Chuyên đề "Một số phương pháp giải hệ phương trình" - GV. Lê Đình Tần

CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” Phầ n I : ĐẶ T VẤ N ĐỀ w w w tu o itr eb en tre v n Hệ phư ng trình mả ng kiế n thứ c quan trọ ng chư ng trình Tốn họ c phổ thơng, thư ng gặ p kì thi tuyể n sinh vào lớ p 10, tuyể n sinh Đạ i họ c, Cao đẳ ng, thi họ c sinh giỏ i Mặ c dù họ c sinh đư ợ c cọ xát phầ n nhiề u song phầ n lớ n em vẫ n thư ng lúng túng trình tìm cách giả i Nguyên nhân vì: Thứ nhấ t, hệ phư ng trình mả ng kiế n thứ c phong phú khó, địi hỏ i ngư i họ c phả i có tư sâu sắ c, có kế t hợ p nhiề u mả ng kiế n thứ c khác nhau, có nhìn nhậ n nhiề u phư ng diệ n Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phầ n n giả n, tài liệ u tham khả o đề cậ p đế n phầ n nhiề u song phân loạ i chư a dự a gố c củ a toán nên họ c, họ c sinh chư a có liên kế t, đị nh hình chư a có nhìn tổ ng qt hệ phư ng trình Thứ ba, đa số họ c sinh đề u họ c mộ t cách máy móc, chư a có thói quen tổ ng qt tốn tìm tốn xuấ t phát, chư a biế t đư ợ c toán đề thi đâu mà có nên ngư i đề cầ n thay đổ i mộ t chút gây khó khăn cho em (dẫ n ng gầ n nhấ t đề thi thử lầ n Trư ng THPT Chuyên –Đạ i Họ c Vinh năm 2014 ) Chuyên đề củ a tơi mặ t hình thứ c khơng mớ i Cái mớ i phân loạ i có tính chấ t xun suố t chư ng trình ng vẫ n bám vào kĩ thuậ t quen thuộ c, phù hợ p vớ i tư củ a họ c sinh Thêm vào đó, vớ i mỗ i tốn đề u có phân tích lơgic, có tổ ng quát điề u đặ c biệ t cho họ c sinh tìm gố c củ a tốn, tốn từ đâu mà có, ngư i ta tạ o chúng bằ ng cách Thông qua việ c làm thư ng xuyên này, họ c sinh dầ n dầ n hình thành đư ợ c phư ng pháp, rèn luyệ n đư ợ c kỹ năng, có tư sáng tạ o, có lự c làm toán tạ o toán mớ i Họ c sinh thư ng hiể u sâu ng thú họ c phầ n Mặ c dù có đầ u tư song điề u kiệ n thờ i gian hạ n chế nên phân loạ i chư a đư ợ c triệ t để mang tính chấ t tư ng đố i, rấ t mong đư ợ c bạ n bè đồ ng nghiệ p góp ý kiế n nh sử a để chuyên đề đư ợ c hoàn thiệ n hơ n Tôi xin chân thành m n! GV:Lê Đình Tầ n THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” Phầ n II GIẢ I QUYẾ T VẤ N ĐỀ A.BÀI TOÁN MỞ ĐẦ U x 4x y y (1) x 2 x( y 1) y y 0(2) Giả i hệ phư ng trình : Tuyể n sinh Đạ i họ c khố i A;A1 năm 2013 Giả i Cách : ( Đư a đố i xứ ng loạ i ) Đk : x x( y 1) y2 6y ( y 1) y2 6y 4y 'x y itr eb en tre v n Xét (2) : x2 Xét (1) : Đặ t t x ( t ) : x t Pt(1) trở thành : t t y y (*) Xét hàm số f ( z) z z f '( z ) 2z3 z4 0, z Nên f(z) đồ ng biế n vớ i z (*) t y y x Khi (2) trở thành : y y ( y 