SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THCS & THPT HAI BÀ TRƯNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN PHÚC YÊN 2014 skkn Mục lục Mở đầu 3 Chương 1 Phần nội dung[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THCS & THPT HAI BÀ TRƯNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN PHÚC YÊN - 2014 skkn Mục lục Mở đầu Chương Phần nội dung 1.1 1.2 1.1.1 Hệ phương trình bậc hai ẩn 1.1.2 Hệ ba phương trình bậc ba ẩn 1.1.3 Hệ gồm phương trình bậc hai ẩn phương trình khác 1.1.4 Hệ đối xứng loại 1.1.5 Hệ đối xứng loại 1.1.6 Hệ đẳng cấp bậc hai hai biến x & y Một số kiến thức cần nắm vững giải hệ phương trình Một số phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực 10 1.3.1 Phương pháp biến đổi tương đương 10 1.3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 16 1.3.3 Phương pháp 21 Chương Một số tập tự luyện 2.1 Một số hệ phương trình thường gặp không mẫu mực 1.3 26 Bài tập tự luyện 26 Kết luận 33 skkn MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Hệ phương trình dạng toán phổ biến đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên, lớp chọn đề thi học sinh giỏi cấp, đặc biệt thi học sinh giỏi mơn tốn lớp Đối với nhiều học sinh, tốn giải hệ phương trình coi tốn khó, địi hỏi người học phải có lực tư logic, kiến thức phải chắn hệ phương trình Chính giải hệ phương trình gây hấp dẫn người dạy lẫn người học Có nhiều phương pháp để giải hệ phương trình, nhiên khơng có phương pháp vạn để giải tốn Trong q trình giảng dạy học sinh ôn thi vào lớp 10 bồi dưỡng học sinh giỏi tốn 9,tơi thấy học sinh gặp phải khó khăn lúng túng giải hệ phương trình đặc biệt hệ phương trình khơng mẫu mực Làm để học sinh tìm tịi khám phá đưa việc giải hệ phương trình khơng mẫu mực giải hệ phương trình quen thuộc, vấn đề trăn trở, suy nghĩ thân nhiều đồng nghiệp Để bồi dưỡng chuyên môn đồng thời giúp em học sinh lớp có thêm vài phương pháp giải hệ phương trình nên tơi viết chun đề với tên đề tài: "Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực" Với số phương pháp giải hệ tơi hi vọng có tác dụng việc rèn luyện tư toán học cho em học sinh nguồn tài liệu nhỏ giúp em luyện tập nâng cao kiến thức phục vụ cho kì thi skkn Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Tốn học sinh giỏi ơn thi vào lớp 10 Mục đích nghiên cứu Trang bị cho học sinh số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực mạng lại hiệu rõ rệt Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kĩ giải tốn, qua học sinh nâng cao khả tư sáng tạo Nhiệm vụ nghiên cứu Thông qua tìm tịi, tổng hợp để đưa dạng tập phương pháp giải cho dạng tốn giúp học sinh có kiến thức nội dung quan trọng chương trình Đối tượng nghiên cứu Hệ phương trình chương trình đại số Phân loại dạng toán phương pháp giải dạng Phạm vi nghiên cứu giới hạn nghiên cứu Chuyên đề xây dựng, nghiên cứu triển khai chương trình tốn đại số Hệ phương trình khơng mẫu mực Phương pháp nghiên cứu Tham khảo sách, báo, tài liệu Thực tiễn giảng dạy GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang skkn Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán Tham khảo đề thi HSG tỉnh, đề thi trường chuyên GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang skkn Chương NỘI DUNG 1.1 1.1.1 MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ( Định nghĩa 1.1 Là hệ phương trình có dạng: ax + by = c (1) a0 x + b0 y = c0 (2) phương trình (1), (2) phương trình bậc hai ẩn x y Cách giải: Với hệ ta giải nhiều cách khác như: • Phương pháp • Phương pháp cộng đại số • Phương pháp đồ thị • Sử dụng máy tính cầm tay • Phương pháp tính theo định thức, 1.1.2 HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Định nghĩa 1.2 Là a1 x + b1 y + c1 z = d1 (1) hệ phương trình có dạng a2 x + b2 y + c2 z = d2 (2) phương trình (1), (2) (3) a x + b y + c z = d (3) 3 3 phương trình bậc ba ẩn x, y z Cách giải: Với hệ ta giải nhiều cách khác như: skkn Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán • Phương pháp • Phương pháp cộng đại số • Phương pháp đồ thị • Sử dụng máy tính cầm tay • Phương pháp tính theo định thức, 1.1.3 HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH KHÁC Định nghĩa 1.3 Là hệ phương trình có dạng ( ax + by + c = f (x, y) = x, y ẩn f (x, y) biểu thức chứa hai biến x, y Cách giải: Với hệ ta giải bằng: • Phương pháp 1.1.4 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI Định nghĩa 1.4 Là hệ phương trình mà ta thay đổi vai trị hai ẩn cho phương trình phương trình khơng thay đổi Cách giải: Bước 1: Biến đổi tương đương làm xuất x + y x.y Bước 2: Đặt S = x + y P = x.y (với S ≥ 4P ) GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang skkn Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán Bước 3: Giải hệ phương trình với ẩn S, P Tìm S, P Bước 4: Tìm nghiệm x; y hệ phương trình cho 1.1.5 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI Định nghĩa 1.5 Là hệ phương trình mà ta thay đổi vai trò hai ẩn cho phương trình, phương trình biến thành phương trình ngược lại Cách giải: Trừ vế cho vế tương ứng phương trình để biến đổi phương trình tích có nhân tử x − y, ẩn theo ẩn để giải hệ phương trình 1.1.6 HỆ ĐẲNG CẤP BẬC HAI ĐỐI VỚI HAI BIẾN x & y ( Định nghĩa 1.6 Là hệ phương trình có dạng ax2 + bxy + cy = d a0 x2 + b0 xy + c0 y = d0 Cách giải: Nếu x 6= ta đặt y = kx nhận xét chia vế cho vế ta phương trình ẩn k, tìm k từ tìm x, y Nếu x = viết lại hệ phương trình cho giải hệ phương trình 1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC • Các đẳng thức • Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang skkn Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chun đề Tốn • Nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức • Tính ∆ ∆0 • Cách giải phương trình bậc hai, bậc ba, bậc bốn, • Các phép biến đổi tương đương GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang skkn Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng 1.3 Chuyên đề Toán MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC Khơng có phương pháp chung để giải hệ phương trình khơng mẫu mực Tùy theo đặc trưng phương trình hệ mà ta lựa chọn phương pháp như: Biến đổi tương đương, phương pháp thế, phương pháp đặt ẩn phụ, dùng bất đẳng thức, để dưa hệ cho thành hệ đơn giản hệ quen thuộc ( mẫu mực) từ ta tìm tập nghiệm hệ phương trình 1.3.1 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Phương pháp chủ yếu sử dụng kĩ biến đổi đồng đặc biệt kĩ phân tích nhằm đưa phương trình hệ dạng đơn giản DẠNG Một phương trình hệ đưa dạng tích phương trình bậc hai ẩn ( Ví dụ 1.1 Giải hệ phương trình: xy + x + y = x2 − 2y (1) √ √ x 2y − y x − = 2x − 2y (2) Nhận xét: Dễ dàng thấy phương trình (1) hệ đưa phương trình tích, từ ta tìm x theo y, thay vào phương trình (2), từ tìm giá trị y, giá trị x Lời giải • Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ (∗) ⇔ x2 − xy − 2y − (x + y) = x2 − y − y (x + y) − (x + y) = ⇔ (x + y) (x − 2y − 1) = ⇔ x = 2y + 1, (x + y ≥ 1) pt (1) ⇔ GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 10 skkn Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán Lời giải Với x = 0, không thỏa mãn hệ phương trình Với x 6= chia hai vế (1) (2) cho x2 6= ta được: y +y =6 y +y =6 x x x x 2 ⇔ 1 y +y =5 +y −2 =5 x x x Đặt S = y + y; P = Khi ta có x x ( P.S = S − 2P = ( Ta có ( ⇔ S=3 P =2 x=1 x=1 y=1 y=2 Bằng cách thử, Vậy hệ phương trình có nghiệm: ;1 (x; y) = (1; 2) , (x; y) = =5 (x + y) + xy Ví dụ 1.10 Giải hệ phương trình: x2 + y + 2 = 49 xy Nhận xét: Đây hệ đối xứng loại 1, ta đặt ẩn phụ theo tổng tích cách thơng thường hệ phương trình ẩn phức tạp Nhưng thơng qua vài bước biến đổi, sau sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ hệ phương trình đơn giản Lời giải Điều kiện x 6= 0, y 6= GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 19 skkn Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Tốn Ta có 1 =5 + y+ =5 (x + y) + x+ xy x y ⇔ 1 x2 + y + 2 = 49 x2 + + y + = 49 xy x y 1 Đặt a = x + ; b = y + x y Khi ta có hệ phương trình ( ( ( a+b=5 a=5−b a=5−b ⇔ ⇔ a2 + b2 = 53 (5 − b)2 + b2 = 53 (b + 2) (b − 7) = ( ( a=5−b a=7 b = −2 b = −2 ( ⇔ ⇔( a=5−b a = −2 b=7 b=7 Do =7 x y + = −2 y x + = −2 x y+ =7 y √ ∓ 45 x = y = −1 ⇔ x = −1 √ ∓ 45 y= x+ Bằng cách thử, hệ phương trình có nghiệm ! ! √ √ + 45 − 45 (x; y) = ; −1 ; (x; y) = ; −1 2 GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 20 skkn ... dưỡng chuyên môn đồng thời giúp em học sinh lớp có thêm vài phương pháp giải hệ phương trình nên tơi viết chuyên đề với tên đề tài: "Một số phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực" Với số phương. .. lúng túng giải hệ phương trình đặc biệt hệ phương trình khơng mẫu mực Làm để học sinh tìm tịi khám phá đưa việc giải hệ phương trình khơng mẫu mực giải hệ phương trình quen thuộc, vấn đề trăn trở,... HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC Khơng có phương pháp chung để giải hệ phương trình khơng mẫu mực Tùy theo đặc trưng phương trình hệ mà ta lựa chọn phương pháp như: Biến đổi tương đương, phương pháp