Tìm hiểu các kỹ thuật giải hệ phương trình (ôn thi THPT quốc gia)22870

Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác CẨM NANG CHO MÙA THI TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH (ÔN THI THPT QUỐC GIA) NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/ng.huubien Email: ng.huubien@gmail.com ThuVienDeThi.com Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác LỜI GIỚI THIỆU Các em học sinh thân thân mến, đề thi ĐH mơn Tốn năm gần thường xun xuất câu giải hệ phương trình, câu hỏi thường thuộc hệ thống câu hỏi khó, có tính chất phân loại đề thi, mốc đạt điểm từ đến 10 Phương pháp suy luận để giải loại câu hỏi đa dạng, thầy kể số phương pháp phổ biến sau: (1) Phương pháp rút E (2) Phương pháp nhóm nhân tử chung (3) Phương pháp dùng hàm số đạo hàm (4) Phương pháp dùng BĐT vec E tơ (5) Phương pháp dùng số phức (6) Phương pháp nhân liên hợp đánh giá (7) Phương pháp lượng giác hóa Sự phân chia liệt kê phương pháp nói mang tính chất tương đối, thực tế đề thi thường phải vận dụng kết hợp nhiều phương pháp đan xen hợp lý để giải tập (rất đề thi dùng phương pháp độc lập) Vậy câu hỏi đặt “làm nhận biết tập cho dùng phương pháp nào?”, đơi có tập có vài cách giải khác nhiên có cách hay nhất, dễ hiểu Để giảm bớt “nỗi lo âu” em học sinh loại tập này, thầy biên soạn tài liệu TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH, tài liệu bao gồm 120 tập giải hệ phương trình E minh họa đầy đủ kỹ thuật giải hệ phương trình đề thi đại học, đặc biệt 24 tập đầu thầy không hướng dẫn làm mà quan trọng sâu vào phân tích, tìm hiểu kỹ thuật giải tương ứng, em tích lũy thành kinh nghiệm E “bí kíp” cho riêng Sau 24 tập, thầy đưa loạt tập tự luyện kèm hướng dẫn giải bám sát cấu trúc đề theo xu để em tự thực hành đối chiếu hướng dẫn giải Phương châm mong muốn thầy học xong tài liệu này, em giải tốt câu giải hệ phương trình đề thi tới (nếu có) CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG ! Nguyễn Hữu Biển E https://www.facebook.com/ng.huubien ThuVienDeThi.com Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  x 4y3 + 3y + 5y − x = y x + 4y +  Bài : Giải hệ phương trình   12 − 2x = 2y − y − ) ( ( ) Phân tích tìm lời giải  x ≤ 5y  + ĐK: 0 < x ≤ y ≥  + Trước hết quan sát ta thấy phương trình (2) có hình thức đơn giản (1) Tuy (2) có biến x y lập vế ta biến đổi để sử dụng “hàm đại diện” Vì vậy, ta “mị nghiệm” để tìm quan hệ x y Thật vậy: - Từ (2) ta cho y = ⇒ x + 12 − 2x = 24 , bấm máy ta thấy phương trình vơ nghiệm, ta bỏ qua việc suy luận từ (2) + Bây ta cách quay (1) để “nghiên cứu” Ta thấy sau: ( - Từ (1) ta cho y = ⇒ x ( 38 + ) - Từ (1) ta cho y = ⇒ x + − x = x + 12 , bấm máy giải phương trình có x = ) 20 − x = x + 24 , bấm máy giải phương trình có x = ( ) Vậy với giá trị ta nhận thấy dự đoán x = 2y ⇔ x − 2y = , điều khiến ta có suy luận rằng, biến đổi (1) cách khéo léo, ta ép nhân tử chung ( x − 2y ) Bây ta “ép nhân tử chung” từ (1) sau: ) ( x 4y3 + 3y + 5y − x = y x + 4y + ( ) ⇔ 4xy3 + 3xy + x 5y − x = x y + 4y + 8y ) ( ⇔ 2xy3 − 4y + x 5y − x − xy + 4xy + 2xy3 − 8y − x y = ( ) ⇔ 2y3 ( x − 2y ) + x ⇔ 2y3 ( x − 2y ) − ( 5y − x ( − y ) + y ( 4x + 2xy x ( x − 2y )( x + 2y ) 5y − x − y ) − 8y − x y = ) + y ( x − 2y )( + xy ) =   x ( x + 2y ) ⇔ ( x − 2y ) 3y3 − + y ( + xy )  =   5y − x + y + Như ta ép nhân tử chung ( x − 2y ) từ (1), nhiên ngoặc vuông “khổng lồ” gắn kèm ta khó để chứng minh khác Có lẽ cách làm khơng khả thi cho + Sau hồi suy luận nhiều thời gian công sức, ta biết x = 2y ⇔ x − 2y = Bây đường cuối ta đổi hướng làm theo kiểu “đánh giá”, ý phải “biến đổi ép” để có ( x − 2y ) Thật vậy, từ (1) ta biến đổi sau: NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com T Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ) ( x 4y3 + 3y + 5y − x = y x + 4y + ( ) ⇔ 4xy3 + 3xy + x 5y − x = x y + 4y + 8y ⇔ 3xy + x 5y − x − 8y = x y + 4y − 4xy3 ⇔ 3xy + x 5y − x − 8y = 2y − xy ( ) 2 + Nhận thấy ( 2y − xy ) ≥ , từ (3) ⇒ 3xy + x 5y − x − 8y ≥ x x x ⇔ 3  + 5−  −8 ≥ y y y x x x ⇔ −   ≥ − 3  y y  y x x x + Mặt khác, từ ĐK x ≤ 5y ⇔   ≤ ⇔ < ≤ ⇒ −   > , BPT (4) có vế y  y y 2 khơng âm nên bình phương vế biến đổi ta kết quả: x x x x   +   − 48   + 64 ≤ , đặt t = ≥ y y y y ⇒ t + 4t − 48t + 64 ≤ ⇔ ( t − ) t + 4t + 16 ≤ ⇔ ( t − 2) ≤ ( ) t + 4t + 16 > 0, ∀t ≥ 0) ⇔ ( t − 2) = ⇔ t = ⇒ x = ⇔ x = 2y y + Cuối ta tìm hướng làm đúng, thay x = 2y vào (2) ta có: 2y + 12 − 4y = 2y − y − ⇔ − y + y = y2 − y −  y2 − y − ≥ ⇔ y ≥ ≥  ⇔ 2  − y + y = y − y − ( ) ( ) + Từ (5) biến đổi ta được: y − 2y3 − 3y + 4y + = y ( − y ) + Phương trình (6) thật khơng dễ giải được, bình phương vế tiếp tục, phương trình bậc (ghê gớm quá) nên không làm !!! + Bây bạn quan sát bậc bên phải, ta đốn tạo lượng thích hợp để nhân liên hợp đoán nhân tử chung, trước hết ta nghĩ đến việc tạo lượng ( ) ( y (3 − y ) −1 ⇒ − y − 3y + ) (y (3 − y ) − 1) y (3 − y ) −1 = ⇒ đoán nhân tử chung ( y − 3y + 1) + Vậy vấn đề ta phải ép cho vế trái (6) có nhân tử chung ( y − 3y + 1) : NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com T Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH y − 2y3 − 3y + 4y − = ( ) y (3 − y ) −1 ⇔ y + y3 − y − 3y3 − 3y + 3y + y + y − = 2 ( ) ( ) ( ( ) ⇔ y y + y − − 3y y + y − + y + y − = ( )( ) ⇔ y + y − y − 3y + + ) y (3 − y ) −1 −2 y − 3y + ( ) y (3 − y ) + y − 3y + ( ) =0 y (3 − y ) +   2  =0 ⇔ y − 3y + y + y − +  − + y y ( )   y2 + y + + ⇔ y − 3y + = >0 y (3 − y ) + ( )  3− ⇒ y − x − = ⇒ y = x + thay   y −1 + x  vào (1) ta được: , bấm máy thấy phương trình có nghiệm x = , ta biến đổi để xuất nhân tử chung ( x − ) : Bình phương vế biến đổi ta được: x2 + x +1 + = x2 − x +1 + x − = 7x − 7x + − 3x + 3x + ⇔ x−2= ⇔ x−2= 4x − 10x + 7x − 7x + + 3x + 3x + ( x − )( 2x − 1) 7x − 7x + + 3x + 3x +   4x − ⇔ ( x − ) 1 − =0 7x − 7x + + 3x + 3x +   + Đến xuất nhân tử chung ( x − ) , nhiên đại lượng dấu  ngoặc thứ hai 1 −  NGUYỄN HỮU BIỂN   ta chứng minh cho ≠ , 7x − 7x + + 3x + 3x +  4x − https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com T Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH    = việc giải phương 7x − 7x + + 3x + 3x +  4x − xét phương trình 1 −  trình khó + Bây ta phải quay trở phương trình (4) để đổi hướng làm sau: x2 + x +1 + = x2 − x +1 + ⇔ x2 + x +1 − x2 − x +1 = − + Ý tưởng làm lúc ta chứng minh cho VT (5) hàm đơn điệu để suy x = nghiệm (5) - Xét hàm số : f (x) = x + x + − x − x + ⇒ f '(x) = 2x + ⇔ f '(x) = ( 2x + 1) t - Xét hàm số f (t) = t +3 2 x + x +1 ( 2x − 1) , t ∈ R ⇒ f '(t) = ( t2 + ) ( 2x + 1) − +3 2x − ( 2x − 1) 2 x2 − x +1 > 0, ∀t ⇒ f (t) hàm đồng biến 2x + ( 2x + 1) 2x + 2x − +3 - Mặt khác ta có 2x + > 2x − ⇒ g(2x + 1) > g(2x − 1) ⇒ ⇒ f '(x) = − 2x − − +3 2x + 2x − > +3 ( 2x − 1) +3 > ⇒ f (x) hàm đồng biến +3 Vậy x = nghiệm (5) KL: (x; y) = (2;3)  x + x − x + = x ( y − 1)3 +  Bài 3: Giải hệ phương trình  3 2 3  x − y + x + x + y = 2y y − x + x ( ) Phân tích tìm lời giải x3 − x + ≥ + ĐK:  y ≥ + Ở phương trình (1) đa thức có hạng tử nên ta loại trừ PP nhân lượng liên hợp, ta xuất phát từ (2) để biến đổi rắc rối xem hình dạng biểu thức thu ! + Từ (2) ta biến đổi: ( x − y + x + x + y3 = 2y y − x + x ⇔  x + 2x x +  ( ⇔ (x + ⇔ x+3 ) ( x )  − 2y y − ( x + x ) + y − y = x ) − 2y y − ( x + x ) + ( y y − ) = x − y y −1) = 3 3 2 ⇔ x + x − y y −1 = NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com T Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ( x) ⇔( x) ⇔ 3 + x = ( y − + 1) y − +3x= ( ) y −1 + y −1 + Như sau biến đổi (2) kết thu tự nhiên tốt, điều may mắn ngẫu nhiên + Đến ta xét hàm số f (t) = t + t ⇒ f '(t) = 3t + > ⇒ f (t) hàm đồng biến Vậy từ (3) ⇒ f ( x)=f ( 3 ) y − ⇒ x = y − ⇒ ( y − 1) = x thay vào (1) ta được: x + x3 − x + = x3 + ⇔ ( ) x3 − x + − x + x − x3 + x −1 = x3 − x2 + − x4 ⇔ x − x +1 + x ( ) + x − x3 + x −1 = ( )   ⇔ x − x + x − 1 − =0 x3 − x + + x   ( )  x − x3 + x −1 = ⇔  x − x + + x = x =  ⇔  1 − x ≥  2   x − x + = − x ( ) x = ⇒ y = ⇔ x = ⇒ y = KL: HPT có nghiệm (x; y) = (1; 2), (0;1) 3x + 3y + = ( y − x ) y + xy + x +  Bài 4: Giải hệ phương trình  ( x + y − 13) 3y − 14 − x + = ( ( ) ) Phân tích tìm lời giải  x ≥ −1  + ĐK:  14  y ≥ + Quan sát phương trình (1), ta thực mở dấu ngoặc chuyển vế lập x y sang vế, thật vậy: 3x + 3y + = ( y − x ) y + xy + x + ( ) ⇔ 3x + 3y + = ( y − x )  y + xy + x +  ⇔ 3x + 3y + = y3 − x + ( y − x ) ( ) ⇔ x + 3x + 6x + = y3 − 3y + 6y NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com T Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH + Ở phương trình (3) lập x y sang vế, mặt khác vế có dạng đa thức bậc ba, với hình thức phương trình kiểu này, ta thường nghĩ đến phương pháp sử dụng “hàm đại diện” x + 3x + 6x + = y3 − 3y + 6y 3 ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = ( y − 1) + ( y − 1) + Đến ổn rồi, xét hàm số f (t) = t + 3t ⇒ f '(t) = 3t + > ⇒ f (t) hàm đồng biến Vậy từ (4) ⇒ f (x + 1) = f (y − 1) ⇔ x + = y − ⇔ y = x + thay vào (2) ta được: ( 2x − 11) ( ) 3x − − x + = ⇔ 3x − − x + = ⇔ 3x − − x + − 2x − 11 2x − 11 11 ; ≤x≠ + Ở phương trình (5) ta nhẩm thấy (hoặc dùng máy tính) phương trình có nghiệm x = 3; x = , nhiên việc giải phương trình (5) khó Trong trường hợp ta dùng phương pháp đồ thị để chứng tỏ phương trình (5) có nghiệm x = 3; x = 11 ; ≤x≠ 2x − 11 3 10 ⇒ f '(x) = − + 2 3x − x + ( 2x − 1) + Xét hàm số f (x) = 3x − − x + − x + − 3x − 10 11 + > 0, ∀x ≥ ; x ≠ 2 3x − x + ( 2x − 1) ⇔ f '(x) = + Ta có bảng biến thiên sau: x 11 +∞ + f'(x) + f(x) + Từ BBT ta thấy hàm số f(x) cắt Ox tối đa điểm, phương trình (5) có nghiệm x = 3; x = KL: HPT có nghiệm (x; y) = (3;5); (8;10) Nhận xét: Nếu ta giải phương trình ( 2x − 11) ( ) 3x − − x + = phương pháp nhân liên hợp ta biến đổi sau: ( 2x − 11) ( ⇔ ( 2x − 11) ⇔ NGUYỄN HỮU BIỂN ) 3x − − x + = ( ) 3x − − − ( 2x − 11) ( ( 2x − 11) ( x − 3) ( 2x − 11) ( x − 3) ( ) 3x − + − ( x +1 + ) ) x + − − ( x − 3) = − ( x − 3) = https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com T Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  2x − 11 ( ) ⇔ ( x − 3)  −  3x − +   − 2 =  x +1 +  ( 2x − 11) ) ( ( ) + Tuy nhiên đến ta gặp khó khăn lý luận cho phương trình dấu ngoặc vng có nghiệm x =  2x − 11 )  ( −  3x − +  ) ( (  − 2 =  x +1 +  ( 2x − 11) )   y + y2 +  6 ln   = ( x − y ) x + xy + y −  x + x2 +    Bài 5: Giải hệ phương trình    4y − 6y + − 4x − =  ( ) Phân tích tìm lời giải + ĐK: < x ≤ + Nhận thấy (1) có dạng đặc biệt nên biến đổi (1) ta được: ( ⇔ ln ( y + + Xét hàm số f (t) = ln ( t + ) ( ) y + ) + y − 2y = ln ( x + x + ) + x − 2x + 3t − t + ) + t − 2t, t ∈ R ⇒ f '(t) = t +5 ⇔ ln y + y + − ln x + x + = x − y3 − 2x + 2y 3 2 + Đến ta chưa chứng minh f(t) hàm đơn điệu, ta tính f’’(t) sử dụng PP “min - max”, thật vậy:   ⇒ f ''(t) = 6t 1 −   (t +5 )    , xét f ''(t) = ⇔ t = , ta có bảng biến thiên sau:   t -∞ f''(t) - +∞ + f'(t) + Từ BBT ta thấy f '(t) ≥ -2 − > ⇒ f '(t) > ⇒ f (t) hàm đồng biến + Vậy từ (3) f (x) = f (y) ⇒ x = y thay vào (2) ta có: 4x − 6x + − 4x − = NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com T Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH + Việc giải phương trình (4) khơng đơn giản, ta dùng đến máy tính thấy phương trình (4) có nghiệm x = , ta phải chứng minh cho hàm số vế trái (4) hàm đơn điệu, thật vậy:  3   4  3 ⇒ g '(x) = 16x − 12x − = 4x 4x − − < 0, ∀x ∈  0;  − 4x − 4x  4 1 ⇒ g(x) hàm nghịch biến ⇒ x = nghiệm (4) ⇒ y = 2 1 1 KL: HPT có nghiệm ( x; y ) =  ;  2 2 + Xét hàm số g(x) = 4x − 6x + − 4x − , x ∈  0;  4 ( )  2x − x + y = Bài 6: Giải hệ phương trình   x − 3x + + ( y + ) − y = Phân tích tìm lời giải 2x − x ≥ 0 ≤ x ≤ + ĐK:  ⇔ 0 ≤ y ≤ 0 ≤ y ≤ + Nhận thấy phương trình (2) lập x y sang vế, mặt khác VT đa thức bậc x, VP chứa bậc hai đa thức bậc y, hình thức này, ta thường sử dụng PP “hàm đại diện” để giải quyết, thật vậy: x − 3x + + ( y + ) − y = ⇔ x − 3x + = − ( y + ) − y ⇔ x − 3x + 3x − − ( x − 1) = (1 − y ) − 3 − y ( ) ⇔ ( x − 1) − ( x − 1) = ( 1− y ) − 1− y 0 ≤ x ≤  −1 ≤ x − ≤ ⇔ ⇒ −1 ≤ t ≤ 0 ≤ y ≤ 0 ≤ − y ≤ + Xét hàm số f (t) = t − 3t , ta thấy  ⇒ f '(t) = 3t − = t − ≤ 0, ∀t ∈ [ −1;1] ⇒ f (t) hàm nghịch biến ( + Từ (3) f ( x − 1) = f ) ( x ≥  x − ≥ ⇔ 1− y ⇒ x −1 = 1− y ⇔  2 ( x − 1) = − y  y = − x + 2x ) + Thay vào (1) ta được: 2x − x + 2x − x = 2,1 ≤ x ≤ , giải PT ⇒ x = KL: HPT có nghiệm (x; y) = (1;1) 3 − x + 3x − y − =  Bài 7: Giải hệ phương trình   x − 5x = y + 2y − y + ( ) Phân tích tìm lời giải NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com T Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1 − x ≥ −1 ≤ x ≤   + ĐK: 3x − y − ≥ ⇔  y + ≤ 3x y + ≥  y ≥ −1   + Quan sát thấy phương trình (2) lập x y sang vễ, đa thức bậc hai bậc nên ta nghĩ đến việc biến đổi (2) theo PP “hàm đại diện” x − 5x = y + 2y − ( ) y +1 ⇔ x − 5x = ( y + 1) − 5 y +   ⇔ x − 5x = ( ) y +1 − y +1 + Xét hàm số f (t) = t − 5t  x ∈ [ −1;1]  ⇒ t ∈  −1;  + Ta cần tìm điều kiện :  y + ≤ 3x    y 0; ⇒ + ∈     y +1 ≥  + Ta có f '(t) = 5t − = ( t − 1) , rõ ràng với t ∈  −1;  ta chưa thể xác định hàm f(t) đơn điệu, điều chứng tỏ ĐK t tìm chưa sát (vẫn cịn thiếu) Bây ta phải nghiên cứu kỹ để tìm ĐK cho t thật sát + Xét (1) ta thấy: = − x + 3x − y − ⇔ = 3 − 3x + 3x − y − ⇔ ≤ + − 3x + 3x − y − ⇔ 3≤ 2−y ⇔ y ≤ − 3 ⇔ y +1 ≤ ⇔ ≤ y +1 ≤ 4  x ∈ [ −1;1]  + Như cuối ta có    ⇒ t ∈ [ −1;1] y 0; + ∈       ⇒ f '(t) = ( t − 1) ≤ 0, ∀t ∈ [ −1;1] ⇒ f (t) hàm nghịch biến + Từ (3) ⇒ f ( x ) = f ( 0 ≤ x ≤ y +1 ⇒ x = y +1 ⇔  thay vào (1) ta được: x = y + ⇒ y = x −  ) − x + 2x = , đặt X = x ⇒ X ∈ [ 0;1] ⇒ − X + 2X = + Phương trình (4) giải cách bình phương vế lần  49  ;−  121   11 KL: HPT có nghiệm (x; y) = (0; −1);  ± Qua ta thấy việc tìm ĐK cho hàm “đại diện” f(t) lấy hợp ĐK hàm số VT VP, đơi cần tìm thật sát ĐK f để chứng minh hàm số f(t) đơn điệu NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com T Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  x + + x − − y + = y Bài (KA-2013): Giải hệ phương trình  2  x + 2x ( y − 1) + y − 6y + = Phân tích tìm lời giải + ĐK: x ≥ + Ta thấy phương trình (1) lập x y sang vế, sử dụng PP “hàm đại diện” để giải quyết, thật vậy: x + + x −1 − y4 + = y ⇔ x + + x − = y4 + + y ⇔ ( ) x − + = y4 + + y + Xét hàm số f (t) = t + + t , y ∈ R, x ≥ ⇒ t ∈ R ⇒ f '(t) = 2t t4 + + t , rõ ràng với t ∈ R hàm số f(t) khơng đơn điệu, ta cần tìm điều kiện sát t sau + Xét (2) x + 2x ( y − 1) + y − 6y + = ⇔ x + 2xy − 2x + y − 6y + = ⇔ x + y + + 2xy − 2x − 2y = 4y ⇔ ( x + y − 1) = 4y ⇒ 4y ≥ ⇒ y ≥ x ≥ ⇒ t ≥ ⇒ f '(t) = y ≥ + Như với  + Từ (3) ⇒ f ( 2t t4 + + t ≥ 0, ∀t ≥ ⇒ f (t) hàm đồng biến ) x − = f ( y ) ⇒ x − = y ⇒ x = y + thay vào (2) ta được: y = y y7 + 2y + y − = ⇔   y + 2y + y − = ( ) + Ở phương trình (4) ta thấy có nghiệm y = , mặt khác xét hàm số vế trái (4) ta có: g(y) = y7 + 2y + y − ⇒ g '(y) = 7y6 + 8y3 + > nên g(y) hàm đồng biến, y = nghiệm (4) KL: HPT có nghiệm (x; y) = (1; 0), (2;1) 2y3 − 2x + x = + x − y Bài 9: Giải hệ phương trình  2 2  5x + 2y + 12x + − x − y − 19 = 5y Phân tích tìm lời giải  x ≥ −1  + ĐK: 5x + 2y + 12x + ≥  2  x − y − 19 ≥ + Nhận thấy phương trình (1) lập x y sang vế, đa thức bậc 1, y bậc nên ta nghĩ đến PP sử dụng “hàm đại diện”, thật vậy: NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com T Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2y3 − 2x + x = + x − y ⇔ 2y3 + y = 2x + x + + x ⇔ 2y3 + y = (1 + x ) − 1 + x + + x ⇔ 2y3 + y =  + x  ( ⇔ 2y3 + y = ( 1+ x ) ) 3 − 1+ x  + 1+ x  + 1+ x + Xét hàm số f (t) = 2t + t, t ∈ R ⇒ f '(t) = 6t + > 0, ∀t ∈ R ⇒ f (t) hàm đồng biến, từ (3) f ( y ) = f ( ) + x ⇔ y = + x thay vào (2) ta có: 5x + 14x + − x − x − 20 = x + 1, x ≥ ⇔ 5x + 14x + = x + + x − x − 20 + Bình phương vế ta được: 2x − 5x + = ( x + 1)( x − 5)( x + ) (4) + Đối với dạng phương trình (4) ta giải PP đặt ẩn phụ sau: a = ( x + 1)( x − ) ≥ a = x − 5x − thay vào (4) ta có: - Đặt  ⇒ b = x + > b = x + a b =1 a = b a a 2 ⇔ 2a + 3b = 5ab ⇔   −   + = ⇔  b b  2a = 3b a =  b  + 61 + 61 ( x + 1)( x − ) = x + x = ⇒y= ⇒ ⇔ 2  ( x + 1)( x − ) = ( x + )  x = ⇒ y =  + 61 + 61   ; ( 8;3) ; KL: HPT có nghiệm ( x; y ) =       2 = (10 − xy ) 3 x + y + x − y) (  Bài 10: Giải hệ phương trình  2x + =  x−y ( ) Phân tích tìm lời giải + ĐK: x ≠ y + Nhận thấy dạng HPT nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để giải quyết, thật vây : 1 2   2 = (10 − xy ) = 20 2 3 x + y + 2 ( x + y ) + ( x − y ) + x − y) ( x − y) (   ⇔  2x + = ( x + y ) + ( x − y ) + =   x−y x−y ( ) NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com T Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH a = ( x + y ) a = ⇒ b = 2a + b − = 20   ⇔ + Đặt  ⇒ a = ⇒ b = 14  b = ( x − y ) + x − y a + b = 3    + 10 − 10   − 10 + 10  KL: HPT có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) ;  ; ; ;    3    x y x y xy xy + + + + = −  Bài 11 (KA-2008): Giải hệ phương trình   x + y + xy (1 + 2x ) = −  Phân tích tìm lời giải + HPT cho biến đổi chút ta thấy xuất nhân tử chung: 5   2  x + y + x y + xy + xy = −  x + y + xy + xy x + y = − ⇔   x + y + xy (1 + 2x ) = −  x + y + xy = −  4  5    a + b + ab = − b = − − a2 a =0⇒b=−    a = x + y   4 + Đặt  ⇒ ⇔ ⇔ a a = − ⇒ b = − b = xy a + b = − a + a + =   4 2   x + y = x =   + Với a = 0, b = − ⇒  ⇔  xy = −  y = − 25   16 3 + Tương tự với a = − ; b = − ⇒ x = 1; y = − 2  25   3 KL: HPT cho có nghiệm ( x; y ) =  ; −  ; 1; −  16   2  ( ) ( ) ( )  x − 3x − 9x + 22 = y3 + 3y − 9y  Bài 12 (KA-2012): Giải hệ phương trình  2 x + y − x + y =  Phân tích tìm lời giải + Nhận thấy (1) có x y cô lập sang vế, bậc đa thức với biến x y 3, ta biến đổi (1) theo PP “hàm đại diện” x − 3x − 9x + 22 = y3 + 3y − 9y 3 ⇔ ( x − 1) − 12 ( x − 1) = ( y + 1) − 12 ( y + 1) + Xét hàm số f (t) = t − 12t, t ∈ R ⇒ f '(t) = ( t − ) , ta thấy f(t) hàm đơn điệu, ta cần tìm điều kiện sát biến t sau: + Từ (2) ta biến đổi thấy: NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com T Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1   −1 ≤ x − ≤  − ≤ x − ≤  1  1 3    2 x + y2 − x + y = ⇔  x −  +  y +  = ⇒  ⇔ ⇒− ≤t≤ 2  2 2   −1 ≤ y + ≤  − ≤ y + ≤ 2   3 + Như với điều kiện t − ≤ t ≤ ⇒ f '(t) < ⇒ f (t) hàm nghịch biến 2 + Vậy từ (3) ⇒ f ( x − 1) = f ( y + 1) ⇒ x − = y + ⇔ y = x − thay vào (2) biến đổi ta 2 ⇒y=− 2 ⇒y=− 2 1 3 3 1 KL: HPT có nghiệm ( x; y ) =  ; −  ;  ; −  2 2 2 2  x = được: 4x − 8x + = ⇔  x =  Nhận xét: Ta giải HPT PP đặt ẩn phụ sau: ( x − y )3 + 3xy ( x − y ) − ( x − y )2 + 2xy  − ( x − y ) + 22 =  x − 3x − 9x + 22 = y3 + 3y − 9y     ⇔  2 x + y − x + y = ( x − y ) + 2xy − ( x − y ) =   a + 3ab − 3a − 6b − 9a + 22 = a = x − y  + Đặt  ⇒ b = xy a + 2b − a =  2 2a − 2a − thay vào (1) biến đổi ta được: + Từ (2) ⇒ b =  a =2⇒b=  −2a + 6a − 45a + 82 = ⇔  a − 2a + 41 =  x= a = x + y =    + Do phương trình (3) vơ nghiệm nên với  3⇒ ⇔ x = b =  xy =  1 3 3 1 KL: HPT có nghiệm ( x; y ) =  ; −  ;  ; −  2 2 2 2 ⇒y=− 2 ⇒y=− 2  x y + + y x + = 7xy  Bài 13: Giải hệ phương trình   x x + + y y + = + x + y Phân tích tìm lời giải + Nhận thấy HPT cho giải PP đặt ẩn phụ, nhiên để đặt ẩn phụ, ta cần biến đổi chút sau: Nhận thấy x = y = nghiệm HPT nên ta chia vế (1) cho xy ≠ , (2) ta chuyển vế nhóm nhân tử, ta được: NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com T Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  y2 + x2 +  x y + + y x + = 7xy + =7    y x ⇔    x x + + y y + = + x + y  2  x x + − x + y y + − y = ) ( ( ) + Ở phương trình (*) ta biến đổi tiếp cách “nhân liên hợp” x ( ⇔ ) ( ) x2 + − x + y 3x x2 + + x ⇔ x +3 +1 x + + y2 + − y = 6y y2 + + y y +6 +1 y =2 =2  y2 + a = a + b = a = ⇒ b = y   + Đến ta đặt  ⇒ ⇔ a = ⇒ b =   b + + a + = x2 + 2  b = x     1 + Đoạn cuối bạn đọc tự giải, cuối ta có đáp số ( x; y ) =  ;  ; 1;   15 15    x −1  3  x − 3x − y − 6y − 9y − + ln y + = Bài 14: Giải hệ phương trình   y log ( x − 3) + log y  = x +    Phân tích tìm lời giải x > y > + ĐK:  + Quan sát (1) ta thấy lập x y sang vế, mặt khác x y có mũ cao 3, ta sử dụng PP “hàm đại diện” để giải quyết, thật vậy: x − 3x − y3 − 6y − 9y − + ln x −1 =0 y +1 ⇔ x − 3x − + ln ( x − 1) = y3 + 6y + 9y + ln ( y + 1) 3 ⇔ ( x − 1) + ( x − 1) + ln ( x − 1) = ( y + 1) + ( y + 1) + ln ( y + 1) x > ⇒ t > f '(t) = 3t + 6t + > 0, ∀t > ⇒ f(t) t y > + Xét hàm số f (t) = t + 3t + ln t ,  hàm đồng biến + Từ (3) ⇒ f ( x − 1) = f ( y + 1) ⇒ x − = y + ⇔ y = x − thay vào (2) ta được: NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com T Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ( x − ) log ( x − 3) + log ( x − ) = x + ⇔ log ( x − 3) + log ( x − ) − x +1 =0 x−2 + Nhận thấy phương trình (4) khơng dễ giải được, la dùng phương pháp hàm số Ta thấy (4) có nghiệm x = , mặt khác ta xét hàm số: x +1 ,x > x−2 1 ⇒ g '(x) = + + > 0, ∀x > ( x − 3) ln ( x − ) ln ( x − )2 g(x) = log ( x − 3) + log ( x − ) − Vậy g(x) hàm đồng biến ⇒ x = nghiệm (4) ĐS: ( x; y ) = ( 5;3)  y3 3x + 2x − + 4y = Bài 15: Giải hệ phương trình  ( ) 2  y x + 4y x − 6y + 5y = Phân tích tìm lời giải + Ta nhận thấy hệ cho cô lập x y sang vế để sử dụng PP “hàm đại diện” giải HPT + Do y = nghiệm HPT nên:  3x + 2x − = −    y 3x + 2x − + 4y = y y  y 3x + 2x − = − 4y  ⇔ ⇔  3 2  y x + 4x + = + 6y  x + 4x + = +  y x + 4y x − 6y + 5y =  y2 y ( ( ( ) ) ) + Ta cộng vế (1) (2) 2 2 ⇒ x + 3x + 6x + = + ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) =   +   y y y + Xét hàm số f (t) = t + 3t, t ∈ R ⇒ f '(t) = 3t + > 0, ∀t ∈ R ⇒ f (t) hàm đồng biến 2 + Từ (3) ⇒ f ( x + 1) = f   ⇒ x + = thay vào (2) ta có: y  y x + 4x + = ( x + 1) + ( x + 1) ⇔ x = ±1 (với x = −1 khơng tìm y) ⇒ (x; y) = (1;1) y   x −x−y = x−y Bài 16: Giải hệ phương trình  2 x + y − 2x − = 11  ( ) Phân tích tìm lời giải  x − x − y ≥  + ĐK  x − y ≠  x ≥  NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com T Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH + Ở phương trình (1) ta nhận thấy: y = , bấm