1)( y y5 y4 y3 3y2 Vậ y nghiệ m củ a phư ng trình : 3y x y 4) x , y 2 y y 4y y y y 0 (vì y>0) w w w tu o Cách 2: ( đư a hệ đố i xứ ng loạ i 3) Đk : x (2) x 2( y 1) x y y ( x y 1) y (*) Vậ y : y (1) x 4x ( y 1) ( y 1) (**) ) Đặ t f (t ) x x f đồ ng biế n 1, 4 Nên (**) f ( x) f ( y 1) x y Thế vào (*) ta có : y Vì g ( y ) y y 2y ( y4 y)2 y8 y đồ ng biế n 0, y5 y2 y y y4 y ) , mà g(1)=0 nên y y4 y =4 Dễ dàng suy : (x;y)=(1;0) hay (x;y) =(2;1) Cách ( phư ng pháp đánh giá kế t hợ p sử dụ ng nhân liên hợ p ) Đk : x (2) x 2( y 1) x y y ( x y 1)2 y (*) Vậ y : y Xét x y 0( y 0) x y=0 thỏ a mãn hệ phư ng trình hệ nhậ n nghiệ m Xét x GV:Lê Đình Tầ n y x y 0 , ta có THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ (1) y4 ( x y4 x y4 x y4 y y )( x ( x y2 ) y2 ) (do y>0) Thế vào (*) ta có : y (Vì g ( y ) y) x x (4 x 2) x y4 ( x y)( x y 1) (x PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” y 2y ( y4 y)2 y8 y5 y2 y đồ ng biế n 0, y y y4 y itr eb en tre v n u x ,(u , v v y4 u 0) x Xét hàm số f (t ) t t , t Ta có : f(t) đồ ng biế n 0, ( làm tư ng tự cách ) Vậ y (x;y)=(1;0) hay (x;y) =(2;1) ) u 0, t v u v y (1) y (*) Vậ y : y u ) ),mà g(1)=0 nên y y y y Vậ y (x;y)=(1;0) hay (x;y) =(2;1) Cách : ( Đư a hệ đố i xứ ng loạ i 3) Đk : x Từ (2) x 2( y 1) x y y ( x y 1)2 Đặ t y y 2 v v Cách : ( Phư ng pháp ) y y w w đư ợ c: w tu o Đk : x Từ (2) ta đư ợ c y ( x y 1) y Vậ y (x;y) =(1;0) nghiệ m củ a hệ phư ng trình y y , thay vào(1)ta *Vớ i : x y , ta có x y *Vớ i : x y y ( y y (4 y y t4 y f(t) đồ ng biế n 0, y y y 1; x y y Xét hàm số : f (t ) Từ (3) suy 1 y y y y 0 ) , suy x=1 thỏ a mãn hệ y )4 y y4 y y y y4 y (3) Ta có : f '(t ) t, t 4t t4 ) y y y (4) t8 t2 2t Đặ t t y (4) GV:Lê Đình Tầ n t(t 1)(t6 t5 2t t3 t 2) THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ t t y y x x PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” (do t t5 2t t3 t 0) 0, t Vậ y (x;y)=(1;0) hay (x;y) =(2;1) Cách : ( Sử dụ ng nhân liên hợ p ) Đk : x Từ (2) ta đư ợ c y ( x y 1) y Đặ t t t x , suy x t Phư ng trình (1) trở thành : t t t t4 (2) Từ (3) ( y4 y)2 y y 1) y4 y 4y Xét hàm số : g ( y ) g '( y ) 7y y (t 8y t y y) y (t y )(t t4 y2 ) y4 (3) y , nên y (t y )(t t4 y2 ) y4 x Thế vào (4) ta có : y x y7 y4 y g ( y) y4 (x t y4 t itr eb en tre v n t4 y4 y7 y4 0, y y , nên g(y) đồ ng biế n 0, tu o Mà g(1) =0 nên y=1 nghiệ m nhấ t củ a g(y) Vớ i y=1 Vậ y (x;y)=(1;0) hay (x;y) =(2;1) Qua toán mở đầ u,ta thấ y có nhiề u cách giả i khác để phư ng trình Tuy nhiên cách đề u dự a sở phá bỏ thứ c x theo y đư a hệ phư ng trình n giả n hơ n mà ta biế đây, tơi xin trình bày mộ t số phư ng pháp cụ thể để giả i hệ Phư ) x=2 giả i mộ t hệ rút mộ t biể u t cách giả i.Sau ng trình w w w B MỘ T SỐ PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH Phư ng pháp * Cơ sở phư ng pháp Ta rút mộ t ẩ n (hay mộ t biể u thứ c) từ mộ t phư ng trình hoặ c kế t hợ p hai phư ng trình hệ vào mộ t phư ng trình cịn lạ i.Mụ c đích củ a việ c làm giả m số ẩ n Tùy thuộ c vào đặ c điể m củ a tốn mà ta có nhữ ng cách biế n đổ i phù hợ p * Nhậ n ng -Phư ng pháp thư ng hay sử dụ ng hệ có mộ t phư ng trình bậ c nhấ t,bậ c hai đố i vớ i mộ t ẩ n (có thể coi biế n cịn lạ i tham số ) -Vớ i hai số thự c bấ t kỳ x ;ta ln có y=tx vớ i cách làm ta chuyể n phư ng trình ẩ n t - Phư ng trình f(x;y)=f(y;x) ln có mộ t cặ p nghiệ m x=y phân tích phư ng trình cho ng (x-y).g(x;y)=0 - Trong hệ phư ng trình biể u thứ c u(x) xuấ t hiệ n hai phư ng trình ta đặ t u(x)=t để làm n giả n hình thứ c tốn GV:Lê Đình Tầ n THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ x Ví dụ Giả i hệ pt: PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” 27 x y (x 2) y Đề thi Chọ n Họ c sinh giỏ i Tĩnh lớ p 10 _GD H Tĩnh y 27 x (1) x Giả i hệ pt: (x 2)4 y (x 2)2 Ta có: (2) x (x 2) x y Điề u kiệ n: (3) y , kế t hợ p vớ i (1), ta đư ợ c: 27 x x3 x x 4x 31 (4) Đặ t x a vớ i a x a 2 , thay x theo a vào vế phả i củ a (4) rút gọ n, ta đư ợ c: a6 5a4 12a2 a 19 (a 1)(a5 a4 6a3 6a2 18a 19) a x x2 2x x3 2 x (6 x x ) 6x x2 2x 2x (6 x x ) 2x w w x x2 w x4 tu o itr eb en tre v n (vì a5 a4 6a3 6a2 18a 19 a ) Khi a = 1, ta đư ợ c x = y = (thỏ a mãn điề u kiệ n (3)) Vậ y hệ phư ng trình cho có nghiệ m (3; 2) Nhậ n xét Quan sát phư ng trình (2) ta thấ y (x 2)4 y hay (x-2)4=y-1có thể nghỉ đế n việ c đặ t ẩ n phụ chuyể n hệ mộ t hệ đạ i số có cách giả i x x3 y x y 2 x (1) Ví dụ Giả i hệ phư ng trình x xy x (2) Nhậ n xét Phư ng trình (2) bậ c nhấ t đố i vớ i y nên ta dùng phép Lờ i giả i x = không thỏ a mãn (2) x x2 vào (1) ta đư ợ c x 0, (2) y 2x Do x nên hệ phư ng trình có nghiệ m nhấ t x( x 4)3 4; x x 17 Chú ý + Hệ phư ng trình theo phư ng pháp sau: x xy Hệ x xy 2x x2 6x x2 6x 2 2x x2 6x + Phư ng pháp thư ng công đoạ n cuố i ta sử dụ ng phư ng pháp khác Ví dụ Thi thử lầ n khố i B năm 2014 THPT NVX Bắ c Ninh GV:Lê Đình Tầ n x2 xy THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” x3 Giả i hệ phư ng trình : x 2x2 y y (1) IR ) ( x, y x2 12 x 12 y 3y x (2) Nhậ n xét :Rỏ ràng ta biế n đổ i phư ng trình (2),vấ n đề chổ biế n đổ i phư ng trình (1) ,để ý thấ y hệ số 2:1=2:1 vậ y phư ng trình có nghiệ m x=y Lờ i giả i Đk: x 0; y Phư ng trình (1) tư ng đư ng vớ i x(2 x 1) y (2 x 1) ( x y )(2 x 1) x y ( Vì x 0, x IR ) Thế vào phư ng trình (2) ta có x 12 x 12 x Đặ t a x x2 1)2 3(2 x 3a 6ax Khi a=x , ta có x a2 x 8x2 x2 x 2a 6ax x 3a 3x a a x x x( L) a x y 1) , ta có phư ng trình 1, a 9x2 3x (2 x x itr eb en tre v n x2 3x 1 x 2 2( L) 2 Thử lạ i thấ y thỏ a mãn Vậ y hệ phư ng trình có nghiệ m ( x; y ) (3 2;3 2) tu o Ví dụ Thi thử lầ n khố i A &A1 năm 2014 THPT ĐT – HẢ I DƯ Ơ NG x Giả i hệ phư ng trình y 5( x y 3)(1) (2 x 1) (2 y 1) 18(2) w w w Nhậ n xét :Phư ng trình mộ t phư ng trình đố i xứ ng theo x y chư a thể khẳ ng đinh có hay khơng nghiệ m x=y ,tuy nhiên để ý phư ng trình (1) có a biể u thứ c độ c lậ p x y nên từ (2) rút x y x y vào phư ng trình (1) Lờ i giả i Điề u kiệ n : x 0;( y 1) 0; x y Từ phư ng trình (2) x y x y (3) 5( x y 1) Thế (3) vào (1) ta có : x y (x (x 2)( y 1) 2) 2x y (x 2)( y 1) (x 9( y 1) 2)( y 1) 2( x 5( x y 1) 2) 2( y 1) (3) Ta thấ y y=1 không phả i nghiệ m củ a phư ng trình : (3) GV:Lê Đình Tầ n x 2 y x y x y x y ( L) THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ x y Vớ i PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” x=4y-6 thay vào phư ng trình (2) rút gọ n ta đư ợ c : y x (2) 17 y 53 y 38 19 26 (t / m) y x 17 17 26 19 Vậ y hệ có nghiệ m (x;y) (2;2) ; ( ; ) 17 17 y x 2 y x (1) Ví dụ Giả i hệ phư ng trình x x y 16 x 12 (2) Thay vào (1) ta có x itr eb en tre v n Nhậ n xét : phư ng trình (1) mộ t phư ng trình bậ c theo y nghỉ đế n việ c giả i phư ng trình bậ c hai ẩ n y hy vọ ng đư ợ c nghiệ m đẹ p Điề u kiệ n : x 4, y 16 Giả i phư ng trình (2) theo ẩ n y ta đư ợ c y 2( L), y x 2 x 16 x x 12 x x x x x x 12 Giả i phư ng trình ta đư ợ c x=5 Vậ y hệ cho có nghiệ m (5,25) Nhậ n xét: Hệ phư ng trình cho ta mộ t lờ i giả i đẹ p ,tạ o m ng cho ngư i viế t chuyên đề m thấ y rấ t thiế u sót nế u khơng tiế p tụ c tạ o nên mộ t hệ phứ c tạ p hơ n Ví dụ 3x x tu o Giả i hệ phư ng trình y2 2y y x2 3x y 3x y w w w Nhậ n xét : Rỏ ràng muố n hay khơng biế n đổ i phư ng trình ?phân tích ng tích ? rấ t khó ? để ý thấ y rằ ng phư ng trình phư ng trình bậ c hai theo y vậ y ta cịn chờ nữ a ??? ĐK y 2 y Pt y x 3x y 3x x 3x x2 3x Suy ra: y 3x y x2 3x Vớ i y 3x Đk : 5x2 3x VP x2 x 1.VT trở thành : 4 x Áp dụ ng BĐT Cauchy ta có : 1.1.1 x x Từ (3) ta có : x 3x x 4x 12 x x4 x2 3x 33 4 VT vô nghiệ m Vớ i y 3x GV:Lê Đình Tầ n x x4 4 4 THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ x x x2 2x PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” Thử lạ i x =1 thõa mãn (3) vớ i x y vậ y hệ cho có nghiệ m : (1;0) Nhậ n xét Lợ i củ a phư ng trình (3) nhìn rỏ bấ t đẳ ng thứ c cauchy Thư ng gặ p mộ t phư ng trình cuố i a sau ta hay vậ n dụ ng phép nhân liên hợ p Giả i hệ phư ng trình Ví dụ (x y2 y )( x y2 x y2 3y4 (1) y (2) y) itr eb en tre v n Thi thử lầ n khố i A &A1 năm 2014 THPT Chuyên ĐH Vinh Nhậ n xét : Để ý phư ng trình đầ u mộ t phư ng trình bậ c theo x ,bậ c hai theo y2,và bậ c hai theo biế n ( x+y ),như vậ y bạ n đọ c giả i theo ba cách ĐK: x y x x Coi phư ng trình (1) phư ng trình bậ c hai theo ẩ n x ta có TH1: Vớ i x =-y2-y thay vào phư ng trình (2) ta có : hệ có nghiệ m : 13; 13 2 13; y2 y y2 y y2 y Trư ng hợ p 13 TH2: Vớ i x=-3y -y Thay vào phư ng trình (2) ta có :y=-1 y y y2 y ,vớ i mọ i x thuộ c tu o có nghiệ m : 2; Vậ y hệ cho có nghiệ m Ví dụ Giả i hệ phư ng trình : x ; Trư ng hợ p hệ x y 4(1) ( y 1) x ( y 2) xy 1(2) w w w Nhậ n xét: Dĩ nhiên ta biế n đổ i phư ng trình (1) ng nế u xét tính cơng bằ ng củ a phư ng trình (2) mộ t phư ng trình bậ c theo y có hơ i phứ c tạ p ng không phả i Lờ i giả i Điề u kiệ n : x 1, y Từ (2) x4 ( y 1) x y2 Xét (2 x (4 x2 y 2y (2 x x ) Vậ y PT(2) x3 ( y 4( x xy x3 x y x3 ) y 2) x3 x2 2x ) x6 x x3 y x y x3 xy (4 2x4 ) ( x3 x6 4x 2) x x3 x4 ) x4 x3 Vớ i y = x - thay vào (1) ta đư ợ c : (1) x x GV:Lê Đình Tầ n x x y THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” x3 x Vớ i y x3 thay vào (1) , ta đư ợ c : (1) x3 x 1 x x 1 (x x 1 hay x x x2 x x x2 x 1 2) 2x x3 2x (vô nghiệ m) 3 itr eb en tre v n Do x=2 y Vậ y nghiệ m (x;y) củ a hệ (I) : (2;8), (5;3) Ví dụ Thi thử Đạ i họ c lầ n năm 2014 THPT Ngô Gia Tự -Bắ c Ninh Giả i hệ phư ng trình x2 y2 y( y 2( x y) x) x 7(1) 10(2) Nhậ n xét : Cả hai phư ng trình củ a hệ đề u coi phư ng trình bậ c hai theo x hoặ c y,tuy nhiên khơng đư ợ c thuậ n lợ i ví dụ Để ý mộ t tý ta thấ y yế u tố thiế u phư ng trình (1) tích xy ,và phư ng trình (2) nế u rút y vào (1) ta đáp ứ ng đư ợ c điề u Lờ i giả i Rút y từ phư ng trình (2) vào (1) ta đư ợ c 2( y 2) x 2y x x 2y tu o x2 TH1: thay x=-1 vào (1) ta đư ợ c y 2 y y y 10 y w w y2 w TH2: Thay x=-2y-3 vào (1) ta đư ợ c y y 5 x x 6 Vậ y hệ phư ng trình có nghiêm : (-1;2) (-1;-4) ( ; )( ; ) Ví dụ 10 Thi thử lầ n khố i A &A1 năm 2014 THPT ĐTH – HẢ I DƯ Ơ NG Giả i hệ phư ng trình x3 y3 x 4x 3y 2 y (1) 4(2) Nhậ n xét :Thông thư ng ta vẩ n hay x hay y hoặ c mộ t biể u thứ c độ c lậ p ,và đơi ta mộ t hằ ng số nhấ t đố i vớ i hệ có đủ bậ c Lờ i giả i Phư ng trình (1) 2( x3 y ) 4(2 x y ) Từ phư ng trình (2) thay x y vào phư ng trình rút gọ n ta đư ợ c GV:Lê Đình Tầ n THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ x y xy 5y PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ” y x y x 5y x3 x x2 TH1 : y=0 thay vào hệ ta đư ợ c nghiệ m x (x;y)=( 2;0 ) x3 x x2 y=-x thay vào hệ ta đư ợ c TH2: x=-y x Hệ có nghiệ m (x;y) = (1;-1); (-1;1) TH3: x=-5y thay vào hệ ta có nghiệ m (x;y) = ( 5 ; );( ; ) 7 7 itr eb en tre v n Vậ y hệ cho có nghiệ m Tóm lạ i Phư ng pháp “ ” mộ t đư ng lố i giả i tổ ng quát mộ t số phư ng pháp khác,tuy nhiên để tạ o cho bạ n đọ c mộ t lố i mòn cố lờ i giả i củ a hệ ta xét hai ví dụ khó sau Ví dụ 11.Giả i hệ phư ng trình : x2 (x y )(4 y 2 (1) x y 2 xy ) y (2) Nhậ n xét: phư ng trình (2) có vế trái bậ c Vế phả i gồ m bậ c ngoặ c cao nhấ t bậ c ng khơng phả i hạ ng tử có bậ c Vậ y ta tiế n hành hằ ng số bằ ng biể u thứ c từ (1) xuố ng dư i để tạ o nên thuầ n nhấ t Lờ i giả i Thế x y ( x y ) Vì khơng 2( x y ) Đơ n giả n muố n tấ t đề u bậ c Thay tấ t vào (2) ta đư ợ c y) ( x2 y )2 x2 y2 xy ( x y2 ) y5 x5 y5 y5 x y tu o (x Đế n kế t hợ p vớ i (1) ta dễ dàng giả i (x;y) =(1;1) (-1;-1) w Ví dụ 12 Chọ n độ i tuyể n HSG lớ p 11 Sở GD & ĐT Nam Đị nh năm 2013 xy w w Giả i hệ phư ng trình : y2 y x2 2( x 1) x 2x ( vớ i x;y 2x2 IR ) 4x Nhậ n xét :Để ý thấ y phư ng trình thứ nhấ t hệ có a biế n y độ c lậ p, nên không cầ n suy nghỉ ta rút y từ phư ng trình vào phư ng trình thứ hai củ a hệ ,rồ i biế n đổ i theo biể u thứ c đư ợ c phư ng trình đố i xứ ng f(x+1)=f(-x) Lờ i giả i ĐKXĐ : x IR; y IR y x2 Ta có xy x2 y ( x2 x) x x2 ( x 1) GV:Lê Đình Tầ n 2 x) y x2 x x (1) Thế vào phư ng trình thứ hai hệ , ta có: 2( x 1) x 2 y( x2 2x ( x 1) 2x ( x 1) x 2 2x2 2x ( x) 4x ( x) 10 (*) THPT Cao Thắ ng ... đích Tạ o mộ t hệ phư ng trình mớ i n giả n hơ n hay hệ phư ng trình có phư ng pháp giả i -Phư ng pháp -Phư ng pháp cộ ng đạ i số -Hệ phư ng trình đố i xứ ng loạ i I,loạ i II ,hệ đẳ ng cấ p ... lạ i thu đư ợ c hệ mớ i khác Chẳ ng hạ n 6) Thay a x y , b xy vào hệ (II) ta đư ợ c hệ GV :Lê Đình Tầ n 17 THPT Cao Thắ ng itr eb en tre v n CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH... y2 y m 17 m 17 Vậ y hệ có nghiệ m x 11 m 16 GV :Lê Đình Tầ n 12 THPT Cao Thắ ng CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ TH x , Đặ t y tx Hệ (3 2t t ) x 11 (1 2t 3t ) x 17 m PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ”