Bài tập Hệ phương trình đại số vô tỷ33726

www.VNMATH.com Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Bài HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VƠ TỶ I Hệ phương trình Hệ đối xứng loại I VD 285 Giải hệ phương trình sau: 2  x + xy + y = a)   x + xy + y = { } ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ⋅  x + xy + y = b)  2  x y + y x = ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) ; ( 2;1) ⋅ 1 1  + =− c)  x y  x2 + y =  ĐS: ( x; y ) = {( −1; ) ; ( 2; −1)} ⋅  x + y + x + y = d)   x( x + y + 1) + y( y + 1) = ĐS: ( x; y ) = {( ± 3  x + y = e)   x + y + xy = ĐS: ( x; y ) = {( 2; ) ; ( 0; )} ⋅  x + x y + y = 17 f)   x + xy + y = ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) ; ( 2;1) ⋅  x + y + xy = 13 g)  4 2  x + y + x y = 91 ĐS: ( x; y ) = {( ±3; ±1) ; ( ±1; ±3 )} ⋅  x + y + xy = h)  4 2  x + y + x y = 21 ĐS: ( x; y ) = {( ±1; ±2 ) ; ( ±2; ±1)} ⋅ ĐS: ( x; y ) = {( ±1; ±2 ) ; ( ±2; ±1)} ⋅  x + y + x y = 41 i)  2  xy( x + y ) = 10 VD 286 Giải hệ phương trình sau: { } } ) 2; ∓ ; (1; −2 ) ; ( −2;1) ⋅ { }  1 x + y + x + y =  a)   x2 + y + + =  x2 y  ±   ±   ĐS: ( x; y ) =  1; ;1   ⋅ ;           ( x + y )  + 2  = 49 x y    b)  ( x + y)  +  =    xy       ±3  7 ±3 ĐS: ( x; y ) =  −1; ; −1   ⋅ ;     2      ( x + y )(1 + xy) = 18 xy c)  2 2 2 ( x + y )(1 + x y ) = 208 x y ĐS: ( x; y ) =  x + y + x + y = xy  d)  1 y x  x + y + x2 + y =  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ⋅  y x ( x + y )  +  = e)  x y  2 4 2 ( x + y )( x + y ) = x y ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ⋅ Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 {( 0; ) ; (7 ± { } { } )} 3; ± ⋅ Page - 230 - ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn T T HỒNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 VD 287 Giải hệ phương trình sau:  x y + y x = a)  2  x y + y x = 20 2( x + y ) = 3( x y + xy ) b)   x + y =  x + y + xy = c)   x + y =  x + y − xy = d)   x + + y + = { } ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) ; ( 4;1) ⋅ { } ĐS: ( x; y ) = ( 64; ) ; ( 8; 64 ) ⋅  x − + y − = xy +  e)  1  + =1 y x  x − + y − = f)   x + y = + ( x − 1)( y − 1)  x + y + xy + xy = g)   x + y = 2 ĐS: ( x; y ) = {( 4; )} ⋅ ĐS: ( x; y ) = {( 3; )} ⋅ ĐS: ( x; y ) = {( ± ĐS: ( x; y ) = {( 2; ) ; ( 5; )} ⋅ ĐS: ( x; y ) = {( 2; )} ⋅ 2; ± )} ⋅ Hệ đối xứng loại II VD 288 Giải hệ phương trình sau:  x − x = y a)   y − y = x   ± 13 ∓ 13   ĐS: ( 0; ) ; ( 7; ) ;  ;  ⋅  2      x − xy = 3(2 + y) b)   y − xy = 3(2 + x)   + 3 −   ĐS: ( x; y ) = ( −2; −2 ) ;  − ;  ⋅  2      xy + x = + y c)   xy + y = + x 2 ( x − 1)( y + 6) = y( x + 1) d)  2 ( y − 1)( x + 6) = x( y + 1)    1 ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ,  − ; −  , ( a; − a − 1)  ⋅  2    x + = y e)   y + = x   −1 ± −1 ±   ĐS: ( x; y ) = (1;1) ,  ;  ⋅   2     ĐS: ( x; y ) =  2 x + y = x  f)  2 y + =  x y (5 x − y )(3x + y) = y − x g)  (5 y − x)(3 y + x) = x − y ĐS: ( x; y ) = {( 2; ) ; ( 3; ) ; ( 3; ) ; ( 2; )} ⋅ {( ±1; ±1) , ( ± { 2; ∓ )} ⋅ } ĐS: ( x; y ) = ( 0; ) ; ( 1;1) ⋅ 2 (6 x + y )( x + y − 1) = y( x + 1) h)  2 (6 y + x)( x + y − 1) = 5x( y + 1) ĐS: ( x; y ) = ( 0; ) ; ( ±1; ±1) ⋅   x + y − xy − x = i)   y + x − yx − y =    9      ĐS: ( x; y ) = ( 0; ) ;  ;  ;  1;  ;  ;1   ⋅  8       Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 ThuVienDeThi.com { } Page - 231 - www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn T T HỒNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 VD 289 Giải hệ phương trình sau:  x + − y = a)   y + − x = ĐS: ( x; y ) =  x + + − y = b)   y + + − x = ĐS: ( x; y ) = ( 8; )  x + + y − = c)   x − + y + = ĐS: ( x; y ) = (11;11)  x2 + + x = + y  d)   y + + y = + x ĐS: ( x; y ) = ( 1;1)  x + + − y = e)   y + + − x =   11 11   ĐS: ( x; y ) = ( 3; ) ,  ;   ⋅  9    x + y + y + x2 =  f)   x + x + y + y =   ĐS: ( x; y ) =    x (1 − x )(1 − y ) = x − y  g)   y (1 − y )(1 − x ) = y − x VD 290 Giải hệ phương trình sau: {( 0; ) , ( 2; )}  −   ⋅   −1 ; { } ĐS: ( x; y ) = ( 0; ) ; ( 1;1) ⋅ ( x + y )(3xy − x ) = −2 a)  ( x + y )(3xy + y ) = 2   − 1  −1  3 ĐS: ( x; y ) =    ;              x + y = 4( x − 1) − 16 b)   y + x = 4( y − 1) + 16 ĐS: ( x; y ) = ± 3;1 ±  x + x + y + + x + y + x + y + + y = 18  c)   x + x + y + − x + y + x + y + − y = ĐS: ( x; y ) = ( 4; )  12   −  x =2 y + 3x   d)   + 12  y =   y + 3x   ĐS: ( x; y ) = + 3;12 +   2 x  + x   e)  2 y  −   x2     1  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ;  ; −   ⋅  2   ( ) (   =   =1 + y  + y2  78 y = 20 x + + y2 x  f)   y + 78 x = 15  x2 + y ĐS: ( x; y ) = 2 x + − x + y − − 34 = x + xy g)  2 y + − x + y − − 34 = y − xy ĐS: ( x; y ) = ( −2; ) Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607  ⋅    ) {( 2; 3) ; (18;12 )} ⋅ Page - 232 - ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn T T HỒNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Hệ đẳng cấp phương pháp tạo phương trình bậc cao phương trình đẳng cấp VD 291 Giải hệ phương trình sau: 3 x − xy = 16 a)  2  x − xy − y = ĐS: ( x; y ) =  x + xy + y = b)  2 2 x + xy + y =  17 17 ĐS: ( x; y ) =  ± ;∓  17 17  2  x − xy + y = −1 c)  2  x + xy − y = ĐS: ( x; y ) =  x − xy + y = d)  2 2 x − 13 xy + 15 y =     ĐS: ( x; y ) = ( ±3; ±2 ) ,  ± ;±  ⋅ 2     3 x + xy + y = 11 e)  2  x + xy + y = 17     ĐS: ( x; y ) = ( ±1; ±2 ) ;  ± ;∓  ⋅  3     2  x − xy + y = f)  2 2 x − 13 xy + 15 y = 18   3   ĐS: ( x; y ) = ( ±3; ) ;  ± ;±  ⋅  2     {( −2;1) ; ( 2; −1)} ⋅    ⋅    {( ±1; ±1)} ⋅ VD 292 Giải hệ phương trình sau: 14 x − 21y + 22 x − 39 y = a)  2 35 x + 28 y + 111x − 10 y = ĐS: ( x; y ) = {( 0; ) , ( −3;1)} ⋅ 3 x + xy − y = 38 b)  2 5 x − xy − y = 15 ĐS: ( x; y ) = {( −3; −1) , ( 3;1)} ⋅ 2 2 x − x( y − 1) + y = y c)  2  x + xy − y = x − y    ĐS: ( x; y ) = ( 0; ) ; ( ±1;1) ;  ;   ⋅  43 43    14 x − 21y − x + 45 y − 14 = d)  2 35 x + 28 y + 41x − 122 y + 56 = ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) , ( −2; ) ⋅ { } VD 293 Giải hệ phương trình sau:  x − xy + y = a)  3 x − x + y =   ± 33 −153 ∓ 44 23   ĐS: ( 1; ) ;  ;  ⋅   49      xy = x + y + b)  2  x y = 10 y −    ĐS: ( x; y ) = ( 3; −1) ;  1; −   ⋅    2 x + y( x + 1) = x c)  5 x − x = y ĐS: ( x; y ) =  x ( y + 1)( y + x + 1) = 3x − x + d)   x( y + 1) + = x    ĐS: ( x; y ) = ( 1; −1) ;  −2; −   ⋅     x + x y + x y = x + e)   x + xy = x +  17  ĐS: ( x; y ) =  −4;  ⋅     x − y + = f)   y + 2( x − 3) x + = −  VD 294 Giải hệ phương trình sau: {( 0; ) ; (1;1) ; ( 2; )} ⋅  3 ĐS: ( x; y ) =  3; −  ⋅ 4  Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 ThuVienDeThi.com Page - 233 - www.VNMATH.com Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 5 x − y = x − 3xy a)  2  x − x = y − y  1   ĐS: ( x; y ) =  ;  ; ( −1;1)  ⋅  2   3  x + y − xy = b)  4 4 x + y = x + y  1  ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) ; ( 1; ) ; ( 1;1) ;  ; ⋅ 3  25 25   x − y = x + y c)  2 13x − 41xy + 21y = −9 ĐS: ( x; y ) =  x + y = d)  2  x y + xy + y =  1   3 3   ; ĐS: ( x; y ) =  ;  ,   ⋅     2   3  x − x = y + y e)  2  x − y =  6  ;4 ĐS: ( ±1; −3 ) ;  ⋅  13 13    x + y = y + 16 x f)  2 1 + y = 5(1 + x ) ĐS: ( x; y ) = {( 0; ±2 ) ; (1; −3 ) ; ( −1; )} ⋅ 2 x − y = ( x − y )(2 xy + 3) g)  2  x − xy + y = ĐS: ( x; y) = {( ±2; ±1)} ⋅ 2 ( x + y)( x + y ) = 15 h)   y + y = x ĐS: ( x; y ) = {( 2;1) , ( 2  x + y = i)  2 ( x + y )(4 − x y − xy ) = y ĐS: ( x; y ) = {( ±1; ±1)} ⋅ {( 2;1) ; ( −2; −1)} ⋅ )} 3; − 3 ⋅ II Biến đổi phương trình tích số, kết hợp với phương trình cịn lại Sử dụng tách, ghép, nhóm tam thức bậc hai đưa phương trình tích VD 295 Giải hệ phương trình sau: 2  x + xy + y = a)  2  x − xy − y = − x + y (CĐ – 2014) ĐS: ( x; y ) =  xy + x − = b)  2 2 x − x y + x + y − xy − y = (D – 2012)   −1 ±   ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ,  ; ±  ⋅       2 5 x y − xy + y − 2( x + y) = c)  2  xy( x + y ) + = ( x + y) (A – 2011)   2   ĐS: ( x; y ) = ( ±1; ±1) ,  ± ;±  ⋅  5     {( ±2; ±1) ; ( 2; −3 ) ; ( −3; )} ⋅ 2 2 y + xy − x = d)  2  x − xy − y + x + y + =  −13 ∓ 157   −13 ± 157 ;    ĐS:  ⋅  ( 1; −1) , ( 3; −3 ) 2 2 x + xy − y = 5x − y − e)  2  x + y + x + y =   13   ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ,  − ; −   ⋅     x + 5x − xy = y − f)  2 4 x y − xy + y =  −45 ± 233     ĐS:  −3;  , ( −1;1) ,  ;   ⋅    4     2 2 x + x y − xy = y − x − y g)  2 x − xy + x =   ± 17   ;10 ± 17   ⋅ ĐS: ( x; y ) = ( 1; −1) ,        2 2 x − xy − xy + y = h)  16 x + x − y + =    ± 19 ± 19   ĐS: ( x; y ) =  ;1  ,  ;  ⋅        Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 234 - ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn T T HỒNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600  x − 3x + x + y = xy + i)  2 2 y − xy − x + x = y VD 296 Giải hệ phương trình sau:    ĐS: ( 3; −4 ) , ( 3; ) , ( −1; ) ,  − ;   ⋅     xy + x + y = x − y a)   x y − y x − = x − y  y − xy + y = − x + x + b)   y + 13 − 15 − x = x +  x + y + x − y = + x − y c)   x + y = (D – 2008) ĐS: ( x; y ) =  x − y − xy = d)   x − − y − =  x − x y + xy − y = e)   x − y + x + y = x  2 + y = y − x − y f)    x + x − 2y = x + 3y −  y + ( y − 3) x − y = −3 g)   x − + − y = 3 y + + y( x + 1) = y x + y + h)   y( y − x) = − y  x + y = i)   y − 1( x + y − 1) = ( y − 2) x + y  x + y = x y + xy j)   x − y − + y − 14 = x − 2 x( y + 1) − y( y − 1) =  4+y k)  x +y −x=  x2 + y   2 xy =1 x + y + x +y l)   x + y = x2 − y  {( 2; )} ⋅ ĐS: ( x; y) = {(3; −2),(3; 2)} ⋅ ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) HD: ( 1) ⇔ ( ĐS: ( x; y ) = x+ y )( ) x − y = {( 2; ) , ( 32 − 15; − 15 )} ⋅    ĐS: ( x; y ) = ( 12; −2 ) ,  ;   ⋅    ĐS: ( x; y ) = ( 3; )   415 17   ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ,  ;  ⋅  51    ĐS: ( x; y ) = ( −1; ) ( ) ĐS: ( x; y ) = ± 2; ± HD: ( ) ⇔ ( x2 + y − x { ) = } ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) , ( −2; )  x − 3x y − x + y + 16 xy − 16 y = m)   x − y + x + y =     3 ĐS: ( x; y ) = ( 8; ) ,  − ; −  ⋅   3     ( x − y )( x + xy + y + 3) = 3( x + y ) + n)  4 x + + 16 − y = x + ĐS: ( x; y ) =  x + y = o)  2 4 x + y = ( x − y ) xy  22 + 22 −  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ,  ; ⋅   25 25    y − xy + y − 3x − = p)   x − = ( y + 2015)(5 − y ) + y ĐS: ( x; y ) = ( 4; ) Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 ThuVienDeThi.com {( 2; ) , ( −1; −3 )} ⋅ Page - 235 - www.VNMATH.com Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 ( x − y )( x + y + y ) = x( y + 1)  q)  ( y + 2)2  x + 4x = +  ĐS: ( x; y) = (2; 3) Liên hợp đưa phương trình tích số VD 297 Giải hệ phương trình sau: ( x + x + 4)( y + y + 1) = a)  6 y − y + = x +    ĐS: ( x; y ) = ( 0; ) ;  −1;   ⋅     y−3  x+y + x+3 = b)  x  x+y + x =x+3  ĐS: ( x; y ) = ( 1; )  x + y − − x + y − = y − x − c)  2  x + y − xy + x − y =  x + y + = y + x + + d)  2  x + x + 11( y + 1) + + x − y − = 5x + ĐS: ( x; y ) = ( 2; )  ± 13 −1 ± 13  ; ĐS: ( x; y ) =  ⋅      x + y + + = 4( x + y )2 + 3( x + y)  e)   x + y + 2x − y =  2 1 ĐS: ( x; y ) =  ; −  ⋅ 3 6  x + x + y + = x y + y + f)  ( x + y − 1) y + = 10 ĐS: ( x; y ) = ( 3; )  x + y + x − y + x y = x + y + y x g)  2 2(1 − y) x + y − = y − x − ĐS: ( x; y ) =  xy − ( x − y)( xy − 2) + x = y + y  h)  ( x + 1)  y + xy + x(1 − x)  =  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1)  x + + x − − y + = y i)  2  x + x( y − 1) + y − y + = ( ) − 1; − { } (A – 2013) ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) ; ( 2;1) (1 − y ) x − y + x = + ( x − y − 1) y   + 5 −   (B.14) ĐS: ( x; y ) = ( 3;1) ;  j)  ;  ⋅  2     y − 3x + y + = x − y − x − y −  (1 − y ) x + y + x + y = + ( x + y − 4) y  k)   x − 2y − x + = x− y−7  ĐS: ( x ; y ) = ( 3;1)  ( x + 1) y + ( x − y + 1) y + x + = y + y  l)   3x − − y = x − y − 3 5 ĐS: ( x; y ) =  ;  ⋅ 2 2  x + 2( y − 1)( x − y ) + xy = y m)   x(2 x + y − 5) + y( y − 3) + =   3  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ;  ;   ⋅  5    x + (4 x − 9)( x − y) + xy = y n)  4 ( x + 2)( y + x) = 3( x + 3) ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 236 - ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn T T HỒNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600  x( x + y ) + x + y = y − y o)  2  x y − x + x + y − = xy − x + ĐS: ( x; y ) = ( 1;1)  x + y + 2 x − xy + y = x + y + xy p)   x + y + x − y = x − y + ĐS: ( x; y ) = ( 2; ) ( x + 1) y + y + + ( y − 1) x + x + = x + y q)  2 ( x + x) x − y + = x + x + y +  1     ĐS: ( x; y ) =  ; −  ;  ; −  ; ( −1; −2 )  ⋅  2   8   ( x − y − 1) x + = x − y + (1 − x) x − y  r)   x + 2y +    x + y + =  − x + x + y    ĐS: ( x; y ) = ( 1; )  x + y = s)   x + + y + = ĐS: ( x; y ) = ( 2; ) VD 298 Giải hệ phương trình sau:  y  x −x−y = x−y a)   2 2( x + y ) − x − = 11 5 3 ĐS: ( x; y ) =  ;  ⋅ 2 2 3 y2 2  x + x + y + xy = x + xy + b)   ( x − 1) x + − x + x − y + y − + x − y ĐS: ( x; y ) = ( 2; )  x + y + x − 12 xy + y = x + y + xy c)  ( y + 1) x + + 2( x + 5) y + = y + 14 x + 13 ĐS: ( x; y ) = ( 1;1)  x − x + = y − − y d)   x + 16( y − x) + y = xy ĐS: ( x; y ) = ( 6; )  y + y − y + x + = x + x + + e)  2 3 y − x − y + 3x + =   25   ĐS: ( x; y ) = ( −1; −1) ;  − ;   ⋅  23 23    { }  2( x + y ) + 2(5x − y) − 4( xy − 3) + x + = y  ĐS: ( x; y ) = ( 2; ) f)   y − 4( x + y ) + 17 − x − y + = ( x − y + 2) x + = y g)  (4 − x + 1) x + = y − + − x    ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) ;  − ;   ⋅  5   2  x + y + xy − x + y − = h)   x + + x + = y − y + y − ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) ( x + y) x − y + = x + y + i)  ( x − y ) x − y + = ( x + y + 1) x + y − 5 1 ĐS: ( x; y ) =  ;  ⋅ 2 2  x = y + + y − x − j)  (8 y − x + 9) x + 21 + 16 x − 12 x + x = 21 ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 ThuVienDeThi.com Page - 237 - www.VNMATH.com Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Đưa tích số dựa vào phương pháp cộng VD 299 Giải hệ phương trình sau:  2  x + y = a)  4 x + x − 57 = − y(3 x + 1)  25    11   ĐS: ( x; y ) =  ;  ;  ;   ⋅  5   25   14 x − 21y − x + 45 y − 14 = b)  2 35 x + 28 y + 41x − 122 y + 56 = ĐS: ( x; y ) = {( −2; ) ; (1; )} ⋅  xy − x = 2( y + 8) c)  2  x + y − x − y = 33 ĐS: ( x; y ) = {( −3 ± 2 x + xy + x + y = d)  2  x + xy + y + x =  3 ĐS: ( 0; ) ;  − ; −  ; −3 ± 2; ∓ ⋅  5 )} 3; −2 ∓ ⋅ ( ) VD 300 Giải hệ phương trình sau:  x − y = 35 a)  2 2 x + y = x − y ĐS: ( x; y ) = {( 2; −3 ) ; ( 3; −2 )} ⋅ 3  x − y = b)  2 2 x + y − x + y = ĐS: ( x; y ) = {( 2; −1) ; (1; −2 )} ⋅ 3  x + y = 91 c)  2 4 x + y = 16 x + y ĐS: ( x; y ) = {( 3; ) ; ( 4; )} ⋅  x − y − y = d)  2  x + y = x − y  ± 33 −9 ± 33  ; ĐS: ( x; y ) =  ⋅   4   VD 301 Giải hệ phương trình sau:  x y + x − x + = a)  2  x y − x + y = ĐS: ( x; y ) = ( 1; −1)  x + xy = xy − x − 49 b)  2  x − xy + y = 10 y − 25x − ĐS: ( x; y ) = 2( x + y )(25 − xy ) = x + 17 y + 105 c)  2  x + y + x − y = ĐS: ( x; y ) = ( 2;1) 6 x y + y + 35 = d)  2 5 x + y + xy + 5x + 13 y =  5 ĐS: ( x; y ) =  ± ; −  ⋅  2  x + xy = −49 e)  2  x − xy + y = y − 17 x VD 302 Giải hệ phương trình sau: ĐS: ( x; y ) = {( −1; ) ; ( −1; )} {( −1; −4 ) ; ( −1; )}  x y + x + y − = a)  2  x y − xy − y + y − x + = ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) ; ( 1; ) ⋅ 3 x + xy − x − y − y = b)  2 x − 20 x − x y − 20 y = ĐS: ( x; y ) =  x − xy + x + y = c)  2  x − x y + x + y = ĐS: ( x; y ) = ( 0; ) ; ( 2; ) ; ( 1; ) ⋅ { {( 0; ) ; ( 2; −1) ; (10;15 )} ⋅ { Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 } } Page - 238 - ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Tốn T T HỒNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 III Đặt ẩn phụ giải hệ phương trình đại số – vơ tỷ Loại Đặt hai ẩn đưa phương trình đẳng cấp VD 303 Giải hệ phương trình sau:  x + y + x − y = y a)   x + y =  4 ĐS: ( x; y ) =  1;  ⋅  5  x − = y y + b)  2 22( y − 1) = ( x + 9)( x + y ) ( x + y + 3) xy + y = y(8 y + 3x + 9) c)   − x + x − 24 y + 417 = ( y + 3) y − + y + 17 ĐS: ( x; y ) = {( − )( 2; ; )} 2;0 ⋅ ĐS: ( x; y ) = ( 1;1)  x + = ( y + 1)(3 y − x)  d)  x+5 = xy − y −  3y − −  ĐS: ( x; y ) = ( 3; )  xy = 16 x + y + +y x  e)   x + 2x = x + x − y  8y 3y   24   ĐS: ( x; y ) =  ;  ; ( −8;12 )  ⋅ 7    Loại Đặt ẩn phụ dạng tổng – hiệu a = x + y ; b = x − y VD 304 Giải hệ phương trình sau: 2 x + x − y = a)  2 2( x + y ) =      ĐS: ( x; y ) =  ; −  ;  ;   ⋅  2   2    x + x + − y = b)  2  x + xy + y = ĐS: ( x; y ) =  x + y − xy = c)  2  x + x + = y + y −   3   ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) ;  ;  ⋅  3      2 =7 4 xy + 4( x + y ) + ( + x y)2  d)  2 x + =  x+y ĐS: ( x; y) = (1; 0)  = 13 8( x + y ) + xy + ( x + y )2  e)  2 x + =  x+y ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) (4 x − xy + y − 51)( x − y)2 + = f)  (2 x − 7)( x − y) + = 5± 5∓  ; ĐS: ( x; y ) =  ⋅     xy + y x − y x+y x−y  = + 14 2  g)  3 x−y  x+y    +   =9      ĐS: ( x; y ) = ( 5; ) Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 ThuVienDeThi.com {( −3; ) ; (1; )} ⋅ Page - 239 - www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn T T HỒNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600  xy =1 ( x − y ) + x+y h)   3x + y + x = (3x + y − 6)2 + x + y )     13 + 29 −9 − 29   ĐS:  ; −  ;  ;  ⋅   4    2   1 1 Loại Đặt ẩn phụ dạng a = x + ; b = y + a = x + ; b = y + ⋅ x y y x VD 305 Giải hệ phương trình sau:  x2 + y xy + + =5  xy xy  a)  ( x + y)  +  =    xy     ±   ±   ĐS: ( x; y ) =  1; ;1   ⋅ ;        ( x + y )(1 + xy) = 18 xy b)  2 2 2 ( x + y )(1 + x y ) = 208 x y  ± 3; ± ; ± 3; ±  ĐS:  ⋅ ( 0; ) 2 x − y − xy = xy(1 − x)  c)    ( x y ) + +   = 12  xy    ĐS: ( x; y ) = ( 1;1)    ( x + y )  +  =8 d)  xy     xy(2 x + y − 6) + y + x = ĐS: ( x; y ) = ( 1;1)    125 ( x + y )  +  = xy    e)    25   = ( x + y )  + xy      1  ĐS: ( x; y ) = ( 2; ) ;  ;   ⋅  2   ( )( ) Loại Chia để xác định lượng đặt ẩn phụ  xy + x + = y a)  2  x y + xy + = 13 y 2  x + y + xy = x − b)  4 ( x + xy ) + ( y + 2) = 17 x 1 + x y = 19 x c)  2  y + xy = −6 x 2  x + y + xy + = y d)  2  y( x + y) = x + y +    ĐS: ( x; y ) = ( 3;1) ;  1;   ⋅    { } ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) ; ( 3; −2 ) ; ( 2; ) ; ( 3; −1) ⋅     ĐS: ( x; y ) =  ; −2  ;  − ;   ⋅     { } ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) ; ( −2; ) ⋅  x − y x + y = y − e)   x ( x + y − 2) + x = y +  −3 ± 53 11 ∓ 53   ĐS: ( x; y ) =  ;  ⋅ 2    x y + y + 16 = 11xy f)  2  x + y + 12 y = 3xy   ± 17 ± 17 ĐS: ( 4; ) ; ( −2; −1) ;  ;  2    xy + x + + x + x − x = g)   xy + x + = x( xy + + 3)  7 ĐS: ( x; y) =  3;  ⋅  3 Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607    ⋅    Page - 240 - ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn T T HỒNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 (2 x + y − 1)( x + + xy + x ) = x h)  ( x + + xy ) + xy = x(6 − x) ĐS: ( x; y ) = ( 1;1)  x5 y ( x − 1) + = x +2  i)  x x y − xy − 3 y − x =  x + 3y    ⋅ ĐS: ( x; y ) =  − − ; −   −   Loại Liên hợp để tìm phép đặt ẩn phụ  x2 + + y + + x + y =  a)   x + + y + − x − y =    17 13   ĐS: ( x; y ) =  ;  ;  ;   ⋅    20 20    x + y = b)   x + + y + = ĐS: ( x; y ) = ( 2; )  x y + + y x + = xy  c)   x x + + y y + = x + y +    15 30   ; ĐS: ( x; y ) =  1;  ;   ⋅  15      15  x2 2  +2 x +1+ y = y  d)  y x + + y2 =  x x + +  ĐS: ( x; y ) = ( 0; −1) Loại Dựa vào định lý đảo Viét để tìm cách đặt ẩn phụ  x + y + xy + y = a)   xy( y + xy + x + y ) = 12 ( x; y ) = ( 2;1) ; ( −3;1) ; ± ;  ĐS:    ⋅ ( x; y ) = ± 3; ;  ± 17        2 x + xy + y = b)   x + x y + x ( y + 1) + xy + y = ĐS: ( x; y ) = ± 2; ±1 ±  y3 =2  x + xy + y + x + x+1 c)  2 x + y + y =  x+1  ±1 ± 17 ∓1 ± 17    ĐS: ( 0;1) ; ( 1; ) ;  ;  ⋅   4      y + x + xy − y + = d)  2  y x − y + x y + x = ĐS: ( x; y ) = ( 1; )  x + xy + y = y − e)  2  x + x y = x − x +  −1 ± 5 ∓  ĐS: ( x; y ) =  ; ⋅  2   2 x + xy =  f)  x xy = 1+  2(1 − x)2  2(1 − x)  −1 ±  ;2⋅ ĐS: ( x; y ) =      ( ( ) ) ( ) Loại Biến đổi để xác định lượng đặt ẩn phụ  x + y + x + y = a)   x + y + x + y =  −9 ĐS: ( x; y ) =  − 5; ⋅     Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 ThuVienDeThi.com Page - 241 - www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn T T HỒNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600  x + y − x + y = b)  2 x + y − x + =  56 13  ĐS: ( x; y ) =  ;  ⋅  5 (2 x − y + 2)(2 x + y) + x − y + = c)   x + + y − = 3  ĐS: ( x; y ) =  ;  ⋅ 2    x+ + x+y−3 =3 y  d)  2 x + y + =  y  ĐS:  x y + xy = + x e)  2  x ( x y − y + y) = + x ( x − 1)( y − 1)( x + y − 2) = f)  2  x + y − x − y − = {( ± } ) 10; ∓ 10 ; ( 5; −1) ; ( 3;1) ⋅ ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) ĐS: ( x; y ) = {( 2; ) ; ( 3; )} ⋅ 2 ( x + x)( y + y ) = g)  2  x ( y + 1) + y( x + x + 1) =  −1 ± −1 ±  ĐS: ( x; y ) =  ; ⋅   2    x + y − = h)   x + x + y + 2( x + 1) y − = 29 ĐS: ( x; y ) =  x  y   −   −  = 18   y  x i)  y 2x   9x + x + y + y =  1 1 ĐS: ( x; y ) =  ;  ⋅ 9 3  xy + x + y =  j)  1  x2 + x + y + y =  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ; ( −3; −3 ) ⋅  x   y   + =1 k)  y +   x +   2 1 + xy = x + y ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) ; ( 0;1) ⋅ x y 1 = + −1  + − y x xy x y  l)  2  x + y = x − xy + y x + y + xy  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1)  x − x + y − 2.y = −9 m)  2  2.x y + x + 2.y = 22  2    ĐS: ( x; y) =  ±2;  ;  ± 2;  ⋅       2( x − 1)   x+y−2 + x+y =3 n)  ( x + y) x − y + = x + y −     ĐS: ( x; y ) = ( 4; ) ;  ;   ⋅  2   5 y( xy − 1) = 2( y + 1) o)  2 x( xy − 1) = x +  x − xy − y = p)  2  y( xy − y + y − xy ) = {( 2;17 ) ; ( 3;10 )} ⋅ { { } } ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) 3 2 ; ĐS: ( x; y ) =  ⋅  2   Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 242 - ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 IV Sử dụng phương pháp đánh giá giải hệ phương trình đại số – vơ tỷ Sử dụng phương pháp hàm số VD 306 Giải hệ phương trình sau: ( x + + x)( y + + y) =  a)  3x2 + x − 2 = + x  y y2   1± 1±  ĐS: ( x; y ) =  ; ⋅  3   8 x + y = y + x + b)  2 (3 x + + x )( y + + y ) = ĐS: ( x; y ) = ( 1; −3 )  x − 3x + x − = y + y c)   x − + y + = ĐS: ( x; y ) = ( 4; )  x + y = x − x − y + d)  2  x + y − x + y − 10 = y + − x + y ĐS: ( x; y ) = ( 5; −4 )  x − 3x + = y + y  e)  3 x − = y + y ĐS: ( x; y ) = ( 3;1)  x − y + y − 3x = f)  2  x + − x − y − y + = ĐS: ( x; y ) = ( 0;1)  x − y + 3x + x − y + = g)  2  − x − 3 + y − y − x + = ĐS: ( x; y ) = ( 0;1)  x − 3x − x + 22 = y + y − y  h)  2 x + y − x + y =       ĐS: ( x; y ) =  ; −  ;  ; −   ⋅  2   2   (A – 2012)  x − y + y − 3x − = i)  2  x + − x − y − y + = VD 307 Giải hệ phương trình sau: (2 x + 2) x − = y + y a)   y − xy + = x − y  2x − x2 = − y2 + 2x −  b)   x − 3x + + ( y + 2) − y = (4 x + 1) x + ( y − 3) − y = c)  2  x + y + − x = ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) ( ) ĐS: ( x; y ) = + 2;1 + { } ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ; ( 1; −1) ⋅ (A – 2010) 1  ĐS: ( x; y ) =  ;  ⋅ 2  2 y + 12 y + 25 y + 18 = (2 x + 9) x + d)  2  3x + + x − 14 x − = − y − y ĐS: ( x; y ) = ( 5;1)  x + x + ( x − y + 6) x − y + =  e)  8 x − x − x = y −   1 ĐS: ( x; y ) =  1;  ⋅  2 2 y + y + x − x = − x f)  2  − y = x + y − ĐS: ( x; y ) = − 2; ± Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 ThuVienDeThi.com ( ) Page - 243 - www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn T T HỒNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 ( x + 1) x + + x + = y + y + y + g)  2  x + x + x − y − 14 y + 19 = 3 9( y + 1) ĐS: ( x; y ) = 1; − (23 − 3x) − x = (20 − y ) − y h)   x + y + − −3x + y + = −3 x + 14 x + ĐS: ( x; y ) = ( 5; )  x + x = − y i)  (15 − x) − x − (4 y + 9) y + =    ĐS: ( x; y ) = ( 1;1)( −1; ) ;  −2;   ⋅    (53 − 5x) 10 − x + (5 y − 48) − y = j)   x − y + + x − x − 66 = y − x + 11 ĐS: ( x; y ) = ( 9; ) (4 x + 2)(1 + x + x + 1) + y(2 + y + 3) = k)  4 x − y + + − y =  1 ĐS: ( x; y ) =  −1;  ⋅ 3  (18 x + 9) x + x + = y y + 27 l)  (2 y + 3)2 = 24 x (2 y − 9)  45 ± 24  ĐS: ( x; y ) =  ± 3; ⋅     VD 308 Giải hệ phương trình sau:  y = 2( x + x − y) a)   y( y − x − 2) = − x ( )    ĐS: ( x; y) =  ;  ,(2 + 3;1 + 3)  ⋅     x + + y − + x − y = b)  2  x − y + = 2( y − x + − x) ĐS: ( x; y ) = ( 3; )  x+ y +3 y −7 x =  c)  (2 y − 1)2 − y xy = (2 x − 1)2 − x xy ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) ; ( 1; ) ⋅ 2 y + − 2( x + y ) = x − y − d)  3 y − x + − y − = x + ĐS: ( x; y ) = ( 4; )  x + + x − − y + = y e)  2  x + x ( y − 1) + y − y + = (A – 2013) { } { } ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) ; ( 2;1) ⋅  x + + x − − y + = y f)  2  x + x( y − 2) + y − y + = ĐS: ( x; y ) =  x + y = x − y + g)  2  x − x − + x x + = 2( y + 1) y + y +    ĐS: ( x; y ) = ( −1; −2 ) ;  ;   ⋅  3    x = ( y − 1)( y + 2) + h)  2 2  xy( xy − 1) + x y = ( x + 1)( x + x + 1)  ± 13 −1 ± 13  ; ĐS: ( x; y ) = ( −1; ) ;  ⋅   2   {( 2; ) ; ( 3;1)} ⋅  x − y − 3x + 12 y + x − 12 y = y − − x − 3+2  ;3 + 2 ⋅ i)  ĐS: ( x; y ) =    2 (2 xy + 1) x = y x + y +   VD 309 Giải hệ phương trình sau:  x + xy = y + y a)   3x + + y + = ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ; 33; − 33 ; 33; 33 ⋅ 2 x y + y = x6 + x b)  ( x + 2) y + = ( x + 1) ĐS: ( x; y ) = { Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 {( ( )( )( )} )} 3; ; − 3; ⋅ Page - 244 - ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn T T HỒNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600  x11 + xy 10 = y 22 + y12 c)  4 2 7 y + 13 x + = y x(3x + y − 1)  16 + 89  ĐS: ( x; y ) =  ⋅ ;±  89 −     y (3 x − x − 23) + y = d)   y ( x + 10 x + 27) − y =  x+y  x (1 + x) = y   e)     3 x − + x − y = y  2 ĐS: ( x; y ) =  2;  ⋅  3  y (4 x + 1) + 2( y + 1) y = f)  2  y x(2 + x + 1) = y + y + 1  ĐS: ( x; y ) =  ;1  ⋅ 2   x x + y + y = x + x + x g)   x + x + x − + y( x − 1) = 4,  25 25  ĐS: ( x; y ) =  ;  ⋅  16 16  4 + x2 y − = 3x + − 2x y + − x2  h)   x y − x = x + x − x y y + 2 x − x + x − = x (2 − y) − y  i)   x + = 14 − x − y +    ĐS: ( x; y ) =  − ; −  ; ( 0; y ) , ∀y ∈ ℝ  ⋅       ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) ;  ;1   ⋅     111  ĐS: ( x; y ) =  7; ⋅  98   x3 = ( y + 2) ( x + 1)( y + 1) x + j)  x+1  x y + − 2x + x + =   1+  ĐS: ( x; y ) =  ;0⋅      x2 + 2  x + = (4 x − yx ) − y +  x k)  3  − − 2y = 2x + x + x +  2x +  −1 3+  ; ĐS: ( x; y ) =  ⋅       2  2( x − y ) + ⋅ 1 +  = x + xy + y − − x y 2( ) l)     2 x y xy + + = 10  VD 310 Giải hệ phương trình sau: ĐS: ( x; y ) = {( −1; −2 ) ; ( 2;1)} ⋅  3x + x + 3y + = y − y + a)  x+1  9y − + x + 2y + = 2y +  ĐS: ( x; y ) = {( 8; 3) , ( 3; )} ⋅  + 4y2 + 1 =  b)  x + x − x + y( x − 1)2  2  y x − − x − y + x − =  1 ĐS: ( x; y ) =  2;  ⋅  2  2 y − y − + = x c)   x + + xy y + =       ĐS: ( x; y ) =  − ;  ;  − ;1   ⋅       2( x − 2) x + = − y d)  ( x − 2) y + = x − x + y + ĐS: ( x; y ) = ( 3; ) Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 ThuVienDeThi.com Page - 245 - www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn T T HỒNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600  2x + x2 + x +  = y2 +  2y e)  ĐS: ( x; y) =  19 ( y − 1) − 30 = ( y − 1) − x + 11  3x − + 2  {( 2; 5) ; ( 3; )}  2  x + y + + x + 12 y + = (8 y − y ) + y + 5 ĐS: ( x; y ) = ( 0; ) ; ( 1;1) ⋅ f)  (2 x − 1) x + y = (6 − x − y) − x  { } ( x + y) x − x + + ( x − 2) x + xy + y + =   ± 10 ∓ 10   ĐS: ( x; y ) = ( 2; ) ;  g)  ;  ⋅ 2 2    x − y( x − y ) = 2(1 − x + y )     VD 311 Giải hệ phương trình sau:  x + x − x + = y + y +      a)  ĐS: ( x; y ) =  ;  ;  ;   ⋅ 2  2   4    x − y − 3x + y + =  x − x − + x x + = 2( y + 1) y + y +    b)  ĐS: ( x; y ) = ( −1; −2 ) ;  ;   ⋅ 2  3    x + y = x − y +  y + y + y + x − 22 x + 21 = (2 x + 1) x − c)  ĐS: ( x; y ) = ( 1; ) ; ( 5; ) ⋅  x − 11x + = y 5  16 y + = 85 − x ĐS: ( x; y ) =  ;  ⋅ d)  2  16( x − y) + x(3 − x) = y + + 21     5  y + 24 y + 18 + 2 + y +   x + − x  = ĐS: ( x; y ) =  ± 5; −1 ± e)  ⋅    x − y − = y − 17    xy + = y x +   ĐS: ( x; y ) =  − ;1  ⋅ f)  2    y + 2( x + 1) x + x + = x − x ( x + − 3x y + 2)( y + + 1) = x y  1 g)  ĐS: ( x; y ) =  4;  ⋅  8  x y − x + = { } Sử dụng phương pháp bất đẳng thức VD 312 Giải hệ phương trình sau:  x xy + x + y = x y a)   y + x = −2 x + 14 y − ĐS: x = y =  x − y + y − x = b)  2  x y − xy + y − x − y =   2   ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ,  ;  ⋅  5     4 x4 − x2 y + y + − =  y c)  x + =  2 1− y (1 − x )(1 − y )  1− x  2 ĐS: ( x; y ) =  ; ⋅  2     (12 − y) x + y(12 − x ) = 12 d)   3x − + 19 x − 30 = 35 − y − x ĐS: ( x; y ) = ( 3; )  x 12 − y + y(12 − x ) = 12 e)   x − x − = y − ĐS: ( x; y ) = ( 3; ) (A – 2014) Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 19 + 37 − 13 ;x = y = ⋅ 18 Page - 246 - ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn T T HỒNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600  5x + xy + y + x + xy + y = 3( x + y ) f)   x + y + + x + 12 y + = xy + y + ĐS: ( x; y ) = ( 0; ) ; ( 1;1) ⋅  x + xy + y + y + xy + x = 2( x + y ) g)  (8 y − 6) x − = (2 + x − 2)( y + y − + 3)   22 22   ĐS: ( x; y ) = ( 2; ) ;  ;   ⋅  9    x2 + y x + xy + y  + = x+ y h)    x xy + x + = xy − x − ĐS: ( x; y ) = ( 3; )  x2 + y x + xy + y  + = 2x + y i)   5 x + − x + = ĐS: ( x; y ) = ( 3; )  x xy y  + = + + y x 1 j)  xy +   3x − + 19 x − 30 = x − x + 11 ĐS: ( x; y ) =  y + x + x = ( x + 2)( y + + − x )    k)  1 =2 + ( x + y )   x y x y 3 + +    ĐS: ( x; y ) = ( 1;1)  xy + y x − + 12 y =  l)  xy x  + y + xy + y = x+ y   1 ĐS: ( x; y ) =  10;  ⋅ 10    1 + =  2 + xy  + 2y m)  + x   x(1 − x) + y(1 − y ) = (VMO – 09) { } {( 2; ) ; ( 3; )} ⋅  ± 73 ± 73  ; ĐS: ( x; y ) =  ⋅  36 36   ( x + y ) x + ( y + x) y = xy( x + y ) n)  2(1 − y) x + x − = y − x − ĐS: ( x; y ) = ( x + 1) x + + x + = y + y + y + o)  2  x + x + x − y − 14 y + 19 = 3 9( y + 1) ĐS: ( x; y ) = 1; −  y − ( x + 4) y + y + x − x =  p)  − x + x + y + = 4( x − 1)2 + y −   VD 313 Giải hệ phương trình sau: ( − 1; − ) ( ) 1 1 ĐS: ( x; y ) =  ;  ⋅ 2 4  − (1 − x y)2 = x + y +  a)   + ( x − y)2 = x y + x − x6 ĐS: ( x; y ) = ( 1;1)  xy = x2 + y x + x x − +  b)  xy y + = y2 + x  y − 2y +  ĐS: ( x; y ) = ( 0; ) ; ( 1;1) ⋅ { Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 ThuVienDeThi.com } Page - 247 - www.VNMATH.