Rèn kĩ năng giải hệ phương trình và hình phẳng Oxy (Đặng Việt Hùng)

Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 4 1 6 2 1 7 1 x x y y x y y x y x y y  + − + = +    + + = + − + +  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ( ) ( ) 3 2 3 2 2 1 2 2 1 9 33 29 4 4 4 4 1 2 x x y x y y y y x x y x y  + + + − + − = − +   + + + = + +   Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC, 3 1 ; 2 2   −     N là đ i ể m trên c ạ nh AC sao cho 1 4 = AN AC . Xác đị nh t ọ a độ các đỉ nh c ủ a hình vuông ABCD bi ế t r ằ ng đườ ng th ẳ ng DM có ph ươ ng trình 1 0. − = x Ví dụ 4: Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ to ạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông t ạ i A có M là đ i ể m thu ộ c c ạ nh AC sao cho 2 AM AB = , đườ ng tròn tâm ( ) 0;3 I đườ ng kính CM c ắ t đườ ng th ẳ ng BM t ạ i D (D khác M), bi ế t đườ ng th ẳ ng CD: 3 13 0 x y + − = và đường thẳng BC đi qua điểm ( ) 7;14 K . Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C và điểm C có hoành độ dương. Ví dụ 5. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3  + − + = + −   + + = −   x x xy y xy xy y x y x x y Lời giải: Đ K: 2 2 0; 0; 0; 0 x xy xy y x y − ≥ − ≥ ≥ ≥ T ừ ph ươ ng trình (1) ta có 2 2 2 2 2 x x xy y xy xy y + − + = + − ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 1 0 0 x y x y x y x xy xy y >   ⇔ − + = ⇒ − = ⇒ =   − + −    Thay x y = vào ph ươ ng trình (2) ta có 2 2 2 2 3 x y x x y + + = − ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 2 0 ⇔ + + = − ⇔ + − + + = x x x x x x x x x 2 2 1 5 1 5 1 5 1 2 2 2 2 1; 2 4 4    − ±     − + − +  + = =    = =     ⇔ ⇒ ⇒ ⇒         + =      = − = = =    x x x x y x x x x x y Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ( ) ( ) 2 2 1 5 1 5 ; ; , 4;4 2 2         − + − +     =                   x y Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 4 2 2 16 4  − + + − + = +   − + = +   x y y x y y x y y x y Lời giải: Từ phương trình (1) ta có 2 2 2 4 2 x y y x y y − + + − + = + RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 1) Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 ( ) 2 0 1 1 2 0 2 2 4 2 2 >   ⇔ − + = ⇔ =   − + + − + +    x y x y x y x y y y Thay 2 x y = vào phương trình (2) ta có 2 2 4 2x x x y + = + 2 4 4 2x x x x ⇔ + = + 4 4 2 8 0 x x x x ⇔ + − + − = Đặt 4 ( 0) t x t x = + > 2 2 2 0 0 ( ) =  ⇒ − = ⇔  =  t t t t loai Với 2 4 2 2 4 4 0 2 1 t x x x x y x = ⇒ + = ⇔ − + = ⇔ = ⇒ = Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( ; ) (2;1) x y = Ví dụ 7. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia BA và trên cạnh BC lần lượt lấy các điểm E và F sao cho BE BF = , gọi 12 29 ; 5 5 N       là giao đ i ể m c ủ a 2 đườ ng th ẳ ng CE và AF, bi ế t ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng : 5 0 EF y − = và ( ) 3;4 B . Tìm t ọ a độ các đỉ nh c ủ a hình vuông ABCD. Lời giải: D ễ th ấ y / / EF BD (vì cùng t ạ o v ớ i AB góc 0 45 ). Khi đ ó: EF AC AF CE CB AB ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  ( do F là tr ự c tâm ) Ph ươ ng trình : 4 0 BD y − = , g ọ i ( ) ;4 I t ta có: IB IN = . Khi đ ó: ( ) ( ) 2 2 2 12 29 3 4 0 0;4 5 5 t t t I     − = − + − ⇔ = ⇒         T ừ đ ó suy ra ( ) 3;4 D − khi đ ó ph ươ ng trình AC là : 0 x = G ọ i ( ) 0; A u ta có: ( ) ( ) ( ) 2 1 0;1 . 0 9 4 0 7 0;7 u A AB AD u u A = ⇒ = ⇔ − + − = ⇔  = ⇒     Vì A và B cùng phía v ớ i EF nên ta lo ạ i ( ) 0;7 A Khi đ ó: ( ) ( ) 0;1 ; 0;7 A C . V ậ y ( ) ( ) ( ) ( ) 0;1 ; 3;4 ; 0;7 ; 3;4 A B C D − là các đ i ể m c ầ n tìm. Ví dụ 8. [Tham khảo]: Gi ả i h ệ ph ươ ng trình ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 1 2 1 4 4 2 4 6 4 1  − + + + = +  − −   + + − = + +  y x y y x y y y xy x y x x Lời giải Đ K : 1 1; ; 2 1 0 4 y x y y ≥ ≥ − − − ≠ Xét ph ươ ng trình (1) ta có ( ) 2 2 2 2 2 3 2 1 2 1 y x y y x y y y − + + + = + − − ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 1 2 1 0 2 2 0 2 0 2 1 1 x y y y x y x y y x y y x x y > ⇔ + − + + − − =   ⇔ + − + = ⇒ + − = ⇔ = +   + + −    Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Thay 2 2 y x ⇔ = + vào phương trình 2 ta có ( ) 4 4 2 4 6 4 1 xy x y x x + + − = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 4 6 6 4 6 4 1 1 1 5 1 4 1 4 1 5 4 1 x x x x x x x x x x x ⇔ + + + = + + ⇔ + + + + + = + + + + + Xét hàm số ( ) 3 2 5 f t t t t = + + với 0 t > Ta có 2 3 2 5 0 t t + + > với 0 t ∀ > Suy ra hàm số đồng biến ( ) f t với 0 t ∀ > Mà ( ) ( ) 2 2 6 1 4 1 1 4 1 2 0 0 2 x y f x f x x x x x x y = ⇒ =  + = + ⇒ + = + ⇒ − = ⇔  = ⇒ =  Đối chiếu điều kiện ban đầu thấy thỏa mãn, vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (2;6) và (0;2) Ví dụ 9. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của AB, N thuộc BD sao cho BN = 3ND, đường thẳng MC có phương trình 3 13 0 + − = x y và (2;2) N . Xác định toạ độ đỉnh C của hình vuông ABCD, biết điểm C có hoành độ lớn hơn 3. Lời giải: Gọi I là tâm của hình vuông và G BI CM = ∩ suy ra G là trọng tâm tam giác ABC. Đặt 2 AB a = ta có: 2 2 5 3 3 a CG CM= = ; 2 2 BD a = . Khi đ ó 2 2 2 2 5 2 10 ; ; 3 2 6 2 a a a a GI IN GN CN CI IN= = ⇒ = = + = Do vâ ỵ   2 2 2 0 1 cos 45 2 . 2 GC CN GN GCN MCN GC CN + − = = ⇒ = Ta có  ( ) 5 .sin ; 5 10 NC GCN d N CM NC= = ⇒ = G ọ i ( ) ( ) ;13 3 3 C t t t − > ta có 2 5 NC = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4;1 2 11 3 5 3 t C t t t loai = ⇒ ⇔ − + − = ⇔  =   . V ậ y ( ) 4;1 C là đ i ể m c ầ n tìm. Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 1 2 3 4 1 2 6 3 2  − + + − + + = −   + − + + = + +   y x y x y x y y x y x x y x . Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ( ) 2 2 1 2 2 2 1 3 1 3 2 2 3 3 2 4 3  + = + + − + + − + +   + + = + +   x y x y x y x x y x x x y . Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong và trung tuyến qua đỉnh B là 1 2 : 2 0; : 4 5 9 0 d x y d x y + − = + − = . Điểm 1 2; 2 M       thu ộ c c ạ nh AB và bán kính đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p tam giác ABC là 15 . 6 R = Tìm t ọ a độ các đỉ nh A, B, C. Ví dụ 4: Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ to ạ độ Oxy cho hình thoi ABCD có ph ươ ng trình đườ ng chéo : 2 4 0 BD x y + − = , gọi I là điểm thuộc đường chéo BD, đường tròn ( ) C tâm I đi qua A và C cắt các đường thẳng AB và AD lần lượt tại ( ) 3; 3 E − và 23 9 ; 5 5 F       .Tìm toạ độ các đỉnh của hình thoi và viết phương trình đường tròn ( ) C biết C có tung độ dương. Ví dụ 5. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 2 4 3 1 1 3 4 3 1  − + = + −   − − = + −   x y x y x y y x x x Lời giải: ĐK: 1 4; 0 y x − ≤ ≤ > Từ phương trình (1) ta có 2 4 3 1 1 3 x y x y x − + = + − ( ) 2 4 0 3 1 0 1 0 1 1 x y x x y y x x y >   ⇔ − + + = ⇒ − + = ⇒ = −   + +    Thay 2 1 y x = − vào phương trình (2) ta có: 4 3 1 y y x x x − − = + − 2 5 3 1 1 x x x x x − ⇔ − − = + − ( ) 2 2 0 2 2 2 0 2 3 1 5 x x x x x y x > +   ⇔ − + + + = ⇒ = ⇒ =   + −    Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( ) ; (2;3) =x y Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 3 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2 2 9 3 1 2  + − + + = + +   − + = +   x x y xy y x y x x y Lời giải: ĐK: 2 4 0; 2 x y x − + ≥ ≥ Từ phương trình (1) ta có 3 2 2 2 2 4 2 4 2 2 x x y xy y x y + − + + = + + ( ) 2 2 0 1 2 2 0 2 2 4 2 x y x y x y x y >   ⇔ − + + = ⇒ =   − + +    RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 2) Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Thay 2 x y = vào phương trình (2) ta có 2 2 9 3 1 2 x x y − + = + ( ) ( ) 2 2 2 2 4 3 1 9 1 0 4 12 8 9 1 1 0 1 2 3 2 0 2 4 9 3 2 4 0 9 1 1 4 0, (3) 1 1 ⇔ − − + − = ⇔ − + + − + − =  = ⇒ =  − + = ⇔   = ⇒ =     ⇔ − + + = ⇔    − − −   + =  − − −   y y y y y y y y x y y y x y y y y y y Xét phương trình (3) ta có 9 4 0 1 1y y + = − − − Đặt 2 2 9 1 4 0 4 4 9 0 t y t t t t = − ⇒ + = ⇔ − + = − do 0 ∆ < nên ph ươ ng trình (3) vô nghi ệ m V ậ y ph ươ ng trình đ ã cho có 2 nghi ệ m là ( ) { } ; (2;1);(4;2) =x y Ví dụ 7. [Tham khảo]: Trong m ặ t ph ẳ ng to ạ độ Oxy cho tam giác ABC cân t ạ i A n ộ i ti ế p đườ ng tròn ( ) ( ) 2 2 : 1 25 C x y − + = tâm I, trung tuy ế n AE và đườ ng cao CD c ắ t đườ ng tròn (C) l ầ n l ượ t t ạ i đ i ể m th ứ 2 là ( ) 2; 4 M − − và ( ) 4; 4 N − . Tìm to ạ độ các đỉ nh c ủ a tam giác ABC và vi ế t ph ươ ng trình đườ ng tròn ( ) C bi ế t B có tung độ âm. Lời giải: Do tam giác ABC cân nên tâm I c ủ a đườ ng tròn ( ) C thu ộ c trung tuy ế n AE. Do I là trung đ i ể m c ủ a AM nên ( ) 4;4 A Ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng AM: 4 3 4 0 x y − − = . G ọ i H AM CD = ∩ là tr ự c tâm tam giác ABC . Ta có :   BAE BCD = ( cùng ph ụ v ớ i góc  ABC ) do đ ó   BN BM = Khi đ ó : BN BM = , l ạ i có IN IM = nên IB là trung tr ự c c ủ a MN Ph ươ ng trình IB là: ( ) ( ) 2 1 1; 25 1; 5 x B t t B = ⇒ ⇒ = ⇒ − . Đ i ể m C đố i x ứ ng v ớ i B qua AM nên 19 7 ; 5 5 C   − −     Đáp số: ( ) ( ) 19 7 4;4 ; 1; 5 ; ; 5 5 A B C   − − −     là các đ i ể m c ầ n tìm. Ví dụ 8. [Tham khảo]: Gi ả i h ệ ph ươ ng trình 2 4 2 5 4 2 2 3 3 6 5 2 1 2 2 2 2 1 0  + + = + + +   − − − − + − − − =   x x y y x y x x x x Lời giải Đ K: 2 3 0; 2 y x x + + ≥ ≥ Xét ph ươ ng trình (1) ta có 2 2 5 4 2 2 3 x x y y x + + = + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 2 1 2 2 3 0 1 1 2 0 1 2 2 3 x y x y x x y y x x y x >   ⇔ + − + + − + + =       ⇔ + − + = ⇒ = +     + + + +    Thay ( ) 2 1 y x = + vào ph ươ ng trình (2) ta có 4 3 6 5 2 1 2 2 2 2 1 0 y x x x x − − − − + − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 2 1 3 6 5 2 1 2 2 2 2 1 0 2 5 2 2 2 2 1 5 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x ⇔ + − − − + + − − − = ⇔ − + − + − = − + − + − Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Xét hàm số 2 ( ) 5 2 f t t t t = + + với 0 t > Ta có 1 '( ) 2 5 0 f t t t = + + > 0 t ∀ > , suy ra hàm s ố ( ) f t đồng biến 0 t ∀ > Mà ( ) ( ) 2 1( ) 2 2 1 2 2 1 6 5 0 5 36 =  − = + ⇒ − = − ⇔ − + = ⇔  = ⇒ =  x loai f x f x x x x x x y Đối chiếu điều kiện ban đầu thấy thỏa mãn , vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ( ) ; (5;36) =x y Ví dụ 9. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại C có phân giác trong AD với 7 7 ; 2 2 D   −     thuộc BC. Gọi E, F là 2 điểm lần lượt thuộc các cạnh AB và AC sao cho AE = AF. Đường thẳng EF cắt BC tại K. Biết 3 5 ; 2 2 E   −     , F có hoành độ nhỏ hơn 3 và phương trình đường thẳng : 2 3 0 AK x y − − = . Vi ế t ph ươ ng trình các c ạ nh c ủ a tam giác ABC. Lời giải: G ọ i I là giao đ i ể m c ủ a AD và EF . Do tam giác AEF cân t ạ i A có phân giác AI nên AI là phân giác đồ ng th ờ i là đườ ng cao và trung tuy ế n. Ta có: EK AD DF AK AC KD ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  . Do đ ó đươ ng th ẳ ng DF qua 7 7 ; 2 2 D −       và vuông góc v ớ i AK. Ta có 7 : 2 0 2 DF x y + − = . Vì F thu ộ c DF nên ta g ọ i 7 ; 2 2 F t t   −     M ặ t khác I là trung đ i ể m c ủ a EF nên 2 3 1 2 ; 4 2 t t I + −       Ta có: 3 2 11 2 ; 3 , ; 4 4 4 − −     = − + = − +           t t IE t ID t Khi đ ó, ( ) ( ) ( ) ( ) . 0 3 2 11 2 16 3 4 0 IE ID t t t t = ⇔ − − + − − =   ( ) ( ) 2 9 9 11 ; 2 2 2 20 140 225 0 5 5 3 ; 2; 2 2 2 2 t F loai t t t F I  −   = ⇒       ⇔ − + = ⇔  −   = ⇒ ⇒ −       PT đườ ng th ẳ ng ( ) 0 1 : 0 1; 1 2 3 0 1 x y x AD x y A AD AK A x y y + = =   + = ⇒ = ∩ ⇒ ⇔ ⇒ −   − − = = −   T ừ đ ó ta có : 3 2 0, :3 2 0, :3 14 0 AF x y AE x y BC x y + + = + − = − − = Ví dụ 10. [Tham khảo]: Gi ả i h ệ ph ươ ng trình ( ) 2 2 2 3 4 4 1 4 3 12 3 2 1 −  − + + =  +    + + = + + −   y x y x x y x y x x Lời giải: Đ K: 0; 0 y x > > Xét PT(1): 2 2 3 4 4 1 y x y x x − − + + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 1 4 4 2 0 1 2 4 4 2 0 x x x y x y x x y x x y ⇔ + + − + + + − = ⇔ + + − + + + − = Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 4 4 4 4 1 1 2 0 2 0 2 4 4 2 4 4 >   + + − + + + ⇔ + + − = ⇔ − + =     + + + + + + + +    x x y x x x x y x y x y x x y x 2 2 0 ⇒ − = ⇔ = x y y x . Thế 2 y x = vào PT(2) ta được: ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 3 3 12 2 1 3 3 12 4 4 1 x x x x x x x x x x x + + = + + − ⇔ + + = + + + − Do 0 x = không là nghi ệ m c ủ a PT(2) nên chia c ả hai v ế c ủ a PT cho x ta đượ c: 12 4 4 4 4 4 3 3 4 1 3 3 4 1 x x x x x x x x x x x x       + + = + + + − ⇔ + + = + + + −             Đặ t ( ) 2 2 4 4 4 1, 0 1 1 = + − > ⇒ = + − ⇒ + = + t x t t x x t x x x ⇒ PT(2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 0 2 3 1 3 1 4 3 5 6 0 2 3 3 0 − = ⇔ =  ⇔ + + = + + ⇔ − + − = ⇔ − − + ⇔  − + =  t t t t t t t t t t t t t vn V ớ i 2 1 1 4 4 2 1 2 1 4 5 4 0 4 16 x y t x x x x x y x x = ⇒ =  = ⇒ + − = ⇔ + − = ⇔ − + =  = ⇒ =  Vậy hệ phương trình đã cho có 2 cặp nghiệm là ( ) ( ) ( ) { } ; 1;1 , 4;16 =x y Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 5 2 4 9 6 2 2 2 4 14 20  + − = + + + +   + + + = − + −   x x y y x y x x x y y x x Ví dụ 2: Gi ả i h ệ ph ươ ng trình ( ) 2 2 2 2 2 6 8 6 2 1 3 6 1  + + − + = + +   + + + + + = + +   x y x xy y x y xy x y x x y xy x Ví dụ 3: Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ to ạ độ Oxy cho hình vuông ABCD trên các c ạ nh AD, AB l ấ y l ầ n l ượ t các đ i ể m , E F sao cho 3 AB AE AF= = , K là hình chi ế u c ủ a F trên CD, đườ ng th ẳ ng AK c ắ t đườ ng th ẳ ng BE t ạ i 6 2 ; 5 5 H       , bi ế t đ i ể m ( ) 1;2 F . Tìm to ạ độ đỉ nh C c ủ a hình vuông ABCD. Ví dụ 4: Trong m ặ t ph ẳ ng to ạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân t ạ i A, g ọ i M là trung đ i ể m c ủ a BC, G là tr ọ ng tâm tam giác ABM, đ i ể m 5 1 ; 3 3 D   −     là đ i ể m thu ộ c đ o ạ n MC sao cho GA GD = . Tìm to ạ các đỉ nh c ủ a tam giác ABC bi ế t A có hoành độ không d ươ ng và đườ ng th ẳ ng AG có ph ươ ng trình 2 0 y + = . Ví dụ 5. [Tham khảo]: Gi ả i h ệ ph ươ ng trình 2 4 3 2 3 2 3 2 3 3 4  − + + − = + +  +   + + = + −  y y xy x y y y y x xy x Lời giải: T ừ ph ươ ng trình (1) ta có 2 4 3 2 3 2 y y xy x y y y − + + − = + + + ( ) 0 1 0 3 3 x y y x y x y >   ⇔ − + = ⇒ =     + + +    hay 2 y x = Thay 2 y x = vào phương trình (2) ta có 3 6 3 2 5 4 y x xy y x + + = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 1 3 1 4 x x x x x x ⇔ + + + − = + + + Đặ t 2 4; 0 A x x A = + + > và 1; 0 B x B = + > 2 3 A B AB ⇒ + = ( ) ( ) 2 2 4 4 9 4 0 ⇔ + + = ⇔ − − = A AB B AB A B A B 2 0 2 4 1( ) 0 0 4 4 4 4 3 ( )  = ⇔ + + = +  ⇔ = ⇒ =   = ⇔ + + = + ⇔   = −   A B x x x vn x y A B x x x x loai Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( ) ; (0;0) =x y Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 3 2 5 1 2 11 7 x xy x x x y x y y  − + + + = +   − + =   Lời giải: RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 3) Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 ĐK: 2 5 0 0 0 11 x y x y  − + ≥  ≥   ≤ ≤  Từ PT đầu ta có 3 2 3 2 5 1 2 5 2 1 x xy x x x y x xy x x y x − + + + = + ⇔ − + − = − + ( ) 2 3 2 2 3 2 3 2 1 1 1 5 1 5 1 x x y x xy x y x y x x xy x x y x x xy x x y x − + − + − − − − ⇔ = ⇔ = − + + + + − + + + + ( ) 2 2 3 2 1 0 1 1 5 1 y x x y x L x xy x x y x  − − =  − ⇔ ⇒ = +  =  − + + + +  Thay vào PT d ướ i ta có ( ) 2 2 2 2 11 1 7 1 10 6 0 x x x x x x − + + = + ⇔ − + − = Đặ t: ( ) ( )( ) 2 2 2 2 3 3 10 6 4 4 6 4 4 10 11 t x y t x x t t x t t t t t t x y = ⇒ = ± ⇒ =  = − ⇒ − = ⇒ − = ⇔ + − = ⇔  = ⇒ = ± ⇒ =  K ế t h ợ p Đ K ta có: ( ) ( ) ( ) { } ; 3;10 , 10;11 =x y Ví dụ 7. [Tham khảo]: Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ t ọ a độ cho tam giác ABC vuông t ạ i B có phân giác trong AD v ớ i 15 1 ; 2 2 D       thu ộ c BC .G ọ i E, F là 2 đ i ể m l ầ n l ượ t thu ộ c các c ạ nh AB và AC sao cho AE AF = . Đườ ng th ẳ ng EF c ắ t BC t ạ i K. Bi ế t đ i ể m 11 3 ; 2 2 F       , E có tung độ d ươ ng và ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng : 2 1 0 AK x y − + = . Tìm to ạ độ các đỉ nh c ủ a tam giác ABC. Lời giải: G ọ i I là giao đ i ể m c ủ a AD và EF . Do tam giác AEF cân t ạ i A có phân giác AI nên: AI là phân giác đồ ng th ờ i là đườ ng cao và trung tuy ế n. Ta có: KE AD DE AK AB KD ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  . Do đ ó đươ ng th ẳ ng DE qua 15 1 ; 2 2 D       và vuông góc v ớ i AK. Khi đ ó ta có ph ươ ng trình 31 : 2 0 2 DE x y + − = .Vì E thu ộ c DE nên ta g ọ i 31 ; 2 2 E t t   −     D ễ th ấ y ( ) 2 2 15 15 2 5 2 DE DF t t   = ⇔ − + − =     ( ) ( ) ( ) 2 17 17 3 ; 2 2 2 2 15 4 13 13 5 ; 6;2 : 8 0 2 2 2 t E loai t t E I AD x y    = ⇒ −       ⇔ − = ⇔    = ⇒ ⇒ ⇒ + − =       Khi đó ( ) 5;3 :3 18 0; : 3 14 0; :3 22 0 A AD AK A AC x y AB x y BC x y = ∩ ⇒ ⇒ + − = + − = − − = Do vậy ( ) ( ) 20 5;3 ; 8;2 ; ; 2 3 A B C   −     là to ạ độ các đ i ể m c ầ n tìm. Ví dụ 8. [Tham khảo]: Gi ả i h ệ ph ươ ng trình ( ) ( ) ( ) 3 3 4 3 1 2, 2 1 5 7 6 2 10. x y x y xy x y x y x  + + + + =   + + − + − = +   Lời giải. Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Điều kiện 1; 7 x y ≥ − ≤ . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với ( ) ( ) 3 3 3 3 2 2 x y xy x y x y x y x y + + + + + = ⇔ + + + = . Đặ t ( ) ( ) 3 2 2 0 1 2 0 1 1 x y t t t t t t t y x + = ⇒ + − = ⇔ − + + = ⇔ = ⇒ = − . Ph ươ ng trình th ứ hai tr ở thành ( ) 4 2 1 5 6 6 1 10 + + + + + = + x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 3 2 3 3 2 1 4 5 6 15 6 6 9 2 1 2 5 6 3 3 3 3 3 2 3 5 3 3 1 2 1 2 6 3 3 2 5 1 2 1 1 2 6 3 ⇔ + − + + − = − − − ⇔ + − + + − = − + + + − −   ⇔ + = − + +   + + + + =   ⇔  + = + +  + + + +  x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Để ý rằng 2 5 2 5 2, 1 2 1 2 6 3 5 3 x x x + ≤ + < ∀ ≥ − + + + + + và ( ) 3 1 2 2, 1 x x + + ≥ ∀ ≥ − . Do đó ( ) 3 2 5 1 2, 1 1 2 6 3 x x x x + < + + ∀ ≥ − ⇒ + + + + (1) vô nghiệm. Đối chiếu điều kiện ta thu được nghiệm duy nhất 3 x = , h ệ có nghi ệ m 3; 2 x y = = − . Ví dụ 9. [Tham khảo]: Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ t ọ a độ Oxy cho hình vuông ABCD có D(5; 1). G ọ i M là trung đ i ể m BC và N thu ộ c AC sao cho AC = 4AN. Bi ế t r ằ ng MN: 3x − y − 4 = 0 và y M > 0. Tìm t ọ a độ đỉ nh C Lời giải: G ọ i I là tâm hình vuông ABCD ta có:   1 tan tan 2 NDI MDC = = Do v ậ y    0 45 NDM IDC ICM= = = do đ ó t ứ giác NDCM là t ứ giác n ộ i ti ế p suy ra  0 90 DNM DNM = ⇒ ∆ vuông cân t ạ i N. Ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng : 3 8 0 DN x y + − = ( ) 2;2 N DN MN N⇒ = ∩ ⇒ , g ọ i ( ) ;3 4 M t t − ta có: ( ) 2 2 3;5 MN ND M= ⇒ D ễ th ấ y 2 KD KM = −   ( v ớ i K là tr ọ ng tâm tam giác BCD) Khi đ ó ( ) ( ) 5 2 3 11 11 ; 3 3 1 2 5 K K K K x x K y y − = − −     ⇒    − = − −     L ạ i có: ( ) 5 5 5 5 5 11 11 ; ; 5;5 4 4 3 3 4 3 3     = ⇒ = − ⇔ − − = − − − ⇒           C C KN KN KC x y C KC Ví dụ 10. [Tham khảo]: Gi ả i h ệ ph ươ ng trình ( ) ( ) 2 2 2 2 1 3 2 1 2 16 42 1 2 3  + + + + + − =   − + = + −   x x x y y y x y x Lời giải: Đ K: 3 2 x ≥ Xét ph ươ ng trình (1) ta có ( ) ( ) 2 2 1 3 2 1 x x x y y y + + + + + − = [...]... ≤ 3  2 { ( Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ( x; y ) = ( 6; 7 ) ; ( 2; 3 ) ; 3 − 2; 2 − 2 )} Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 4) Thầy Đặng Việt Hùng  x + 2 y + 2 2x + y + x − y = 3 3 y  Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  x2 − y +... tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 7) Thầy Đặng Việt Hùng Ví dụ 1: Giải bất phương trình Điều kiện x ≥ 0 1+ x x + x2 + x + 1 ≤1 ( x ∈ ») Lời giải Bất phương trình đã cho tương đương với 1 + x ≤ x + x 2 + x + 1 ⇔ 1 − x + x ≤ (1 − x ) 2 + 3x Đặt 1... B ( 0;1) ta có: AB = 6 2 và BF = 2 2 và do F thuộc cạnh BC nên ta có: BC = 3BF ⇒ C ( 6;7 ) Từ đó suy ra D (12;1) và kết luận Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 6) Thầy Đặng Việt Hùng Ví dụ 1: Giải bất phương trình ( x ∈ ») x3 − 8 ≤... 