Tuyển tập 100 hệ phương trình luyện thi đại học (Phạm văn Quý)

www.VNMATH.com TUYỂN TẬP 100 HỆ PHƯƠNG TRÌNH LTĐH NĂM HỌC 2014-2015  NHÓM GIÁO VIÊN THỰC HIỆN 1) PHẠM VĂN QUÝ 2) NGUYỄN VIẾT THANH 3) DOÃN TIẾN DŨNG ĐƠN VỊ CƠNG TÁC: TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG, TX ĐỒNG XỒI, TỈNH BÌNH PHƯỚC  x 12  y  y(12  x )  12 (1)  (x, y  R) Bài Giải hệ phương trình:   x  8x   y  (2)    2  y  12 2  y  12     Điều kiện :   12  x  2  x        Giải Cách 1: Đặt a  12  y , a   y  12  a PT (1)  xa  (12  a )(12  x )  12  122  12x  12a  x 2a  12  xa  xa  12   12  12x  12a  x 2a  122  2.12.xa  x 2a   xa  12    12x  2.12xa  12a    xa  12    (x  a )2    Ta có (x – a)2 =  x = 12  y (*) Thế (*) vào (2) : (12  y ) 12  y  12  y   y   (4  y ) 12  y  y    (3  y ) 12  y  12  y    y    (3  y ) 12  y  y 12  y   2(3  y ) 1 y 2 0 y       0(vô nghiệm)  12  y  12  y   y   www.VNMATH.com (ĐH khối A – 2014) www.VNMATH.com x   Vậy   y    Cách 2: Ta có x 12  y  (12  x )y  x Dấu “=” xảy  12  y x   12  x 12  y  y   12 12  y   x y  (12  y )(12  x ) (3) y Khi (1) tương đương với (3) x  x  x         x 2y  144  12x  12y  x 2y 12y  144  12x y  12  x (4)       (3)    Thế (4) vào (2) ta có (2)  x  8x   10  x  x  8x   10  x     x  8x    10  x       x  3 x  3x    x  3 x  3x    (10  x )  10  x  x2 0 0  10  x  2(x  3)   x  3 x  3x   0   10  x  x     2(x  3)  (vô nghiệm x  0) x  3x     10  x x 3y 3  x  Vậy   y    Cách 3:     Đặt a  x ; 12  x ;b    a  b  12 2 2  12  y ; y   (1)  a  b  2a.b    a  b  x  12  y (2)  x  8x   10  x  www.VNMATH.com    x  3 x  3x   www.VNMATH.com 3  x 3  x  10  x  x y 3 x   3x   10  x   3  x     Đặt f x   x  3x  1 10  x   3  x  f ' x   x   phương trình vơ nghiệm Vậy nghiệm hpt trên: (3;3) (1  y ) x  y  x   (x  y  1) y   Bài Giải hệ phương trình:  (ĐH khối B – 2014)  2y  3x  6y   x  2y  4x  5y     Giải   y   x  2y Điều kiện:   4x  5y     Phương trình thứ viết lại thành (1  y ) x  y  (1  y )  (x  y  1)  (x  y  1) y y  y 1 (1  y )(x y 1)   (x  y  1)   x y 1 y 1 x  y  TH1 : y  thay xuống (2) ta có  3x  x   4x   x  3(TM ) TH2 : x  y  thay xuống (2) ta có 2y  3y    y   y  2y  3y    y   2(y  y  1)  (y   y )      0  (y  y  1) 2       y  1y    y 1 x  Vậy hệ cho có nghiệm : (x ; y )  (3;1),( 1 (TM ) 1 1 ; ) 2 www.VNMATH.com www.VNMATH.com y(x  2x  2)  x (y  6)  Bài Giải hệ phương trình:   (y  1)(x  2x  7)  (x  1)(y  1)    Giải ĐK: x , y  R 2 b(a  1)  (a  1)(b  6)  a  x     (a  1)(b  6)  b(a  1) (*) Đặt  , ta có hệ trở thành:     2 2 b  y   (b  1)(a  6)  a(b  1)    (b  1)(a  6)  a(b  1)(**)    Trừ vế theo vế hai phương trình thu gọn ta có: a  b (a  b)(a  b  2ab  7)    a  b  2ab    Trường hợp 1: a  b thay vào phương trình (*) ta có: a  (a  1)(a  6)  a(a  1)  a  5a     a  x     hệ có nghiệm (x; y) là: x 2   Trường hợp 2: a  b  2ab   2   5 5   Trừ vế theo vế hai phương trình (*) (**) rút gọn ta có: a    b          2 2       a  b  2ab    2 Vậy ta có