy vế trừ vế) Ngoài quy đồng hệ đẳng cấp bậc ba (đặt x = ty ) Lời giải 1: Xem hệ phương trình đối xứng loại II (1) - (2) ⇒ 2( x3 − y ) + xy ( x − y ) = ⇔ ( x − y )(2 x + y + 3xy ) = 2       y2   y2 ⇔ ( x − y) 2  x + y ÷ + > 0, ∀x, y ÷  = ⇔ x = y   x + y ÷ + ÷         Thế vào (1) ⇔ 3x = ⇔ x = ⇒ y = Vậy tập nghiệm hệ S = ( x; y ) = { (1;1)} Lời giải 2: Xem hệ phương trình đẳng cấp bậc ba 2t y + t y =  y (2t + t ) = 2t + t ⇔ 3 ⇒ =1 Đặt x = ty ≠ hệ ⇔  3 2t + t 2 y t + ty =  y (2t + t ) = ⇔ t − t = ⇔ t = ⇒ x = y , vào (1) ⇔ x = ⇔ x = ⇒ y = ⇔ y = 2( y − y ) ⇔ y = 2 y ( − 1) ⇔ y = −1 ⇔ y= 2  −1   −1    ÷ ÷ ⇒ x =  ÷ ÷     ( x + y )(3 xy − x ) = −2 (1) ( x + y )(3 xy + y ) = (2) Bài toán 4: Giải hệ phương trình:  (4) Phân tích: Thoạt nhìn toán gần giống hệ đối xứng loại II, Theo kinh nghiệm tôi, hệ gần giống đối xứng loại II mà có chứa thức ta vừa cộng, vừa trừ để tạo hệ Từ định hướng tạo phương trình đẳng cấp (nhân hợp lý tạo đồng bậc) phương trình vô tỷ giải (hoặc đưa tích) Lời giải: Điều kiện: x, y ≥ Do x = y = không nghiệm nên xét x, y > ( x + y )(3xy + y ) + ( x + y )(3xy − x ) = Lấy (2)+(1) (2)-(1) ta được:  ( x + y )(3xy + y ) − ( x + y )(3xy − x ) = ( x + y )(6 xy − x +4 y ) = x + y >0 3xy = 2( x − y ) ⇔ ¬ → ⇔  ( x + y )( x + y ) = 1 = ( x + y )( x + y ) Lấy vế nhân vế hai phương trình (i) mới, thu được: xy = 2( x + y )( x − y ) ⇔ xy = 2( x − y ) pt đẳng cấp bậc nên chia cho y : x x x x ⇔  ÷ −  ÷− = ⇔ = (nhận) = − (loại x, y > ) y y  y  y −1 Với x = y , vào (i) ⇔ y = 2( y − y ) ⇔ y = y ( − 1) ⇔ y = 2  −1   −1   ⇔ y =  ⇒ x = ÷ ÷ ÷  ÷     2    −   −  ÷ Vậy tập nghiệm hệ S = ( x; y ) =   ÷ ;  ÷ ÷        5 x − y = x − 3xy Bài toán 5: Giải hệ phương trình:  2  x − x = y − y  ÷  ÷ ÷  (5) Phân tích: Nếu để hệ khó tìm hướng giải Nhưng chuyển 5 x + xy = x + y hệ pt  3 2 nhân chéo thu phương trình đẳng cấp bậc bốn  x + y = x + y với hai biến x; y có lời giải chi tiết sau: Lời giải: Nhận thấy x = y = nghiệm hệ phương trình Xét x ≠ 0; y ≠ 5 x + 3xy = x + y (5) ⇔  ⇔ (5 x + xy )( x + y ) = ( x + y )( x + y ) ⇔ x + x y − y = 2  x + y = x + y  x2   x2  x = x2 ⇔  ÷ +  ÷− = ⇔ = ⇔  y x = − y y  y  Với x = y vào pt thứ hệ ta ⇔ x = x ⇔ x = y = Với x = − y vào pt thứ hệ ta ⇔ x = −2 x ⇔ x = − y = −1  1    Vậy tập nghiệm hệ S = ( x; y ) = (0;0);(−1;1);  ; ÷ 2    Ghi chú: Ngoài nhân chéo để phương trình đẳng cấp ta dùng phương pháp với mục đích tạo phương trình bậc cao ẩn mà trọng tâm phương pháp cụm tạo thành phương trình đẳng cấp, tiền đề bản, công đoạn nhỏ để giải dạng toán  x ( y + 1)( y + x + 1) = x − x + Bài toán 6: Giải hệ phương trình:   x ( y + 1) + = x (1) (2) (6) Phân tích: Nhận thấy (2) có hạng tử y + (1) có chứa hai hạng tử nên rút phương trình (2) vào phương trình (1) thu phương trình bậc cao với ẩn x Từ định hướng