Tuyển tập 42 Hệ phương trình Ôn thi Đại học 201523330

H Ph ng Trình Ơn Thi Đ I H Tác gi : Nguy n Th Duy ThuVienDeThi.com www.MATHVN.com Tuy n t p 42 H ph ng trình ƠN THI Đ I H C 2015 Tác gi : Nguy n Th L i nói đ u : Cũng nh tiêu đ c a vi t , Đ I H C năm g m: vi t g m 42 h ph ng trình vơ t ơn thi Ph n I Các toán s d ng ph ng pháp nhân t , liên h p , n ph , hàm s Ph n II Các toán s d ng ph ng pháp đánh giá Ph n III Phân tích h ng hai tốn Kh i A Kh i B năm Toàn b toán d i s u t m m ng xã h i l i gi i tác gi c a vi t Nguy n Th Duy trình bày Hi v ng mong mu n b n có đ c nhi u ph ng pháp gi i h nh nh ng ph ng án đ i m t g p đ bi n tốn h ph ng trình tr nên đ n gi n hóa gi i quy t m t cách d dàng n I Các toán s d ng ph ng pháp nhân t , liên h p , n ph , hàm s x  y 2    x  y xy Bài tốn Gi i h ph ng trình  xy x  y    x  2x  x y  L i gi i Đi u ki n : x  y  ; xy  Ph ng trình đ u c a h ph x  y  ng trình đ c vi t l i thành :   2xy x, y    x y 1 2   0  2  xy x  y xy xy x y x  y  x y 1 x y 1 1x y   0 2 xy x y x  y  x  y   V i x  y  th xu ng ph ng trình hai ch’ng ta có       2 1 y  x  3 3x  4x      2 1 y  x  3 2  V i  x  y  x  y th xu ng ph ng trình hai ch’ng ta có    2x  x  x  y  V y h ph     x  0  x  y      x 1 x  y2  x   ptvn  y   2  1  2  1  ; ;  ;       3     ng trình cho có nghi m : x , y   3  x  y  3x  6x  3y   Bài toán Gi i h ph ng trình  x  y   x  y   x  5x  12y    L i gi i Đi u ki n : x  ; y  1  Ph ng trình m t t Th vào ph ng đ ng v i :        x  3x  6x   y  3y  x   x   y  3y  y  x  ng trình hai ta đ c: www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com x, y   www.MATHVN.com x  1 x   x   x   x  7x  12   x  1  x     x    x     x  x 1  x 6  x      x  4   x 2 2 x 7 3  2x   x   suy : x   Do x  nên  x 1  x 2 x 2  x 6 x 6 x 4     0     x 7 3  x 7 3 x 2 2  x 2 2 x 6  x 2 2     T suy x, y  2, nghi m nh t c a h ph Bài toán Gi i h ph ng trình  2   2x  xy  x   x  3y  y  x  y  ng trình  4x  y  4xy  6x  3y     x, y   2  L i gi i Đi u ki n : 2x  xy  x   ; x  3y  y  X lý ph ng trình hai ch’ng ta có y  2x  4x  y  4xy  6x  3y    2x   y 2x   y    y  2x   V i y  2x  th xu ng ph ng trình hai    4x  x   4x  x   3x   3x 4x  x   4x  x  1  4x  x   4x  x    4x  x   3x  x x x    2x 4x  x   3x    2  x  2 4x 4x  x   3x    V i y  2x  th xu ng ph    4x   4x  3x   3x  Ý ng trình hai 2 1 Do h ph ng trình có nghi m x, y  1, ;  ,   3 3  xy   x  y  y  xy  x  y Bài toán Gi i h ph ng trình   x  y  xy  x  x   t ng gi i t ng t tr          L i gi i Đi u ki n : x, y  ; xy  x  y Chúng ta có :  xy  x  y  cx  ng h p ta đ     x, y    xy     xy   x  y  y  xy  x  y   xy   y    x  y 0 x  y  x y y  xy    0  0   x y xy  x  y xy   y  x y xy   y  xy  x  y   4   x   x   T ph ng trình hai y  xy  x  x  2  x 1 x  1  www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com     x  y y  xy         www.MATHVN.com y  xy  Hay nói cách khác : y  xy     xy  x  y Do t ph V y h ph    x  y xy   y ng trình m t x  y  suy th xu ng ph ng trình hai ta đ 0 c: x  y  x  y      17   x y x  2x  3x    ng trình ban đ u có nghi m k  x  xy   y    2y  Bài toán Gi i h ph ng trình  2  x  y  y    L i gi i Đi u ki n : xy  1 ; y  2  C ng chéo theo v c a h ph   ng trình ta đ c:  x   xy   y    2y  x  y 2 x, y       y  1 2  x   xy   y    2y  x  2y  2xy  2y  xy   y   y  xy       xy   y   xy  y      xy  y    xy  y    1   