hệ phương trình:       a    b           2 2      a  a  a  a      Đây hệ đối xứng loại I, giải hệ ta có nghiệm:  ; ; ;     b  b  b  b          Từ ta có nghiệm (x; y) là: (1;2),(2; 3),(1; 3),(2;2) Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: (1;2),(2; 3),(1; 3),(2;2)   x  12x  y  6y  16   Bài Giải hệ phương trình:  4x   x  4y  y      Giải ĐK: x  2;2 , y  0; 4 Ta có PT (1)  (x  2)3  6(x  2)  y  6y Xét hàm số f (t )  t  6t, t  0; 4 ta có f '(t )  3t  12t  3t(t  4)  0, t  0; 4  f (t ) nghịch biến  0; 4 Mà phương trình (1) có dạng: f ( x  2)  f ( y )  y  x  thay vào phương trình (2) ta có: 4x    x  x  từ ta có y = Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm (0; 2) www.VNMATH.com www.VNMATH.com x  y     Bài Giải hệ phương trình:   x  4x y   9x  8y  52  4xy    Giải §K: y  1 x   y    HPT     x  4x y   4xy  4x  13x  8y  52    x   y      x (x  y  1)2  13x  8y  52     x   y     x  2y  13     x   y       y 1  y    x   y      y    y  11y  24           x   y      x  y     y  y       y     x   Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm:   y     y  2x  y  x    1   Bài Giải hệ phương trình:  xy     xy  x  y     ĐK: x  0; y  0; xy  1  y  2x  2 , ta được: y  x  xy    y x   y  x    y  x  y  x thay vào 1x2   x   y  KL: hệ pt có tập nghiệm: S  1;1 www.VNMATH.com   www.VNMATH.com   2 x  y  x  y2     x  y   xy   xy xy Bài Giải hệ phương trình:     5x    y  5x  y     ĐK: x  ;  y  3 Đặt u  x  y, u  0; v  xy , v   u       2 2  u   u  1   u   u  2v     1  2u  3u v  uv  2v       v   v     v v        x  y  xy   x y 5x    x  3x     x  y thay vào 2 , ta được: 5x  5x       3x   x  1   3       5x     x 1 x 1 1x  x   y     1    VN  x   x 1  5x   KL: tập nghiệm hệ pt là: S  1;1   x  x   x  y  1 x     2x  11    3y  1       y y x y y   Bài Giải hệ phương trình:  x  x     1    y y2   ĐK: y        x y  x y  x y 1  y  x  x    x  y  1x  y   1                Hệ      x  y  x  x   4y  y  x  x   4y  y            KL: S  1;2  2 2 2   4x  3xy  7y  x  5xy  6y   3x  2xy  y Bài Giải hệ phương trình:   3x  10xy  34y  47    3x  2xy  y   ĐK:   4x  3xy  7y     www.VNMATH.com www.VNMATH.com Chuyển vế nhân liên hợp phương trình 1 , ta được:   x  y n     4    x  5xy  6y        4x  3xy  7y  3x  2xy  y x  6y     n  x   y  Với x  y thay vào 2 , ta được: x    x  1  y  1  y  47  x  6  82 Với x  6y thay vào 2 , ta được: 82y  47    y   47  x   82  47 82 47 82    47   47   47  47     ;    KL: S  1;1, 1; 1,  ; 6 ;6       82 82   82 82          www.VNMATH.com x  3xy  x  y     Bài 10 Giải hệ phương trình:   x  9y x  y  5x      x  3y  3x  3xy  Hệ   2  2   x  3y  3x y  5x     x   y    2 Thay 1 vào 2 , ta được: x 9y  15y    y   x   y   x  x          KL: S  0; 0; 1;                     x  2  y   4xy  13        Bài 11 Giải hệ phương trình:  x  xy  2y 2   x y    x y  x  y2   x  y     ĐK: x  y    x  2y     www.VNMATH.com VN www.VNMATH.com x  4xy  4y  4x  8y     x  y  x  2y  