Tuyển tập HỆ PHƯƠNG TRÌNH ôn thi THPT QUỐC GIA năm 2016
x 2 y 2 x 2 y 2 y 1 y 4 y 3 y
Bài 1. Giải hệ phương trình
y 1 13 x 12 y x 25
Lời giải
Điều kiện: 13 x 0; y 0 .
x, y
Bình phương trình thứ nhất của hệ, chúng ta có: x 2 y 2 x 2 y 2 y 1 y 4 y 3 y
2
x4 2x2 y2 y 4 x2 y 2 x2 y x2 y4 y3 y x4 x2 y 2 x2 x2 y y3 y 0
x 2 x 2 y 2 1 y x 2 y 2 1 0 x 2 y 2 1 x 2 y 0 y x 2
Với y x 2 thế xuống phương trình thứ hai trong hệ, ta được: x 1 13 x 12 x x 25
a 13 x
Đặt
b x
a, b 0 a 2 b2 13 , khi đó suy ra:
2
2
a 2 b 2 13
a b 2 13 2ab
a 2; b 3
a b 13
2
2
a b ab 1 25
a 3; b 2
a 1 b b 1 a 25
a b ab 1 25
13 x 2
Với a 2; b 3 suy ra
x 9 y 81
x
3
13 x 3
Với a 3; b 2 suy ra
x 4 y 16
x 2
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là x; y 4;16 , 9;81
x 2 y x y 6 2 x 2 x 3 y 2
Bài 2. Giải hệ phương trình
3
2
y 2 y x 6 x 4 6 y 1
Lời giải
Điều kiện: x y 6 0; 6 y 1 .
Phương trình thứ nhất của hệ đã cho trở thành:
x
2
y x y 6 2 x2 y x y 2 x2 y
x
2
y x y 2
x y62
x, y
x y6 2 x y20
x2 y
x y 2 0 x y 2
1 0
x y6 2
1
1
x 2 y nên x 2 y x y 6 2 0 , do đó x y 2 0 x y 2 .
6
6
Thế x y 2 xuống phương trình hai trong hệ, chúng ta có: y 3 2 y 2 y 4 y 2 6 y 1
Vì y
y 3 y 2 y 2 y 2 y 1 6 y 1 0 y 1 y 4 y 2
3
2
2
y 2 y2 4 y 2
y 1 6 y 1
0
1
y 2 2 x 2
y2
y
y 4 y 2 y 1
0
6
y 1 6 y 1
y2 4 y 2 0
y 2 2 x 2
2
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là x; y
2; 2 2 ,
2; 2 2
2 x y x 4 x 3x 2 y 2
Bài 3. Giải hệ phương trình
2
2
7 x 3 xy y 1 2 x 4 4 y
Lời giải
2
Điều kiện: x 7 x 3 y 0; y 1 2 x 4 .
x, y
Phương trình một của hệ tương đương với: 2 xy 2 x 2 4 3 x 2 2 xy 2 2 xy 2 4 5 x 2 2 xy
Thế xuống phương trình thứ hai trong hệ, ta có:
7 x 2 3 xy 5 x 2 2 xy y 2 4 y
7 x 3 xy 2 y 5 x 2 xy y 2 y 0
2
2
2
x y 7 x 4 y x y 5x 3 y
7 x 2 3 xy 4 y 2
7 x 2 3 xy 2 y
5 x 2 2 xy 3 y 2
y 0
5 x 2 2 xy y 2 2 y
0
7x 4 y
5x 3 y
0 i
0 x y
2
2
7 x 2 3xy 2 y
7 x 2 3 xy 2 y
5 x 2 2 xy y 2 2 y
5
x
2
xy
y
2
y
2
2
2
Mặt khác, từ phương trình một suy ra 2 xy 2 xy 5 x 4 2 xy 1 y 5 x 4 x 0 .
Do đó, phương trình i x y 0 , thế ngược lại phương trình một của hệ, ta được:
x y 0
x y 0
x y2
3
2
2
2 x 3 x 4 0
x 2 2 x x 2 0
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x; y 2; 2
x 2 xy 2 y 1 x 1 y 0
Bài 4. Giải hệ phương trình
x3 5 x 2 7 y 6 3 y 2
Lời giải
2
Điều kiện: x 1; y .