máy tính giải PT ta có y = 2−y y = , bấm máy tính giải PT ta có y = - Nếu cho x = ⇒ − y − 3− y ⇒ ta thấy y x đơn vị ⇒ y = x − ⇒ (1) có nhân tử chung - Nếu cho x = ⇒ − y − y − x + = − ( x − y − 1) , ta biến đổi (1) để ép nhân tử chung:  x=0<  + Ta thấy x − x − y ≠ : x − x − y = theo (1) ⇒ y = ⇒  x = 2 ⇒ x = 0; y = không nghiệm HPT, từ (1) thực nhân liên hợp ta có: x2 − x − y = y ⇔ x−y = x−y x − y −1 ⇔ (x − y) + x − y +1 = y x2 − x − y ⇔ x − y −1 = y x2 − x − y −1 = y − x2 − x − y x2 − x − y ( x + y )( y + − x ) (y + x2 − x − y ) x2 − x − y   x + y) (   ⇔ ( x − y − 1) + =0 3  2  ( x − y ) + x − y + y + x − x − y x − x − y  ( ) + Đến ta cần tìm cách chứng minh cho phương trình dấu ngoặc vng vơ nghiệm   x + y) (  ≠0 + 3  2  ( x − y ) + x − y + y + x − x − y x − x − y   >0 3  ( x − y) + x − y +1  ta chứng minh cho y > + Ta thấy  x − x − y >   x2 − x − y >  x > + Giả sử y < , từ (1) ⇒ x − y < ⇔ x − y < ⇔ ≤ x < y (vô lý) ⇒ y >  >0 3 x − y +1 x − y + ( )   ta ln có: + Như với hàng loạt kiện có  x − x − y >   x2 − x − y >   x > 0, y > ( NGUYỄN HỮU BIỂN ) https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com T Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ( x − y) + + x − y +1 ( x + y) ( y + x2 − x − y ) x2 − x − y > , từ (*) x − y − = ⇔ y = x − + Thay y = x − vào (2) ta được: 2 2x − 2x + + 2x − = 11 ⇔ ( 2x − 1) + 2x − − 10 = ( ) + Đặt t = 2x − ⇒ t + 3t − 10 = ⇔ t = ⇒ 2x − = ⇔ x = ⇒y= 2 (1 − y ) x − y + x = + ( x − y − 1) y Bài 17 (KB-2014): Giải hệ phương trình  2y − 3x + 6y + = x − 2y − 4x − 5y − Phân tích tìm lời giải + ĐK: x − y ≥ 0; y ≥ 0; x − 2y ≥ 0; 4x − 5y − ≥ + Ta thử với phương trình (1) thấy quy luật sau: y = y = - Cho x = ⇒ (1 − y ) − y − + y y = ⇔  - Cho x = ⇒ (1 − y ) − y + ( y − 1) y = ⇔ y = Như ta có quy luật y = x − , điều chứng tỏ (1) có nhân tử chung − ( x − y − 1) + Bây ta biến đổi (1) để ép nhân tử chung − ( x − y − 1) (1 − y ) x − y + x = + ( x − y − 1) y ⇔ (1 − y )  x − y − 1 + − y + x − − ( x − y − 1) (1 − y )( x − y − 1) + x − y − 1 − y = ⇔ ( )( ) y =0 x − y +1 ⇔ (1 − y )( x − y − 1) + ( x − y − 1)(1 − y ) = x − y +1 1+ y  1  ⇔ (1 − y )( x − y − 1)  + =0  x − y + 1 + y    + Với y = thay vào (2) ta có − 3x = ⇔ x = + Với y = x − thay vào (2) ta có 2x − x − = − x ) ( ) ⇔ x2 − x −1 + x −1 − − x = (   ⇔ x − x − 2 + =0 x −1 + − x   ( ) ⇔ x2 − x −1 ⇔ x = 1±  + −1 +  ;  2   Kết hợp ĐK: ( x; y ) = ( 3;1) ;  NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com T ... khác TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  x + + x − − y + = y Bài (KA-2013): Giải hệ phương trình  2  x + 2x ( y − 1) + y − 6y + = Phân tích tìm lời giải + ĐK: x ≥ + Ta thấy phương trình. .. hiểu Để giảm bớt “nỗi lo âu” em học sinh loại tập này, thầy biên soạn tài liệu TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH, tài liệu bao gồm 120 tập giải hệ phương trình E minh họa đầy đủ kỹ thuật. .. ThuVienDeThi.com T Truy c p www.khongbocuoc.com đ download thêm tài li u h c t p khác TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH    = việc giải phương 7x − 7x + + 3x + 3x +  4x − xét phương trình