xy   y   xy   y    V i xy  y  k t h p v i ph ng trình hai ch’ng ta có xy  y       xy  y   2    1    ;   1,  x  y  y    x , y  2,1 ;  1  2,  2 2    xy  1 ; y  2     V y h ph      ng trình ban đ u có nghi m k    2y  4xy  3y  4x   y  y  2x  Bài toán Gi i h ph ng trình   y   y  2x  y  x    L i gi i Đi u ki n : y  ; y  2x Bình ph Ph ng ph ng trình hai ta đ ng trình m t đ c: c vi t l i thành : 2y T hai u suy :    x, y   y  1y  2x    y  1y  2x   14  3y   4x y  1  y  1y  1y  2x  y     y 1  y   2y   y    2y  3y    y  y   y 1      41   23  Do h ph ng trình cho có nghi m x , y   ,  ;  ,    72   24           x  3y  x  y  2x 2y    Bài toán Gi i h ph ng trình  x   x  y  9y    L i gi i Đi u ki n : x  y ; 2y  www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com x, y   www.MATHVN.com a  x  y 2x  2a  b      x  y  a Đ t b  2y     x  3y  2b  a  h ph ng trình tr 2y   b a, b  x  9y  a  4b      2 2   a  2b  a  b  2a  b  a  2b      2 2 2 a b a b a b       a a b         x  y  x  Do suy  nghi m nh t c a h ph ng trình   2y   y 1      y 1 x y  x y 1 y  x 2  Bài toán Gi i h ph ng trình  x, y  x y2   y x              L i gi i Đi u ki n : x  y  x  Ph       ng trình m t c a h ph     ng trình tr thành :   a  a  b  a  b2   a  b  a  b   ng trình hai c a h ph ng trình đ c vi t l i thành :    x y    y x   x y   16x y   64  y x    x  2x y   y    x  y  a x b  V i x  V i  x x  y2     1 y ta có :   y2  x  1 ta có :   V i a b    K t h p v i u ta đ  ng trình m t đ x  y  x  4,       y  3, y   y2   y2      y  1  x     y2  y   x  y  y   ph      9 7  2 2 ng trình x, y  3,1 ;  , c nghi m c a h ph  x y  y  ng trình vơ nghi m  c vi t l i thành : x  y   x  y  2xy  x  y   2xy   1 2x y   x  4y    4x y   4y x   x  y  x  y   2y x   y  4x   T u k t h p v i ph ng trình hai đa đ  c:       x  y    x  y   2xy x  y   16  12 x  y  2 1 2  suy : x  y  4x  y   12 x  y   16   x  y  4   x  y  xy x  y   x  y 2 T x, y    Áp d ng b t đ ng th c Cauchy ta có :      x  y2   x  y  x  y  2xy   Bài toán Gi i h ph ng trình  2 xy x  y   x  y  4x y   4y x   L i gi i Đi u ki n : x, y  Ph a   b 1   a  x  y  Đ t  a  b  x ph b y   b   thành : www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com www.MATHVN.com 2x  y    D u = x y ch 2y  x   x  y  nghi m nh t c a h ph x  y     x  y  2y   x  y  Gi i h ph Bài toán a  x  y  Đ t b  2y    T cách đ t, ta có : x, y   ng trình  y   xy  y    L i gi i Đi u ki n : x  y   a  b  x  y  ph ng trình  ng trình m t tr thành : a  b  a  b  a  x  y x  y  a     a 2b  a  b  x  y   x  y 2y   2xy  2y  2y   y b    b  2y       M t khác , t ph ng trình hai 2xy  2y  2y  nên suy a 2b2  a  b  Do ta có h ph ng trình a  b  a  b  a b 1  a  b  a 2b     x y  Gi i h ph Bài toán x  nghi m nh t c a h ph  y  ng trình   ng trình ban đ u  y  y x  y   x  xy  y  x 2y  3x   2x  3x    x, y   y 1   L i gi i Đi u ki n : x  y  a  x  y  ph b  y Đ t    ab a  b  ab  a  b  ng trình m t tr thành :        ab a  b   a  b  a  b   ab  a  b  V i ab  a  b  ta có : y  xy  y   x  y  y  xy  y   x  x y   y  y     x  y   Đ tt  y    y  t  th xu ng ph    ng trình hai ch’ng ta có x x t   3x   2x  3x t   t  x  t  x     x      TH1 V i y  th vào ph        y   1  y 1 1    ng trình  ta có :       y 1   y 1   y  y  1  y   1    y     y    y    vơ nghi m VT  y  1  y 1 1   y 1 3  ng trình  ta có : x  ho c x  TH2 V i x  y  th vào ph    V y h ph  y 1 2       ng trình cho có nghi m x, y  1,1 ; 2,1  www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com www.MATHVN.com   y  y  x  y  2y   Bài toán Gi i h ph ng trình  y  y  y   2y  y x  y  y 2x    L i gi i Đi u ki n : x  y Khi ph ng trình hai có d ng :  X lý ph y y x y  c: y  1 x y    y  y   2 x  y ng trình hai suy x     y 1  y 1 V i y  1 th xu ng ph  x, y    y  y x  y  y y x y 2    y  y x  y  2  ng trình m t ch’ng ta đ y  1 y  V i y  y   2 x  y ta có :  H ph H ph y  y   2 x  y y  y   2 x  y  ng trình   y  y2  y   2y  2y x  y     y  y   2 x  y y  y   2 x  y   ng trình   y  y  3y   2y  2y x  y  4       K t h p v i u ki n, nghi m c a h ph   ng trình ban đ u th a mãn u      x 1 x y  x y 1 x   Bài tốn Gi i h ph ng trình  x  2x  x  xy  xy  y  17    L i gi i Đi u ki n : x  y x  a  x  y  Đ t b  x M t khác ph ph ng trình hai đ  x, y      ng trình m t tr thành : a b   b a   c bi u di n d i d ng :    a  b  21   ab a  b   a  b   Khi h ph ng trình cho t ng đ ng  ab    a  b   21  2ab   t u  1  ut  t  t  a  b    u    Đ t ta có :  u    t  21  2u t  u  ab  u    t  21  2u    x  xy  2  2x  y  21  ab  2 V y nên x  y , x nghi m c a ph ng trình X   X  3X     X  D a vào u ki n k t lu n h ph 2 2 2   x  x  or   y  3 y       x  3y  3x 2y  xy  x  3y  Bài toán Gi i h ph ng trình  2x  3 3x  36y   x 27y  x   L i gi i Đi u ki n : x, y  Chúng ta có :    ng trình ban đ u có nghi m x, y  1, 3 ; 4,  www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com x, y   www.MATHVN.com    x  3y  3x 2y  xy  x  3y  x  3y x  y  x  3y      x  3y x  y    x  3y  x  9y  x  27y Th vào ph 2 ng trình hai ta đ 2 c:  3x  4x   x  2x  x  3x  3x  x   x  2x  x  x  x     x  3x       Do h ph   x  2x  x  x  3x     x  2x  x        x  3x  x   x  2x  x  x ng trình có nghi m : x, y   1,   x  2x  x  x     x  x2  x     x2   ptvn   x  x2  x    x 2x  y  y 16  2x  Bài toán Gi i h ph ng trình  x  y  x   x  y  11    L i gi i Đi u ki n : x  ; x  y  11   Ph ng trình m t cho tr thành :   2   1  1   , ,  ;   ;   3 3  3 3       x, y      2x  x 4y  16y  2x 2y  x  8y  x 2y x  2y     x  2y x  2x y  4y V i x  2y th xu ng ph 2   x y x 2   2y   x  2y ng trình hai ch’ng ta có x  2x   x  x  2x  22 x   x  2x   x   x  2x  22      x 1 x   x 1 x 1  x  1x  3 x  2x  22  0 M t khác : x 3 x 3    x 3 x  2x  22   x 1 x  2x  22  x  2x  22  Do x   y  nghi m nh t c a h ph ng trình  2   y  2x  y  x  x  xy  Bài toán 16 Gi i h ph ng trình  x  y  2xy  3x      L i gi i Đi u ki n : 2x  y  Xét ph ng trình m t , ta có : y  1 2x  y  x  y  1  x   M t khác , t ph     x  xy   y      x 1  x  x, y     2x  y  y  x   x  y  2x  y  x   2x  y ng trình hai 3x   x  y   x   2x  y    x  hay x   2x  y  suy  x  y y   x   2x  y  x  y  2x  y   x  y  2xy  2x  y   www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com www.MATHVN.com  K t h p v i ph x  y  2xy  2x  y x   c : x  y  2xy  3x     y 0 x  y ; 2x  y   ng trình hai ta đ     V y x, y  2, nghi m nh t c a h ph Bài toán 17 Gi i h ph   ng trình ng trình ban đ u    y 1 x2   y     2   x  4y x    x        x  x, y     y     L i gi i Đi u ki n : x  ; y   a  x   x  a   h ph ng trình cho tr thành :    y b    b y     2 3   a b b  ab  b  ab  b     a  4ab   5a 2b a  4ab  3ab  3b  5a 2b a  4b  a   5a  ab        ab  b    a  b a  3b  a  3b a        2 ab  b  ab  b  b   a  7ab  5a b  3b        x2    a   x  10 ta có  V i   x, y  10, ;  10,  b   y 1   y      Đ t                    x, y   x x  y  x  y  2y 2y   Bài toán 18 Gi i h ph ng trình  8x  8y  x  y   8y 2x  3x    L i gi i Đi u ki n : x  y  ; y  T ph ng trình m t có :        x x  y  x  y  2y  2y  x  xy  2y   x  y  2y  x  y   x  y x  2y  0 0  x  2y  x  y  2y    x y y  M t khác v i u ki n : x  y  ; y  x  y  y   nên  vô nghi m x  y  2y V i x  y  ph ng trình hai tr thành :    x y    8x  8x   8x 2x  3x   x  2x  3x     2x     13 x   x      13  13      ; ; ;  ng trình ban đ u có nghi m : x , y       4     2 2x  3x     2 2x  3x   4x   V y h ph       www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com www.MATHVN.com   x y  x 1  x 1 x y ng trình  x  x   y  y x   Bài toán 19 Gi i h ph    L i gi i Đi u ki n : x  ; x  y  x   Đ tt  x    x  t  ph x, y   ng trình m t tr thành :   t2  t  y   t2  t   y2  t2  t  y   t   t2  y2    t t y 1 t 1 T ph   t t y 1 t 1 ng trình hai có :    x    y2  y  c: 1 y t Do suy đ ta có : y  t  y  y t   y t y t     t t y 1 t 1     y t y t  x    y  y   y  0;1  y  t   t  t  y   t   hay nói cách khác t ph x  th xu ng ph ng trình hai ng trình m t y  x   y  x     5 1  ,   x, y  1, ;    2   y  2y    y   y  y y       Do v y h ph        ng trình có nghi m k    y  y   3x  x  x   Bài tốn 20 Gi i h ph ng trình  x  y  x  y  2y      L i gi i Đi u ki n : x  y ; x    x, y   a  x  y  a  b  2y ph ng trình hai tr thành : b  x  y  a  b  a  b    a b   b  5b  Đ t           a b 1  b 1 b   a b   x y   x y M t khác xét ph ng trình m t có :  y3  y  x    y    y3  y   y3 Do h ph    x 2 3 x 2 2   3 x  2  x   x   1   x   1  y  x   x 2 3 ng trình ban đ u tr thành : 2    x  y   x  y x   y   x   y   y 1 y   y 1 y 2    y   x   x   y    x 2  y 1    2 y  y   y  3y  x    y  y   y  3y  y      x 2  y 1  y   x   y    x   y     K t h p v i u ki n , h ph Bài toán 21 Gi i h ph         ng trình có nghi m nh t x, y  3,   x y   x x  y  4x  9y  16  9xy  7x  9y   ng trình   L i gi i Đi u ki n : x  y  1www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com x, y    www.MATHVN.com a  x  y  Đ t  a  b   x ch’ng ta có pt  a  b a  b   b  y 1   V i u ta đ t a 2b  xy  y  y  x m t khác t ph ng trình hai ta có       4x  16x  16  xy  y  y  x  x     9a 2b 2a  2b   3ab 2x   3ab   2 2a  2b   3ab  2x   3ab  Nh v y h ph ng trình cho tr thành :       2 2    a b a b 1   a b a b 1  or   2a  2b   3ab 2a  2b   3ab      Gi i hai h b ng ph ng pháp n ph cho ta nghi m c a h ban đ u : x, y  2, ; 2,1         y  8x   xy  12  6x   ng trình   x  y  10x  6y  12  y  x   Bài toán 22 Gi i h ph    L i gi i Đi u ki n : x  2 ; y  ; y  8x  X lý ph  x y ng trình hai ta có    10x  6y  12  y  x   x  y   x 2y   x 2y    2  x 2 2 2  y x 2  y V i y  x  th nên ph ng trình m t ta đ   10x  6y  12         x 2  y   x 2y  x 2  x, y     x 2 y x 2  y     x 2  y  0 y   y  x 2  c: x  4x  13  x  4x  12   x   y  S dĩ ph ng trình cu i d‘ng ph ng pháp đ t n ph ta s gi i quy t d dàng Do h ph     trình ban đ u có nghi m nh t x, y  2,   x y   y x   x 2y  16x  16y  12  20xy   Bài toán 23 Gi i h ph a  x   x  a    ph Đ t  y  b2  b  y 1      a Xét ph     ng trình m t tr thành :      b  b  a   ab a  b  a  b   a  b ab   ng trình hai  x y  16x  16y  12  20xy  xy  2 x, y   ng trình   L i gi i Đi u ki n : x, y  ng         16 x  y   16xy  xy        16 xy  x  y  M t khác : a 2b  x  y   16 xy  x  y   16a 2b nên ta có : xy  2 Cu i c‘ng ta đ V y h ph c h ph     16a 2b  xy   4ab  a  b    4ab a 2b  a  b  4ab   ng trình   a  b ab     ng trình có hai nghi m k   a  0, b    a  1, b  www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com          x, y  1,  x, y  2,1  Bài toán 24 Gi i h ph www.MATHVN.com ng trình     2x  y 4x  2y   x 2y  xy  x  y  7x   x  y  x  y  xy  yx    x, y     L i gi i Đi u ki n : x  y ; xy y  x  T ph ng trình m t ta có :   4x  y  2x  y  x 2y  xy  x  y  7x  x  2y  2x  y  x 2y  xy  x  y  2      x  2y  2x  y   x  y y  x     x  y    x  y y  x   y  x    x  2y  2x  y  x y  x  y y  x  2 2   2 x  y  y2  x   x  y  y2  x  x  y   x  y  y2  x   x  y  y2  x   x  y  TH1 V i x  y  th xu ng ph ng trình hai ta có x   x, y  0, ; 1, 1 2x  2x  x x     x    TH2 V i y  x  th xu ng ph       ng trình hai ta có  2x   2x  2x   x  x  ptvn Ph ph ng trình d dàng ch ng minh vơ nghi m b ng ph ng trình cho có hai nghi m k    x  7y  ng trình  2  y Bài toán 25 Gi i h ph  L i gi i Đi u ki n : x  Ph  y x y Đ ta    y  7x  x x y x y ;b  y  x  y  7x   y  2xy x  y    x  2x   2x   y  8 2 x, y   x y y x y x 6  6 8 y x y x x y x y  a  b  ta có x 2   a  b  a  b   a b    ab a  b  a  b  2ab a b      V i x  y  x  th xu ng ph ng trình hai ta đ c :  ng hai l n h 1 ; y  ng trình m t cho tr thành : x  7y    ng pháp bình ph  x y  y x y x y x x  2x   2x 2     x x x x x  2x  2  x  2x    2    2x  2x x  2x   2  x  2x  2x  x  2x    x  y    1x  V y nên h ph  x  2x   x  2x   x  2x       ng trình có nghi m nh t x, y     1,   www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com www.MATHVN.com     x  x  x  y  y2  y    Bài tốn 26 Gi i h ph ng trình  2 x  y   L i gi i Đi u ki n : x, y  Tr c h t x  1 nh n xét không nghi m c a h ph ng trình ta có x       x, y   x  x  y  y2  y    x  y  y2  y   x  x   x  x  x2  x   x 1  x  1 c : y  y2  y     ng trình cho x  ta đ Chia c hai v c a ph Rõ ràng đ n s x y hai tình hu ng :    x   x   x  a) N u x   có :   y  y  y         1  x  1  x  1  x  1    x  1 y  x  k t h p v i ph ng trình hai        x   1 x    y    2  x 1 y x    x    y  1  x  y    2   x  1 ng trình m t có :    y x   x 1  1 nghi m x, y    ;   ;   2  2      Bài toán 27 Gi i h ph    y 1       ng trình đ h ph  x 1 1  x 1 1    x x 1 2  x 2    x2  x   x    x, y    x 1 1  y  x 1   x  4x  x  4x  x     2 2  x  x   x  x  4x  x    x 0 6x  16x  16x   ng trình ban đ u có hai hàm s đ ng bi n t p xác đ nh c a t ng trình m t có :    f y 1  f  x  th vào ph  c vi t l i thành : S dĩ có u ta xét hàm s f t  t  V iy  0 xy   2y  x x  4y   ng trình  y  x y   y2  x     ng trình hai c a h ph y 1   ; 21 1       L i gi i Đi u ki n : x  4y  ; x   Ph    c x 1 y  x ng h p x   ta s kh ng đ nh đ b) V i tr Tóm l i t ph   x   suy  x  1 f y  f  Đ n xét hàm s f t  t  t  t  hàm s đ n u  www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com  Do h ph www.MATHVN.com     ng trình ban đ u có nghi m nh t x, y  0,1  Bài toán 28 Gi i h ph  4x  2 2x   4x  2x y  2y  x ng trình  3    2y  x  2x  x   2x    L i gi i Đi u ki n : x  ; x  V i u ki n x  ph  x, y   1 ; y  2 ng trình m t tr thành : 4x  2x   4x  2x y  2y  x     2y  2y   x x x 3 1          2y  2y x x x x 3  1  1           2y   2y  x  x   2       Đ t a  1 ; b   2y ph x   ng trình  đ  c vi t l i thành :     a  a  b  b  a  b a  ab  