Chuyên đề Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao một ẩn40650

Chuyên đề: Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao ẩn chuyên đề bồi dưỡng HS , giỏi môn toán Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao ẩn Hơn bốn nghìn năm trước , người Hi Lạp đà biết cách giải phương trình bậc bậc hai Phương trình bậc - Năm 1526 nhà toán học I-ta-li-a Phe-rô tìm cách giải phương trình bậc dạng x3 + ax = b với a , b > - Năm 1535 nhà toán học Tac-ta-li-a đà tìm cách giải tổng quát phương tr×nh x3 + ax + b = víi mäi giá trị a , b - Năm 1545 nhà toán học Các-đa-nô đà công bố công thức tìm nghiệm phương trình bậc ba Phương trình bậc Năm 1545, nhà toán học I-ta-li-a phe-ra-ri đà tìm cách giải tổng quát phương trình bậc bốn Phương trình bậc cao Trong kỷ 17 18 nhà toán học đà nhiều công sức để tìm cách giải tổng quát phương trình bậc , bậc không thành công Đến đầu thể kỷ 19 hai nhà toán học nguời Na-uy A-ben nhà toán học nguời Pháp Ga-loa đà giải vấn đề giải phương trình bậc cao bốn thức hay không - A-ben đà chứng minh phương trình bậc cao bốn dạng tổng quát giải thức Tức biểu thị nghiệm phương trình phép toán : cộng , trừ , nhân , chia , luỹ thừa khai - Còn Ga-loa dấu hiệu nhận biết phương trình bậc cao bốn giải thức hay không , lý thuyết độc đáo mà sau mang tên ông : lý thuyết nhóm DeThiMau.vn Chuyên đề: Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao ẩn Vậy phương trình bậc cao bốn dạng tổng giải thức Mặt khác học sinh lớp đà biết giải phương trình bậc bậc hai dạng tổng quát Còn cách giải tổng quát phuơng trình bậc ba bậc bốn phức tạp học sinh phổ thông Như phương pháp chung để giải tất phương trình bậc cao mà phải vào phương trình , để tìm giải thích hợp Sau xin đề cập đến số phương pháp riêng để giải phương trình đa thức bậc cao 2, nhằm bồi dưỡng học sinh giỏi lớp Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao Phương pháp biến đổi phương trình tích Một phương pháp riêng giải phương trình đa thức bậc cao phân tích đa thức thành nhân tử có bậc thấp để đưa việc giải phương trình đà cho giải phương trình tích I Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 5x3 - 6x2 - 2x3 + = Gi¶i NhËn xÐt : Nếu phương trình có nghiệm nguyên số phải ước Ta thấy đa thức 5x3 - 6x2 - 2x3 + cã nghiƯm nguyªn x = Vậy phân tích đa thức thành nhân tử đa thức chứa nhân tö x - 5x3 - 6x2 - 2x3 + =  5x3 - 5x2 - x2 + x - 3x + =  (x - 1)(x2 - x - 3) =  x- = hc x2 - x - = x2 - x - =  x =  13 hc x=  13 Phưong trình Vậy phương trình đà cho có ba nghiệm  13  13 x1 = x = x3 = 2 VÝ dơ 2: Gi¶i phương trình : x4 + 12x3 + 32x2 - 8x - = DeThiMau.vn Chuyên đề: Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao ẩn Giải Nhận xét : Ta thấy phương trình nghiệm nguyên x4 + 12x3 + 32x2 - 8x - =  (x4 + 12x3 + 36x2) - (4x2 + 8x + 4) =  (x2 + 6x)2 - (2x + 2)2 =  (x2 + 8x +2)(x2 + 4x -2) =  x2 + 8x + = hc x2 + 4x - = x2 + 8x + =  x =   14 hc x =   14 x2 + 4x - =  x =   x = Vậy phương trình ®· cho cã nghiÖm x1 =   14 ; x2 =   14 ; x3 =   ; x4 =  II Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ : Giải phương trình (x2 + x + 2)2 - 12(x2 + x + 2) + 35 = Giải Đặt x2 + x + = y Ta có phương trình y2 - 12y + 35 =  y = hc y =   13   13 hc x = 2   21   21 Víi y =  x2 + x -5 =  x = hc x = 2 Víi y =  x2 + x - = x = Vậy phương trình đà cho có nghiÖm   13   13 x1 = ; x2 = ; 2 VÝ dô 4: Giải phương trình x3 = 21   21 ; x4 = 2 (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - = Giải Đặt + 5x + = y Ta có phương trình (y - 1)(y + 1) - =  y2 =  y = hc y = -2 x2 Víi y =  x2 + 5x + =  x =   13   13 hc x = 2 DeThiMau.vn Chuyên đề: Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao Èn Víi y = -2  x2 + 5x + = phưong trình vô nghiêm < Vậy phương trình đà cho có hai nghiệm x1 = Ví dụ : Giải phương trình  13 ; x2 =   13 (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = Gi¶i (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) =  (x2+ 8x + 7)(x2 + 8x + 15) - = Đặt x2 + 8x + 11 = y Ta có phương trình (y - 4)(y + 4) - =  y2 = 25  y = hc y = -5 Víi y =  x2 + 8x + =  x =   10 hc x =   10 Víi y = -5  x2 + 8x + 16 =  (x + 4)2 =  x = -4 VËy phương trình đà cho có ba nghiệm x1 =  10 ; x2 =   10 ; x3 = -4 Bài tập Bài 1: Giải phương trình sau: a) 3x4 - 22x2 - 45 = b) x6 - 9x3 + = Bµi 2: Giải phương trình sau: a) 2x3 - 11x2 + 2x + 15 = b) x4 + x2 + 6x - = 0 c) x4 + 4x3 + 3x2 + 2x - = H­íng dÉn: c) x4 + 4x3 + 3x2 - 2x - =  (x2 + 2x)2 - (x - 1)2 =  (x2 + x + 1)(x2 + 3x - 1) = Bài 3: Giải phương trình sau a) x(x2 - 1)(x + 2) + = c) (x - 1)(x -2)(x + 4)(x + 5) =112 b) (4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) = -@ -Mét sè d¹ng phương trình bậc cao đặc biệt DeThiMau.vn Chuyên đề: Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao ẩn I Phương trình đối xứng (phương trình thuận nghịch) Định nghĩa: Phương trình có dạng anxn + an - 1xn - + + a1x + a0 = ( a  0) Trong ®ã hệ số số hạng cách số hạng đầu số hạng cuối ( an = a0 ; an-1 = a1; ) Gäi lµ phương trình đối xứng Nếu n số chẵn ta gọi phương trình đối xứng bậc chẵn, n số lẻ ta gọi phương trình đối xứng bậc lẻ Ví dụ: Các phương trình sau phương trình đối xứng a) 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + = (1) ( §èi xøng bËc 4) b) 2x5 + 3x4 - 5x3 - 5x2 + 3x + = ( §èi xøng bËc 5) Phương trình đối xứng bậc chẵn: a ) Cách giải: n + Chia hai vế cho x + Đặt x + =y x (1) + BiĨu diƠn: x k         x   x k 1  k 1    x k   k   k x x  x   x   + Thay giá trị vừa tìm y tìm giá trị x b) Ví dụ: Giải phương trình sau : 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + = (1) ( Đối xứng bậc bốn) Giải Ta thấy x = không nghiệm phương trình Chia c¶ hai vÕ cho x2  ta có phương trình : + =0 x x 1  x    3 x   = 16 = x   x  2x2 + 3x - 16 + Đặt x + = y (2) x   x   = y2 - x DeThiMau.vn Chuyên đề: Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao mét Èn Thø tù thay y = -4 vµ ; x3 =2 ; x4 = Ta có phương trình 2y2 + 3y - 20 = cã nghiÖm y = -4 , y = y= vµo (2) ta cã x1 = -2 + c) L­u ý : ; x2 = -2 - Nếu m nghiệm phương trình đối xứng bậc chẵn nghiệm phương trình m Phương trình đối xứng bậc lẻ a) Cách giải : Vì x = -1 nghiệm phương trình đối xứng bậc lẻ Nên phương trình đà cho trở thành phương trình (x + 1).f(x) = Trong f(x) = phương trình đối xứng bậc chẵn Do ta đưa việc giải phương trình dối xứng bâc lẻ giải phương trình đối xứng bậc chẵn f(x) = phương trình x + = b) Ví dụ: Giải phương trình 2x5 + 3x4 - 5x3 - 5x2 + 3x + = Giải Phương trình đà cho phương trình đối xứng bậc 2x5 + 3x4 - 5x3 - 5x2 + 3x + =  (x +1)(2x4 + x3 - 6x2 + x + 2) = x     2 x  x  x x Phương trình ®èi xøng bËc ch½n 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + = đà giải Vậy phương trình đà cho có năm nghiệm x1 = -2 + ; x2 = -2 - ; x3 =2 ; x4 = ; x5 = -1 Bài tập Bài 4: Giải phương trình sau a) x4 + 5x3 - 12x2 + 5x + = c) 6x4 + 5x3 - 38x2 + 5x + = b) x5 + 2x3 - 3x3 - 3x2 + 2x + = c) 6x5 - 29x4 + 27x3 - 29x + = Bài 5: Giải phương trình sau DeThiMau.vn Chuyên đề: Một số phương pháp giải phương trình đa thức bËc cao mét Èn a) x4 - 3x2 + 6x2 + 3x + = b) x5+ 4x4 + 3x2 - 4x + = Bài 6: Giải phương trình a) 2x4 - 21x3 + 74x2 - 105x + 50 = b) 2x8 - 9x7 + 20x6 - 33x5 + 46x4 - 66x3+ 80x2 - 72x + 32 = II Phương trình dạng: (x - a)(x - b)(x - c) (x - d) = Ax2 ( Trong ab = cd) ab a) Cách giải : Đặt x + y x b) Ví dụ : Giải phương trình (x + 6) (x + 10) (x + 5)(x + 12) = 3x2 H­íng dÉn 4(x + 6) (x + 10) (x + 5)(x + 12) = 3x2  4(x2 + 16x + 60) (x2 + 17x + 60) = 3x2 (1) Ta thÊy x = nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình (1) cho x2 Ta phương trình : 60 60   x  16   x  17    x  x   §Ỉt x + 17 + 60 =y x Ta cã phương trình 4(y - 1)y - = 4y2 - 4y - = Tõ ®ã ta giải hai phương trình x + 17 + 60 = x y = 2 60 x + 17 + = x y= Bài tập Bài 7: Giải phương trình sau: a) (x + 2)(x + 3)(x+ 8)(x + 12) = 4x2 b) (x - 1)(x - 2)(x - 4)(x - 8) = 4x2 III Phương trình dạng: (x - a)4 + (x - b)4 = A a) VÝ dô: Giải phương trình (x - 6)4 + ( x- 8)4 = 16 Giải DeThiMau.vn Chuyên đề: Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao ẩn 68 = x - = y phương trình trở thµnh (y - 1)4 + (y + 1)4 = 16 y4 + 6y2 - = Đặt y2 = z ( z 0) phương trình trở thµnh z2 + 6z - =  z1 = ; z2 = -7 (Loại) Đặt x - Víi z =  y = hc y = -1  x = hc x = Vậy phương trình đà cho có hai nghiệm x1 = ; x2 = b) L­u ý: Khi gi¶i phương trình bậc bốn dạng x b   x  b   c ta th­êng ®Ỉt Èn ab phơ x   y ®Ĩ ®­a phương trình đà cho phương trình trùng phương 4 Bài tập Bài 8: Giải phương trình a) (x + 6)4 + (x + 4)4 = 82 b) (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16 Bài 9: Giải phương trình a) (x + 1)4 + (x + 5)4 = 40 b) ( x- 2)6 - (x - 4)6 = 64 KÕt luËn: Nãi chung phưong pháp tổng quát chung để giải tất phương trình bậc cao Tuỳ dạng phương trình bậc cao cụ thể mà ta chọn phương pháp giải riêng thích hợp đà nêu số dạng phương trình bậc cao đặc biệt cách giải Các em HS tìm số dạng phương trình bậc cao đặc biệt khác cách giải phương trình -HÕt - DeThiMau.vn Chuyên đề: Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao ẩn Các chuyên đề båi d­ìng HS giái HƯ thèng lý thut hƯ thống tập gợi mở phat triển Trường hợp đặc biệt: Phương trình trùng phương + Định nghĩa: Phương ttrình cã d¹ng ax4 + bx2 + c = (a 0) + Cách giải: - Đặt x2 = y - Giải phương trình ay2 + by + c = - Thay giá tri tìm y vào x2 = y để tìm giá trị x + Ví dụ: Giải phương trình: x4 + 2x2 - = DeThiMau.vn Chuyªn đề: Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao ẩn Phụ lục: Phương trình đối xứng I Phương trình đối xứng đối xứng bậc chẵn Định nghĩa: Ta gọi phương trình 2n aixi (a2nx2n + a2n-1x2n-1 + + an+1xn+1 + anxn + i0 a2n = a2n-i kn-i i = ; 1; 2; ; n-1 phương trình thuận nghịc bậc chẵn 10 DeThiMau.vn ... đến số phương pháp riêng để giải phương trình đa thức bậc cao 2, nh»m båi d­ìng häc sinh kh¸ giái cđa líp Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao Phương pháp biến đổi phương trình. . .Chuyên đề: Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao ẩn Vậy phương trình bậc cao bốn dạng tổng giải thức Mặt khác học sinh lớp đà biết giải phương trình bậc bậc hai dạng... tìm số dạng phương trình bậc cao đặc biệt khác cách giải phương trình -HÕt - DeThiMau.vn Chuyên đề: Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao ẩn Các chuyên đề