Hệ phương trình đối xứng loại II: a.Định nghĩa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau thì phương trình nầy trở thành phương trình kia của hệ.. Trừ vế với vế ha[r]
(1)HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Chuyên đề TRỌNG TÂM KIẾN THỨC I Heä phöông trình baäc nhaát nhieàu aån Heä phöông trình baäc nhaát hai aån ⎧ a1 x + b1 y = c1 ⎨ ⎩ a2 x + b2 y = c2 a Daïng : (1) Cách giải đã biết: Phép thế, phép cộng b Giaûi vaø bieän luaän phöông trình : Quy trình giaûi vaø bieän luaän Bước 1: Tính các định thức : a b1 • D= (gọi là định thức hệ) = a1b2 − a b1 a b2 • Dx = • Dy = c1 b1 c2 b2 = c1b2 − c b1 (gọi là định thức x) a1 a2 c1 = a1c − a c1 c2 (gọi là định thức y) Bước 2: Biện luận • Dx ⎧ ⎪⎪ x = D Neáu D ≠ thì heä coù nghieäm nhaát ⎨ ⎪ y = Dy ⎪⎩ D Nếu D = và D x ≠ D y ≠ thì hệ vô nghiệm • Nếu D = Dx = Dy = thì hệ có vô số nghiệm vô nghiệm • ⎧5 x − y = −9 Giaûi heä phöông trình: ⎨ ⎩4 x + y = ⎧mx + y = m + Ví duï 2: Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình : ⎨ ⎩ x + my = ⎧mx + y = Ví duï 3: Cho heä phöông trình : ⎨ ⎩ x + my = Xác định tất các giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa x >1 và y > (− < m < 0) Ví duï1: 16 Lop12.net (2) II Heä phöông trình baäc hai hai aån: Heä goàm moät phöông trình baäc nhaát vaø moät phöông trình baäc hai hai aån: Ví duï : Giaûi caùc heä: ⎧x + y = ⎧x − 2y = 1) ⎨ 2) ⎨ 2 ⎩x + 14y − = 4xy ⎩ x + y − xy = Caùch giaûi: Giải phép Hệ phương trình đối xứng : Hệ phương trình đối xứng loại I: a.Định nghĩa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà ta thay đổi vai trò x,y cho thì hệ phương trình không thay đổi b.Caùch giaûi: Bước 1: Đặt x+y=S và xy=P với S ≥ P ta đưa hệ hệ chứa hai ẩn S,P Bước 2: Giải hệ tìm S,P Chọn S,P thoả mãn S ≥ P Bước 3: Với S,P tìm thì x,y là nghiệm phương trình : X − SX + P = ( định lý Viét đảo ) Chú ý: Do tính đối xứng, cho nên (x0;y0) là nghiệm hệ thì (y0;x0) là nghiệm hệ AÙp duïng: Ví du ï: Giaûi caùc heä phöông trình sau : ⎧ x + xy + y = ⎧ xy + x + y = 11 2) ⎨ 1) ⎨ ⎩ xy + x + y = ⎩ x y + xy = 30 ⎧⎪ x + y = ⎧⎪ x y + xy = 30 3) ⎨ 4) ⎨ ⎪⎩ x + y = 35 ⎪⎩ x + y − xy = Hệ phương trình đối xứng loại II: a.Định nghĩa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà ta thay đổi vai trò x,y cho thì phương trình nầy trở thành phương trình hệ b Caùch giaûi: • • Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi dạng phương trình tích số Kết hợp phương trình tích số với phương trình hệ để suy nghiệm hệ AÙp duïng: Ví duï: Giaûi caùc phöông trình sau: ⎧x = 3x + 2y ⎪ ⎪ 1) ⎪⎨ ⎪ y = 3y + 2x ⎪ ⎪ ⎩ ⎧⎪ ⎪⎪ = 2x + y ⎪x 2) ⎨ ⎪⎪ ⎪⎪ y2 = 2y + x ⎪⎩ 17 Lop12.net (3) III Heä phöông trình ñaúng caáp baäc hai: 2 ⎪⎧ a1 x + b1 xy + c1 y = d1 ⎨ 2 ⎪⎩ a2 x + b2 xy + c2 y = d2 a Daïng : b Caùch giaûi: Ñaët aån phuï x x y = t = t Giả sử ta chọn cách đặt = t y x y Khi đó ta có thể tiến hành cách giải sau: Bước 1: Kiểm tra xem (x,0) có phải là nghiệm hệ hay không ? x Bước 2: Với y ≠ ta đặt = t ⇔ x = ty Thay vào hệ ta hệ chứa ẩn t,y Từ y phương trình ta khử y để phương trình chứa t Bước 3: Giải phương trình tìm t suy x,y AÙp duïng: 2 ⎪⎧3 x + xy + y = 11 Ví duï: Giaûi heä phöông trình sau: ⎨ 2 ⎪⎩ x + xy + 5y = 25 IV Caùc heä phöông trình khaùc: Ta có thể sử dụng các phương pháp sau: Sử dụng phép thế: Ví dụ: Giải hệ phương trình: ⎧ 2x + y = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ 4x + y2 = 17 ⎪ ⎪ ⎩ Sử dụng phép cộng: Ví duï: Giaûi heä phöông trình : ⎧⎪x + y2 − 10x = ⎨ 2 ⎪⎩x + y + 4x − 2y − 20 = Đặt ẩn phụ: Ví duï : Giaûi caùc heä phöông trình : ⎧ xy − x + y = −3 1) ⎨ 2 ⎩ x + y − x + y + xy = ⎧ x + y − x − y = 12 2) ⎨ ⎩ x( x − 1) y ( y − 1) = 36 Biến đổi dạng tích số: Ví dụ: Giải hệ phương trình: ⎧⎪ x + x = y + y ⎨ ⎪⎩ x + y = 3( x + y ) 18 Lop12.net (4) CÁC BÀI TOÁN RÈN LUYỆN ⎧⎪x2 (y + 1)( x + y + 1) = 3x2 − 4x + ⎪⎪ Bài 1: Giải hệ phương trình: ⎨ ⎪⎪xy + x + = x2 ⎪⎩ Bài giải: Do x = không thỏa mãn pt (2) nên (2) ⇔ (y + 1) x = x − ⇔ y + = x2 − x (3) Thay (3) vào pt (1) ta pt ⎛ x − 1⎟⎞⎛ x − 1⎞⎟ x ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜x + ⎟ = 3x − 4x + x ⎠⎟ ⎝⎜ x ⎠⎝⎜ ⇔ (x − 1)(2x − 1) = (x − 1)(3x − 1) ⎡ x = (loai) ⎢ ⎢ ⇔ x ( x − 1)(2x + 2x − 4) = ⇔ ⎢ x = ⎢ ⎢ ⎢⎣ x = −2 ⎧x = − ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎧x = ∨⎨ Vậy hệ có hai nghiệm là : ⎨ ⎪y = −1 ⎪⎪y = − ⎩⎪ ⎪⎩ ⎧⎪xy + x + y = x − 2y2 ⎪ Bài 2: Giải hệ phương trình: ⎪ ⎨ ⎪⎪x 2y − y x − = 2x − 2y ⎪⎩ (1) (2) Bài giải: ⎧x ≥ ⎪ Điều kiện: ⎪ ⎨ y≥0 ⎪ ⎪ ⎩ Biến đổi pt (1): (1) ⇔ x (x + y) − 2y ( x + y) − ( x + y) = ⇔ ( x + y)( x − 2y − 1) = ⇔ x − 2y − = ⇔ x = 2y + Thay (3) vào pt (2) ta pt: (do x + y ≠ 0) (3) 19 Lop12.net (1) (2) (5) (2y + 1) 2y − y 2y = (2y + 1) − 2y ⇔ (y + 1) 2y = (y + 1) ⇔ 2y = (do y + ≠ 0) ⇔ y=2 ⎧ ⎪x = Vậy hệ có nghiệm là: ⎪⎨ y=2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ x + + y (y + x ) = 4y ⎪ ⎪ ⎪ Bài 3: Giải hệ phương trình: ⎨ ⎪ (x2 + 1)(y + x − 2) = y ⎪ ⎪ ⎩ Bài giải: Do y = không thỏa mãn hệ nên: ⎧⎪ x + ⎪⎪ +y+x=4 ⎪⎪ y (*) ⇔ ⎨ ⎪⎪⎛ x + 1⎞⎟ ⎟⎟ (y + x − 2) = ⎪⎪⎜⎜ ⎪⎪⎩⎜⎝ y ⎠ ⎧⎪u + v = x2 + và v = y + x − thì hệ trở thành: ⎪⎨ Đặt u = ⎪⎪uv = y ⎩ ⎧ ⎧u = ⎪x + = y ⎪ , từ đó ta có hệ: ⎪⎨ Giải hệ trên ta được: ⎪⎨ ⎪ v=1 ⎪⎪x + y = ⎪ ⎩ ⎪⎩ ⎧ x = −2 ⎪⎧x = ⎪ ∨⎪ Giải hệ trên ta được: ⎪⎨ ⎨ y=5 ⎪ y=2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎧ x = −2 ⎪⎧x = ⎪ Vậy hệ có hai nghiệm là: ⎪⎨ ∨⎪ ⎨ y=5 ⎪ y=2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 20 Lop12.net (1) (2) (*) (6) CÁC BÀI TOÁN TỰ LUYỆN Giải các hệ phương trình: ⎧⎪ ⎪⎪4xy + (x + y2 ) + = (x + y) ⎪⎪ 1) ⎨ ⎪⎪ =3 ⎪⎪2x + x+y ⎪⎩ ( ⎧ ⎪ (x + y) = 3 x y + xy2 ⎪ ⎪ 2) ⎨ ⎪ x+3y =6 ⎪ ⎪ ⎩ ⎧⎪x = Kết quả: ⎪⎨ ⎪⎪y = ⎩ ) ⎧x = ⎧x = 64 ⎪ ⎪ Kết quả: ⎪ ∨⎪ ⎨ ⎨ ⎪ y = 64 ⎪ y=8 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎧ x + y − xy = ⎪ ⎪ 3) ⎨ ⎪ x +1 + y +1 = ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪x = Kết quả: ⎪ ⎨ ⎪ y=3 ⎪ ⎩ Hết - 21 Lop12.net (7)