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn T T HỒNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600  y  1  x +  xy +  = y x  x c)   ( x − 1) y + x( y − 1) = ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ( x − 1) y + ( y − 1) x = xy d)   x y − + y x − = xy ĐS: ( x; y ) = ( 2; )  x2 y2 + =  e)  ( y + 1)2 ( x + 1)2  x + y + = xy    1  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ;  − ; −   ⋅  3    x + x − = − y − y − f)  6 x − y − 11 + 10 − x − x = ĐS: ( x; y ) = ( 1; −3 ) 2 x + y + y + − y = x + g)   y + y − y − = x − x + ĐS: ( x; y ) = ( −1;1)  2  − x + − = 1+ y  x h)  x + = 2 − y ( )  x ĐS: ( x; y ) = ( 1;1)  x + − x − y = 2 i)   x + − x + 2 y = + ĐS: ( x; y ) = 2; ( ) BÀI TẬP RÈN LUYỆN TỔNG HỢP HỆ PHƯƠNG TRÌNH BT 448 Giải hệ phương trình sau:  x − xy + x + y = a)  2  x − x y + x + y = 2  x + y + xy + y + x = c)  2 2 x − y − y − = 8 x − + xy = y 12 x + y  e)  2  x + y − x x + y − x − = 14  x + y − x − y = g)  2  x + + x − y =  x ( x + y + 1) − =  i)  ( x + y ) − + = x  ( ( ) ( )(  x + y = k)  2  x y + xy + y =  x + y = xy + y m)  2 2 x + 3xy = y + 3x y BT 449 Giải hệ phương trình sau: 2 y + xy − x = a)  2  x − xy − y + x + y + = ) )  x + xy + 49 = b)  2  x − xy + y = y − 17 x 2 x y + 3xy = x + y d)  7 y + = x + x  x − x − y − = f)  2  y + x + y x − y x =  x + y − x + y = h)  2 x + y − x + = 16 x y − y = ( xy − y ) xy + j)  2 2  x y − xy + y = ( )  x − y = x + y l)  2 13x − 41xy + 21y = −9  x − xy + y = n)  4 4 x − y = x − y  x + y − 3xy + x − y = b)  2  x − y + y − = Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 248 - ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com Tài liệu ơn thi THPT Quốc Gia mơn Tốn T T HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 2 x + x y − xy = y − x − y c)  2 x − xy + x =  x + y + x − y = + x − y e)   x + y =  x − y + xy + x − y = d)  3 2  x − y + x y + y = −1 2 x − xy − xy + y = g)  16 x + x − y + =  x − x + x + y = xy + i)  2 2 y − 3xy − x + x = y  y + ( y − ) x − y = −3 k)   x − + − y =  y2 +  y2 − x = 2x − m)  x   y + + 2x − = 2 x + xy − y = 5x − y − h)  2  x + y + x + y =  x + 5x − xy = y − j)  2 4 x y − xy + y =  x + y + y = x y + xy + x l)  2  x − y − + y − x − = 2 xy − y + x + y = o)   − x + − y =  x − y − xy = q)   x − − y − =  x + y = x y + xy p)  2 x − y − + y − 14 = x − 4 x + xy + y + x + y = f)  8 − x + y − =  x + y = n)   y − ( x + y − 1) = ( y − ) x + y  x − 3x y − x + y + 16 xy − 16 y = r)   x − y + x + y = 9 x + 24 y − xy + y = 16 − x + 24 y s)  8 y + y + 20 y − y + + 15 = x  6x  − = 3x − y + y u)  y  2 3x + 3x − y = 6x + y − BT 450 Giải hệ phương trình sau: 1 x + y =  a)      +   +   +  = 18    x y   x    y     x + y + xy = t)  2  x + y = x + y + 14  y 12 = + x − y − x v)  x  y + + y = x2 − x −   85 2 =  x + xy + y +  (x + y) b)   x + = 13  x+y  ( )  13  x + y = c)  3 y x + x = 35   + =0  x + y + xy −  (x − y) d)  2 y − + =  x−y   x + y + 3xy + =  e)  x − y + 18 =9 x−y   ( x + y)    ( x + y )  + =4 xy    f)   x + y =1  x2 + y +    x2 + y  g)   3  x +y    xy + xy =  h)  ( x + y )  +  =    xy    ( ( )   1 +  =8 xy   )   1 +  = 16 xy   Biên soạn: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 ThuVienDeThi.com Page - 249 - ... Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 III Đặt ẩn phụ giải hệ phương trình đại số – vô tỷ Loại Đặt hai ẩn đưa phương trình đẳng cấp VD 303 Giải hệ phương trình sau:  x + y + x − y = y a)   x + y =... Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 IV Sử dụng phương pháp đánh giá giải hệ phương trình đại số – vơ tỷ Sử dụng phương pháp hàm số VD 306 Giải hệ phương trình sau: ( x + + x)( y + + y) =  a) ... ⋅ )} 3; − 3 ⋅ II Biến đổi phương trình tích số, kết hợp với phương trình cịn lại Sử dụng tách, ghép, nhóm tam thức bậc hai đưa phương trình tích VD 295 Giải hệ phương trình sau: 2  x + xy +