x  y  x  y     Hệ    2 x  2y  Ta có PT 1  x  2y   x  2y      l  x  2y  5 Với x  2y  thay vào 2 , ta được: 3y  1 y    3y  9y  6y  13y   y   x  thỏa mãn KL: S  1; 0   x  x  2y  x   2y  Bài 12 Giải hệ phương trình:   x  3y         x  2y  ĐK: x  2y Ta có 2  x   3y thay vào 1 ta được: 1  5y   5y  5y   y   x   thỏa mãn KL: S   3;1;  3;1   x2 y y  1 2    x2 1  y 1 Bài 13 Giải hệ phương trình:      x  4y x    x  1         x   y  1     x  1  x     ĐK: y       x 1  y 1     a  x  1, a   , ta được: Đặt:   b  y  1,b       b a  b    a  4ab  5a 2b     Nhân chéo hai phương trình giải hệ đẳng cấp ta đươc tập nghiệm: S  20y  3y  3xy  x  y   Bài 14 Giải hệ phương trình:   x  y  3y     www.VNMATH.com    10;2 ;  10;2 www.VNMATH.com 20y  y 3y  1  x 3y  1    x  y  3y    Hệ    Thế 2 vào 1 , ta phương trình bậc    3 1     KL: S  ; ;  ;         2   5       x  3y  x  3y   Bài 15 Giải hệ phương trình:    2y   2x  y  3x      ĐK: y  3y  x   3y  x    2  Ta có PT 1  x  3y  3y  x    y  l   6y  6xy       x  y   Với x  y thay vào 2 , ta được: y   x    2y   y  3y   y  6y  11y  8y    y   l   y    x      KL: S  1;1;  2;2       x  y  2x 2y x  y   Bài 16 Giải hệ phương trình:  y x  x2  y2   2   xy  3y  4x     ĐK: x y  Ta có PT 1  x  y     x  x 2y  y  x  y        x  y    2  2 x y x  y   x  y        Với x  y thay vào 2 , ta được: x   y   Với x  y thay vào 2 , ta được: y  1  x  KL: S  1;1; 1; 1 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 10x  5y  2xy  38x  6y  41    Bài 17 Giải hệ phương trình:    x  xy  6y  y  x      x  xy  6y   ĐK:   y  x      Ta có PT 1  10x  2x y  19  5y  6y  41  Tính Δ 'x  49 y  1   y  thay vào 1 x  thỏa hệ phương trình KL: S  2;1 x  y  x 2y  xy  2xy  x  y    Bài 18 Giải hệ phương trình:     x  y  x  2x  y    ĐK: x  y  y  x 1 Ta có PT 1  x  y  1 x  y  x  y     2 x  y  x  y   x   y  1 y  x  thay vào 2 , ta được: x  2x  x    x   y   x  y2  x  y   x  y  vì x  y  0 thay vào hệ không thỏa KL: S 1; 0; 0; 1    y  8x    3 y  y    Bài 19 Giải hệ phương trình:    4  3 y   y   12x  y   4x     1 x  2  a  y   Đặt:  , ta có:  b   4x , b      ĐK: b b     a  3a  2a  3b  b     a  b  b thay vào 1 , ta được:  2 a  3a  a  2b       b  b  b  b  3b  b   b   a      x     4x    Khi ta có:   3 y 1  y  1       www.VNMATH.com www.VNMATH.com y x xy 2     1   2    y  x  1 2  2 y x 0 y x xy  x  y  TH y  x   y  x vào (1) ta Đặt t  x  x  y x   1  xy          y x    2 0 2 x , t  ta 2  t  t     t2   t     t   x  y    2  t   4t  t t  2t         1  TH   TH vô nghiệm ĐK   xy x  y 1   xy       y x       Vậy hệ có nghiệm (1; 1)   x  2y     y Bài 71 Giải hệ phương trình:      3x  3y          y x       Điều kiện: x y  Quy đồng 1 vào 2 , ta được:    3x 3y  3xy  5xy  2x x 2y  2y  2y  y x 2y  2y  2y     x  2y  x  xy  y    x  2y thay vào 1 , ta được: 4y  2y  2y    y   x  KL: S  2;1  2  y  y  2x  xy  x y  Bài 72 Giải hệ phương trình:  8xy  2y   4x   (2x  y )2    Giải VP (1)   1 1   xy     VT (1)  y  y  2x      2 2   2y  2y  4x  (3) Từ (2) (3) suy ra: www.VNMATH.com www.VNMATH.com 8xy  2y   2y  2y  4x  4x   (2x  y )2  8xy   2y  8x   (2x  y )2  4xy   y  4x   (2x  y )2    (2x  y )2  y  4xy  4x  (y  2x )2 (4) VT (4)  0,VP (4)  Do đó:   x    y       y  2x y  2x   x       (4)     y  y  2x y  y            x     y  1     Thử lại có: (x ; y )  ( ; 1) thỏa mãn 2 Vậy hệ cho có nghiệm (x ; y )  ( ; 1)   y x   y  1     1x x x 2    x   y  2 y   Bài 73 Giải hệ phương trình Giải Từ PT (1) ta có:  x  y( x   x )  y  y  x  y  x2   x  y (3) x  x     Từ (2) & 3 ta có:   y    y y     x   y  1       y   y   x   y   y Thay vào 3 giải ta có nghiệm 0; 1 2x  2y  2x  y  2xy       Bài 74 Giải hệ phương trình:  3y   8x  2y    x      Giải www.VNMATH.com www.VNMATH.com Ta có (1)  2x  1  y  1  2x  1y  1  ĐK: (2x + 1)(y + 1)  2x    y     Mà x >    Ta có PT (1)   2x   y    2x   y    2x   y    y  2x Thay vào (2): 6x   8x  4x   6x  1  6x   2x   2x (3) Hàm số f(t) = t3 + t đồng biến R (3)  6x   2x  4x  3x  Nhận xét: x >1 không nghiệm phương trình Xét  x  1: Đặt x = cos  với     cos 3   2       k 2   (k  Z )       k 2     Do           Vậy hệ có nghiệm: cos ;2 cos     9     x y 3  x y        Bài 75 Giải hệ phương trình:  x  y x  y x  y  x          ln    y    32     64    Giải Theo BĐT Cauchy ta có x  y      4 x  y  1.1.1  x  y  x  y  4 Dấu xảy  x  y  (*) Từ kết hợp với điều kiện: PT thứ hai hệ  x 3   2  x , y  y 3 x 9x 7x y4 9y 7y    ln 3  x      ln 3  y  64 32 64 32 www.VNMATH.com www.VNMATH.com x 9x 7x    ln 3  x  ( với x < ) 64 32 x  9x  14 x  3  48 x 9x ' f x       16 16 x 3 16(x  3) Xét hàm số f(x) =     x  3x  9x  13x  x  1 x  x     ( x < 3) 16(x  3) 16(x  3) Suy hàm số nghịch biến (-2; 3), f(x) = f(y)  x  y ( **) Từ (*), (**) có x = y =       x  y  x  xy  y   ln  y  y      x  x    Bài 76 Giải hệ phương trình:        x y  3xy        Giải    2  y  y   Từ x  y  x  xy  y   ln   x  x             x  2x  ln x  x   y  2y  ln y  y   Xét f t   t  2t  ln t  t  f ' t   3t     1 t  2    t       2    t 9 t  3 2 29 t  1 26 29  t2        t 9  2 2 27 t 9 t 9 t 9 t  27 26 29 26 29 29 1 t 9  1   0 27 3 3 Suy f ' t   t  hàm số đồng biến liên tục R Ta có t      Mà (1)  f x   f y   x  y Thay vào phương trình cịn lại hệ ta có x  3x   2 Đặt x  u u  0 suy u  3u  (3) Xét g u   u  3u  với u  g ' u   3u  có g ' u    u  1 Ta có bảng biến thiên hàm số: www.VNMATH.com  www.VNMATH.com u g’(u) g(u) + -1 0 - - + -1 33 + Căn vào BBT phương trình (3) có nghiệm thuộc (0; 2)    Đặt u  cos  với   0;       2  Khi (3) trở thành: cos3=   =      Vậy hệ có nghiệm  cos ; cos        9     x   cos 9      ;  cos ;  cos      9    2x y  2x y    Bài 77 Giải hệ phương trình:    x  y 2    Giải    x  y 2 x  y  Ta có:   x2  y2  x  y    2  x  y  x  y        2 2 Theo BĐT Cauchy ta có: 2x y  2y x  2x y x y  24  PT  dấu “ = ” xảy Từ ta có x = y = Vậy hệ có nghiệm (1; 1) x  8y  2xy(1  2y )    Bài 78 Giải hệ phương trình:   2y  1   x  4x      Giải §K: tõ PT (2) ,suy x> Ta có PT (1)  x (x  2y )  4y (2y  x )  (x  2y )(x  4y )   x  2y ( x+4y2> ) Thay vào phương trình (2) cã x  4x  x  2x  (*) Ap dơng bÊt d¼ng thøc Cauchy tacã x2  x2   x  x  2x    4 x2   (  2x )  x  4x  2 3 (x  4)  2x  x  (x  4x )  2x  4 x 4x Dấu đẳng thức xảy x = Hệ phương trình có nghiệm (2,1) www.VNMATH.com www.VNMATH.com (Chú ý :Cách khác : Bình phương vÕ cña pt (*)  (x  2)2 (x  x  4)  )   xy  4y   x (x  2)  Bài 79 Giải hệ phương trình:  (x , y  R) x  y   2y     Giải x  4 (1)  x  4 y  x     x  y  Với x  4 thay vào pt (2) ta y  10  10   Với x  y  vào pt (2) ta y  y   2y  (*) Ta có y  y   2y   (y  y  1)   2y    5(2y  1)  2y  Do pt (*) vơ nghiệm KL: Nghiệm hệ x  4 , y  10  10 x  8x  y  2y  Bài 80 Giải hệ phương trình:   x   3(y  1)    Giải x  y  2(4x  y )(1)  Ta có PT (1)    x  3y  6(2)     x  x y  12xy2  x    x  3y x  4y  Thay trường hợp x vào 2  Hệ có nghiệm là: 6 6 ; ),(4 ; ) 13 13 13 13 8 x  y   3xy  2y  x   Bài 81 Giải hệ phương trình:   4  x   y  2x  y     3;1 ,  3;  1 , (4 Giải x  x  y   , phương trình (1)  x  y x  2y  8    Điều kiện:   y    Với x  2y  x  x      Ta có :    x  2y  y  2y       x  Khi đó: x  2y    khơng thỏa hệ  y    www.VNMATH.com x  2y  www.VNMATH.com Với x  y   y  x thay vào phương trình (2) Ta có PT (2)   x   x  x  Điều kiện: 3  x  Ta có (2)     2x 1    x   x2 1  1x x 1  x 1 3x 2  x  1x  1  x   y  1      x   (*)  3x 2   x   x 1 Xét phương trình (*), đặt f (x )  2x 1 3x 2 Ta có: f ' (x )     0; x  3;2 2 2x 2x 1 3x 3x 2     3;2 , suy f (x ) đồng biến 3;2     Ta có: f (2)  , suy (*) có nghiệm x  2  y  Mặt khác f (x ) liên tục Kết hợp điều kiện, hệ có hai nghiệm 1; 1, 2;2 3(y  y )(1  x  2)  x  x     Bài 82 Giải hệ phương trình:   2y  2y  x      Giải ĐK: x  Ta có 3(y  y )(1  x  2)  x  x   3(y  y )(1  x  2)  (x   x   1)          2y  2y  x   2(y  y )   x         a  b   3ab  b  b   2a a  y  y        Đặt  ta    a  11 , b  b   x   10a  21a  11   2a  b       10   x  2, y  1   Với a=b=1 suy hệ có hai nghiệm :  Vì b   x    b  không  x  2, y  1   thỏa mãn Vậy hệ có nghiệm www.VNMATH.com  2x  2y  2x  1y  1   Bài 83 Giải hệ phương trình:  , với x  x , y  R    3y   8x  2y    Giải www.VNMATH.com www.VNMATH.com Điều kiện: (2x  1)(y  1)  , Phương trình (1)  2x  1  y  1  2x  1y  1  Từ giả thiết x  ta có 2x    y   Đặt a  2x  1, b  y  ta có (1) trở thành: a  2b  ab  a  b  a  b  ab  b   a  b a  2b     a  2b  0(l ) Với a  b ta có: 2x   y   y  2x thay vào phương trình (2) ta có:     6x   8x  4x   6x  2  6x   2x   2x , (*) Xét hàm số f (t )  t  t ta có f '(t )  3t   0, t  R  hàm số f (t ) đồng biến R Do PT (*)  6x   2x  8x  6x   x  (n )  Với x   y   2(x  1)(4x  4x  1)    x   (l )  5x 5y  4xy  3y  x  y   1   Bài 84 Giải hệ phương trình:  2  xy y   x  y  2      Giải Từ (2) ta có : xy  1x  y  2   xy   x  y  2  Với xy = 1; từ (1) suy : y  2y    y  1 Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;1),(-1;-1)  Với : x  y   1  3y x  y   4xy  2x 2y  x  y    6y  4xy  2x 2y  x  y    1  xy 2y  x    xy   x  2y Xét : xy = Đã giải  10 10   10  10     ,   ; ;      5  5       10 10   10   10   ,   ; ; Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(1;1),(-1;-1),       5  5          1 x y  1  6y  Bài 85 Giải hệ phương trình:  2 x y  2x y  y x   12y  2    Với : x = 2y , thay vào x  y   x ; y       Giải Điều kiện : y  0; y  1 Khi : 1  x 2y y  1  6y  2y  x   4y  9y  ;x   y 1 y 1 Thay vào (2) , ta có : x 4y  x 2y  y  6y  2y  12y   x  2x  3 y  y   www.VNMATH.com www.VNMATH.com y   x   y   y  19y  1 y     y 1    y   x  4 9y  1 y  y  1  y  1   x y  2y  x  4xy    Bài 86 Giải hệ phương trình:     x 3  x xy y   Giải Điều kiện : x  0, y  Chia hai vế phương trình (1) cho xy , thêm vào hai vế phương trình   x       x x y (2) nhóm chuyển dạng tích         x          x y    x     u  v   1 Đặt : u  x  ; v      u  v   uv  x x y   Đến đậy toán trở thành đơn giản   2xy x   x2  y    x  2x  Bài 87 Giải hệ phương trình:  2xy  y   y x   y  2y     Giải Cộng hai vế phương trình hệ vế với vế ta có : 2xy x  2x   2xy y  2y  Ta có : x  2x    x  y Ta có : x = y = nghiệm hệ x  1    VT  xy  xy  2xy Khi : VP  x  y  2xy Cho nên dấu xảy : x = y = Vậy hệ có hai nghiệm : (x; y)=(0;0); (1;1) 1  x 1  x 1  x    y Bài 88 Giải hệ phương trình:      1  y   y    1  y    x Giải Dễ thấy : x = y = x = y = -1 nghiệm hệ Xét : x > Ta có:  y  1  x  1  x 1  x    x  x  x  x  x  x  x   x  y  x Ta có:  x  1  y 1  y 1  y    y  y  y  y  y  y  y   y  x  y Vậy hệ vô nghiệm Tương tự y>0 hệ vô nghiệm Xét : x < -1   x   y  1 Ta có : 1+ x  x   x  x   x  x   x   x  y  x Tương tự y  1 ta có x  y www.VNMATH.com www.VNMATH.com Hệ vơ nghiệm Xét trường hợp 1  x  Hệ vơ nghiệm Kết luận : Hệ có nghiệm :  x; y    0;0  ;  1; 1    3x (1  )  (1)   x y  Bài 89 Giải hệ phương trình:    7y (1  )  (2)   x y   Giải ĐK x  0, y  Dễ thấy x = y = không thõa mãn hệ Với x > 0, y > ta có :     1   2 1       x y  1  3x 3x 7y     ( nhân vế với vế)     x y 3x 7y 2 1        x  y  x y 7y   3x 7y      21xy  (7y  24x )(x  y )  24x  38xy  7y   y  6x (vì x, y dương)   1   Thay vào phương trình (1) ta  1    7      7x   x x 21  Từ dễ dàng suy x y x  3xy  49  (1) Bài 90 Giải hệ phương trình:   x  8xy  y  8y  17x (2)    Giải Với hệ này, hai ẩn hai phương trình khó rút ẩn theo ẩn Tuy nhiên, rút y từ (2) vào (1) ta phương trình mà ẩn y có bậc 1: x  3x (x  8xy  8y  17x )  49  24xy(x  1)  2x  2x  49x  49 (3) Nếu x=0 (1) vơ lí Nếu x=-1 hệ trở thành y  16  y  4 2x  49x  49 Thế trở lại phương trình (2) ta 24x  2x  49x  49  2x  49x  49  2x  49x  49    x  8x   17x     24x 24x 3x   Nếu x  1 & x  từ (3) suy y   x  2x  49x  49  49       192x  (2x  49x  49)2  49.192x     24x 3x    196x  196x  2205x  4606x  2401   196x  2205x  2401   196x  196  2205x  2205   196x  196x  2401  Phương trình cuối vơ nghiệm, chứng tỏ hệ có hai nghiệm (-1;4) (-1;-4) x  xy  y 10  y  (1)  Bài 91 Giải hệ phương trình:    4x   y   (2)    www.VNMATH.com www.VNMATH.com Giải ĐK: x   Nếu y = từ phương trình (1) ta suy x = 0, vào phương trình (2) ta thấy không thỏa mãn, y khác Đặt x = ky ta (1) trở thành : k 5y  ky  y 10  y  k  k  y  y (3) Xét hàm số f (t )  t  t  , ta có f '(t )  5t   0t   Do f(t) hàm số đồng biến  , (3)  f (k )  f (y )  k  y  x  y Thế vào (2) ta 4x   x    5x  13  4x  37x  40  36  4x  37x  40  23  5x 23  5x  5x  23 x           9x  378x  369  x  41 16x  148x  160  25x  230x  529      Suy x = y  1   x  2x   y  2y    Bài 92 Giải hệ phương trình:    x  y 3 3    Giải x  2x         y  2y   x    Điều kiện:  x  y  3     y       2    x  2x   (x  1)     x  2x    Mà:  4 y  2y   (y  1)2    y  2y          x  2x   y  2y   Vậy (1) có nghiệm x = y = thỏa (2) 2   x y  2x  2y  5y    Bài 93 Giải hệ phương trình:   y   x  y  2xy  x  x  2xy  y   y    Giải ĐK: x  y  0; y   x  y  Từ (2) : y   x  y  y  y  2xy  x  x  y  1  y  y   y  y   x  y    x  y  x  y  2 Xét hàm số : f (t )  t   t  t (Vì : t            t  0  f '(t )    2t  t   2   t 1  t   t 1 t t t 1 1 t 1   với t>0 ) www.VNMATH.com www.VNMATH.com Như hệ có nghiệm xảy : y  x  y hay x = 2y Thay vào (1) : 2y  y  2y   2y  5y    4y  10y  5y   2    y  2 4y  2y    y  : 4y  2y   vơ nghiệm Vậy hệ có nghiệm : (x; y) = (4; 2)   x 1 8y  2   y  x 1  Bài 94 Giải hệ phương trình:    x y 2 2  x y  2   2     Giải Điều kiện : x, y   x Ta có PT (1)  2.2 2 y   x  2.2   3 y Xét hàm số : f (t )  2.t  3t t  0  f '(t )  8t   Chứng tỏ f(t) đồng biến * Do để phương trình (1) có nghiệm : x  y  x  4y  5y  Thay vào (2) :   5y   Xét hàm số : f(t)= 2 t4 3  t  f '(t )  4t   2  Suy t = nghiệm 2   y  x  4y       x ; y    ;       5 5   5y         x     Nhận xét : f(1) = +      x  x  y  y2    Bài 95 Giải hệ phương trình:   27x  x  8y     1 (2) Giải Ta có PT (1)  x  x   2y    2y  Hàm số f t   t   t đồng biến R nên 1  x  2y Thế vào PT (2) ta có: 27x  x  4x   3x  x  4x   x  1  x  1  x  4x   x  4x  3 Lại xét : g t   t  t , đồng biến R nên: www.VNMATH.com 3 www.VNMATH.com 3  x   x  4x   3x  x   x   13   2y  y  2x  x   x  Bài 96 Giải hệ phương trình:   2y   y   x     (x , y  ) Giải Điều kiện: 4  x  1; y   Ta có PT (1)  2y  y   x  2x  x   x  2y  y  2(1  x )  x   x Xét hàm số f (t )  2t  t, ta có f '(t )  6t   0, t    f (t ) đồng biến  Vậy y   (1)  f (y )  f (  x )  y   x    y   x   Thế vào (2) ta  2x   x   x  (3) Xét hàm số g(x )   2x   x  x  4, liên tục [-4;1], ta có 1  x  (4;1)  g (x ) nghịch biến [-4;1] Lại có  2x  x x  g(3)  nên x  3 nghiệm phương trình (3) x  3  Với x  3 suy y  Vậy hệ có nghiệm   y    g '(x )     x (y  1)(x  y  1)  3x  4x  1(1)  Bài 97 Giải hệ phương trình:   xy  x   x    (2) Giải Nhận xét x = khơng thỏa mãn phương trình (2) nên ta suy y   x2 1 (3) x Thay (3) vào (1) ta x2 1 x2 1 x  (x  )  3x  4x   (x  1)(x  1)(2x  1)  (x  1)(3x  1) x x x    (x  1)(2x  2x  4x )   2x (x  1)2 (x  2)   x   x  2 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 5   Loại nghiệm x = 0, phương trình có hai nghiệm: 1;  1 ,  2;      2x y  y  2x  x  Bài 98 Giải hệ phương trình:  x  2 y   x  1    Giải  2 2  2x y  x  y  x     y  x 2x  y  yx  x    Ta có hệ     x 2 y 1  x 1 x  2 y   x  12                 Trường hợp 1: y = x , thay vào (2) : x  2   x   x   2x  t  x  2t  2x   t  2; t  x  2  x 1   x   x     x2   x  x    Trường hợp 2: 2x  y  yx  x   y  yx2  2x  x      y  x  2x  x  3x  8x   x  R  y   f (, y )  2x  y  yx  x   x , y Phương trình vơ nghiệm   Do hệ có hai nghiệm : (x;y)=  3; , 3;  Chú ý: Ta cịn có cách giải khác Phương trình (1) x = y = không nghiệm không thỏa mãn (2) y  y  Chia vế phương trình (1) cho x   1        2x  x       x  x      Xét hàm số : f t   2t  t  f ' t    3t  0t  R Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến Để phương trình có nghiệm xảy :  y  x  y  x Đến ta giải phần x     x   x2 y   y2   Bài 99 Giải hệ phương trình:   x 6x  2xy   4xy  6x     Giải      x   x  y   y 2      (nhân liên hợp)     Ta có hệ     x 6x  2xy   4xy  6x       Xét hàm số : f (t )  t   t  f '(t )   t  t2   t2  t  t2  Chứng tỏ hàm số đồng biến Để f  x   f   y  xảy x   y (*) www.VNMATH.com t t  t2  t  R www.VNMATH.com Thay vào phương trình (2) :     2x  6x   x   25 x   2x  6x   3x  x 6x  2x   4x  6x       2  2x  6x   2x   x  x     Trường hợp : 2x  6x   3x     x  1; y  1   2x  6x   9x 7x  6x         x  x     Trường hợp : 2x  6x   2x      2x  6x   4x 2x  6x         2  11  11 3  11 3  11 ;y  ; Vậy hệ có hai nghiệm : (x; y) = (1;-1),( ) 2 2  8x  2x   y  4y      Bài 100 Giải hệ phương trình:   4x  8x  2y  y  2y   2    x  Giải Điều kiện : x  Ta có PT (1)  8x  3 2x   y  4y * Đặt t  2x   2x  t   8x  3 2x   4 t  1  3 t  4t  1 t  4t  t   Do (*) : 4t  t  4y  y Xét hàm số : f(u) = 4u  u  f ' u   12u   u  R Chứng tỏ hàm số đồng biến Do phương trình có nghiệm : f(t) = f(y)  2x   y  2x  y  1(**) Thay vào (2) : y  1  y  1  2y  y  2y    y  2y  y  2y       y y  2y  y    y y  1 y  3y    y y  1y  2y  1     y   y     y   y     Vậy :    x ; y    ; 0 ,      2x  y  x   x ; y   1;1 2    2x  y  x               y  1 y  2 y    y  2 5           x ; y   1; 0 ,      x ; y    ; 2 2   2x  y  x  2x  y  x  2           Hết Đồng Xoài, ngày 05 tháng năm 2014 Chúc q thầy em học sinh có tài liệu bổ ích  www.VNMATH.com ... Giải hệ phương trình:   x  y  x  y      Giải 2 Phương trình có nghiệm    4y  4y    4y  4y  Xét phương trình thứ hai hệ : x  x  y  y    3 y  2 Phương trình thứ hai hệ. .. vào phương trình (3) kết   x  y   Bài 37 Giải hệ phương trình:    4x  3x  57  y(3x  1)   25   (1) (2) Giải ĐK: x , y  R Nhân vế phương trình (1) với 25 nhân vế phương trình. .. luận : Hệ phương trình có nghiệm S  1;1 , 1; 1   x  y  6xy   0    x  y  Bài 40 Giải hệ phương trình:     2y      x y   Giải Điều kiện: x  y  Hệ phương trình