100 bài tập Hệ phương trình ôn thi đại học24473

H PH NG TRÌNH (Ph n I) x y      y  x  xy    2  x  y   x3  y3  y2  3x  y      x2  x2  log 20  log 2   y y    y y   y2  x2 x2   e  y 1  3log  x  y    2log  x  y      x  y   x  y   2  x  xy   y  xy   12   x 1  y   y 1    y 1  x   x 1  x3   y    11  x y3       x  y  2x  y  13    2x  y  x  y    x  y 2  x2  y2   x  y 2   15  3  2x  y  2x  y         8y x  16 x y  x y     x  y  x y   2x y  y  2x  x     x   y    x  1 698  x  y  81 10  2  x  y  xy  x  y        42 x  y 51 x  y   22 x  y 1  12   y  x   ln y  x   xy  3x  y  16 14  2  x  y  x  y  33    x2  y2  3x  y  16  2  3x  y  x  y   6x x y    20  x  y 6x  x  y  xy    x  32  x  y2  3 22   x  32  x  y  24  y  xy2  x2 24  2 1  x y  x  y x2  y2  3x  19  2  x x  y  10 y   x  x2  x   y 1    x 1   y  y  2y   1  x2  xy  y2   18  y x  x  y    xy   x x  x  y y 8 y 17   x y    ln   x   ln   y   x  y  2  x  12 xy  20 y   x3  y  y3  x 21   x  y  2   x  y   x  y    3x  x  23    xy  x   x H V n Diên – THPT Thái Lão – Tài li u v h ph ng trình ThuVienDeThi.com Trang  x2   y  x  y   y  26  x 1  x  y  2  y    2 7  xy  y  x  x  y   28   2x    x y   y   x    x  25  2   y  x  xy  16 x  y  16    x3  y3   x  y  xy   27  2  x  xy  y     y  4   y  42 x    29    x   2   y 42 x       xy    x2  y x  x  2x   30  xy y  y2  x  y  2y    x  y  ex  e y  32  log x  3log y  2  2   x  x2  y  y2    34  35 y  0 y 12 x 1   y   x3  3x  31   x  y  y   x3   x2  x  y  33   y   y  y  x        x2  y2  36  125 y  125 y  15   x2 y2  x  y2  38   x  x   y    x  3y  35    y   x   y  48 y  48 x  155    x  xy  2000 y  37    y  yx  500 x  1      xy   x2  y2 39   x x y y 2            x  x  2y 2y 1   40   2  x   y    3  x  y  41  2   x  2y  x  4y  42 2   x y  3xy  x  y 43    y   2x  9x  x4  x2  y2  y   45  2  x y  x  y  22  2   x  y  xy  47  2   x 1  y 1  44 46 48 H V n Diên – THPT Thái Lão – Tài li u v h ph  ng trình ThuVienDeThi.com  x3  x  y3  y  2  x   y   x4  x3 y  x2 y2    x y  x  xy   x3 y3  27  18 y3  2  x y  x  y  e x  y  e x  y   x    x y  x  y 1  e   Trang  49 51 53 55    x  y 51 x  y   3x  y     x2  y y    y x    2x  x  y    y  y2 x  y2  2    x y  x y  y    x  5y   y2  x2   3  x  y  y  x  x  y    x  2y  y 50   x  x  y  x  3y    y x2  y2  12  52  2   x  y  x  y  12 2   x  y  xy   y 54  2   y x  y   2x  y  2   x  x  2y 56    y  y  2x    4x  x   y    y  57  2   4x  y   4x  3  x  y  xy  59  4 2 x  y  x  y   x2 y  3xy  x2  y 58   y   x  x   2 2x  1  2x    y   y  61    4x   y   2   y  xy  6 x 60  3  1  x y  19 x  x2  y2   xy  y  62  y x y2  x 1   x4  x3 y  y  y3 x  x2 y2  x 63  2  x y  x    x3  y3  35 64  2  x  y  x  y  y x   2  x y x 65   y x2    x2    12     x2 y x    66     12  y    y  3x      x  67  y   x  3y 3 x2  y2 y  3x 0 x2  y2 xy  x  5  x  x  68  x y 3    y  x  x11  xy10  y22  y12  69  4  y  x   y x x  x    2  x  y  70   x2  3x  57   y  3x    25 2   x y  2x  y  72    2x  4x   y    x   x  y2  2 71   x   x  2 y   H V n Diên – THPT Thái Lão – Tài li u v h ph ng trình ThuVienDeThi.com Trang  x4  y4  240 73  3 2  x  y  x  y   x  y   x3  x  y   x2  y    75   y  x   ln y  x   x  y2  y  x2  77     x   y   xy  2  2x  y   79   x2  y2  xy  x  y  14   3   y  y  x  3x  x  74    1 x  y   y 1 2   x y  y  xy  x  18xy 81  2 2   x y  y  x y  x  208x y   xy   y  y 82    xy  y  y  1  x3  3xy2   49 84  2  x  xy  y  x  17 y  y3  y2 x  3x  y  86   x  xy         2   x  y  x y  xy 76  3   x  y   y  14  x    x4  x3 y  x2 y2  x  78   x  xy  x    x  y  cos x  cos y 80   x y  y  18   x3  3xy2  y 83   y  x y   x3  xy2  12 y  85  2  y  x  12 3   x  y  xy  87  4   4x  y  4x  y  x4  y4  89  2  x  x  x  y  x2  y2 x2  xy  y2   x y  91    x xy  x   xy  x   27 x3 y3  125  y3 88  2  45 x y  75 x  y   x  xy  x  y  90  2   x  x y  3x  y  xy  2 x  y  x  y  92   x  y  x2  y  5   x  y  x y  xy  xy  94   x4  y2  xy 1  x  5  5 x2 y  xy2  y3   x  y    96  xy x2  y2    x  y     x  y  x  x  y   y  y2 98   x2  y    x   y  xy  x  y  100  2  x y  10 y   xy   y  xy    y  93  1  y    xy   x     y  2  x  y 95   x  y  x  y    x  y   x  y 97   x  x  y    y  y    41 2  2 x  x y  1  y  y 99    x x  1  y  x    y  H V n Diên – THPT Thái Lão – Tài li u v h ph ng trình ThuVienDeThi.com  Trang CÁC BÀI GI I Bài Ta có: x y  x2  y2       y  x  xy     x  2  y   y  x  xy  x2  y2   x  y    2 2   x  y  x  y   x  x y y 3 3    y x 2  2  x   y   Xét hàm s f  t   2t  t  Ta có: f '  t   2t ln  3t   t  nên f  t  hàm V y x  x3  y  y3  x  y x  y x  y 1  Lúc này, h tr thành:   x  y  1  x  y  V y h có nghi m  x ; y    1;1  ,  1; 1  Bài 2: i u ki n x, y  1 Ta có: đ ng bi n   x  y  x  10 y     ln   x   ln   y   x  y    12 20 x xy y        ln   x   ln   y   x  y  x  y  x  10 y   ln   x   x  ln   y   y D th y r ng x, y d u Xét hàm s f  t   ln   t   t  1;   t Ta có: f '  t    t  V y hàm s đ ng bi n o hàm: f '  t   1  1 t 1 t  1;0  ngh ch bi n  0;  +) N u x, y âm (t c thu c  1;0  ) theo tính ch t c a hàm s f  t  , ta có: x  y Thay vào h gi i đ c nghi m x  y  (lo i) +) N u x, y d ng, t ng t ta c ng lo i n t +) x  y  tho mãn h V y nghi m c a h  x ; y    0;0  Bài 3: Nh n xét: Ch c ch n không th s d ng phép th hay đánh giá Nh n th y ph ng trình th nh t c a h ch a hàm riêng bi t v i x, y (ch a x3 , x y3 , y2 , y mà không ch a xy ) nên ta có th đ a ph ng trình th nh t v m t hàm s r i s d ng đ o hàm đ gi i i u ki n x   1;1 , y   1;3  T suy ra:  x     2;0   y     2;0  Khai thác ph ng trình th nh t c a h : x  y  y  3x  y    x3  3x   y3  y2  y   x   x    y  y   3 2    x      x      y      y   Xét hàm s f  t    t   t  t  3t  2;0  2 o hàm: f '  t   3t  6t  3t  t   Ta có: f '  t    t   t  2 V y đo n  2;0  , hàm s f  t  đ n u V y, ph ng trình th nh t c a h t ng đ ng v i x   y   y  x  H V n Diên – THPT Thái Lão – Tài li u v h ph ng trình ThuVienDeThi.com Trang Thay vào ph log  log  log  log ng trình th hai, ta có: x2  x2  log  20 2 y2  y   4y  y  x2 y   4y   x2    4y  y  x2  x    x2 x   1  1 x t  x2  t   2   x2    4 x       4 x     x         x2      2  x2 x   x2    1  1 x  t   0;1  Lúc  *  tr    2 * thành:   t   t     t  t  t   t  2t  2t   3t  2t  2t      t   t  1  1  (do u ki n nên lo i nghi m t   t  3t  2t     t   t  3 3 2 ) x 1  y  +) t    x2     x  1  y   1 1 x  y 2 1   3  +) t   x2    x   1  y   1  3  1 1  1 1           x , y 1;3 , 1;1 , ; , ;2 Nghi m:        3 3    Bài 4: Phân tích: H ch a n hàm h u t hàm s m , chúng có tính ch t khác nên ch c ch n s ph i s d ng đ o hàm Và c ng l u ý luôn, nh ng h ch a hàm có tính ch t khác g n nh 90% s d ng đ o hàm ho c ph ng pháp đánh giá C ng chéo v theo v gi m t ph ng trình c a h ta đ c h t ng đ ng:  x 1  x   x    y 1  y   y   *              x  x2  x   y 1  Xét hàm s f  t   3t  t  t  Hàm s có đ o hàm: f '  t   3t ln   t t 1 H V n Diên – THPT Thái Lão – Tài li u v h ph  3t ln  ng trình ThuVienDeThi.com t2   t t 1 Trang Ta có: t   t  t  t   t  t  t  T suy f '  t    t  V y, f  t  đ ng bi n Ta th y ph ng trình  *  có d ng f  x    f  y   T suy x   y   x  y Lúc h s t ng đ ng v i: x  y  x  y      x 1  x   x       ln   x     x       x  .ln     L i ti p t c xét hàm s g  t   ln t  t   t ln 1 t t   ln   ln Hàm s có đ o hàm g '  t   t  t2  t2  1 D th y ln3   nên g '  t    t  Nh v y hàm s g  t  ngh ch bi n t2  M t khác ta l i có g    nên ph ng trình   có nghi m nh t x    x  V y nghi m c a h  x ; y    1;1  Bài 5: Ph ng trình th nh t c a h t Xét hàm s f  t    t   et  0;   ng đ     ng v i: x2  e x  y2  e y Hàm s có đ o hàm f '  t   et  et  t     t   0;    T suy f  t  đ ng bi n  0;   V y ph ng trình th nh t c a h cho t đ ng v i: x2  y2  x   y +) N u x   y Thay vào ph ng trình th hai c a h ta đ ng c: 3log3  y     2log 2   log  y     y   31  y  3  x  +) N u x  y Thay vào ph ng trình th hai c a h ta đ c: 3log3  y    2log  y     1  log  y     1  log  y      3log3  y    2log2  y    3log3  y    2log2  y     *  Xét hàm s g  t   3log3  t    2log  t    1;   Hàm s có đ o hàm: g '  t     t   ln  t   ln 3 2 Ta có: mà nên ta có:     ln3 ln  t   ln  t   ln  t   ln3  t   ln , t c g '  t     t   ln  t   ln Nh v y nên hàm s ngh ch bi n  1;   Ta l i có g    V y  *  có nghi m y   x  V y nghi m c a h ph ng trình  x ; y    7;7  ,  ; 3  Cách khác: Trong tr ng h p x  y , ta đ t 3log3  x    2log2  x    6u h tr thành: H V n Diên – THPT Thái Lão – Tài li u v h ph ng trình ThuVienDeThi.com Trang u u 2u  x   1 8 3u 2u 1         1  3u 9 9  x   u u 1 8 Ta l i th y hàm s h  u        hàm ngh ch bi n mà h 1  nên u  nghi m 9 9 nh t c a h  x  y  Bài 6: i u ki n: x  0; i t ph Xét hàm s x  y  ng trình th hai c a h : x  y  x y  f  t   t  t 0; M t khác (1) có d ng f   xy  f  t  t t      x  nên (1)  8t t  t t x  y  x x (1) x  y  x  y  x x ng trình th nh t c a h ta có:   16  t   2t  2t  8t  24   t   t   t  2t  12   t   xy  ohàm: f '  t   2t   nên f  t  đ ng bi n t t  x  t   y  t  t Thay vào ph    2t  12  12 V i t   x  4, y  V y nghi m c a h  x ; y   4;2 Cách gi i khác: Ph ng trình th nh t c a h t ng đ ng v i: Ph ng trình th nh t c a h t ng đ ng v i:  x  y2  16   xy  xy     x  y   x  y    xy  x  y       x  y  x y  xy    x  y  4  x  y      x  y   x2  y2  x  y   x y  Bài 7: i u ki n: x  y   Khai thác ph ng trình th nh t: x  y   x  y   Ta đ t t  x  y (đi u ki n: t  1)   tr thành:  1 t3   t  D th y r ng hàm s f  t   t   t đ ng bi n  1;   (vì t t ng f  t  t ng) Nh v y ph ng trình v i n t s có nhi u nh t m t nghi m Nh n th y t = m t nghi m c a ph ng trình V y, ta có: t   x  y  Ph ng trình th hai c a h t ng đ ng v i: x x  y    y  x  y    12  8x   y   12 H cho s t ng đ ng v i h sau: x y   x y     2 x y       x  y    x   y    36   x y  x y  x y       x y4     xy x y 81  xy 16    x y 2          V y nghi m c a h  x; y    4;4  H V n Diên – THPT Thái Lão – Tài li u v h ph ng trình ThuVienDeThi.com Trang  1  2x y  y  2x  x Bài 8: i u ki n y  1 H cho:  2   x   y    x  1 N u x  t (1) suy y  , thay vào (2) không th a mãn  x  y y3   x  x3 (3) x x có đ o hàm f '  t   3t   nên hàm s đ ng bi n Chia hai v c a (1) cho x3  ta có: Xét hàm s f  t   2t  t y  y M t khác (3) có d ng f    f  x   x  y  x2 Thay vào (2), u ki n x  2 : x  x 2  x   x2    x  1   x    x2  1   x  1  x2   x    y   V y nghi m c a h  x ; y   3;3  Bài 9: i u ki n x, y  H cho t ng đ ng v i:  x   y   y2   x   y   y2      I   2 3    y 1  x   x 1  x  x   x 1  y  y   y 1 Xét hàm s f  t   t  t   t   1;  Hàm s có đ o hàm: f '  t   2t  Ta s ch ng minh r ng 2t  1 2 1 1   2t   t  3  3  t t 1  t   3  t   Th t v y: 2t  3  t    6t  t    2 i u hi n nhiên t thu c đo n  1;  Nh v y, f '  t    t  1;    f  t  đ ng bi n  1;  Vì đó:    x  y  x  y  I    Nh m đ  x   x   x    c nghi m c a (2) x  nên ta dùng ph ng pháp nhân liên h p:     x2       x 1 1    x   x    x2  x 1 1  x6 2  x2  x6  x   0   1 0   x   x     x    x    x      x  1  x 2   3  x    x  2  x     x2 H V n Diên – THPT Thái Lão – Tài li u v h ph ng trình ThuVienDeThi.com Trang (D th y ph ng trình   vô nghi m V y nghi m c a h ph Bài 10: Xem ph Ph 1  1 x 1 1 1  x  2  x    1 ) ng trình  x ; y    2;2  ng trình th hai c a h ph ng trình b c hai n x, tham s y : x2   y  3 x  y2  y   ng trình có nghi m   x    y  3   y2  y     3 y2  10 y   49 (1)   y2  ng trình th hai ph ng trình b c hai n y, tham s x : y2   x   y  x2  3x   1 y  L i xem ph Ph ng trình có nghi m   y    x     x2  3x     3x2  x  256 (2)   x4  81 49 256 697 698 T (1) (2) suy x4  y2  , mâu thu n v i ph ng trình th nh t    81 81 81 T suy h cho vơ nghi m Bài 11: Nhìn h s có   nên ta chia hai v r i c ng l i:    3y  1 y     x  x     y3    y3  y          x  x  x Xét hàm s f  t   t  3t o hàm: f '  t   3t    t  T suy hàm s f  t  đ ng bi n i u c ng có ngh a    y  x 3 Thay vào ph ng trình   ta đ c: y   y  y  y    0 x   y 1 +) V i y    y 2   y 1  y  2 1 +) V i y  2   2  x  x   x  x  1  V y nghi m c a h  x; y    1;1  ,  ; 2    Bài 12: Xét hàm s t t  x  y ph f t   1 t 1 t ng trình th nh t tr thành: t 4  5.    2t  5 * t 4  5.    2t 5 t 4 Hàm s có đ o hàm: f '  t   5 ln  5.ln    2t 1.ln Do ln  0,ln  0,ln  5 nên f '  t    t  M t khác ta l i có f    nên  *   t   x  y  1 t H V n Diên – THPT Thái Lão – Tài li u v h ph ng trình ThuVienDeThi.com Trang 10 Thay vào ph   ng trình th hai c a h ta có: y3  y   ln y2  y     Ti p t c xét hàm s g  t   t  2t   ln t  t  2 t  1 2t  2t  4t  2  3t   3t  0 Hàm s có đ o hàm g '  t   3t   t  t 1 t  t 1 t  t 1 v i m i t  nên g  t  ngh ch bi n M t khác g  1   nên suy y  1, y 1  x  V y nghi m c a h  x ; y    ; 1  ( thi h c sinh gi i qu c gia 1998 – 1999) Bài 13: i u ki n x  y  0, x  y  t a  x  y , b  x  y  a , b    a  b2  x  y H tr thành: 5 a   b a  b  a   b   2     3  b  8b b a  b 2 b2  5b  13  b  2    5  5   5  77 a   b b    (tho mãn a  )  5  77    b 15 77   a    5  77 (Ta lo i nghi m b  u ki n b  ) 2   15  77  151  15 77  7x  y      x  10  77 2      Ta l i có h sau:  11  77  y  5  77  51  77     2x  y   2    2  11  77  V y nghi m c a h cho  x ; y    10  77;    Chú ý: Ngoài cách gi i ta cịn có m t cách gi i hay n a, áp d ng đ c r ng rãi h n cho nhi u tốn h ph ng trình d ng c ng nh ph ng trình:  x  y   x  y   x  y  x  y  x ** Ta có: x  y  x  y  *    x  y  2x  y L y (*) tr (**) ta đ c x  y   x n ta th vào ph ng trình th hai r i rút x theo y đ th l i gi i ph ng trình ban đ u Bài 14: Bi n đ i h nh sau:   xy  x  y     x     y    21  xy  3x  y  16     2  x  y  x  y  33    x     y    38 H V n Diên – THPT Thái Lão – Tài li u v h ph ng trình ThuVienDeThi.com Trang 11    x   y     x     y    21   I 2 x y 38           t a  x  , b  y  h  I  tr thành:   ab  a  b  21   ab  21   a  b   ab  21   a  b     2 2 38 a b ab       a  b  38    a  b    a  b   80      a     a  b  10    ab  21   a  b     ab 31    a b     b       a  b  10      a  b  8  ab  13   a      a  b  8       ab  13   b    a  b  10 b lo i  a  b   100  4ab  124 ) (S d h   ab  31 +) V i a   , b    x   3, y  2  +) V i a    , b   x  3  , y   V y nghi m c a h  x ; y      3; 2  , 3  ;   Cách gi i khác: Cách 1: L y ph ng trình (1) nhân 2, sau c ng v i ph ng trình (2) đ h ng đ ng th c 16  y Cách 2: Có th rút x  , thay vào ph ng trình th hai gi i ph ng trình b c y3 Bài 15: i u ki n: x  y  V i u ki n h t ng đ ng v i:   x  y 2 2  2x  y  2   2x  y   4x  y  6 2x  y     5 60     2x  y  x  y     x y      x y   3 x y    x y   2x  y  2x  y   3  2x  3y  x  y  2x  y  x y       3 x y  2x  y   3  x y   2x  y    2x  3y   4y     2y   x y       3y   y   (D th y ph c    2x  3y 1    3y  y  y  x     8y  y   2        x y  y2  y   x x         y  3x   ng trình 3x2  3x   có   , vơ nghi m) H V n Diên – THPT Thái Lão – Tài li u v h ph ng trình ThuVienDeThi.com Trang 12 3 1 3 1 V y nghi m c a h  x ; y    ;  ,  ;  4 2 8 4 Bài 16: D dàng nh n th y n ph :  x2  3x  y2  y   x2  y2  3x  y    I   2     x y x y  x  3x  y  y   a  b  a  t a  x2  3x , b  y2  y h  I  tr thành:    3a  2b  b        +) a   x2  x   x2  x    x     13 +) b   y2  y   y   y     13    13  ;0 ,  ;4  V y h có nghi m  x ; y    2    Bài 17: i u ki n x, y  t a  x , b  y  a  0; b   h cho tr thành:  a  b2   a  a  b  8b  a  b2     2 2   8b a  b   a a b 2 3   a b   a  b    3b  ab  8a b  4a  5  Do a  nên ta có th chia hai v c a ph ng trình th hai cho a , ta đ c:  a  b2   a  b2       b 3  b    b  b  3b  b  3            a   a   a        a  a a  a  b2   a  b2  (1)    b b b 2         b  2 a  b  a  b  a a a a  +) N u b  2a Lo i a  , b  3     +) N u b  a Lúc a  b  , trái v i ph ng trình (1) (lo i) +) N u b  a Thay vào ph ng trình (1) ta đ c a   a   x  Lúc y  x     V y nghi m c a h  x ; y    9;4  Bài 18: i u ki n: x , y  Bi n đ i h v h đ ng c p b c hai:  x2  xy  y2  2 2   x  xy  y   x  xy  y  20  x  y     2 y  x  5 xy  20 x2  25 xy  10 y2  20   x   y xy  16 x2  29 xy  y2     x  y  16 x  y      2 x xy y        x  xy  y  H V n Diên – THPT Thái Lão – Tài li u v h ph ng trình ThuVienDeThi.com Trang 13 3 y  x  16    II    5 y     x  2y  y 1  y  1    D th y (II) vơ lí Gi i h (I):  I    x   x  2 5y  3 y   x  2y  x  2y  x  16   I    5y    x  xy  y  V y nghi m c a h  x ; y    2;1  ,  2;   Bài 19: Nh n xét r ng x  ch y  V y h có m t nghi m  0;0  Tr ng h p x, y  Nhân chéo v theo v nh sau: 2 2 2 2  y x2  y2  3x    20 y x  y  3x x  y  x  17 x y  20 y     2 2 2 10     x x y y y x y x    y x  y  x   x2  y2   I  2  x2  y2 x2  y2    y x  y  3x    2   x2  y2   y x  y  3x   II   2   y x  y  3x  Gi i h th nh t:   x  2y   y2   y 1     2   y3  x  y2   x  y  y  y   x  2y x       I     2  x  2 y    y  1   x  2 y  x  2y  y x  y  3x    y  1    y3   y   x  2 y   x  2   Gi i h th hai:   5  x  y 2   x y x  y  3    II     y x2  y2  3x  y3  x  4y  x       5 x  y  y   y   3      (H i t t, gi i h khơng khó)  125 125  y2   x   x      27 27   125   125  ; ,   ;   V y nghi m c a h  x ; y    0;0  ,  2;1  ,  2; 1  ,  27 27 3   Bài 20: i u ki n x x  y                            ta 6x x y  a   ph ng trình th nh t tr thành: H V n Diên – THPT Thái Lão – Tài li u v h ph ng trình ThuVienDeThi.com Trang 14 a   2a  5a   a   a  (tho mãn) a 2 6x   x  y Thay vào ph x y +) a   ng trình th hai, ta có: y  y2   y2  y   , vô nghi m    63  +) a   6x   y  23x Thay vào ph x y ng trình th hai ta có: 24 x  23x2   23x2  24 x   , vô nghi m  '   63  V y h ph ng trình cho vơ nghi m Bài 21: T ph ng trình th hai c a h , ta đánh giá đ c x, y   1;1 Ta có:     3 2  x3  x  y3  y  x  y   x  y     x  y  x  y  xy   x  y      4 x y    x  y   x4  y2         x  y  x2  xy  y2    x  y x , y   1;1   x2  y2  xy      x  y   x4  y2  x  y x  y x  y x  y       1    1   1    x x   x x    x   2     1 1   1 1  ,   ; ;  V y nghi m c a h  x; y     2  2     Bài 22: i u ki n  x  32 C ng v theo v hai ph ng trình c a h cho, ta có: x  32  x  x  32  x  y2  y  21 ánh giá hai v c a ph ng trình nh sau: +) VP  y2  y  21   y    12  12   D u b ng x y y  +) ánh giá v trái b ng b t đ ng th c Cauchy – Schwart (Bu–nhi–a–c p–xki) nh sau:  x  32  x  12  12  x  32  x      VT  12   2 4 x  32  x   x  32  x  2.8     x   0;32   x  16 D u b ng   x y     x 32 x  T   ,    VT = VP  12  x  16, y       V y nghi m c a h  x ; y    16;3  Bài 23: Thay x  vào h th y không tho mãn  x  T ph x2  rút: y   * x Th vào ph ng trình th nh t c a h ta đ c: H V n Diên – THPT Thái Lão – Tài li u v h ph ng trình ThuVienDeThi.com ng trình th hai c a h ta Trang 15 2 2 x2   x2   2 x  2x  x   3x2  x   x    3x  x   x x  x x  x      x2  x2   3x2  x   x4  3x2   3x2  x   x4  x2  x   x x    x      x   Quay l i th vào  *  , ta có: 2  x 2   x 1  x  2 +) V i x  2 y   +) V i x  y    y  1 5  y 2 5   V y nghi m c a h  x ; y    1; 1  ,  2;    Bài 24: Thay x  vào ph ng trình th hai th y khơng tho mãn nên suy x   y   y y2  y  6   x x     x V i u ki n này, h t ng đ ng v i:  x  I y 2   y 5   y   5    x2  x x   y t a   y , b  h   tr thành: x x  a2   a 5  a  b  b   ba  b     2     a b     a  a   a  5a  12    a   a  3a       a2  b  a       b   a   a  3a    a           2     V i a  , b  , thay tr l i b c đ t:  y  2x 1  y x   y     y  2x x 1  x   x 1 x   1        y  y   x    x x    2  x  x   y   x     1  V y nghi m c a h  x ; y    1;2  ,  ;1  2  Bài 25: H cho t ng đ ng v i: 2 2  y  5 x  16 x  16  y  5 x  16 x  16   2        y x x y xy 16 16   y  y  xy  2   y2  5 x2  16 x  16  y  5 x  16 x  16   y y x        y   y  2x     H V n Diên – THPT Thái Lão – Tài li u v h ph ng trình ThuVienDeThi.com Trang 16  y  x  II   2   x    5 x  16 x  16  4  Gi i h  I  ta đ c  x ; y    4;0  ,  ;0     y  2x  x   Gi i h  II     y  x   y0   I    x    x     4  ;0  ,  0;4  V y nghi m c a h  x ; y    4;0  ,    Bài 26: Ta th y giá tr y  không tho mãn ph ng trình th nh t c a h  y  Lúc h cho t ng đ  x2   x y    y ng v i:  x y2  y  x2  x2  t x y  a ,  b  b   h tr thành: y a  b  a   b a   b b      (tho mãn)   1 a  2 a b       b b          b b x y  2 x 1  x  2   y  x   y  x  Tr l i b c đ t:  x         2 y2 y5   y 1   x  x 1  x  x2   V y nghi m c a h  x ; y    1;2  ,  2;5  Bài 27: Dùng phép th :  x3  y3   x  y  xy  x2  y2  xy  x3  y3   x  y  x2  xy  y2   2  x  xy  y   x2  xy  y2   x3  y3  x3  y3  x3  y3  x  2y  x  2y          2  x  xy  y   x  xy  y  4y  2y  y   y 1    y 1  y  1    x   x  2     V y nghi m c a h  x ; y    2;1  ,  2; 1  Bài 28: Bi n đ i h đ đ t n ph : 3 2   2 x xy y x xy y x y x y            7         2   x  y  x  y       x  y    x  y     x  y     x  y    x y x y   H V n Diên – THPT Thái Lão – Tài li u v h ph ng trình ThuVienDeThi.com Trang 17 t a  x y ; b   x  y x y  a  2  a    x  y   x  y H tr thành: 3a  b2  13  b   a b   a     a  b  3a    a   13 4a  6a    1  x   không TM   a    x  y    a   TM   a      b  x  y  b   a y   3 1 V y nghi m c a h  x; y   ;  2 2 Bài 29: i u ki n x, y  t a  x , b  2y  a ,b   h tr thành: 10    b   b  84a    10 a     b  84a  10  4     b  2a 4 2    b a  b b  84a    10 10 10    3  3     b  84a a 2 2 2   a a 84 b a   b  84a    b  2a  b  2a  b  2a  b  2a         1  661 10 2         132   44 a a  a a   88a a a    661    331  661  661   x    b  2a  x  a    132     8712 132        y  331  661  a  1  661  a    b   661   661    y      4356  66 2 66    331  661 331  661  ; V y nghi m c a h  x ; y     8712 4356    1 ng trình: xy    x2  x  y2  y   ánh giá hai v c a ph ng trình này:   1    xy     xy  +) VT  xy 3  3 y 1   8   x         Bài 30: C ng v theo v hai ph +) VP  x2  y2  xy   x  y  Mà ta l i có VT = VP nên d u b ng    x2  y2    0 đ ng th c ph i x y ra, t c là:   x  1   y  1   x  y   x  y H V n Diên – THPT Thái Lão – Tài li u v h ph ng trình ThuVienDeThi.com Trang 18 Th l i, ta th y r ng 1;1 nghi m c a h cho V y nghi m c a h  x ; y    1;1  Bài 31: Nh n th y r ng n u s d ng phép th b c c a ph ng trình nh n đ c s r t l n (c th b c 9, ta có th nh m đ c m t nghi m vi c ch ng minh ph ng trình b c nh n đ c (sau dùng chia b ng s đ Hooc–ne) s r t khó ch ng minh vơ nghi m) Vì v y v i s d ng ph ng pháp đánh giá:  y    x3  3x   y   x  3x   y     x    x        I   3     2 x y y  x  y  y    x    y    y     +) N u x  t    y   t    y  , mâu thu n nên lo i +) N u x  t    y   t    y  , mâu thu n nên c ng lo i n t +) N u x  thay vào ( I ) tìm đ c y  V y nghi m c a h  x ; y    2;2  Bài 32: T ph ng trình th hai ta đ t u ki n x, y   Ph ng trình th nh t c a h t ng đ  ng v i: e x  x  e y  y 1 Xét hàm s f  t   et  t  0;   o hàm: f '  t   et   e0   nên hàm s đ ng bi n  0;   Ta l i có   có d ng f  x   f  y   x  y Thay vào ph ng trình th hai c a h ta đ c:  log x  x  log 22 x  3log x  2  log 22 x  3log x     x  log x  2 V y nghi m c a h  x ; y    2;2  ,  4;4  Bài 33: Tr v theo v hai ph ng trình c a h cho ta đ c: x3  y3  x2  y2  x  y   x  y  x2  xy  y2   x  y  x  y           x  y  x2  y2  xy  x  y    x  y   x  y (do x2  y2  xy  x  y   Thay x  y tr l i h ta đ 1  x  y 2   x  2   y    ) 2 c: x y x y x y  x  y      1 2 y  1 y  y    y 1  2y  y  2y 1   y 1  y      1 1   1 1  ; ; V y nghi m c a h  x ; y    1;1  ,  ,  2 2    Bài 34: i u ki n x2  Ph ng trình th nh t c a h t ng đ ng v i: 2 y y  1 x  x2    x  x2   y2   y   y  y 1   (do y2       y2  y nên y  y2   ) T H V n Diên – THPT Thái Lão – Tài li u v h ph ng t : y  y2   x2   x ng trình ThuVienDeThi.com 2 Trang 19 K t h p   ,   ta đ x    y  x   x  ch : 2   x2  y2 2 y 1  x 1    2 2 2   y 1  x 1  x  x  x 1  y 1  y  x  x 1  y 1  y y  x  y x  y   x   y     2 2 x2   y2   y  x  x 1  x 1  x  x  x 1  x 1  x   x2   y2   y x  y x y   x   y (lo i x  y  x2  )  x   x  y V y x   y Thay vào ph ng trình th nh t c a h th y tho mãn thay vào ph ng trình y 35 th hai c a h ta đ c y      D th y r ng y  (vì n u y  v trái 12 y 1  x  y  d ng nên vơ lý) K t h p v i u ki n c n th c ta đ c y < –1 2 SUY RA 35 35  35  y y2   2   y 1  y    y    y 1  y 12 12  12  y 1   y 1    35  35  35 1225    35    y y   y2  y  y  y   y   y  12  12  12  144    2 35 1369  37  37  35 37     35   y2  y 1   y 1 y 1  y   y  0 12 144 12 12 12 12 12        35 49  35 25  5 5 35  3577    y2  y y  y  y  y    0 y  12 12  12 12  12  (T t ng đ u ph i xác đ nh r ng: không s gi i ph ng trình b c 4, có cách gi i mà) 5 5 tho mãn   Thay l i vào ph ng trình   ta th y ch có nghi m y  , y  5   5  V y nghi m c a h  x ; y    ;  ,  ;  4  3  Cách gi i khác: V i toán vi c l ng giác hóa s khơng cho k t qu đ p 35   Ph ng trình (1) đ c vi t l i thành: y  12 1 y      cos t  t   ;   ph ng trình tr thành: y    1 35 1 35 35   0      sin t  cos t   sin t cos t  cos t cos t sin t 12 12  cos2 t 12 n có th đ t t  sin t  cos t đ gi i ti p Bài 35: Nh n th y r ng ph ng trình th hai c a h c ý “nhóm” h s c a y2 nên ta có ý V i u ki n y < –1, ta có th đ t t ng đ a ph T ph ng trình th hai c a h thành b c hai v i n y2 ng trình th nh t suy ra: 3 y  x2    48 y  16 x2  144 H V n Diên – THPT Thái Lão – Tài li u v h ph ng trình ThuVienDeThi.com Trang 20 ... h ph ng trình ThuVienDeThi.com Trang (D th y ph ng trình   vơ nghi m V y nghi m c a h ph Bài 10: Xem ph Ph 1  1 x 1 1 1  x  2  x    1 ) ng trình  x ; y    2;2  ng trình th... khác: Cách 1: L y ph ng trình (1) nhân 2, sau c ng v i ph ng trình (2) đ h ng đ ng th c 16  y Cách 2: Có th rút x  , thay vào ph ng trình th hai gi i ph ng trình b c y3 Bài 15: i u ki n: x ... 16;3  Bài 23: Thay x  vào h th y không tho mãn  x  T ph x2  rút: y   * x Th vào ph ng trình th nh t c a h ta đ c: H V n Diên – THPT Thái Lão – Tài li u v h ph ng trình ThuVienDeThi.com