này, ta có lời giải chi tiết sau: Lời giải: Do x = (2) vô nghiệm nên xét x ≠ x2 −  x2 −1 x −1  (1) ⇔ x × x + (2) ⇒ y + = vào (1) ta được:  ÷ = 3x − x + x  x  x ⇔ ( x − 1)(2 x − 1) = ( x − 1)(3x − 1) ⇔ ( x − 1) ( x + 1)(2 x − 1) − (3 x − 1)  = ⇔ ( x − 1)(2 x + x − x) = ⇔ x = ⇒ y = −1 x = −2 ⇒ y = −    Vậy tập nghiệm hệ S = ( x; y ) = (1; −1);  −2; − ÷     x − x = y + y Bài toán 7: Giải hệ phương trình:  2  x -3y =6 (1) (2) (7) Phân tích: Để ý thấy (1) đưa dạng: x3 − y = 2(4 x + y ) vế trái bậc vế phải bậc Mà phương trình (2) có vế trái bậc hai vế phải bậc không Nghĩ đến việc đồng bậc phương trình (1) cách dùng phương pháp từ phương trình (2) hệ Nhưng trước hết ta cần nhân thêm hai vế phương trình (1) để xuất hệ số để = x − y Lời giải 3 3( x − y ) = 6(4 x + y ) ⇔ x − y = ( x − y )(4 x + y ) Ta có (7) ⇔  2 6 = x − y ⇔ x + x y − 12 xy = ⇔ x ( x + xy − 12 y ) = ⇔ x( x − y )( x + y ) = +) Với x = , vào (2) ⇔ −3 y = : vô nghiệm x =  x = −3  y =1  y = −1 +) Với x = y , vào (2) ⇔ y = ⇔     x = −4 x = 13   +) Với x = −4 y , vào (2) ⇔ 13 y = ⇔   y = y = −   13      Vậy tập nghiệm hệ S = ( x; y ) = (±3; ±1);  ±4 13 13 6   ;± ÷ 13 13 ÷   3( x − y ) = 2(4 x + y ) Nhận xét: Sau biến đổi (7) ⇔  ta hoàn toàn giải 2 6 = x − y cách nhân chéo hai phương trình với nhau, tạo phương trình đẳng cấp bậc với biến x, y Nhưng nhiều toán, nhân chéo mang lại hiệu không cao, tức không tạo phương trình đẳng cấp Ta xét toán sau:  x + y = (1) Bài toán 8: Giải hệ phương trình:  2 ( x + y )(4 − x y -2xy)=2y (2) (8) Phân tích: Phương trình (2) có vế phải bậc 5, vế trái tích x + y bậc − x y − xy Nếu nhóm biến đổi thành bậc 4, tạo phương trình đẳng cấp bậc Thật vậy, = x + y vào − x y − xy thu được: − x y − xy = 2 − x y − xy = ( x + y ) − x y − ( x + y ) xy có dạng bậc có lời giải chi tiết sau: Lời giải: 2 2 2 Thế = x + y vào (2) ⇔ ( x + y ) ( x + y ) − x y − ( x + y ) xy  = y ⇔ ( x + y )( x + y + x y − x3 y − xy ) = y ⇔ x + xy + x y − x y − x y + x y + y + x y − x y − xy = y x =  x = −1 ⇔ x + y = y ⇔ x5 = y ⇔ x = y ⇒ (1) ⇔ x = ⇔   y =1  y = −1 Vậy tập nghiệm hệ S = ( x; y ) = { (−1; −1);(1;1)}  x − y = ( x − y )(2 xy + 3) Bài toán 9: Giải hệ phương trình:  2  x − xy + y =3 (1) (2) (9) Phân tích: Phương trình (1) có vế trái bậc 3, vế phải tích bậc ( x − y ) với lượng (2 xy + 3) Nếu lượng biến đổi thành bậc hai, thu phương trình đẳng cấp bậc Thật = x − xy + y vào xy + = xy + ( x − xy + y ) thu bậc 2, hiển nhiên (1) phương trình đẳng cấp bậc có lời giải sau: Lời giải: Thế = x − xy + y vào (1) ⇔ x3 − y = ( x − y )(2 xy + x − xy + y ) ⇔ x − y = ( x − y )( x + xy + y 2) = x − y ⇔ x = y ⇔ x = y Thế x = y vào (2) ⇔ y − y = ⇔ y = ⇒ x = y = −1 ⇒ x = −2 Vậy tập nghiệm hệ S = ( x; y ) = { (2;1);(−2; −1)} Nhận xét: Giải hệ phương trình đưa tích số dạng