8)  t = −1 Giải AD.DN = 0 ⇔ ( 4t + 4 ) t + ( −8t − 5 )( −2t − 2 ) ⇔  −1 t =  2 +) Với t = −1 ⇒ A ( 0; 0 ) , N ( −1;3) ; C ( −2; 6 ) 1  1  +) Với t = − ⇒ N  − ; 2  ; A ( −2; 4 ) ; C (1;0 ) 2  2  Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 5)... nghiệm của hệ phương trình là ( x; y ) = ( 0; 2 ) ,  − ;    3 9    x3 + y 3 + 6 xy = 8  Ví dụ 6* [Tham khảo]: Giải hệ phương trình  3 2 3 2 2  x + 3 x + 3 + 2 x + 3 x + 2 = 6 x − 12 y + 32  Lời giải Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY ( x + y)... + 3) y − 1 − ( y − 2 )  Ví dụ 10 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình  y + 2 y −1   xy + 21 = 9 x + 3 y + 7 x − 5 Lời giải: ( y − 2) Từ phương trình (1) ta có ( x 2 + 9 ) x 2 + 3 − x 2 − 2 = ( y + 3) y − 1 − 2 y + 2 y −1 Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn ⇔ ( x 2 + 9 ) x 2 + 3 − x 2 −... Đặng Việt Hùng  x3 + 2 xy 2 = 3 y 3  Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  2 2 2  y + x −1 + − x + y + 1 = x − y + 2   x + y +1 + x + 2 y +1 = 1− x − y + y +1  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình  3 2 3 2  3 x + 2 x + 2 + 3 y + y − 2 y − 1 = 2 + 2 x − 2 xy  Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD gọi M là trung điểm của AB gọi H ( 6;3) là hình chiếu vuông góc của D lên CM và K (... thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Phương trình AB là 2 x − y − 2 = 0; AC : x + 2 y + 4 = 0 9 1 Mặt khác N  ; −  ⇒ BC : 3 x + y − 13 = 0 2 2 Vậy AB : 2 x − y − 2 = 0; AC : x + 2 y + 4 = 0; BC : 3 x + y − 13 = 0 là các đường thẳng cần tìm ( )  2 y 2 + 24 x − 4 x −1 + y − = 0, Ví dụ 8 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình  2 y2 −1 ( x; y ∈ » ) ... số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn a ≥ b ⇔ x 2 − 4 ≥ x3 + 2 x − 3 ⇔ x3 − x 2 + 2 x + 1 ≥ 0 ⇔ x ( x 2 − x + 2 ) + 1 ≥ 0 (*) Dễ thấy (*) nghiệm đúng với mọi x ≥ 2 So sánh và thử lại, kết luận phương trình đã cho có tập nghiệm S = [ 2; +∞ ) Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có AC > AB có đường... ⇔ − Ví dụ 6 [Tham khảo]: Giải bất phương trình [1] x3 + 4 x 2 + 10 x + 20 − x3 − 27 ≤ 2 x Lời giải  x3 + 4 x 2 + 10 x + 20 ≥ 0  Điều kiện  x3 ≥ 27 ⇔ x ≥ 3 x ≥ 0  Bất phương trình đã cho tương đương với Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY x3 + 4 x 2 + 10 x + 20 . y Lời giải. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 5) Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn. Lời giải: Từ phương trình (1) ta có 2 2 2 4 2 x y y x y y − + + − + = + RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 1) Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG. Th ế 1 x = vào (2) ta đượ c ( ) 2 1 1 2 y y y + − = + + RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 4) Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn