Tìm hiểu các kĩ thuật giải hệ phương trình Ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia

CẨM NANG CHO MÙA THI TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH (ÔN THI THPT QUỐC GIA) NGUYỄN HỮU BIỂN LỜI GIỚI THIỆU Các em học sinh thân thân mến, đề thi ĐH môn Toán năm gần thường xuyên xuất câu giải hệ phương trình, câu hỏi thường thuộc hệ thống câu hỏi khó, có tính chất phân loại đề thi, mốc đạt điểm từ đến 10 Phương pháp suy luận để giải loại câu hỏi đa dạng, thầy kể số phương pháp phổ biến sau: (1) Phương pháp rút - (2) Phương pháp nhóm nhân tử chung (3) Phương pháp dùng hàm số đạo hàm (4) Phương pháp dùng BĐT vec - tơ (5) Phương pháp dùng số phức (6) Phương pháp nhân liên hợp đánh giá (7) Phương pháp lượng giác hóa Sự phân chia liệt kê phương pháp nói mang tính chất tương đối, thực tế đề thi thường phải vận dụng kết hợp nhiều phương pháp đan xen hợp lý để giải tập (rất đề thi dùng phương pháp độc lập) Vậy câu hỏi đặt “làm nhận biết tập cho dùng phương pháp nào?”, có tập có vài cách giải khác nhiên có cách hay nhất, dễ hiểu Để giảm bớt “nỗi lo âu” em học sinh loại tập này, thầy biên soạn tài liệu TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH, tài liệu bao gồm 120 tập giải hệ phương trình - minh họa đầy đủ kỹ thuật giải hệ phương trình đề thi đại học, đặc biệt 24 tập đầu thầy không hướng dẫn làm mà quan trọng sâu vào phân tích, tìm hiểu kỹ thuật giải tương ứng, em tích lũy thành kinh nghiệm - “bí kíp” cho riêng Sau 24 tập, thầy đưa loạt tập tự luyện kèm hướng dẫn giải bám sát cấu trúc đề theo xu để em tự thực hành đối chiếu hướng dẫn giải Phương châm mong muốn thầy học xong tài liệu này, em giải tốt câu giải hệ phương trình đề thi tới (nếu có) TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH )  x 4y3 + 3y + 5y − x = y x + 4y + (1)  Bài : Giải hệ phương trình  x + 12 − 2x = 2y − y − (2) ( ( ) Phân tích tìm lời giải  x ≤ 5y  + ĐK: 0 < x ≤ y ≥  + Trước hết quan sát ta thấy phương trình (2) có hình thức đơn giản (1) Tuy (2) có biến x y cô lập vế ta biến đổi để sử dụng “hàm đại diện” Vì vậy, ta “mò nghiệm” để tìm quan hệ x y Thật vậy: - Từ (2) ta cho y = ⇒ x + 12 − 2x = 24 , bấm máy ta thấy phương trình vô nghiệm, ta bỏ qua việc suy luận từ (2) + Bây ta cách quay (1) để “nghiên cứu” Ta thấy sau: ( - Từ (1) ta cho y = ⇒ x ( 38 + ) - Từ (1) ta cho y = ⇒ x + − x = x + 12 , bấm máy giải phương trình có x = ) ( ) 20 − x = x + 24 , bấm máy giải phương trình có x = Vậy với giá trị ta nhận thấy dự đoán x = 2y ⇔ x − 2y = , điều khiến ta có suy luận rằng, biến đổi (1) cách khéo léo, ta ép nhân tử chung ( x − 2y ) Bây ta “ép nhân tử chung” từ (1) sau: ) ( ( x 4y3 + 3y + 5y − x = y x + 4y + ) ⇔ 4xy3 + 3xy + x 5y − x = x y + 4y + 8y ( ) ) ( ( − y ) + y ( 4x + 2xy ) ⇔ 2xy3 − 4y + x 5y − x − xy + 4xy + 2xy3 − 8y − x y = ⇔ 2y3 ( x − 2y ) + x ⇔ 2y3 ( x − 2y ) − ( 5y − x x ( x − 2y )( x + 2y ) 5y − x − y ) − 8y − x y = + y ( x − 2y )( + xy ) =   x ( x + 2y ) ⇔ ( x − 2y ) 3y3 − + y ( + xy )  =   5y − x + y + Như ta ép nhân tử chung ( x − 2y ) từ (1), nhiên ngoặc vuông “khổng lồ” gắn kèm ta khó để chứng minh khác Có lẽ cách làm không khả thi cho + Sau hồi suy luận nhiều thời gian công sức, ta biết x = 2y ⇔ x − 2y = Bây đường cuối ta đổi hướng làm theo kiểu “đánh giá”, ý phải “biến đổi ép” để có ( x − 2y ) Thật vậy, từ (1) ta biến đổi sau: Trang TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ) ( ( x 4y3 + 3y + 5y − x = y x + 4y + ) ⇔ 4xy3 + 3xy + x 5y − x = x y + 4y + 8y ⇔ 3xy + x 5y − x − 8y = x y + 4y − 4xy3 ( ⇔ 3xy + x 5y − x − 8y = 2y − xy ) (3) + Nhận thấy ( 2y − xy ) ≥ , từ (3) ⇒ 3xy + x 5y − x − 8y ≥ x x x ⇔ 3  + 5−  −8 ≥ y y y x x x ⇔ −   ≥ −   (4) y y  y x x x + Mặt khác, từ ĐK x ≤ 5y ⇔   ≤ ⇔ < ≤ ⇒ −   > , BPT (4) có vế y  y y 2 không âm nên bình phương vế biến đổi ta kết quả: x x x x   +   − 48   + 64 ≤ , đặt t = ≥ y y y y ( ) ⇒ t + 4t − 48t + 64 ≤ ⇔ ( t − ) t + 4t + 16 ≤ ⇔ ( t − ) ≤ (do t + 4t + 16 > 0, ∀t ≥ 0) ⇔ ( t − 2) = ⇔ t = ⇒ x = ⇔ x = 2y y + Cuối ta tìm hướng làm đúng, thay x = 2y vào (2) ta có: 2y + 12 − 4y = 2y − y − ⇔ − y + y = y2 − y −  y − y − ≥ ⇔ y ≥ (do y ≥ 0)  ⇔ 2  − y + y = y − y − (5) ( ) ( ) + Từ (5) biến đổi ta được: y − 2y3 − 3y + 4y + = y ( − y ) (6) + Phương trình (6) thật không dễ giải được, bình phương vế tiếp tục, phương trình bậc (ghê gớm quá) nên không làm !!! + Bây bạn quan sát bậc bên phải, ta đoán tạo lượng thích hợp để nhân liên hợp đoán nhân tử chung, trước hết ta nghĩ đến việc tạo lượng ( ) ( y (3 − y ) −1 ⇒ ) (y (3 − y ) − 1) y (3 − y ) −1 = − y − 3y + ⇒ đoán nhân tử chung ( y − 3y + 1) + Vậy vấn đề ta phải ép cho vế trái (6) có nhân tử chung ( y − 3y + 1) : Trang TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH y − 2y3 − 3y + 4y − = ( ) y (3 − y ) −1 ⇔ y + y3 − y − 3y3 − 3y + 3y + y + y − = 2 ( ) ( ) ( ( ) ⇔ y y + y − − 3y y + y − + y + y − = ( )( ) ⇔ y + y − y − 3y + + ( ) y (3 − y ) −1 ( ) −2 y − 3y + y (3 − y ) + ) =0 y − 3y + y (3 − y ) +   2  =0 ⇔ y − 3y + y + y − +  y − y + ( )   ⇔ y − 3y + = y + y + + >0 y (3 − y ) + ( )  3− ⇒ y − x − = ⇒ y = x + thay  y −1 + x    vào (1) ta được: x + x + + = x − x + + (4) , bấm máy thấy phương trình có nghiệm x = , ta biến đổi để xuất nhân tử chung ( x − ) : Bình phương vế biến đổi ta được: x − = 7x − 7x + − 3x + 3x + ⇔ x−2= ⇔ x−2= 4x − 10x + 7x − 7x + + 3x + 3x + ( x − )( 2x − 1) 7x − 7x + + 3x + 3x +   4x − ⇔ ( x − ) 1 − =0 7x − 7x + + 3x + 3x +   + Đến xuất nhân tử chung ( x − ) , nhiên đại lượng dấu  ngoặc thứ hai 1 −    ta chứng minh cho ≠ , 7x − 7x + + 3x + 3x +  4x − Trang TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH    = việc giải phương 7x − 7x + + 3x + 3x +  4x − xét phương trình 1 −  trình khó + Bây ta phải quay trở phương trình (4) để đổi hướng làm sau: x + x + + = x − x + + (4) ⇔ x + x + − x − x + = − (5) + Ý tưởng làm lúc ta chứng minh cho VT (5) hàm đơn điệu để suy x = nghiệm (5) - Xét hàm số : f (x) = x + x + − x − x + ⇒ f '(x) = 2x + ⇔ f '(x) = ( 2x + 1) t - Xét hàm số f (t) = t +3 2 x + x +1 ( 2x − 1) , t ∈ R ⇒ f '(t) = ( t2 + ) ( 2x + 1) − +3 2x − ( 2x − 1) 2 x2 − x +1 > 0, ∀t ⇒ f (t) hàm đồng biến 2x + ( 2x + 1) 2x + 2x − +3 - Mặt khác ta có 2x + > 2x − ⇒ g(2x + 1) > g(2x − 1) ⇒ ⇒ f '(x) = − 2x − − +3 2x + 2x − > ( 2x − 1) +3 +3 > ⇒ f (x) hàm đồng biến +3 Vậy x = nghiệm (5) KL: (x; y) = (2;3)  x + x − x + = x ( y − 1)3 + (1)  Bài 3: Giải hệ phương trình  3 2 3  x − y + x + x + y = 2y y − x + x (2) ( ) Phân tích tìm lời giải x3 − x + ≥ + ĐK:  y ≥ + Ở phương trình (1) đa thức có hạng tử nên ta loại trừ PP nhân lượng liên hợp, ta xuất phát từ (2) để biến đổi rắc rối xem hình dạng biểu thức thu ! + Từ (2) ta biến đổi: ( x − y + x + x + y3 = 2y y − x + x ⇔  x + 2x x +  ( ⇔ (x + ⇔ x+3 ) ( x )  − 2y y − ( x + x ) + y − y = x ) − 2y y − ( x + x ) + ( y y − ) = x − y y −1) = 3 3 2 ⇔ x + x − y y −1 = Trang TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ( x) ⇔( x) ⇔ 3 + x = ( y − + 1) y − +3x= ( ) y − + y − (3) + Như sau biến đổi (2) kết thu tự nhiên tốt, điều may mắn ngẫu nhiên + Đến ta xét hàm số f (t) = t + t ⇒ f '(t) = 3t + > ⇒ f (t) hàm đồng biến Vậy từ (3) ⇒ f ( x)=f ( ) y − ⇒ x = y − ⇒ ( y − 1) = x thay vào (1) ta được: x + x3 − x + = x3 + ⇔ ( ) x3 − x2 + − x4 ⇔ ( ) x3 − x + − x + x − x3 + x −1 = x − x +1 + x ( ) + x − x3 + x −1 =   ⇔ x − x + x − 1 − =0 x3 − x + + x   ( )  x − x3 + x −1 = ⇔  x − x + + x = x =  ⇔  1 − x ≥  2   x − x + = − x ( ) x = ⇒ y = ⇔ x = ⇒ y = KL: HPT có nghiệm (x; y) = (1; 2), (0;1) 3x + 3y + = ( y − x ) y + xy + x + (1)  Bài 4: Giải hệ phương trình  ( x + y − 13) 3y − 14 − x + = (2) ( ( ) ) Phân tích tìm lời giải  x ≥ −1  + ĐK:  14  y ≥ + Quan sát phương trình (1), ta thực mở dấu ngoặc chuyển vế cô lập x y sang vế, thật vậy: ( 3x + 3y + = ( y − x ) y + xy + x + ) ⇔ 3x + 3y + = ( y − x )  y + xy + x +  ⇔ 3x + 3y + = y3 − x + ( y − x ) ( ) ⇔ x + 3x + 6x + = y3 − 3y + 6y (3) Trang TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH + Ở phương trình (3) cô lập x y sang vế, mặt khác vế có dạng đa thức bậc ba, với hình thức phương trình kiểu này, ta thường nghĩ đến phương pháp sử dụng “hàm đại diện” x + 3x + 6x + = y3 − 3y + 6y 3 ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = ( y − 1) + ( y − 1) (4) + Đến ổn rồi, xét hàm số f (t) = t + 3t ⇒ f '(t) = 3t + > ⇒ f (t) hàm đồng biến Vậy từ (4) ⇒ f (x + 1) = f (y − 1) ⇔ x + = y − ⇔ y = x + thay vào (2) ta được: ( 2x − 11) ( ) 3x − − x + = ⇔ 3x − − x + = ⇔ 3x − − x + − 2x − 11 11 =0 (5); ≤ x ≠ 2x − 11 + Ở phương trình (5) ta nhẩm thấy (hoặc dùng máy tính) phương trình có nghiệm x = 3; x = , nhiên việc giải phương trình (5) khó Trong trường hợp ta dùng phương pháp đồ thị để chứng tỏ phương trình (5) có nghiệm x = 3; x = 11 ; ≤x≠ 2x − 11 3 10 ⇒ f '(x) = − + 2 3x − x + ( 2x − 1) + Xét hàm số f (x) = 3x − − x + − x + − 3x − 10 11 + > 0, ∀x ≥ ; x ≠ 2 3x − x + ( 2x − 1) ⇔ f '(x) = + Ta có bảng biến thiên sau: x 11 +∞ + f'(x) + f(x) + Từ BBT ta thấy hàm số f(x) cắt Ox tối đa điểm, phương trình (5) có nghiệm x = 3; x = KL: HPT có nghiệm (x; y) = (3;5); (8;10) Nhận xét: Nếu ta giải phương trình ( 2x − 11) ( ) 3x − − x + = phương pháp nhân liên hợp ta biến đổi sau: ( 2x − 11) ( ⇔ ( 2x − 11) ⇔ ) 3x − − x + = ( ) 3x − − − ( 2x − 11) ( ( 2x − 11) ( x − 3) ( 2x − 11) ( x − 3) ( ) 3x − + − ( x +1 + ) ) x + − − ( x − 3) = − ( x − 3) = Trang TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  2x − 11 ( ) ⇔ ( x − 3)  −  3x − +  (  − 2 =  x +1 +  ( 2x − 11) ) ( ) + Tuy nhiên đến ta gặp khó khăn lý luận cho phương trình dấu ngoặc vuông có nghiệm x =  2x − 11 )  ( −  3x − +  ( ) (  − 2 =  x +1 +  ( 2x − 11) )   y + y2 +  6 ln   = ( x − y ) x + xy + y − (1)  x + x2 +    Bài 5: Giải hệ phương trình    4y − 6y + − 4x − = (2)  ( ) Phân tích tìm lời giải + ĐK: < x ≤ + Nhận thấy (1) có dạng đặc biệt nên biến đổi (1) ta được: ( ⇔ ln ( y + + Xét hàm số f (t) = ln ( t + ) ) ( y + ) + y − 2y = ln ( x + x + ) + x − 2x (3) t + ) + t − 2t, t ∈ R ⇒ f '(t) = + 3t − t +5 ⇔ ln y + y + − ln x + x + = x − y3 − 2x + 2y 3 2 + Đến ta chưa chứng minh f(t) hàm đơn điệu, ta tính f’’(t) sử dụng PP “min - max”, thật vậy:   ⇒ f ''(t) = 6t 1 −   (t +5 )    , xét f ''(t) = ⇔ t = , ta có bảng biến thiên sau:   t -∞ f''(t) - +∞ + f'(t) + Từ BBT ta thấy f '(t) ≥ -2 − > ⇒ f '(t) > ⇒ f (t) hàm đồng biến + Vậy từ (3) f (x) = f (y) ⇒ x = y thay vào (2) ta có: 4x − 6x + − 4x − = (4) Trang TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH (1) ⇔ x + y + = x + + y ⇔ ( x + y + ) = x + + y + y ( x + ) ⇔ ( x+2 − y - Thay (3) Vào (2) ta được: (4) ⇔ ( ) =0⇔ y = x+2 ( 3) x + − − x + − x = (4), ( -1 ≤ x ≤ 4) ) ( ) x + − + − − x + − x2 = x −3 x−3 + + (9 − x2 ) = x +1 + − x +1 x = ⇒ y = ⇔ 1  + = x + (5)  x + + − x +1 ⇔ 1   x + + ≤ Xét (5) Ta có :  ⇒  ≤1  − x + 1 + ≤ , ∀x ∈ [ -1;4] x +1 +1 − x +1 Mặt khác x + ≥ 2, ∀x ∈ [ -1;4] Vậy phương trình (5) vô nghiệm 1 + x + y + = ( x + y )2 + x + y  Bài 96: Giải hệ phương trình:  2 ( x + 1) x − x + + x + xy = Hướng dẫn làm bài: Điều kiện: x + y ≥ (1) ⇔ − ( x + y ) + x + y + − x + y = ⇔ (1 + x + y )(1 − x − y ) + − 4x − y =0 x + y + + 6x +   ⇔ (1 − x − y )  (1 + x + y ) + =0 x + y + + 6x +   - Do điều kiên x + y ≥ nên + ( x + y ) + >0 2x + y + + 6x + ⇒ x + y − = ⇔ x + y = vào phương trình (2) ta ( x + 1) x − x + + x ( x + y ) = ⇔ ( x + 1) x − x + + x − = - Đặt f ( x ) = ( x + 1) x − x + + x − x + 1)( x − 1) ( 8x2 + x + f ' ( x) = 2x − x + + +2= > 0, ∀x ∈ ℝ 2 2x − x − 2x − x − 1 ⇒ hàm số đồng biến R mà f   = nên x = nghiệm 2 1 1 Với x = ⇒ y = − (thỏa đk) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  ; −  2 2 2 Trang 61 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3  x − y + y + x − y + = (1) Bài 97: Giải hệ phương trình  ( x, y ∈ ℝ )  x + x − = x + + y (2) Hướng dẫn làm bài: Điều kiện: x ≥ −2 (1) ⇔ x + x + = y − y + y ⇔ x3 + x + = ( y − 1) + ( y − 1) + Xét hàm số f ( t ) = t + t + [ −2; +∞ ) Ta có: f ' ( t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ [ −2; +∞ ) Suy hàm số f ( t ) đồng biến [ −2; +∞ ) Do đó: x = y − Thay y = x + phương trình (2) ta được: x3 − = x + + ⇔ x3 − = ( ) ( ) x + − ⇔ ( x − ) x2 + x + = ( ) ⇔ ( x − 2) x2 + x + = ( x+2 −2 ( x+2 +2 x+2+2  ⇔ ( x − 2)  x2 + x + −  x+2 +2  ( x − 2) ( )( ) ) )  =0 x+2 +2   ( ) * x−2=0⇔ x = 2⇒ y =3 * x2 + x + − ( x+2 +2 ) = ⇔ x2 + x + = ( 2 Ta có VT = x + x + = ( x + 1) + ≥ 3;VP = x+2 +2 x+2 +2 ) (*) ≤ 1, ∀x ∈ [ −2; +∞ ) Do phương trình (*) vô nghiệm Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 2;3) 3x + 12 y + 24 xy − ( x + y ) xy = (1) Bài 98: Giải hệ phương trình  2 5 x − y + xy = 15 (2) ( x, y ∈ ℝ ) Hướng dẫn làm bài: + ĐK xy ≥ (1) ⇔ ( x + y ) + xy = ( x + y ) xy (3) + Ta có x = y = không nghiệm hệ nên xy > + Chia hai vế (3) cho ( x + y ) xy ta + Đặt t = x + y 2 xy + = 3(4) xy x + y x + 2y ≥ ta t + = ⇔ t = t xy x + 2y = ⇔ x = 2y t =2⇒ 2xy Thay x = y vào (2) ta y = ⇔ y = Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 62 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  12   −  y + 3x   Bài 99: Giải hệ phương trình:   + 12    y + 3x   Hướng dẫn làm bài:  12  12  1−  −  x =2   y + 3x   y + 3x ⇔ + Điều kiện: x > y >  1 + 12  + 12  y =  y + 3x  y + 3x   - Lấy (1) + (2): = + ⇔ 1= + (*) x y x y x =2 y =6 x = y = (1) (2)  12 (*) 12   = − ⇔ = − +    y y + 3x y + 3x  y y x x  x   y = 3x 12 ⇔ = − ⇔ y + 6xy − 27x = ⇔ y + 6xy − 27x = ⇔  y + 3x y x  y = −9x - So với điều kiện, nhận y = 3x (*) ⇔ x = + ⇒ y = 12 + - Lấy (2) – (1):  x = + Vậy hệ phương trình có nghiệm   y = 12 +  x + xy + y = Bài 100: Giải hệ phương trinh   x + xy − x − y + = Hướng dẫn làm bài: Cộng hai vế pt ta : (x + y – )2 + x( x + y – ) – (x + y – ) = x + y − = ⇔ ( x + y − ) ( x + y − 3) = ⇔  2 x + y − = x + y − = x = ⇔ y =1  x + xy + y = - Với x + y – =0 , ta có hệ :  2  x =  2 x + y − = y =1  - Với 2x + y – =0 , ta có hệ :  ⇔  x =  x + xy + y =    y = −1  x3 (4 y + 1) + 2( x + 1) x = (1)  Bài 101: Giải hệ phương trình:  2  x y + y + = x + x + (2) Hướng dẫn làm bài: ĐK: x ≥ ( https://www.facebook.com/luyenthipro.vn ) Trang 63 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH * Do x = nghiệm nên x > ⇒ x + x + > Từ PT (2) ⇒ y (2 + y + 1) > Chia hai vế pt (2) cho x , ta : (2 y) + (2 y) (2 y) 2 1 1 1 +1 = +   + ⇔ f (2 y ) = f   (3) x x x x * Xét hàm số : f (t ) = t + t t + khoảng ( 0; +∞ ) ⇒ f '(t ) = + t + + t2 t2 +1 > 0, ∀t > ⇒ hàm số đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) (4) Từ (3) (4) ⇒ y = * Thay y = x vào pt (1), ta : x3 + x + ( x + 1) x = (5) x Ta thấy x = nghiệm pt (5) Xét hàm số : f ( x) = x3 + x + ( x + 1) x khoảng ( 0; +∞ ) Có f '( x) = 3x + x + x x + x2 + > 0, ∀x > ⇒ hàm số đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) (6) x Từ (5) (6) ⇒ x = nghiệm pt (5)  1   * x = ⇒ y = Vậy nghiệm hệ : 1;   x − y − x + y + = Bài 102: Giải hệ phương trình:  ( x, y ∈ ℝ ) 2  −7 x + 12 x y − xy + y − x + y = Hướng dẫn làm bài: Ta có: −7 x3 + 12 x y − xy + y − x + y = ⇔ ( y − x )  x − x ( y − x ) + ( y − x ) +  = ( )   x  + Vì x − x ( y − x ) + ( y − x ) + =  y − x −  + x + > 0, ( ∀ x, y ) nên: 2  ( ) ⇔ x − y = hay x = y 2 y = x y = x y = x  ⇔ ⇔  x = ⇒ Hệ tương đương:  2 2 x − y − x + y + = x − 5x + =   x =  Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 2;2 ) ( x; y ) = ( 3;3) 4 x + y − x − = x + + x + x + y − (1)  Bài 103: Giải hệ phương trình:   x 12 − y + y (12 − x ) = 12 (2) Hướng dẫn làm bài: https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 64 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  x ≥ −   + Điều kiện:  y ≤ 12  y (12 − x ) ≥   x + x + y − ≥ ( *) Ta có :  x 12 − y ≤ 12 y (12 − x ) = 12 − x 12 − y ⇔  12 x − 24 x 12 − y + 12 (12 − y )  y = 12 − x  x 12 − y ≤ 12   ⇔ ⇔  x − 12 − y = − ≤ x ≤ 3; ≤ y ≤ 12  Thay vào phương trình (1) ta được: x − x + = x + + x + ( 2) ⇔ ( ) ( ) ( ) ⇔ ( x − x ) + x + − 3x + + x + − x + = 1   ⇔ ( x2 − x )  + + =0 x + + 3x + x + + x +   ⇔ x − x = ⇔ x = x = Khi ta nghiệm ( x; y ) ( 0;12 ) (1;11)  x + y + x + y + = (x + y)2 + x + y (1)  Bài 104: Giải hệ phương trình:   x + x + y + + x − y = (2) x + y ≥ (*) x − y ≥ Hướng dẫn làm bài: Điều kiện:  + Đặt t = x + y ≥ , từ (1) ta có: t + ⇔ t(1 − t) + t + = t2 + t ⇔ t − t2 + t + − t =  = ⇔ (1 − t)  t + t+3 +2 t  ⇔ t = (Vì t + + Thay (3) vào (2) ta có: 3(1 − t) t+3 +2 t  =0 t+3 +2 t > 0, ∀t ≥ ) ⇒ x + y = ⇔ y = − x (3) x2 + + 2x − = x2 − ⇔ ( x + − 2) + ( 2x − − 1) = ⇔ x +3 +2 + 2x − 2x − + =0   x +1 ⇔ (x − 1)  +  = 2x − +   x +3 +2 https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 65 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH x +1 ⇔ x = (Vì + x2 + + 2 2x − + > 0, x ≥ ) ⇒ (x = 1; y = 0), thoả mãn (*) Vậy hệ cho có nghiệm ( x = 1; y = 0)  xy( x2 + y ) − = ( x − y)2 (1) Bài 105: Giải hệ phương trình  3x y − x y( x + y) + x = 3xy 81x − (2) Hướng dẫn làm bài: Xét phương trình (1): xy( x + y ) − = ( x − y)2 ⇔ xy( x + y ) − = x2 + y − xy ⇔ xy( x + y ) − ( x2 + y ) + xy − = ⇔ ( x + y )( xy − 1) + 2( xy − 1) = ⇔ ( xy − 1)( x2 + y + 2) = ⇔ xy = thay vào (2) ta : 3 2  81x −  81x − x − x + x − = 81x − ⇔ ( x − )3 + 3( x − ) =  + (*)  3  3  Xét f (t ) = t + 3t , f(t) đồng biến R Khi PT (*) trở thành:  x =   81x −  2 81x − − 24 f ( x − ) = f  ⇔ x − = 81x − ⇔  x =  ⇔ x − = 3 3    + 24   x =  − x = + x =     ,  ⇒ hệ phương trình cho có hai nghiệm:  3 y = y =  3+ 3−   (1 − y )( x − y + 3) − x = ( y − 1)3 x (1)  Bài 106: Giải hệ phương trình  3  x − y + x − = 2( y − 2) (2) Hướng dẫn làm bài:  x − y ≥  x ≥ y ⇔ + ĐKXĐ:   x ≥ 0, y ≥  x ≥ 1, y ≥ Nhận xét x ≥ 1, y = không nghiệm hệ Xét y > pt (1) hệ (I) x + x( y − 1) − 3( y − 1)2 + ( y − 1) x( y − 1) =  x  x x x ⇔ −3+ = ,t = ,t >  + y −1 y −1 y −1  y −1  Khi đó, pt (1) trở thành t + t + t − = ⇔ ( t − 1) ( t + t + 2t + 3) = ⇔ t = https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 66 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH x = ⇔ y = x + , vào pt(2), ta y −1 - Với t = 1, x − x − + x3 − = ( x − 1) ⇔ x − x − +  x − − ( x − 1)  =     x2 − x −1   ⇔ x − x −1 +  =0 2 3 3  ( x − ) + + ( x − 1) x − + ( x − 1)    ⇔ x − x − 1 +   ⇔ V ới x =   =0 x − + ( x − 1)   x2 − x − (x − ) + + ( x − 1) x2 − x − = ⇔ x = 1+ ( x ≥ 1) 1+ +  1+ 3+ ⇒y= Đối chiếu ĐK, hệ phương có nghiệm ( x; y ) =  ;  2   9 x + xy + x − y + y = (1) Bài 107: Giải hệ phương trình   x − y + + = ( x − y ) + x − y (2) Hướng dẫn làm bài: Đk : x ≥ y ≥ Nếu x = y (2) vô nghiệm nên x > y, từ (2) ⇔ x − y + - x − y + – [3(x- y )] = ⇔ − 6x + y x − y + + 7x − y + (1 − x + y )(1 + x − y ) =   ⇔ (1 − x + y )  + (1 + x − y )  =  x − y + + x − y    + x > y ≥ nên  + (1 + x − y )  > suy 1–3x + 3y =0  x − y + + x − y  + Thay y = x – vào phương trình (1) ta 1 9x2 + 9x(x - ) + 5x – 4(x - ) + x − = 3 ⇔ 18x – 8x + 6x - + x− - = 3 (9x – ) +3( x − - ) =   = ⇔ x = x > ⇔ (9x – )  x + +   9 x − +   4 1 Với x = y = Vậy hệ có nghiệm (x;y) = ( ; ) 9 9 ⇔ 2x(9x – ) + https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 67 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  x + y + = − y (1) Bài 108: Giải hệ phương trình  9 + x + xy + y = (2) Hướng dẫn làm bài: x + y + ≥ +) Đk:   x ≥ −1 +) Nếu y ≥ , để hệ có nghiệm ≥ y ≥ VT (1) = x + y + ≥   ⇒ VT (1) > VP(1) hệ vô nghiệm VP(1) = − y ≤  +) Nếu y < 0, từ (2) suy x >     + x + xy + y = ⇔   9+  = ( − y ) + ( − y ) (3)  x  x + 2t Xét hàm số f (t ) = t + t , t > 0; f '(t ) = > 0∀t > + t2   (3) ⇔ f  = −y ⇔ x =  = f (− y) ⇔ y x  x 9 + y + = − y (4) Hàm số g ( y ) = 2 + y + y y đồng biến ( −∞;0 ) ; hàm số h(y)=1-y nghịch biến ( −∞;0 ) phương trình có ngiệm y = -3 nên pt(4) có nghiệm y = -3 Vậy hệ có nghiệm (1;-3)  x y + x + = x x y + (1) Bài 109: Giải hệ phương trình:  ( x, y ∈ R ) 2  y ( x − 1) + y ( x − 2) + y + = (2) Hướng dẫn làm bài: Điều kiện: x y ≥ −2 Từ (2) Thế vào pt(1) ta có phương trình ⇔ x y + x y = y − y + y − + 3( y − 1) ⇔ ( x y ) + x y = ( y − 1) + 3( y − 1) (3) - Xét hàm số f (t ) = t + 3t có f '(t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ R - Do (3) ⇔ f ( x y ) = f ( y − 1) ⇔ x y = y − 1, ( y ≥ −1) - Thế vào (1) ta x y + x + = x y + ⇔ x ( y + 1) − x y + + = ⇔ ( x y + − 1) = ⇔ x y + = x y + x =  y = − x  x y + =   Do hệ cho tương đương với  ⇔  x y = y − ⇔  x ( − x ) + x = ( 4)  x y = y − x > x >   2 2 ( 4) ⇔ x − x + = ⇔ ( x − 1) − x = ⇔ ( x − x − 1)( x + x − 1) = https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 68 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  1± x = − 1+ 1+ Do x > nên x = x = ⇔ 2  −1 ± x =  1+ 1− −1+ 1+ ⇒y= Với x = ⇒y= 2 2 1 + −   −1 + 1+   , ( x; y ) =   Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) =  ; ;    2 2     Với x = (1 − y ) x + y + x + y = + ( x + y − 1) y (1) Bài 110: Giải hệ phương trình:   y + x + y − y = (2) ( x ∈ ℝ, y ∈ ℝ ) Hướng dẫn làm bài: - Đặt u = x + y ; v = y ( u ≥ 0; v ≥ ) ( x = u − v ) - Pt (1) hệ trở thành: (1 − v ) u + u − v + 2v = + ( u − 1) v ⇔ ( u − 1)( v − 1)( u + v + ) = * TH : u = ⇒ x + y = ⇒ x = − y Thế vào pt thứ hai hệ ta được: y2 + − y + y4 − y2 = ⇔ y2 − y + ( ) y4 − y2 − = y4 − y2 − ⇔ y ( y − 2) +   ⇔ ( y − 2)  y +  (y (y (y =0 − 2y) + y − 2y + 4 − y)   =0⇔ y=2 + y − 2y + 4  + 2) ( y + 2) Khi x = -1 * TH 2: v = Suy y = 1; x = * TH 3: u + v + = 0: Vô nghiệm Vậy hệ cho có hai nghiệm: ( x; y ) = ( −1; ) , ( 2;1)  (x + 1)y + = 2xy (y3 − 1) Bài 111: Giải hệ phương trình:  với x, y ∈ ℝ 4  xy (3xy − 2) = xy (x + 2y) + Hướng dẫn làm bài:  xy − xy − x y − y = 1(1) + Hpt ⇔  2 3 x y − xy − x y − xy = 1(2) Lấy (2) trừ (1) ta được: 3x2y6 – 4xy5 + y4 =  y =  y4 =  ⇔ ⇔  xy = 3 ( xy ) − xy + =   xy =  + Với y = thay vào pt (1) không thỏa mãn Suy hệ vô nghiệm https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 69 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH + Với xy = thay vào pt (1) Ta được: y = ( y + 1) ⇔ y = 1± 1+ 5 −1 1− − −1 ⇒x= ; y= ⇒x= 2 2 + Với xy = thay vào pt (1) ta được: 3y4 + (y + 3)2 = vô nghiệm  −1 1+   − −1 1−  Vậy hệ có nghiệm  ; ;    2 2     + Vớ i y =  x + 2x + − y − 2y + = y − 3x − (1) Bài 112: Giải hệ phương trình:  2  y − 3y + = x − x (2) Hướng dẫn làm bài: Phương trình (2) ⇔ y2 - 3y + = x2 - x ⇔ y - 3x - = y2 - x2 - 2y - 2x vào phương trình (1) ta có: ( x + 1) +4− ( y − 1) ( y − 1) ⇔ ( x + 1) +4− ⇔ ( x + 1) + +(x+1)2= + = y2 - x2 - 2y - 2x + = (y-1)2-(x-1)2 ( y − 1) + +(y-1)2 (*) Xét hàm số f(t) = t + +t [0;+ ∞ ), f’(t) > ∀ t≥0 ⇒ f(t) đồng biến [0;+ ∞ ) x = y − 2 2 ⇒ phương trình (*) ⇔ f((x+1) ) = f((y-1) ) ⇔ (x+1) = (y - 1) ⇔  x = − y - Với x = y - 2, vào (2) giải được: x = − ; y = 2 3 - Với x = - y, vào (2) giải được: x = − ; y = 4    3   Vậy (x;y) ∈  − ;  ,  − ;    2   4    y − x + y + = x3 + y ( x + xy + y − 1) + (1) Bài 113: Giải hệ phương trình :   y + y − x = (2) Hướng dẫn làm bài: y > ( y = không thỏa HPT), từ (1)  x + y ≥ −1 −( x + 1) ⇔ = ( x + 1)( x − x + 1) + y ( x + 1)( x + y − 1) y + x + y +1 ⇔ ( x + 1)[ x − x + xy + y − y + + ] y + x + y +1 ⇔ ( x + 1)[ x + (3 y − 1) x + y − y + + ] (3) y + x + y +1 Xét A = x2 + (3y – )x + 3y2 – 3y + ∆ = -3(y - 1)2 ≤ ∀x ∈ R ⇒ A ≥ ∀x, y ∈ R Điều kiện :  - Vậy từ (3) ⇔ x = -1 ,thay x = -1 vào (2) ta có : y + y + = https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 70 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  −1 + 17 y = −1 + 17 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( - ; ) ⇔  −1 − 17 (l ) y =   x x + y + y = x + x3 + x (1)  Bài 114: Giải hệ phương trình   x + y + x − + y ( x − 1) = (2)  x ≥ , từ (1) Hướng dẫn làm bài: Đk:  y ≥ (x,y ∈ R ) ⇔ x ( x + y − x + x) + ( x − y ) = y−x ⇔x + x − y = ⇔ ( x − y )( x + y + x + x − x) = x +y+ x +x + Do x = y thay vào pt (2) : x + x + x − + x( x − 1) = + Đặt t = x + x − 1(t ≥ 0) ⇒ t = x − + x( x − 1) PT trở thành t + + 2t = hay t + 2t − = lấy t = ⇒ x − + x =  25 x ≤ ⇔ x( x − 1) = − x ⇔  ⇔x= 16 4 x − x = 25 − 20 x + x  25 25 Vậy hệ có nghiệm ( ; ) 16 16   x − 3x + = y + y Bài 115: Giải hệ phương trình:  3 x − = y + y  y3 + y ≥ x ≥  Hướng dẫn làm bài: Điều kiện:  y + y ≥ ⇔  y ≥ x − ≥  Khi đó: x − x + = y + y ⇔ ( x − 1) − ( x − 1) = ⇔ f ( x − 1) = f ( ( y+3 ) −3 y +3 ) y + với hàm số f (t ) = t − 3t - Xét hàm số f (t ) = t − 3t với t ∈ [1; +∞ ) có f '(t ) = 3t − = ( t − 1) ≥ - Hàm số f (t ) = t − 3t đồng biến [1; +∞ ) ⇒ f ( x − 1) = f - Từ x − = ( ) y + ⇒ x −1 = y + ⇔ x − = y + −1 y2 + y ⇒ ( x − 2) = y2 + y ⇔ https://www.facebook.com/luyenthipro.vn ( ) y + − = y2 + y Trang 71 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ⇔ y + = y + y + Với điều kiện y ≥ , bình phương vế phương trình biến đổi thành: y + 16 y + 72 y + 63 y − 162 = ⇔ ( y − 1) ( y + 17 y + 99 y + 162 ) = x = y =1 Suy y = x = Kết luận: Hệ có nghiệm nhất:   x + y + x2 + y =  xy(x + 1)(y + 1) = m Bài 116: Tìm m để hệ sau có nghiệm  Hướng dẫn làm bài: 2  x + x + y + y = 2 (x + x)(y + y) = m + Hệ ⇔   u + v = (1)   u.v = m (2)   u; v ≥  1 33 Từ (1) ⇒ v = − u (Do v ≥ − ⇒ − u ≥ − ⇒ u ≤ ) thay vào (2) ta có : 4 33 − u + 8u = m (*);- ≤ u ≤ 4 33 Để hệ cho có nghiệm phương trình (*) phải có nghiệm thỏa mãn - ≤ u ≤ 4 33  f (u) = − u + 8u; − ≤ u ≤ ⇔ đồ thị  4 phải cắt  y = m - Có f '(u) = −2u + 8;f '(u) = ⇔ u =  u = x + x ≥ − + Đặt  ta có hệ : v = y2 + y ≥ −  Ta có BBT: u - 4 f'(u) + - f(u) 16 - 33 16 Từ BBT suy giá trị m cần tìm : − 33 - 33 16 33 ≤ m ≤ 16 16 1  x + x + y + y =  Bài 117: (KD-2007) Tìm m để hệ sau có nghiệm   x + + y + = 15m − 10  x3 y3 https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 72 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Hướng dẫn làm bài: * ĐK: x, y ≠ 1  x + x + y + y =  + Hệ ⇔  3  x +  −  x +  +  y +  −  y +  = 15m − 10         x x  y y     u = x + x , u ≤ −2 ∪ u ≥ Đặt  thay vào hệ ta có :  v = y + , v ≤ −2 ∪ v ≥ y    v ≤ −2 u + v = (1)  3 u − 3u + v − 3v = 15m − 15 (2) u ≥   − u ≤ −2 + Từ (1) ⇒ v = − u  Do  ⇒ ⇔ , v ≥ 5 − u ≥ u ≤   kết hợp với u ≤ −2 ∪ u ≥ ⇒ u ≤ −2 ∪ ≤ u ≤ ∪ u ≥ , thay v = - u vào (2) ta được: u − 5u + = m, u ≤ −2 ∪ ≤ u ≤ ∪ u ≥ (*) + Để hệ phương trình cho có nghiệm PT (*) phải có nghiệm thỏa mãn u ≤ −2 ∪ ≤ u ≤ ∪ u ≥ f (u) = u − 5u + 8,u ≤ −2 ∪ ≤ u ≤ ∪ u ≥ phải cắt ⇔ đồ thị  y = m - Ta có f’(u) = 2u - 5, f’(u) = ⇔ u = 5 u -∞ -2 f'(u) f(u) +∞ +∞ +∞ 22 2 22 7 ≤m≤2 Từ BBT suy giá trị m cần tìm   m ≥ 22  2x − (y + 2)x + xy = m (*)  x + x − y = − 2m Bài 118: (KD-2011) Tìm m để hệ sau có nghiệm  Hướng dẫn làm bài: + Từ (*) ⇔ 2x − yx − 2x + xy = m ⇔ x (2x − y) − x(2x − y) = m ⇔ (2x − y)(x − x) = m (2x − y)(x − x) = m Hệ ⇔   x − x + 2x − y = − 2m https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 73 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  u.v = m (1)   u = x − x ≥ − + Đặt  hệ ⇔ u + v = − 2m (2)  v = 2x − y  u ≥ −  Từ (2) ⇒ v = − 2m − u thay vào (1) có : −u + u 1 m(2u + 1) = − u + u,u ≥ − ⇔ = m (**), u ≥ 2u + + Để hệ cho có nghiệm phương trình (**) phải có nghiệm thỏa mãn u ≥ −  −u + u f (u) = =m ,u ≥ ⇔ đồ thị  2u + phải cắt  y = m  −1 + u=  −2u − 2u + - Có f '(u) = ,f '(u) = ⇔  (2u + 1)  −1 − (lo¹i) u =  2 -1- u -∞ f'(u) - - - + -1+ + + +∞ - 2- f(u) - Từ BBT suy giá trị m cần tìm m ≤ -∞ 2−  x + + − y = (1) Bài 119: Giải hệ phương trình   y + + − x = (2) Hướng dẫn làm bài: * ĐK: −1 ≤ x;y ≤ - Lấy (1) - (2) ta có : x + − y + + − y − − x = ⇔ ( x+1 − y +1 ( )( x+1 + y +1 x+1 + y +1 ) )+( 7−y − 7−x ( )( 7−y + 7−x 7−y + 7−x ) ) =0   1 ⇔ (x − y)  + =0⇔x=y − y + − x   x + + y + - Thay y = x vào (1) có : x + + − x = ⇔ x + + (x + 1)(7 − x) + − x = 16 ⇔ (x + 1)(7 − x) = ⇔ x = = y https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 74 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  x y + m = y (1)  Bài 120: Tìm m để hệ sau có nghiệm  y x + m = x (2) m <  Hướng dẫn làm bài: + Lấy (1) - (2) ta có : (x − y)(xy + y + x) = ⇔ x = y (do m < nên xy + y + x > 0) Thay y = x vào (1) có : − x + x = m, x > (*) - Để hệ cho có nghiệm phương trình (*) phải có nghiệm f (x) = − x + x , x > phải cắt điểm ⇔ đồ thị  y = m  x = (ktm) - Có f '(x) = −3x + 2x,f '(x) = ⇔  x =  -∞ x +∞ f'(x) - + - f(x) 27 -∞ Từ BBT suy giá trị m cần tìm m < NGUYỄN HỮU BIỂN Fb: https://www.facebook.com/ng.huubien Nhóm ôn thi đại học online: https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 75 [...]... ⇔ x = ±1 (với x = −1 không tìm được y) ⇒ (x; y) = (1;1) y  2  x − x − y = 3 x − y (1) Bài 16: Giải hệ phương trình  2 x 2 + y 2 − 3 2x − 1 = 11 (2)  ( ) Phân tích tìm lời giải  x 2 − x − y ≥ 0  + ĐK  x − y ≠ 0  1 x ≥  2 https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 16 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH + Ở phương trình (1) ta nhận thấy: y = 0 , bấm máy tính giải PT này ta có y =... https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 18 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  y − 1 + 2y 2 + 1 = x + x 2 + xy + 3y (1) Bài 18: Giải hệ phương trình  2 2x − 11x + 21 = 3 3 4y − 8 (2) Phân tích tìm lời giải + ĐK: y ≥ 1; x ≥ 0 + Ở phương trình (1) ta làm phép thử sau: - Cho x = 1 ⇒ y − 1 + 2y2 = 1 + 4y , bấm máy tính giải PT này ⇒ y = 2 - Cho x = 4 ⇒ y − 1 + 2y 2 = 17 + 7y , bấm máy tính giải PT này... khác, phương trình (*) có dạng f ( x + 1) = f ( − x ) ⇔ x + 1 = − x ⇔ x = − 2 Thay x = − 1 vào (1) ta tìm được y = 1 2 https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 32 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  x 2 y + x 2 + 1 = 2 x x 2 y + 2 Bài 43: Giải hệ phương trình:  ( x, y ∈ R ) 3 6 2 2  y ( x − 1) + 3 y ( x − 2) + 3 y + 4 = 0 Hướng dẫn làm bài Điều kiện: x 2 y ≥ −2 Gọi hai phương trình. .. đồng biến trên R Từ (*) ta có: f (x) = f (2y − 1) ⇒ x = 2y − 1 + Thế x = 2y - 1 vào (2) giải ra được y = 1 hoặc y = 6 thoả mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;1), (11;6) https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 27 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  x + 3 xy + x − y 2 − y = 5 y + 4 Bài 34: Giải hệ phương trình   4 y 2 − x − 2 + y − 1 = x − 1 Hướng dẫn làm bài  xy + x − y 2 − y ≥ 0 ... 2x − x 2 = 2,1 ≤ x ≤ 2 , giải PT này ⇒ x = 1 KL: HPT có nghiệm (x; y) = (1;1) 3 1 − x 2 + 3x 2 − y − 1 = 3 (1)  Bài 7: Giải hệ phương trình  5 2  x − 5x = y + 2y − 4 y + 1 (2) ( ) Phân tích tìm lời giải Trang 9 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1 − x 2 ≥ 0 −1 ≤ x ≤ 1  2  + ĐK: 3x − y − 1 ≥ 0 ⇔  y + 1 ≤ 3x 2 y + 1 ≥ 0  y ≥ −1   + Quan sát thấy phương trình (2) cô lập được x và... ⇒ 3 1 − X + 2X = 3 (4) + Phương trình (4) giải bằng cách bình phương 2 vế 2 lần  6 2 49  ;−  121   11 KL: HPT có nghiệm là (x; y) = (0; −1);  ± Qua bài này ta thấy việc tìm ĐK cho hàm “đại diện” f(t) sẽ lấy hợp các ĐK của 2 hàm số ở VT và VP, đôi khi chúng ta cần tìm thật sát ĐK của f để chứng minh hàm số f(t) đơn điệu Trang 10 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  x + 1 + 4 x − 1 −... 9 = 0  y+3 +2  y+3 +2   + Ta dễ thấy với y ≥ 0 thì 9 − y − 9 < 0 Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;1) y+3 +2 https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 20 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  x 2 + y 2 + xy + 1 = 4y (1) Bài 20: Giải hệ phương trình  2 2  x + 1 ( 2 − x ) = x y (2) ( ) Phân tích tìm lời giải Nhận xét: Đối với pt (1) vế trái là đẳng cấp bậc 2, mà vế phải bậc 1,... cùng thì hệ phương trình đã cho đã trở thành :  2  x +1  y ( x + y − 2) = 1  2 x +1 Bài toán đến đây sẽ giải bằng cách đặt ẩn phụ a = , b = x + y − 2 quá dễ rồi nhé y Các bạn giải đoạn cuối sẽ có đáp số ( x; y ) = ( −2;5 ) , (1; 2 ) ( ) 3x 2 y3 + 2xy3 − y3 = 8 − 4y 3 2 2 2  x y + 4y x − 6y + 5y = 4 Bài 21: Giải hệ phương trình  Phân tích tìm lời giải + Trước hết, ta thấy mỗi PT của hệ đều có... https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 23 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  y3 − 2 = 3t (3) Như vậy ta có HPT  3 , lấy (3) - (4) ta được: t − 2 = 3y (4) y3 − t 3 = 3(t − y) ⇔ (y − t)(y 2 + yt + t 2 + 3) = 0 ⇔ y = t (do (y 2 + yt + t 2 + 3) > 0 )  1 Đến đây thì coi như bài toán giải quyết xong ĐS: (x; y) = (−1; −1); 1;   2  x 2 − 2y 2 − 7xy = 6 Bài 25: Giải hệ phương trình :  2 2 2... ⇒ x − 1 = y + 1 ⇔ y = x − 2 thay vào (2) ta được: https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 15 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ( x − 2 ) log 2 ( x − 3) + log 3 ( x − 2 ) = x + 1 ⇔ log 2 ( x − 3) + log 3 ( x − 2 ) − x +1 = 0 (4) x−2 + Nhận thấy phương trình (4) không dễ gì giải quyết được, vậy la dùng phương pháp hàm số Ta thấy (4) có 1 nghiệm là x = 5 , mặt khác ta xét hàm số: x