b     a  b      x  a  21 b   43 b2        V i   2y   th xu ng ph ng trình hai ch’ng ta có x  x 1  x   2y x  2x  x   2x  1   x  2x  x  x 2x  3   1 1 3 2  2                     x x x x x  x  x  x   L p lu n t    ng t nh ho c xét hàm s f t  t  t d dàng cho ta :   1 2 1 3 y      1    1    x  x x x x    1   ,  nghi m nh t c a h ph ng trình  K t h p v i u ki n suy x , y        x  1  2y  xy  xy  y x    Bài toán 29 Gi i h ph ng trình  x, y   2x  2 x   y  x 1      L i gi i Đi u ki n : x  ; y  Ph ng trình m t chia c hai v cho y x  ta đ      c: x x 1  2  y L y pt  pt có : www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com 2x x 1     3 www.MATHVN.com x  2x 2x x    2  2   y x 1 x 1 y x 1 x 2x 2x x      4 y x 1 x 1 x 1 y x 1 x x 4 x    x 4  0x 4 x 1 x 1 x 1  T d dàng tìm đ c nghi m c a h ph  ng trình ban đ u   x   y  x2  y   Bài tốn 30 Gi i h ph ng trình   x  y  6x  2y   y  x    L i gi i Đi u ki n : x  ;  y   Ta s x lý ph x, y    ng trình hai nh sau  x y   6x  2y   y  x    2x  4xy  2y  6x  2y   y  x   y x         x   2y x   y   x   y  y x       x 1y V i y  x   thay vào ph    x 1  y ng trình m t ta đ      y  x 1  c: x   x  x2  x      x   x  x    x  x  3x    x  3x  x 1 x  x  3x   x  3x   x 2 3x   1  x  3x     0 x 1 x x 2  x    x  3x    x  3 3 5 5 3 5 5 , , ;  ng trình có nghi m x , y       2         T suy h ph   n II Các toán s d ng ph ng pháp đánh giá      2x 2y  x 4y  x  2x  y  Bài toán 31 Gi i h ph ng trình :  1   x  y  x x  x  2y   L i gi i Đi u ki n : x, y   Vi t h ph L y ph    4   x y   2x  x  y ng trình cho l i thành :  1   x  y  x x  x  2y     ng trình hai tr cho ph     x y  1  x 2y   ng trình m t ta đ x, y    1 1 x y    c:    x  y2  0 x  y  x y 1 x y 1   www.DeThiThuDaiHoc.com   1 1 x y  ThuVienDeThi.com Th l i , suy x  y  nghi m www.MATHVN.com nh t c a h ph ng trình      y  4x   4x 8x   Bài toán 32 Gi i h ph ng trình  40x  x  y 14x     L i gi i Đi u ki n : 14x  ; y  Chúng ta có :      4x 8x   2y 14x   y  4x   40x  x M t khác theo b t đ ng th c AM GM ta đ x, y     c: 4x 8x   2y 14x     8x  1  2y 14x   1 8x    8x     y  14x  3   y  4x   40x  x  8x  2 2  y  4x   40x  x 8x           nghi m nh t c a h ban đ u  ;y   1      2xy  2y ng trình   2x x, y   x  2x  y  2y   Do d u = x y ch x  Bài toán 33 Gi i h ph   L i gi i Đi u ki n :  x , y  Tr       c h t ta ch ng minh b t đ ng th c : 1  2x  2y  2xy  1  2xy Th t v y , theo b t đ ng th c Bunhiacopxki có :  1     2x  2y    1    2   2    2y   2xy   2x  2 x  y 2xy  1    0 0  2x  2y  2xy  2x  2y  2xy  D u hai :  đ tđ       c ch x  y v y nhi m v cịn l i khơng h khó khăn v i ph ng trình   73  73    73  73   73 , , x   x, y   ;   36   36  36 36 36     ng trình cho có hai nghi m k      x  2x  x  2x  Do h ph  Bài toán 34 Gi i h ph x  2x   y  4y   ng trình  6x  y  11  10  4x  2x     L i gi i Đi u ki n : y  4y   ; 2x  4x  10  Áp d ng b t đ ng th c AM GM có : www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com x, y   www.MATHVN.com  y  6x  11  10  4x  2x  Rút g n ta đ   14  4x  2x 10  4x  2x 2 2 c : y  6x  11  14  4x  2x  x  10x  2y  15   Ti p t c cho ph  ng trình m t có : x  2x   y  4y   C ng v v i v c a hai ph y  4y   2x  4x  y  4y   ng trình ta có    3x  6x  y  6y  12   x   y  K t h p v i u ki n suy h ph  x   0 y  3   ng trình có nghi m nh t k  x  xy  3y  y xy   Bài toán 35 Gi i h ph ng trình  2x y2  1  1 y 1   x  L i gi i Đi u ki n :  x  ; y   Nh n xét y  không nghi m c a h ph ng trình nên có : x  x x pt      3 y y  y  x, y    x 1x y y 2  x   V i x  y th vào ph ng trình hai ta đ Theo b t đ ng th c AM GM : 2x  c: x2 1 2x  1 2x 1 x  v y ta đ 1 c:      25 x  2x 9 g x     x 1    x 1 5x 8 5x 1 2x 9  g x g x   x 1   x 1  8 D u = x y x  suy x  y  nghi m nh t c a h ph ng trình  x2             Bài toán 36 Gi i h ph    y  24 0 x  x   y  ng trình  2y   5x  y    x  y    x, y    L i gi i Đi u ki n : x  ; 5x  y   ; 2y  ;  x  y Đ tt  x   tr t   c h t ta có đánh giá sau   t  4t  4  t  4t   2y      2y    2y     2y      Ta vi t ph 49 49  y  4  y4 2y  2y   y    49  2y    y   49  y   y    49 5t  y  y  t  , theo b t đ www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com ng trình hai l i thành : 2 ng th c Bunhiacopxki ta có :  www.MATHVN.com     1   5t  y  5t  y  y  t 5y  5t      6y  36  5t  y  y  t  5    2     5t  y  y  t t  x  nghi m nh t D u đ t đ c ch :    y 5 y 5 y 5       c a h ph ng trình ban đ u      x2   x 3 x, y   Bài toán 37 Gi i h ph ng trình   x y 4y  3x   5xy  5y   L i gi i Đi u ki n : x, y  S d ng đánh giá cho ph ng trình m t :      2    2x   2x  x2     x     2x   x y x y  x y 4 x y    x y 2            x2   x  x  y   2x x  y     x   2x  x y x y 4   x  xy  4x  3x  3y  12  2x  2xy  8x    x  xy  x  3y    Ph     *  * *  ng trình hai đ thu n ti n đánh giá đ a thành 5xy  5y  4y  3x      L y * *  * suy :  x  xy  x  3y   5xy  5y  4y  3x    x  2y     x  2y  V i u ki n đ b t đ ng th c x y x  y  nghi m nh t c a h ph  2  x 1 2 x y   x  y4 Bài tốn 38 Gi i h ph ng trình  x  x  3y    L i gi i Đi u ki n : x, y      Áp d ng đánh giá c a b t đ ng th c AM GM ta có : x  y Do t ph x  y2 Bình ph  ng trình m t ta có :    x   7    x  y2   x  y2 2 x y ng ph  y2   x, y   2  ng trình    x y x  y2   x  y2    x  y2    x  x   2 2 x  3y  x  6x   y   2x   ng trình hai x  x  3y      K t h p v i đánh giá x  y   x  2x    x  0x 1 Đ i chi u v i t t c u ki n đ d u = x y suy x  y  nghi m nh t c a h ban đ u       x   y  x 2x   Bài toán 39 Gi i h ph ng trình  3x  x   y x  x   L i gi i Đi u ki n : x, y  H ph ng trình cho t ng đ ng v i : www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com x, y     x   y  3www.MATHVN.com  x   y  x 2x  x 2x      2 5x  x   2y x  x 3x  x   y x  x              Áp d ng b t đ ng th c AM GM có : 2x   4x  2x   2x   x  2x   y   2x  4x   2y  2x   2x  6x   2y  Và t ph   2.4x 2x   ng trình hai ta có u sau :   5x  x    2y x  x  y  x  x  5x  3x   y     Do v y 5x  3x   y  2x  6x   2y   2x  nghi m nh t c a h ph ng trình  Bài tốn 40 Gi i h ph ng trình  2x  4y  4   xy  x   xy          ng đ ng v i : 2x  xy  4y  2    2x  3y  x x  y  y   4xy  4y  2x  3xy  Ph ng trình hai đ   x, y    3x  2y   2x x y   x  y  ng trình m t c a h cho t  y  2 0x  2 3    x y 1 y x   L i gi i Đi u ki n : x  ; y  3  Ph 4xy  4y  2x  3xy  2x   3xy xy  y  0 c vi t l i thành :  x  x y3    2 x y 3  x  y 3  x y 3      x y 32 x x y 3  x y 3       x  y3 K t h p hai u suy x, y  4,1 nghi m nh t c a h ph n III Phân tích ý i A.2014 Gi i h ph ng hai toán kh i A B năm   x 12  y  y 12  x  12  ng trình  x  8x   y     0 ng trình  x, y    L i gi i Nói chung m ng xu t hi n nhi u l i gi i cho nh ng vi t c a riêng tơi nên tơi s đem nh ng mà ph i đ i m t v i câu h phịng thi Và hi v ng có ích cho b