3
x, y
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: 2 x 2 2 xy 4 y 2 2
2 x 2 2 xy 4 y 2 x 1 y
2 x 3 x 1 y
x 1 y
x 1 y
2
2
x 1 y 0
2 x 2 2 xy x 3 y 3
2 x 3
x 1 y
x 1 y
x 1 y
2
x 1 y
2
x 1 y 0
y x 1 0
2 x 3 x 1 y x 1 y
2 x 2 x 1 2 x 4 y 0
VN : x 1
Với y x 1 0 thế xuống phương trình thứ hai trong hệ, chúng ta có: x3 5 x 2 7 x 1 3 x 5
x2 5x 6
x 5x 6 x x 1 3x 5 0 x x 5x 6
0
x 1 3x 5
x 2 y 1
1
2
x 2 5x 6 x
0
x
5
x
6
0
x 3 y 2
x 1 3x 5
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là x; y 2;1 , 3; 2
3
2
2
x y x y 2 x 3 y 2
Bài 5. Giải hệ phương trình
x y x y 2 x y 1 x y 2
Lời giải
Điều kiện: x y 2; x y 2 .
x, y
a x y 2
Đặt
nên hệ phương trình đã cho trở thành:
b x y 2 0
a b 2 0
a b 2 b 2 4 0
ab 2a b 2 4
2
b 2
2
2
b 2 b a 1 a 2
b 2 b a 1 a 2
b 2 b a 1 a 2
5
x 2
b 2
a 3
x y 3
b 2
x y 2
a 1 a 2 4
y 1
2
5 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x; y ;
2 2
x y 1 y 1 y x y 4
Bài 6. Giải hệ phương trình
2
2
y y xy 8 4 xy x y y
Lời giải
Điều kiện: x y 1 .
a y 1
Đặt
b x y
x, y
2
2
x a b 1
, khi đó phương trình thứ nhất trong hệ trở thành:
a, b 0
2
y a 1
b
2
1 a a 2 1 b 4 a b ab 1 4
Và phương trình thứ hai của hệ tương đương với:
y y x 1 8 4
x y y 1 a 2 1 b 2 1 8 4ab a b
2
ab 1 8
2
Từ đó ta suy ra hệ phương trình đã cho được viết lại thành:
a b ab 1 4
y 1 1
a b 2
x 3
a
b
1
2
2
y2
ab 1
a b ab 1 8
x y 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x; y 3; 2
4 x 2 x 2 2 y 3 4 y 5
Bài 7. Giải hệ phương trình
1 4 y 2 x 1 4 2 y 2 4 2 y 2 x 1
Lời giải
1
3
Điều kiện: x 2; y . Phương trình thứ hai trong hệ được viết lại thành:
2
4
1 4 y
2x 1 2 4 2 y
2x 1 1 3 4 y 2x 1 2 4 2 y
Vì 3 4 y 0 nên từ phương trình i suy ra 2 4 2 y
Mặt khác, ta có: 4 x 2 x 2 2 x 8 4 x 2
x, y
2x 1 1
i
2x 1 1 0 2 4 2 y 0 y 0
4 x2 8 4 x2
4 và theo bất đẳng thức AM – GM suy ra:
2
2y 2y 3 4y
4 y 2 3 4 y 2 y.2 y. 3 4 y
1 2y 3 4y 1
3
x 1
2 x 8 4 x 2
2
Do đó 4 x 2 x 2 y 3 4 y 5 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
y 2
2 y 3 4 y
1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x; y 1;
2
3
4 x 3 12 x 2 15 x 7 y 1 2 y 1
Bài 8. Giải hệ phương trình
6 x 2 y x 26 6 3 16 x 24 y 28
Lời giải
Điều kiện: x ; 2 y 1 0 .
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
x, y
2 4 x3 12 x 2 15 x 7 2 y 2 2 y 1 8 x 3 24 x 2 30 x 14 2 y 2 2 y 1
8 x 3 24 x 2 24 8 3 2 x 2 2 y 1 3 2 y 1 2 y 1 2 y 1 3 2 y 1
2x 2 3 2x 2
3
2y 1 3
3
2 y 1 2x 2 2 y 1
x 1
x 1
Với 2 x 2 2 y 1 2
thế xuống phương trình thứ hai, ta có:
2
4 x 8 x 4 2 y 1 2 y 4 x 8 x 5
3 4 x 2 8 x 5 x 2 x 26 6 3 12 4 x 2 8 x 5 16 x 28 12 x 3 48 x 2 62 x 4 6 3 48 x 2 80 x 32
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ba số thực không âm, ta có:
48 x 2 80 x 32 64 64 3 3 64.64 48 x 2 80 x 32 48 3 48 x 2 80 x 32
Nên suy ra
8 12 x 3 48 x 2 62 x 4 48 x 2 80 x 32 64 64
x 2 2 x 1 0 x 2 0
2
2
x 1 x 2 y
5
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x; y 2;
2
x 2 y 2 xy 7 x 6 y 14 0
Bài 9. Giải hệ phương trình
11
7
3
2 1 2 y3 y 2 7
x
2x
x
2
Lời giải
Điều kiện: x 0; y .
5
2
x, y
x 2 y 7 x y 2 6 y 14 0
Xét phương trình thứ nhất, ta có: x y xy 7 x 6 y 14 0 2
2
y x 6 y x 7 x 14 0
2
2
Có x y 7 4 y 2 6 y 14 10 y 3 y 2 7 và y x 6 4 x 2 7 x 14 16 x 3x 2 20 .
2
2
x 0 10 y 3 y 2 7 0
10
7
Để hệ phương trình có nghiệm
x 2; y 1
2
3
3
y 0 16 x 3 x 20 0
Xét hàm số f x x
11
7
10
2 1 2 với
x 2 , ta có:
2x
x
3
2
7
7
7
7
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki suy ra 3 3.1 7.
9 7 1 2 16 1 2
x
x
x
x
Do đó f x x
2
11 1
7 3
9
3
9 15
3 x
2 x.
AM
GM
2x 2
x 2
x
2
x 2
3
7
7
Xét hàm số g y y 3 y 2 7 với y 1 , ta có g y 3 y 2 3 y 3 y y 1 0; y 1 .
2
3
3
15
7
Do đó g y là hàm số đồng biến trên 1; nên suy ra g y g 1
2
3
x 3
15 15
Từ đó suy ra được f x g y 0 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.
2 2
y 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x; y 3;1
2 x 2 y 2 y x 1
Bài 10. Giải hệ phương trình
2
2
8 2 x 2 y 1 2 x y 1 x y 11
Lời giải
Điều kiện: x 1; y 2; 2 x y 1 .
x, y
Xét phương trình thứ nhất trong hệ, ta có: 2 x 2 y 2 y x 1 2 x 2 y x 1 2 y 0
Theo bất đẳng thức Bunhiacopki, suy ra:
1.
x 1 1. 2 y
1
2
2
12 x 1 2 y 2 x y 1
x 1 2 y 2 x y 1
Khi đó, ta được: 0 2 x 2 y x 1 2 y 2 x y 1 4 x y 2 x y 2 0 0 x y 1 .
2
Lại có, áp dụng bất đẳng thức AM – GM thì 4 2 x y 1 2 x y 1 4 2 x y 3 nên phương trình thứ hai
của hệ được viết lại thành: 8 2 x 2 y 1 2 x y 1 2 2 x y 1 2 x y 3 2 2 x y 3 .
Do đó, suy ra:
x 2
2
2
x 2 y 2 11 8 2 x 2 y 1 2 x y 1 2 2 x y 3 x 2 y 1 0
y 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x; y 2;1
... Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y 2; x xy y x 1 y Bài Giải hệ phương trình x3 x y y Lời giải Điều kiện: x 1; y x, y Phương trình. .. y x xy y y 2 Mặt khác, từ phương trình suy xy xy x xy 1 y x x Do đó, phương trình i x y , ngược lại phương trình hệ, ta được: x y x y ... y2 y y x Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y 2; , 2; 2 x y x x 3x y Bài Giải hệ phương trình 2 x xy y 1 x