toán thường xuyên xuất kỳ thi Để đưa tích số ta sử dụng số kỹ thuật như: Kỹ thuật tách, ghép, nhóm tam thức bậc hai, ký thuật liên hợp, kỹ thuật dùng phương pháp cộng  x + xy + y =7 Bài toán 10: Giải hệ phương trình:  2  x − xy − y = − x + y (1) (10) (2) Phân tích: Phương trình (1) (2) có dạng tam thức bậc theo ẩn x theo ẩn y ta không tìm phương trình (1) Do định hướng biến đổi tích số phương trình (2) với hướng suy nghĩ sau đây: Hướng 1: Nhận thấy vế trái (2) có dạng đẳng cấp nên sử dụng máy tính để phân tích thành tích số nhóm này, tức có x − xy − y = ( x − y )( x + y ) ta cần phân tích vế trái theo hạng tử tích này, có sẵn viết − x + y = −( x − y ) nên có nhân tử, tức (2) ⇔ ( x − y )( x + y ) + x − y = ⇔ ( x − y )( x + y + 1) = Lưu ý: Việc phân tích thành tích số biểu thức có dạng bậc hai biến: F ( x; y ) = ax + bxy + cy = a ( x − x1 y )( x − x2 y ) với x1 ; x2 hai nghiệm phương trình f ( x) = ax + bx + c = Ta làm tương tự việc phân tích đa thức bậc hai biến dạng F ( x; y ) = ax3 + bx y + cy x + dy = a ( x − x1 y )( x − x2 y )( x − x3 y ) Hướng 2: Xem (2) phương trình bậc ẩn x , tức (2) ⇔ x + (1 − y ) x − y − y = Ta có ∆ x = (1 − y )2 + 4(2 y + y ) = y + y + = (3 y + 1) số phương nên có: x= y −1+ 3y +1 y −1− y −1 = y; x = = − y − hay (2) ⇔ ( x − y )( x + y + 1) = 2 Hướng 3: Xem (2) phương trình bậc ẩn y , ta kết tương tự x = 2y x = 2y ⇔ x + y +1 =  x = − y −1 Lời giải: Ta có (2) ⇔ ( x − y )( x + y + 1) = ⇔  y =1⇒ x =  y = −1 ⇒ x = − 2 * Với x = y , vào (1) ⇔ y = ⇔   y = −3 ⇒ x =  y = ⇒ x = −3 * Với x = − y − , vào (1) ⇔ y + y − = ⇔  Vậy tập nghiệm hệ S = ( x; y ) = { (2;1);(−2; −1);(2; −3);(−3; 2)}  xy + x + y = x − y Bài toán 11: Giải hệ phương trình:   x y − y x − 1=2x − y (1) (11) (2) Phân tích: Nhận thấy (1) có dạng tam thức bậc với ẩn x; y nên có hướng sau: Hướng 1: Nếu chuyển vế dạng (1) ⇔ x − xy − y = x + y có vế trái dạng đẳng cấp nên phân tích x − xy − y = ( x − y )( x + y ) có nhân tử với vế phải Hương 2: Xem (2) phương trình bậc ẩn x ẩn y ta phân tích tìm nhân tử từ (2), tức có (2) ⇔ ( x + y )( x − y − 1) = Lời giải: Điều kiện x ≥ 1; y ≥ ⇒ x + y ≥ (1) ⇔ ( x − y )( x + y ) − ( x + y ) = ⇔ ( x + y )( x − y − 1) = ⇔ x − y − = , (do x + y ≥ ) Suy x = y + vào (2) ⇔ (2 y + 1) y − y y = y + ⇔ y ( y + 1) = 2( y + 1) ⇔ y = 2, (do: y + ≥ 1) ⇔ y = ⇒ x = (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm hệ S = ( x; y ) = { (5; 2)}  xy + x − = Bài toán 12: Giải hệ phương trình:  (1)  x − x y + x + y − xy − y = 2 (2) (12) Phân tích: Từ phương trình (2), nhìn nhận phương trình bậc với ẩn y lập ∆ không số phương nên không áp dụng phân tích theo tam thức Lúc ta nghĩ đến việc nhóm hạng tử Theo kinh nghiệm tôi, ta nên ưu tiên phép thử hạng tử có chứa số giống trước, nhận thấy nhóm x3 − xy = x( x − y ) có x − y dựa vào để ghép cặp lại Tức x3 − x y + x + y − xy − y = x( x − y ) + ( x − y ) − y ( x − y ) có nhân tử x − y Lời giải: Từ (2) ⇔ x( x − y ) + ( x − y ) − y ( x − y ) = ⇔ ( x − y )(2 x − y + 1) = ⇔ y = x y = x + *) Với y = x , vào (1) ⇔ x3 + x − = ⇔ x = ⇒ y =  −1 + ⇒y= x = 2 *) Với y = x + , vào (1) ⇔ x + x − = ⇔   −1 − ⇒ y=− x =    −1 −   −1 +   S = ( x ; y ) = (1;1); ; − ; ;  ÷  ÷ Vậy tập nghiệm hệ   ÷ ÷       10 Nhận xét: Kỹ thuật phân tích thành tích số việc tách - ghép - nhóm hạng tử kỹ thuật việc giải hệ phương trình Tôi xin trình bày thêm phương pháp phân tích đa thức biến F ( x; y ) máy tính bỏ túi sau: Bước 1: Cho biến chứa bậc cao 1000, chẳng hạn x = 1000 (nếu x; y bậc cho x hay y được) Bước 2: Thế x = 1000 vào F ( x; y ) phân tích F ( x; y ) thành nhân tử (phân tích ax + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) Hoocner phương trình bậc cao) Bước 3: Dựa vào đa thức 1000 = x trở lại F ( x; y ) biểu thức tích Ví dụ: Từ (2) ⇔ y − ( x + x + 1) y + x + x = cho x = 1000 được:  y = 1000000 = (1000) = x y − 1002001 y + 2001000000 = ⇔   y = 2001 = 2.100 + = x + lúc viết (2) ⇔ ( y − x )( y − x − 1) = * Ngoài việc kỹ thuật tách, ghép, nhóm tam thức bậc hai để đưa phương trình tích ta sử dụng kỹ thuật liên hợp:   x + y + x + = ( y − 3) x Bài toán 13: Giải hệ phương trình:   x+ y + x = x+3  (1) (13) (2) Phân tích: Từ (1), nhận thấy ( x + y ) − ( x − 3) = y − có nhân tử với vế phải nên ghép thức lại với để tiến hành liên hợp Nhưng liên hợp xuất mẫu số dạng A − B nên ta phải xét lượng có khác hay chưa? Lời giải: Điều kiện x > 0; x + y ≥ Khi (1) dương nên cần y > Với y > ⇔ x + y > x + ⇔ x + y > x + ⇔ x + y − x + > thì: y −3 y −3 1 (1) ⇔ x + y − x + = x ⇔ x + y − x + = x ⇔ x + y − x + = x (3)  x + y + x = x + Kết hợp (3) với (2), suy hệ:   x + y − x + = x ⇒ x + x +3 = 0 < x < ⇔ x + + x + 3x = ⇔ x + 3x = − x ⇔  ⇒ y = (thỏa mãn đk) x = Vậy tập nghiệm hệ S = ( x; y ) = { (1;8)} 11  x + x + y + = x y + y + (1) Bài toán 14: Giải hệ phương trình:  3 x − + xy − y = x (2) (14) Phân tích: Nhận thấy phương trình (1) x = y , tức có nhân tử x − y Thậy vậy, nhóm cụm bậc ba: ( x3 − x y ) = x ( x − y ) cụm x + y + − ( y + 1) sau liên hợp tử số là: x + y + − ( y + 1) = x − y = ( x − y )( x + y ) có nhân tử chung x − y Từ có lời giải chi tiết sau: 1    x ≥ ; xy ≥ 0; x + y + ≥  x ≥ ⇒ Lời giải: Điều kiện  5 − 0 ≤ y ≤ ≤ y≤  2  2 (1) ⇔ ( x − x y ) + x + y + − ( y + 1) = ⇔ x ( x − y ) + ( x − y )( x + y ) x2 + y + + y + =0   x+ y ÷= ⇔ x − y = ⇔ x = y ⇔ ( x − y)  x2 +  x2 + y + + y + ÷   Vì x + x+ y x2 + y + + y + > 0, ∀x ≥ ≤ y ≤ Thế x = y vào (2) ⇔ x − + x − x = x 2 +) Với x − + x − = ⇔ x = ⇒ y = (3) (thỏa mãn) 2 +) Với x ≠ ⇒ x − + x − ≠ 2 (3) ⇔  x − − (2 x − 1)  + x  − x − (2 x + 3)  − 3(2 x − x + 1) = ⇔ −6(2 x − x + 1) x(2 x − x + 1) − − 3(2 x − x + 1) = 2x −1 + 2x −1 − 4x + − 2x   4x ⇔ (2 x − x + 1)  + + 3÷= − 4x2 + − 2x  2x −1 + 2x −1  Vì (4) 1 5 4x + + > 0, ∀x ∈  ;  , nên phương trình 2x −1 + 2x −1 − 4x2 + − x 2  (4) ⇔ x − 3x + = ⇔ x = (loại) x = ⇒ y = 12  1    Kết luận, so điều kiện, tập nghiệm hệ S = ( x; y ) = (1;1);  ; ÷ 2     x y + x − x + = (1) Bài toán 15: Giải hệ phương trình:  2 (2)  x y − x + y = Phân tích: Nhận thấy (1), (2) phương trình bậc hai với ẩn (15) x , biệt số delta không phương Đối với hệ phương trình đại số có biến không độc lập với nhau, chẳng hạn x y Thường ta làm theo bước sau: ( y + 3) x − x + = * Viết lại hệ hai phương trình bậc hai với ẩn x :  2  y x − x + y = * Lập tỉ số hệ số: y + −4 = = ⇒ y = −1 nghiệm hệ y2 −2 y 2  x − x + = 2( x − x + 1) = y = − ⇔ * Thế vào hệ ban đầu:    x − x + =  x − x + = (1') (2') * Do để hai phương trình (dạng 0=0) cộng lại ta phải nhân phương trình thứ hai với -2 Lúc đó, lấy (1’) - 2.(2’) thu tích: ( y + 1) f ( x) = Lời giải: Lấy −2.(2) + (1) ta được: x y + x − x y − y + = ⇔ x ( y − y + 3) = 2( y − 1) ⇔ x ( y + 1)( y − y + 3) = 2( y − 1)( y + 1) ⇔ ( y + 1)  x ( y − y + 3) − 2( y − 1)  =  y = −1 ⇒ x =  y +1 = ⇔ 2 ⇔  x = 22( y − 1) ≥ ⇒ y ≥  x ( y − y + 3) − 2( y − 1) = (*) y − 3y +  Với y ≥ 1, (2) ⇒ = y ( x + 1) − x ≥ x + − x = ( x − 1) ≥ Nếu dấu “=” xảy ra, tức x = y = Nhưng nghiệm không thỏa mãn (*) Vậy tập nghiệm hệ S = ( x; y ) = { (1; −1)}  x + xy = xy − x − 49 (1) Bài toán 16: Giải hệ phương trình:  2  x − xy + y = 10 y − 25 x − (2) (16) Phân tích: 3 xy − xy + x + x + 49 = Viết hệ dạng phương trình bậc ẩn y:  2  y − (8 x + 10) y + x + 25 x + = 13 Lập tỉ lệ hệ số: 3x 6x x3 + x + 49 = = ⇒ x = −1 X + 10 x + 25 x +  −3 y + y + 45 = −3( y − y − 15) = ⇔ Thế x = −1 vào được:   y − y − 15 =  y − y − 15 = Do đó, lấy (1)+3.(2) thu phương trình tích số: ( x + 1) f ( x) =  x + xy − xy + x + 49 = (1) Lời giải: Hệ  2  x + y − xy − 10 y + 25 x + = (2) Lấy (2).3 + (1) ⇔ ( x3 + 3xy − xy + 3x + 49) + 3( x + y − xy − 10 y + 25 x + 9) = ⇔ ( x3 + 3x + 78 x + 76) + (3 xy + y ) − 30 xy − 30 y = ⇔ ( x + 1)( x + x + 76) + y ( x + 1) − 30 y ( x + 1) = ⇔ ( x + 1)( x + x + y − 30 y ) = ⇔ ( x + 1)[( x + 1) + 3( y − 5) ] = Với x = −1 , vào (2) ⇔ y − y − 15 = ⇔ y = y = −3  x = −1 ⇔  (không thỏa mãn hệ)  y = ± y = x +1 = 2 Với ( x + 1) + 3( y − 5) = ⇔  Vậy tập nghiệm hệ S = ( x; y ) = { (−1;5);(−1;3)} 6 x y + y + 35 = (1) Bài toán 17: Giải hệ phương trình:  2 5 x + y + xy + x + 13 y = (2) (17) Phân tích: 6 yx + y + 35 = Viết lại hệ dạng:  2 5 x + (2 y + 5) x + y + 13 y = 15   −15 x + = −3(5 x − ) =     4 ⇔ y = − ⇒  lấy (1) + 3.(2) thu   5x − = 5x − =   phương trình tích số có dạng: (2 y + 5( f ( x) = có lời giải sau: Lời giải: Lấy (2).3+(1) ta được: 15 x + 15 y + xy + 15 x + 39 y + x y + y + 35 = ⇔ y (2 y + y + 5) + x (5 + y ) + x(5 + y ) + (8 y + 34 y + 35) = ⇔ y ( y + 1)(2 y + 5) + x (5 + y ) + x(5 + y ) + (2 y + 5)(4 y + 7) = 2  5 1   ⇔ (2 y + 5)( y + y + x + x + 7) = ⇔ (2 y + 5)  y + ÷ +  x + ÷  = 2     ⇔ y=− 15 vào (1) ⇔ −15 x + = ⇔ x = ± 14    Vậy tập nghiệm hệ phương trình S =  ± ; − ÷  2   x + xy = −49 Bài toán 18: Giải hệ phương trình:  2  x − xy + y = − 17 x (1) (2) (18) Phân tích: 3 xy + x + 49 = Viết lại hệ dạng:  2  y − 8( x + 1) y + x + 17 x = −  3( y − 16) = x = −1 ⇒ hpt ⇔   y − 16 = Lời giải: Khi đó, (2).3 + (1) ta được: ( x3 + 3x + 51x + 49) + (3xy + y ) − 24 xy − 24 y = ⇔ ( x + 1)( x + x + 49) + y ( x + 1) − 24 y ( x + 1) = ⇔ ( x + 1)( x + x + 49 + y − 24 y ) = ⇔ ( x + 1) ( x + 1) + 3( y − 4)  =  x = −1 ⇔ x = −1  Thế x = −1 vào (1) ⇔ −3 y = −48 ⇔ y = ±4 y =  Vậy tập nghiệm hệ phương trình: S = ( x; y ) = { (−1; 4);( −1; −4)} Nhận xét: Từ toán 15 đến 18 ta tìm hệ số tỉ lệ, từ lựa chọn hệ số nhân vào phương trình thích hợp, cộng lại Đối với toán không tìm hệ số tỉ lệ ta làm nào? Câu trả lời trình bày qua bước giải sau: *) Bước 1: Tìm hai cặp nghiệm hệ phương trình, chẳng hạn: ( x1 ; y1 );( x2 ; y2 ) *) Bước 2: Tìm quan hệ tuyến tính hai nghiệm (thực chất viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A( x1 ; y1 ); B( x2 ; y2 ) mp Oxy ) *) Bước 3: Thế quan hệ tuyến tính cho có lợi vào hệ phân tích thành nhân tử Từ xác định biểu thức nhân vào phương trình Tuy nhiên, cách không giải ta không nhẩm hai cặp nghiệm nghiệm lẻ không dò máy tính bỏ túi  x y + 3x + y − = (1) Bài toán 19: Giải hệ phương trình:  2  x y − xy − y + y − x + = (2) (19) 15 Phân tích: Nhận thấy hệ có nghiệm: ( x; y ) = (0;1);(1;0) Quan hệ tuyến tính  x (1 − x) = hai nghiệm là: x + y = hay y = − x Thay vào hệ ta được:   − x(1 − x) = nên lấy (1) + x.(2) phân tích nhân tử dạng ( x + y − 1) f ( x) = Lời giải: Lấy (1) + x.(2) ta được: x y − x y − 3xy + xy − x + x + x y + 3x + y − = ⇔ ( x3 y + x y − x y ) − ( x + xy − x) − (3x y + 3xy − 3xy ) + (3x + y − 3) = ⇔ x y ( x + y − 1) − x( x + y − 1) − 3xy ( x + y − 1) + 3( x + y − 1) =  y = 1− x ⇔ ( x + y − 1)( x y − x − xy + 3) = ⇔   x y − xy − x + = x = ⇒ y = x =1⇒ y = *) Với y = − x , vào (1) ⇔ x(1 − x) = ⇔  *) Với x y − 3xy − x + = ⇔ ?2 − (3 y + 1) x + = có ∆ y = (3 y − 1) ⇒ x = x = y Khi x = 3, vào (1) ⇔ y + y + = vô nghiệm Khi x = y , vào (1) ⇔ y − y + = vô nghiệm Vậy tập nghiệm hệ phương trình: S = ( x; y ) = { (0;1);(1;0)} 3 x + xy − x − y − y = Bài toán 20: Giải hệ phương trình:   x − 20 x − x y − 20 y = (1) (2) (20) Phân tích: Nhận thấy hệ có nghiệm: ( x; y ) = (0;0);(2; −1) Do phương trình đường thẳng qua hai điểm (0;0);(2; −1) là: x + y = ⇔ x = −2 y Thế vào hệ ta 9 y ( y + 1) = nên lấy 20( y − 1).(1) + 9.