Chuyên đề : HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA I Hệ phương trình bậc nhiều ẩn Hệ phương trình bậc hai ẩn ⎧a1 x + b1 y = c1 ⎨ ⎩a2 x + b2 y = c2 a Dạng : (1) Cách giải biết: Phép thế, phép cộng b Giải biện luận phương trình : Quy trình giải biện luận Bước 1: Tính định thức : a1 b1 = a1b2 − a b1 • D= (gọi định thức hệ) a b2 • Dx = c1 c2 b1 = c1b2 − c b1 b2 (gọi định thức x) • Dy = a1 a2 c1 = a1c − a c1 c2 (gọi định thức y) Bước 2: Biện luận • Dx ⎧ ⎪⎪ x = D Neáu D ≠ hệ có nghiệm ⎨ ⎪ y = Dy ⎪⎩ D Nếu D = D x ≠ D y ≠ hệ vô nghiệm • Nếu D = Dx = Dy = hệ có vô số nghiệm vô nghiệm • Ý nghóa hình học: Giả sử (d1) đường thẳng a1x + b1y = c1 (d2) đường thẳng a2x + b2y = c2 Khi đó: Hệ (I) có nghiệm ⇔ (d1) (d2) cắt Hệ (I) vô nghiệm ⇔ (d1) (d2) song song với Hệ (I) có vô số nghiệm ⇔ (d1) (d2) trùng Áp dụng: ⎧5 x − y = −9 Ví dụ1: Giải hệ phương trình: ⎨ ⎩4 x + y = ⎧mx + y = m + Ví dụ 2: Giải biện luận hệ phương trình : ⎨ ⎩ x + my = ⎧mx + y = Ví dụ 3: Cho hệ phương trình : ⎨ ⎩ x + my = DeThiMau.vn Xác định tất giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa x >1 y > ( − < m < 0) ⎧mx + y = m + Ví dụ 4: Với giá trị nguyên tham số m hệ phương trình ⎨ có nghiệm ⎩ x + my = m (x;y) với x, y số nguyeân ( m = −1 ∨ m = −3 ) II Hệ phương trình bậc hai hai ẩn: Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai hai ẩn: ⎧x + y = Ví dụ : Giải hệ: ⎨ 2 ⎩ x + y − xy = Cách giải: Giải phép Hệ phương trình đối xứng : Hệ phương trình đối xứng loại I: a.Định nghóa: Đó hệ chứa hai ẩn x,y mà ta thay đổi vai trò x,y cho hệ phương trình không thay đổi b.Cách giải: Bước 1: Đặt x+y=S xy=P với S ≥ P ta đưa hệ hệ chứa hai ẩn S,P Bước 2: Giải hệ tìm S,P Chọn S,P thoả mãn S ≥ P Bước 3: Với S,P tìm x,y nghiệm phương trình : X − SX + P = ( định lý Viét đảo ) Chú ý: Do tính đối xứng, (x0;y0) nghiệm hệ (y0;x0) nghiệm hệ Áp dụng: Ví du 1ï: Giải hệ phương trình sau : ⎧ x + y = 13 ⎧ xy + x + y = 11 ⎧ x + xy + y = ⎧ x + y + xy = −7 3) 4) 1) ⎨ 2) ⎨ ⎨ ⎨ 2 ⎩ x + y − x − 3y = 16 ⎩ x y + xy = 30 ⎩3( x + y ) + xy + = ⎩ xy + x + y = ⎧⎪ x + y = ⎧ x + y = 34 7) ⎨ 8) ⎨ ⎪⎩ x + y − xy = ⎩x + y = 3) (1;5),(5;1),(2;3),(3;2) 2) (2; −3),(−3;2),(1 + 10;1 − 10),(1 − 10;1 + 10) ⎧⎪ x y + xy = 30 5) ⎨ ⎪⎩ x + y = 35 1) (0;2); (2;0) ⎧⎪ x y + y x = 6) ⎨ ⎪⎩ x y + xy = 20 10 10 10 10 ; −2 − ),(−2 − ; −2 + ) 2 2 8) (1 − 2;1 + ),(1 + 2;1 − ) 4) (3; −2),(−2;3),(−2 + 7) (4;4) 5) (2;3);(3;2) 6) (1;4),(4;1) ⎧⎪ x + y = Ví dụ2 : Với giá trị m hệ phương trình sau có nghiệm: ⎨ ⎪⎩ x x + y y = − 3m 10 DeThiMau.vn Hệ phương trình đối xứng loại II: a.