n đ c bi t Tr c h t , nhìn câu h ph i m t t i 1,2 phút đ nh h ng c n ph i làm Các b n v y dành vài ph’t đ nháp Vi c quan tr ng đ u tiên tìm u ki n c a toán : x  12  2  x  ; y  m t công vi c nh nhàng cho ta m đ u tiên Ti p theo ta nên làm quan sát t ng ph ng trình rõ ràng ph ng trình hai khơng h có m i liên h nên tơi tìm h ng ph ng trình m t Đây m t ph ng trình đ i x ng s đ ng th i nh hai bi n x, y đ u có s xu t hi n x , x y , y nên n u đ t z  y ph ng trình m t tr thành : x 12  z  z 12  x  12 www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com Đ n tơi nghĩ đ n ý t ngwww.MATHVN.com c a b t đ ng th c AM GM mà khơng quan tâm u khác đ c bi t u ki n đ dùng b t đ ng th c  x  12  z 2 12 x z    x  12  z z  12  x  2 12 12 x z z x        12  2 12 z x   2 z 12  x    D u = s x y ch : x  z  12  y  12  x th xu ng ph ng trình hai ta có x  8x   10  x Đ n l i khai thác m t nh ng k gi i h ph ng trình nh m nghi m Rõ ràng u nghĩ đ n ph i m t s ph ng kinh nghi m thi Ta c n x lý cho 10  x m t s ph ng V y có th x y hai tr ng h p sau : x  ; x  th l i giá tr c a bi n s th y x  th a mãn nên s nghĩ đ n vi c liên h p nh sau x  8x   10  x  x  8x         x  x  3x     x 3 x 3  10  x  1 0 10  x   2x    x   x  3x      10  x    ng trình cịn l i s vơ nghi m : x  3x   nh ng đ suy vơ nghi m chí Nên ph tơi c n u ki n x   nh ng b c đ u tiên làm ch có : x   nên làm c a tơi đ n có v n đ V n đ ch u ki n ch t c a x ki m tra l i d u h i đ c đ t cho tơi : Ch a có x  mà có th áp d ng b t đ ng th c AM GM n u ch ng minh đ c x  tơi g n nh hồn thành toán Th t v y :     y  12  y 12  x  12  x 12  y  12  y 12  x   x  V y m i chuy n coi nh xong Trình bày vào gi y thi c n th n Tơi đ tốn     c m tr n v n cho   L i gi i Tr  1y x y x   x y 1 y  x, y  2y  3x  6y   x  2y  4x  5y    c h t , ta nên tìm u ki n c a tốn x  y  ; x  2y ; 4x  5y  Đ ý ng trình m t xu t hi n hai th c i B.2014 Gi i h ph ng trình    Ti p t c ta s phân tích tốn Quan sát t ng ph ng trình m t nh n th y s đ c bi t ph ng trình hai Nó khơng q r c r i nh ph ng trình hai nên tơi hi v ng s tìm đ c u ph x y ; y nên ý t ng c a s đ a a  x  y  nh ng ph c t p v đ n gi n qua phép n ph phá th c Đ t  m t m đáng b  y ý h ng t x đ ng m t nên tơi s đ a m i liên h gi a a, b v x th t tình c ta có đ c : a  b  x ph ng trình m t đ 1  b  a  a 2 c vi t l i thành :    b   a2  b Oh, m t ph ng trình hai n a, b có s đ i x ng rõ ràng nên ta s ti p t c tìm nhân t khám phá m i quan h gi a a, b Đ làm công vi c nghĩ r ng ki u có d ng : b  ma  n nên v i m i a  b s tìm đ c m, n Đ u tiên đ n gi n ch n a  hay b  th t tình c l i đ c u đ’ng Ak ph ng trình s đ c vi t d i d ng : a  1b  1 f a, b   nh   ng ch a bi t f a, b nh th c Và d a ph www.DeThiThuDaiHoc.com ThuVienDeThi.com ng trình ...www.MATHVN.com Tuy n t p 42 H ph ng trình ÔN THI Đ I H C 2015 Tác gi : Nguy n Th L i nói đ u : Cũng nh tiêu đ c a vi t , Đ I H C năm g m: vi t g m 42 h ph ng trình vơ t ôn thi Ph n I Các toán s...  m t công vi c nh nhàng cho ta m đ u tiên Ti p theo ta nên làm quan sát t ng ph ng trình rõ ràng ph ng trình hai khơng h có m i liên h nên tơi tìm h ng ph ng trình m t Đây m t ph ng trình đ... ng trình m t xu t hi n hai th c i B.2014 Gi i h ph ng trình    Ti p t c ta s phân tích tốn Quan sát t ng ph ng trình m t nh n th y s đ c bi t ph ng trình hai Nó khơng q r c r i nh ph ng trình