(2) thu phương trình  −20 y ( y + 1)( y − 1) = được:  tích số dạng ( x + y ) f ( x) = có lời giải chi tiết sau: Lời giải: Lấy 20( y − 1).(1) + 9.(2) ta được: 20( y − 1)(3 x + xy − x − y − y ) + 9(2 x − 20 x − x y − 20 y ) = ⇔ ( x + y )(18 x + 15 xy − 60 x − 10 y − 80 y ) = ⇔ x + y = 18 x + 15 xy − 60 x − 10 y − 80 y = y =  y = −1  x = x = 2 Với x = −2 y , vào (1) ⇔ y + y = ⇔  16 Với 18 x + 15 xy − 60 x − 10 y − 80 y = , kết hợp với (1) được: 2 18 x + 15 xy − 60 x − 10 y − 80 y =  2 3 x − y + xy − x − y = Đây hệ chứa hai tam thức, giải ta nghiệm:  15 ± 145  ( x; y ) = (10;15);  ;11 ± 145 ÷ ÷     15 ± 145   ;11 ± 145 ÷ ÷     Vậy tập nghiệm hpt: S = ( x; y ) = (0;0);(−1; 2);(10;15);   Nhận xét: Qua số toán ta thấy để giải hệ phương trình đòi hỏi người học sinh phải nắm số kỹ thuật biến đổi như: Biến đổi đưa hệ dạng đối xứng loại I; II, hệ gần giống đối xứng loại II; hệ đẳng cấp; kỹ thuật tách, ghép, nhóm, tam thức bậc hai, kỹ thuật liên hợp, kỹ thuật dùng phương pháp cộng để đưa tích số; kỹ thuật đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc 2; Kỹ thuật đặt ẩn phụ dựa vào tính đẳng cấp phương trình; đặt ẩn phụ đưa hệ Ngoài ta có dùng định lý Viets để tìm phép đặt ẩn phụ giải nhiều toán 2 (1)  x + y + xy + y = Bài toán 21: Giải hệ phương trình:   xy ( y + xy + x + y ) = 12 (2) (21) Phân tích: Nhận thấy phương trình có dạng bậc với ẩn x biệt số denta không số phương nên không phân tích thành tích số Quan sát kỹ hơn, ta thấy biến hệ liên hệ với chặt chẽ số đứng Vì tập trung vào phân tích vế trái hai phương trình nhằm đưa vế dạng tổng tích hai biểu thức x; y vận dụng nội dung định lý Viét Thật vậy, vế trái (1) viết tổng: VT(1) = x( x + y ) + y ( y + 1) cần dựa vào hạng tử tổng để viết: VT(2) = xy [ y ( x + y ) + ( x + y )] = x( x + y ) y ( y + 1) từ tìm phép đặt ẩn phụ: a = x( x + y ); b = y ( y + 1) có lời giải chi tiết sau: Lời giải: 17 ( x + xy ) + ( y + y ) =  x ( x + y ) + y ( y + 1) = ⇔ Hệ pt ⇔  (*)  x ( x + y ) y ( y + 1) = 12  xy [ y ( x + y ) + ( x + y ) ] = 12 a = x( x + y ) a + = a = ⇒ a; b nghiệm pt: X − X + 12 = ⇒  (*)  b = y ( y + 1)  ab = 12 b = Đặt  a = b =   x = ± a =  x( x + y ) = x =  x = −3 ⇒ ⇔    y = −2 b =  y ( y + 1) = y =1 y =1 Với   y = −3  y = a =  x( x + y ) =  ⇒ ⇔ Với   ± 17  y = −1 ± b =  y ( y + 1) = x =    ± 17   ; −3 ÷ ÷     Vậy tập nghiệm: S = ( x; y ) = (2;1);( −3;1);(1 ± 7; −2);( −1 ± 3; 2);    x + y + xy = x − (1) Bài toán 22: Giải hệ phương trình:  4 ( x + xy ) + ( y + 2) = 17 x (2) (22)  x + xy   y +  Phân tích: Nếu chia (2) cho x ≠ (2) ⇔  ÷ + ÷ = 17 biến đổi  x   x  (1) ⇔ ( x + xy ) + ( y + 2) = x cho x ≠ x + xy y + + = xuất x x hạng tử giống phương trình có lời giải chi tiết sau: 2 ( x + xy ) + ( y + 2) = 3x Lời giải: Ta có hệ pt ⇔  4 ( x + xy ) + ( y + 2) = 17 x (3) (4) (*) Do x = không nghiệm hệ (*) nên x ≠ , chia vế phương trình (3) cho x , pt (4) cho x ≠ , ta hệ pt:  x + xy y +  x + x =3  4 (**) Đặt  2  x + xy  +  y +  = 17  ÷  x ÷   x    x + xy  a = x  b = y +  x a + b = a + b = a + b = ⇔ ⇔ Hệ pt (**) ⇔  4 2 2 a + b = 17 (a + b ) − 2(ab) = 17   (a + b) − 2ab  − 2( ab) = 17 a + b = a + b =  ab = 16 ab = ⇔ ⇔ ⇔ ν 2  a + b = a + b = (9 − 2ab) − 2(ab) = 17 ( ab) − 18ab + 32 = 18 a = a = ⇔ ⇔  (loại cụm: b = b =  ab = 16 không thỏa mãn S ≥ P )  a + b =  x + y =  a =  x + xy = x x = x = ⇒ ⇔ ⇔ +) Với   b =  y + = x y =  y = −2 y + 2y = x + y =  a =  x + xy = x x = x = ⇒ ⇔ ⇔ +) Với    y + = x b = y =  y = −1 y + y = Vậy tập nghiệm là: S = ( x; y ) = { (1;0);(3; −2);(2;0);(3; −1)} KẾT LUẬN Từ thực tế nghiên cứu giảng dạy, nhận thấy việc dạy dạng toán giải hệ phương trình có ý nghĩa thực tế cao Nó rèn luyện cho học sinh tư logic, khả sáng tạo, khả diễn đạt xác nhiều quan hệ toán học,… Do giải dạng toán lớp 8, lớp đặc biệt sau lên THPT giáo viên cần lưu ý học sinh đọc kỹ đề bài, nắm mối quan hệ biến định hướng phân tích để học sinh vận dụng hết kỹ thuật biến đổi để tiếp cận đến lời giải Bên cạnh đó, giáo viên tạo hứng thú cho học sinh học, hướng dẫn học sinh cách học bài, làm cách nghiên cứu trước nhà Do kết đội tuyển thi học sinh giỏi cấp Tỉnh năm học 2015-2016 tất 10 em tham gia 10 em làm hệ phương trình Để giải tốt dạng toán hệ phương trình người học cần tìm hiểu nhiều kỹ biến đối Nhưng với phạm vi đề tài đưa số kỹ thuật mà thường hay dùng trình làm tập vận dụng để giải nhiều dạng tập khác Do thời gian hoàn thành đề tài không nhiều nên nhiều thiếu sót mong quý đồng nghiệp, em học sinh đóng góp để đề tài hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hậu Lộc, ngày 22 tháng 03 năm 2016 XÁC NHẬN CỦA THỦ Tôi xinTRƯỞNG cam đoan SKKN ĐƠNcủa VỊ viết, không chép nội dung người khác Người thực 19 Trần Văn Lực 20 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẬU LỘC TRƯỜNG THCS LÊ HỮU LẬP SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Người thực hiện: Trần Văn Lực Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Lê Hữu Lập SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán HẬU LỘC NĂM 2016 21 ... Bài toán 15: Giải hệ phương trình:  2 (2)  x y − x + y = Phân tích: Nhận thấy (1), (2) phương trình bậc hai với ẩn (15) x , biệt số delta không phương Đối với hệ phương trình đại số có biến... em làm hệ phương trình Để giải tốt dạng toán hệ phương trình người học cần tìm hiểu nhiều kỹ biến đối Nhưng với phạm vi đề tài đưa số kỹ thuật mà thường hay dùng trình làm tập vận dụng để giải. .. nghiệm hệ phương trình: S = ( x; y ) = { (−1; 4);( −1; −4)} Nhận xét: Từ toán 15 đến 18 ta tìm hệ số tỉ lệ, từ lựa chọn hệ số nhân vào phương trình thích hợp, cộng lại Đối với toán không tìm hệ số