Định nghóa: Đó hệ chứa hai ẩn x,y mà ta thay đổi vai trò x,y cho phương trình nầy trở thành phương trình hệ b Cách giải: • • Trừ vế với vế hai phương trình biến đổi dạng phương trình tích số Kết hợp phương trình tích số với phương trình hệ để suy nghiệm hệ Áp dụng: Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: 2 ⎪⎧2 x + y = 3y − 1) ⎨ 2 ⎪⎩2 y + x = x − ⎧ ⎪⎪3 x + y = 4) ⎨ ⎪3y + x = ⎪⎩ x2 y2 ⎧⎪2 x + xy = x 2) ⎨ ⎪⎩2 y + xy = y ⎧ y2 + = y ⎪ x2 ⎪ 5) ⎨ ⎪3x = x + ⎪⎩ y2 ⎧⎪ y = x − x + x 3) ⎨ ⎪⎩ x = y − 3y + y III Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai: a Dạng : ⎧⎪a1 x + b1 xy + c1 y = d1 ⎨ 2 ⎪⎩a2 x + b2 xy + c2 y = d2 b Cách giải: x x y = t = t Giả sử ta chọn cách đặt = t y y x Khi ta tiến hành cách giải sau: Bước 1: Kiểm tra xem (x,0) có phải nghiệm hệ hay không ? Bước 2: Với y ≠ ta đặt x = ty Thay vào hệ ta hệ chứa ẩn t,y Từ phương trình ta khử y để phương trình chứa t Bước 3: Giải phương trình tìm t suy x,y Đặt ẩn phụ Áp dụng: Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: 2 ⎪⎧3 x + xy + y = 11 1) ⎨ 2 ⎪⎩ x + xy + 5y = 25 ⎧⎪6 x − xy − y = 56 2) ⎨ ⎪⎩5 x − xy − y = 49 IV Các hệ phương trình khác: Ta sử dụng phương pháp sau: a Đặt ẩn phụ: Ví dụ : Giải hệ phương trình : ⎧ x + y − x − y = 12 ⎧ xy − x + y = −3 1) ⎨ 2) ⎨ ⎩ x + y − x + y + xy = ⎩ x( x − 1) y ( y − 1) = 36 11 DeThiMau.vn ⎪⎧2 x + x y = 3) ⎨ ⎪⎩ y + xy = 2 ⎪⎧ x − y + x − y = 3) ⎨ 2 ⎪⎩ x − x y − xy + y = b Sử dụng phép cộng phép thế: 2 ⎪⎧x + y − 10x = Ví dụ: Giải hệ phương trình : ⎨ 2 ⎪⎩x + y + 4x − 2y − 20 = c Biến đổi tích số: Ví dụ : Giải hệ phương trình sau: ⎧⎪ x + x = y + y 1) ⎨ ⎪⎩ x + y = 3( x + y ) ⎧⎪ x + x = y + y 2) ⎨ ⎪⎩ x + y = x + y + 1 ⎧ ⎪x − x = y − y 3) ⎨ ⎪2 y = x + ⎩ Heát 12 DeThiMau.vn ... II Hệ phương trình bậc hai hai ẩn: Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai hai ẩn: ⎧x + y = Ví dụ : Giải hệ: ⎨ 2 ⎩ x + y − xy = Cách giải: Giải phép Hệ phương trình đối xứng : Hệ phương trình. .. phương trình nầy trở thành phương trình hệ b Cách giải: • • Trừ vế với vế hai phương trình biến đổi dạng phương trình tích số Kết hợp phương trình tích số với phương trình hệ để suy nghiệm hệ Áp... + y = 35 1) (0 ;2) ; (2; 0) ⎧⎪ x y + y x = 6) ⎨ ⎪⎩ x y + xy = 20 10 10 10 10 ; ? ?2 − ),(? ?2 − ; ? ?2 + ) 2 2 8) (1 − 2; 1 + ),(1 + 2; 1 − ) 4) (3; ? ?2) ,(? ?2; 3),(? ?2 + 7) (4;4) 5) (2; 3);(3 ;2) 6) (1;4),(4;1)