TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẨM NANG CHO MÙA THI NGUYỄN HỮU BIỂN (ÔN THI THPT QUỐC GIA)LỜI GIỚI THIỆU Các em học sinh thân thân mến, trong đề thi ĐH môn Toán những năm gần đây thường xuyên xuất hiện câu giải hệ phương trình, câu hỏi này thường là thuộc hệ thống câu hỏi khó, có tính chất phân loại trong đề thi, mốc đạt điểm từ 8 đến 10. Phương pháp suy luận để giải quyết đối với loại câu hỏi này cũng khá đa dạng, thầy có thể kể ra một số phương pháp phổ biến như sau: (1) Phương pháp rút thế (2) Phương pháp nhóm nhân tử chung (3) Phương pháp dùng hàm số và đạo hàm (4) Phương pháp dùng BĐT vec tơ (5) Phương pháp dùng số phức (6) Phương pháp nhân liên hợp và đánh giá (7) Phương pháp lượng giác hóa Sự phân chia và liệt kê các phương pháp nói trên cũng chỉ mang tính chất tương đối, vì trên thực tế trong đề thi chúng ta thường phải vận dụng kết hợp nhiều phương pháp đan xen hợp lý để giải quyết bài tập (rất ít đề thi chỉ dùng 1 phương pháp độc lập). Vậy câu hỏi đặt ra là “làm thế nào nhận biết được bài tập đã cho dùng phương pháp nào?”, đôi khi có bài tập có một vài cách giải khác nhau tuy nhiên sẽ có cách hay nhất, dễ hiểu nhất. Để giảm bớt “nỗi lo âu” của các em học sinh đối với loại bài tập này, thầy biên soạn cuốn tài liệu TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH, tài liệu bao gồm 120 bài tập giải hệ phương trình minh họa đầy đủ các kỹ thuật giải hệ phương trình trong đề thi đại học, đặc biệt 24 bài tập đầu thầy không chỉ hướng dẫn làm bài mà quan trọng hơn đó là đi sâu vào phân tích, tìm hiểu kỹ thuật giải tương ứng, như vậy dần dần các em sẽ tích lũy được thành kinh nghiệm “bí kíp” cho riêng mình. Sau 24 bài tập, thầy sẽ đưa ra một loạt các bài tập tự luyện kèm hướng dẫn giải bám sát cấu trúc ra đề theo xu thế mới hiện nay để các em tự thực hành và đối chiếu hướng dẫn giải. Phương châm và mong muốn của thầy là học xong tài liệu này, các em sẽ giải quyết tốt câu giải hệ phương trình trong đề thi sắp tới (nếu có).TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 1 Bài 1 : Giải hệ phương trình ( 3 2 2 2 2 2 ) ( ) 2 x 4y 3y 5y x y x 4y 8 12 2x 2y 2 y 4 (1) x + (2) + + − = + + − = − − Phân tích tìm lời giải + ĐK: x 5y 2 2 0 x 6 y 0 ≤ < ≤ ≥ + Trước hết quan sát ta thấy phương trình (2) có hình thức đơn giản hơn (1). Tuy rằng (2) có biến x và y cô lập ở từng vế nhưng ta không thể biến đổi để sử dụng “hàm đại diện” được. Vì vậy, ta sẽ “mò nghiệm” để tìm quan hệ của x và y. Thật vậy: Từ (2) ta cho y 4 x 12 2x 24 = ⇒ + − = , bấm máy ta thấy phương trình này vô nghiệm, vì vậy ta bỏ qua việc suy luận từ (2) + Bây giờ ta chỉ còn cách quay về (1) để “nghiên cứu”. Ta thấy như sau: Từ (1) ta cho y 1 x 7 5 x x 12 = ⇒ ( + − = + 2 2 ) , bấm máy giải phương trình này có x 2 = Từ (1) ta cho y 2 x 38 20 x 4 x 24 = ⇒ ( + − = + 2 2 ) ( ), bấm máy giải phương trình có x 4 = Vậy với 2 giá trị ta nhận thấy dự đoán x 2y x 2y 0 = ⇔ − = , điều này khiến ta có suy luận rằng, nếu biến đổi (1) một cách khéo léo, ta sẽ ép được nhân tử chung là (x 2y − ) . Bây giờ ta sẽ “ép nhân tử chung” từ (1) như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 4 2 3 4 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 x 4y 3y 5y x y x 4y 8 4xy 3xy x 5y x x y 4y 8y 2xy 4y x 5y x xy 4xy 2xy 8y x y 0 2y x 2y x 5y x y y 4x 2xy 8y x y 0 x x 2y x 2y 2y x 2y y x 2y 4 xy 0 5y x y x x 2y x 2y 3y y 4 xy 5y x y + + − = + + ⇔ + + − = + + ⇔ − + − − + + − − = ⇔ − + − − + + − − = − + ⇔ − − + − + = − − + ⇔ − − + + − + 0 = + Như vậy ta đã ép được nhân tử chung (x 2y − ) từ (1), tuy nhiên cái ngoặc vuông “khổng lồ” gắn kèm kia ta rất khó để chứng minh được nó khác 0. Có lẽ cách làm này vẫn không khả thi cho lắm. + Sau một hồi suy luận mất khá nhiều thời gian và công sức, ta cũng chỉ mới biết được x 2y x 2y 0 = ⇔ − = . Bây giờ con đường cuối cùng là ta đổi hướng làm theo kiểu “đánh giá”, chú ý phải “biến đổi ép” để có (x 2y − ) nhé. Thật vậy, từ (1) ta biến đổi như sau:TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 2 ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 3 2 2 2 2 2 x 4y 3y 5y x y x 4y 8 4xy 3xy x 5y x x y 4y 8y 3xy x 5y x 8y x y 4y 4xy 3xy x 5y x 8y 2y xy (3) + + − = + + ⇔ + + − = + + ⇔ + − − = + − ⇔ + − − = − + Nhận thấy (2y xy 0 2 − ≥ )2 , vậy từ (3) ⇒ 3xy x 5y x 8y 0 + − − ≥ 2 2 2 2 2 x x x 3 5 8 0 y y y x x x 5 8 3 y y y (4) ⇔ + − − ≥ ⇔ − ≥ − + Mặt khác, từ ĐK 2 2 2 x x x x 5y 5 0 5 8 3 0 y y y ≤ ⇔ ≤ ⇔ < ≤ ⇒ − > , vậy BPT (4) có 2 vế không âm nên bình phương 2 vế và biến đổi ta được kết quả: 4 2 x x x 4 48 64 0 y y y + − + ≤ , đặt t 0 x y = ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) 24 2 2 22 2 t 4t 48t 64 0 t 2 t 4t 16 0 t 2 0 t 4t 16 0, t 0) x t 2 0 t 2 2 x 2y y (do ⇒ + − + ≤ ⇔ − + + ≤ ⇔ − ≤ + + > ∀ ≥ ⇔ − = ⇔ = ⇒ = ⇔ = + Cuối cùng ta đã tìm được hướng làm đúng, bây giờ thì thay x 2y = vào (2) ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2y 12 4y 2y 2 y 4 3 y y y y 2 y y 2 0 y 2 3 y y y y 2 (do y 0) (5) + − = − − ⇔ − + = − − − − ≥ ⇔ ≥ ≥ ⇔ − + = − − + Từ (5) biến đổi ta được: y 2y 3y 4y 1 2 y 3 y 4 3 2 − − + + = − ( ) (6) + Phương trình (6) quả thật không dễ gì giải quyết được, nếu bình phương 2 vế tiếp tục, sẽ được phương trình bậc 8 (ghê gớm quá) nên không ai đi làm thế cả + Bây giờ bạn hãy quan sát căn bậc 2 bên phải, ta đoán rằng sẽ tạo ra lượng thích hợp để nhân liên hợp rồi đoán nhân tử chung, vậy trước hết ta sẽ nghĩ đến việc tạo ra lượng ( y 3 y 1 ( ) − − ) ( ) ( ) ( ) ( ) y 3y 1 2 y 3 y 1 y 3 y 1 − − + ⇒ − − = − − ⇒ đoán nhân tử chung là (y 3y 1 2 − + ). + Vậy vấn đề là ta phải ép cho vế trái của (6) có được nhân tử chung là (y 3y 1 2 − + ):TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 3 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 4 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y 2y 3y 4y 1 2 y 3 y 1 y y y 3y 3y 3y y y 1 2 y 3 y 1 2 y 3y 1 y y y 1 3y y y 1 y y 1 y 3 y 1 2 y 3y 1 y y 1 y 3y 1 0 y 3 y 1 2 y 3y 1 y y 1 0 y 3 y 1 2 y 3y 1 0 y y 1 0 y 3 y 1 3 5 y 2 do − − + − = − − ⇔ + − − − + + + − = − − − − + ⇔ + − − + − + + − = − + − + ⇔ + − − + + = − + ⇔ − + + − + = − + ⇔ − + = + + + > − + − = < ⇔ 2 3 5 y x 3 5 2 + = ⇒ = + Chú ý: các bạn có thể phân tích đa thức y 2y 3y 4y 1 4 3 2 − − + − thành nhân tử với nhân tử chung là y 3y 1 2 − + bằng 1 trong 2 cách sau: Cách 1: Chia đa thức y 2y 3y 4y 1 4 3 2 − − + − cho đa thức y 3y 1 2 − + Cách 2: Dùng hệ số bất định y 2y 3y 4y 1 y 3y 1 y my 1 m? 4 3 2 2 2 − − + − = − + + − ( )( ) ⇒ Vậy HPT có nghiệm (x; y) 3 5; 3 5 2 + = + Bài 2 : Giải hệ phương trình 2 2 2 2 x y 3 y 3x 7 y 1 2y 1 x x xy 3y (1) (2) + + = − + − + + = + + + Phân tích tìm lời giải + ĐK y 3x 2 y 1 x 0 ≥ ≥ ≥ + Ở bài này ta sẽ không xuất phát từ (1), bởi vì có 2 số 3 và 7 rời nhau nên nếu giải thường sẽ cho nghiệm không phải số nguyên. + Xét phương trình (2) để “xử lý” ta thấy: Nếu cho y 1 x x x 0 x 1 x x x 0 x 0 = ⇒ + + = ⇔ + + = ⇔ = 2 ( ) Nếu cho y 2 x x 2x 4 = ⇒ + + = 2 , bấm máy giải phương trình ⇒ x 1 = + Như vậy đến đây ta dự đoán y x 1 y x 1 0 = + ⇔ − − = , vậy nhân tử chung dự đoán sẽ là ( y x 1 − − ) , bây giờ ta tìm cách ép nhân tử chung từ phương trình (2) như sau:TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 4 2 2 2 2 2 2 y 1 2y 1 x x xy 3y y 1 x x xy 3y 2y 1 y 1 x x xy 3y 2y 1 y 1 x (3) − + + = + + + ⇔ − − = + + − − − − ⇔ = + + − − − + + Ta cần phân tích đa thức ở vế phải của (3) thành nhân tử với nhân tử chung là ( y x 1 − − ) , công việc này không hề đơn giản. Cách xử lý khéo léo là ta coi VP của (3) là phương trình bậc 2 ẩn x: x xy 3y 2y 1 0 2 2 + + − − = ( ) Tính ∆ = = − − = − ≥ y 4.1. 3y 2y 1 3y 2 0 2 2 ( ) ( )2 , vậy phương trình x xy 3y 2y 1 0 2 2 + + − − = ( ) có 2 nghiệm là : y 3y 2 x 2 x y 1 0 y 3y 2 x 2y 1 0 x 2 − + − = − + = ⇔ − − + + − = = ⇒ x xy 3y 2y 1 x y 1 x 2y 1 2 2 + + − − = − − + − ( ) ( )( ) Vậy (3) ( )( ) ( ) y 1 x x y 1 x 2y 1 y 1 x 1 y x 1 x 2y 1 0 y 1 x − − ⇔ = − − + − − + ⇔ − − + + − = − + Ta thấy với ĐK x 0; y 1 x 2y 1 0 y x 1 0 y x 1 1 y 1 x ≥ ≥ ⇒ − + + + − > ⇒ − − = ⇒ = + thay vào (1) ta được: x x 1 3 x x 1 7 2 2 + + + = − + + (4), bấm máy thấy phương trình này có nghiệm x 2 = , vậy ta sẽ biến đổi để xuất hiện nhân tử chung là (x 2 − ) : Bình phương 2 vế và biến đổi ta được: ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 2 7x 7x 7 3x 3x 3 4x 10x 4 x 2 7x 7x 7 3x 3x 3 2 x 2 2x 1 x 2 7x 7x 7 3x 3x 3 4x 2 x 2 1 0 7x 7x 7 3x 3x 3 − = − + − + + − + ⇔ − = − + + + + − − ⇔ − = − + + + + − ⇔ − − = − + + + + + Đến đây mặc dù đã xuất hiện nhân tử chung là (x 2 − ) , tuy nhiên đại lượng trong dấu ngoặc thứ hai là 2 2 4x 2 1 7x 7x 7 3x 3x 3 − − − + + + + ta không thể chứng minh cho nó ≠ 0 ,TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 5 hơn nữa nếu xét phương trình 2 2 4x 2 1 0 7x 7x 7 3x 3x 3 − − = − + + + + thì việc giải phương trình này là rất khó. + Bây giờ ta phải quay trở về phương trình (4) để đổi hướng làm bài như sau: x x 1 3 x x 1 7 x x 1 x x 1 7 3 2 2 2 2 + + + = − + + ⇔ + + − − + = − (4) (5) + Ý tưởng làm bài lúc này là ta sẽ chứng minh cho VT của (5) là hàm đơn điệu để suy ra x 2 = là nghiệm duy nhất của (5). Xét hàm số : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2x 1 2x 1 f (x) x x 1 x x 1 f (x) 2 x x 1 2 x x 1 2x 1 2x 1 f (x) 2x 1 3 2x 1 3 + − = + + − − + ⇒ = − + + − + + − ⇔ = − + + − + Xét hàm số 2 2 ( ) 2 t 3 f (t) , t R f (t) 0, t t 3 t 3 = ∈ ⇒ = > ∀ + + ⇒ f (t) là hàm đồng biến Mặt khác ta có ( )2 2 ( ) 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 g(2x 1) g(2x 1) 2x 1 3 2x 1 3 + − + > − ⇒ + > − ⇒ > + + − + ( )2 2 ( ) 2x 1 2x 1 f (x) 0 f (x) 2x 1 3 2x 1 3 + − ⇒ = − > ⇒ + + − + là hàm đồng biến. Vậy x 2 = là nghiệm duy nhất của (5). KL: (x; y) (2;3) = Bài 3: Giải hệ phương trình ( ) ( ) 4 3 2 3 2 2 4 2 3 3 3 3 x x x 1 x y 1 1 x y 2 x x y 2y y 1 x x (1) (2) + − + = − + − + + + = − + Phân tích tìm lời giải + ĐK: x x 1 0 3 2 y 1 − + ≥ ≥ + Ở bài này đối với phương trình (1) trong căn là đa thức có 3 hạng tử nên ta loại trừ PP nhân lượng liên hợp, vậy ta xuất phát từ (2) để biến đổi mấy căn rắc rối kia xem hình dạng biểu thức thu được ra sao nhé + Từ (2) ta biến đổi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 2 2 3 3 2 3 3 x y 2 x x y 2y y 1 x x x 2x. x x 2y y 1 x x y y 0 x x 2y y 1 x x y y 1 0 x x y y 1 0 x x y y 1 0 − + + + = − + ⇔ + + − − + + − = ⇔ + − − + + − = ⇔ + − − = ⇔ + − − =TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 x x y 1 1 . y 1 x x y 1 y 1 (3) ⇔ + = − + − ⇔ + = − + − + Như vậy sau khi biến đổi (2) thì kết quả thu được tự nhiên rất tốt, do đó đây là điều hết sức may mắn và ngẫu nhiên. + Đến đây ta xét hàm số f (t) t t f (t) 3t 1 0 f (t) = + 3 2 ⇒ = + > ⇒ là hàm đồng biến Vậy từ (3) ⇒ f x f y 1 x y 1 y 1 x ( 3 3 ) = − ( ) ⇒ = − ⇒ ( ) − = 3 2 thay vào (1) ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 3 3 2 2 4 3 2 3 2 4 4 3 2 3 2 2 4 3 2 3 2 2 4 3 2 3 2 2 2 2 3 2 2 x x x 1 x 1 x x 1 x x x x 1 0 x x 1 x x x x 1 0 x x 1 x 1 x x x 1 1 0 x x 1 x x x x 1 0 x x 1 x 1 x 1 1 x 0 x x 1 1 x x 1 y 2 x 0 y 1 + − + = + ⇔ − + − + − + − = − + − ⇔ + − + − = − + + ⇔ − + − − = − + + − + − = ⇔ − + + = = ⇔ − ≥ − + = − = ⇒ = ⇔ = ⇒ = KL: HPT có nghiệm (x; y) (1;2),(0;1) = Bài 4: Giải hệ phương trình ( )( ) ( )( ) 3x 3y 8 y x y xy x 6 2 2 2 2 x y 13 3y 14 x 1 5 (1) (2) + + = − + + + + − − − + = Phân tích tìm lời giải + ĐK: x 1 14 y 3 ≥ − ≥ + Quan sát phương trình (1), nếu ta thực hiện mở dấu ngoặc và chuyển vế thì sẽ cô lập được x và y sang từng vế, thật vậy: ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 2 3x 3y 8 y x y xy x 6 3x 3y 8 y x y xy x 6 3x 3y 8 y x 6 y x x 3x 6x 8 y 3y 6y (3) + + = − + + + ⇔ + + = − + + + ⇔ + + = − + − ⇔ + + + = − +TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 7 + Ở phương trình (3) đã cô lập x và y sang từng vế, mặt khác mỗi vế đều có dạng đa thức bậc ba, với hình thức phương trình kiểu này, ta thường nghĩ đến phương pháp sử dụng “hàm đại diện”. ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 3 x 3x 6x 8 y 3y 6y x 1 3 x 1 y 1 3 y 1 (4) + + + = − + ⇔ + + + = − + − + Đến đây ổn rồi, xét hàm số f (t) t 3t f (t) 3t 3 0 f (t) = + 3 2 ⇒ = + > ⇒ là hàm đồng biến Vậy từ (4) ⇒ f (x 1) f (y 1) x 1 y 1 y x 2 + = − ⇔ + = − ⇔ = + thay vào (2) ta được: ( ) 2x 11 3x 8 x 1 5 3x 8 x 1 ( ) 2x 11 5 5 8 11 3x 8 x 1 ; x 2x 11 3 2 =0 (5) − − − + = ⇔ − − + = − ⇔ − − + − ≤ ≠ − + Ở phương trình (5) ta nhẩm thấy (hoặc dùng máy tính) phương trình có 2 nghiệm x 3; x 8 = = , tuy nhiên việc giải phương trình (5) là rất khó. Trong trường hợp này ta sẽ dùng phương pháp đồ thị để chứng tỏ phương trình (5) chỉ có đúng 2 nghiệm x 3; x 8 = = . + Xét hàm số f (x) 3x 8 x 1 ; x 5 8 11 2x 11 3 2 = − − + − ≤ ≠ − ( ) ( ) 2 2 3 1 10 f (x) 2 3x 8 2 x 1 2x 1 3 x 1 3x 8 10 8 11 f (x) 0, x ; x 2 3x 8. x 1 2x 1 3 2 ⇒ = − + − + − + − − ⇔ = + > ∀ ≥ ≠ − + − + Ta có bảng biến thiên sau: ++ +∞ 11 2 8 3 f(x) f(x) x + Từ BBT ta thấy hàm số f(x) cắt Ox tại tối đa 2 điểm, vậy phương trình (5) chỉ có 2 nghiệm x 3; x 8 = = KL: HPT có nghiệm là (x; y) (3;5);(8;10) = Nhận xét: Nếu ta giải phương trình ( ) 2x 11 3x 8 x 1 5 − − − + = ( ) bằng phương pháp nhân liên hợp thì ta sẽ biến đổi như sau: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2x 11 3x 8 x 1 5 2x 11 3x 8 1 2x 11 x 1 2 2 x 3 0 2x 11 .3 x 3 2x 11 . x 3 2 x 3 0 3x 8 1 x 1 2 − − − + = ⇔ − − − − − + − − − = − − − − ⇔ − − − = − + + +TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2x 11 2x 11 x 3 2 0 3x 8 1 x 1 2 ⇔ − − − = − − − + + + + Tuy nhiên đến đây ta gặp khó khăn khi lý luận cho phương trình ở dấu ngoặc vuông kia có nghiệm duy nhất x 8 = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2x 11 2x 11 2 0 3x 8 1 x 1 2 − − − − = − + + + Bài 5: Giải hệ phương trình ( )( ) 2 2 2 2 4 2 y y 5 6ln x y x xy y 1 x x 5 3 4y 6y 2 3 4x 0 4 (1) (2) + + = − + + − + + − + − − = Phân tích tìm lời giải + ĐK: 0 x 3 4 < ≤ + Nhận thấy (1) có dạng đặc biệt nên biến đổi (1) ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 3 2 3 6ln y y 5 6ln x x 5 x y 2x 2y 6ln y y 5 y 2y 6ln x x 5 x 2x (3) ⇔ + + − + + = − − + ⇔ + + + − = + + + − + Xét hàm số f (t) 6ln t t 5 t 2t, t R = + + + − ∈ ( 2 3 ) f (t) 3t 2 26 2 t 5 ⇒ = + − + + Đến đây ta vẫn chưa chứng minh được f(t) là hàm đơn điệu, vậy ta sẽ tính f’’(t) và sử dụng PP “min max”, thật vậy: ( ) 2 3 1 f (t) 6t 1 t 5 ⇒ = − + , xét f (t) 0 t 0 = ⇔ = , ta có bảng biến thiên sau: 6 5 2 0 ∞ + 0 +∞ f(t) f(t) t + Từ BBT ta thấy f (t) 2 0 f (t) 0 f (t) 6 5 ≥ − > ⇒ > ⇒ là hàm đồng biến. + Vậy từ (3) f (x) f (y) x y = ⇒ = thay vào (2) ta có: 4x 6x 2 3 4x 0 4 2 3 4 − + − − = (4)TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 9 + Việc giải phương trình (4) cũng không hề đơn giản, bây giờ ta dùng đến máy tính và thấy phương trình (4) chỉ có nghiệm duy nhất x 1 2 = , do đó ta phải chứng minh cho hàm số ở vế trái của (4) là hàm đơn điệu, thật vậy: + Xét hàm số g(x) 4x 6x 2 3 4x , x 0; 4 2 3 3 4 4 = − + − − ∈ g (x) 16x 12x 4x 4x 3 0, x 0; 3 2 2 4 4 3 ( ) 3 4x 3 4x 4 ⇒ = − − = − − < ∀ ∈ − − ⇒ g(x) là hàm nghịch biến x 1 2 ⇒ = là nghiệm duy nhất của (4) y 1 2 ⇒ = KL: HPT có nghiệm ( ) x; y ; 1 1 2 2 = Bài 6: Giải hệ phương trình ( ) 2 3 2 2x x y 2 x 3x 2 y 2 1 y 0 (1) (2) − + = − + + + − = Phân tích tìm lời giải + ĐK: 2x x 0 2 0 x 2 0 y 1 0 y 1 − ≥ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ≤ ≤ + Nhận thấy phương trình (2) có thể cô lập được x và y sang từng vế, mặt khác VT là đa thức bậc 3 đối với x, VP chứa căn bậc hai của đa thức bậc nhất đối với y, đối với hình thức này, ta thường sử dụng PP “hàm đại diện” để giải quyết, thật vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 3 3 x 3x 2 y 2 1 y 0 x 3x 2 y 2 1 y x 3x 3x 1 3 x 1 1 y 3 1 y x 1 3 x 1 1 y 3 1 y (3) − + + + − = ⇔ − + = − + − ⇔ − + − − − = − − − ⇔ − − − = − − − + Xét hàm số f (t) t 3t = − 3 , ta thấy 0 x 2 1 x 1 1 1 t 1 0 y 1 0 1 y 1 ≤ ≤ − ≤ − ≤ ⇔ ⇒ − ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ − ≤ ⇒ f (t) 3t 3 3 t 1 0, t 1;1 = − = − ≤ ∀ ∈ − 2 2 ( ) ⇒ f (t) là hàm nghịch biến. + Từ (3) ( ) ( ) ( )2 2 x 1 0 x 1 f x 1 f 1 y x 1 1 y x 1 1 y y x 2x − ≥ ≥ − = − ⇒ − = − ⇔ ⇔ − = − = − + + Thay vào (1) ta được: 2x x 2x x 2,1 x 2 − + − = ≤ ≤ 2 2 , giải PT này ⇒ x 1 = KL: HPT có nghiệm (x; y) (1;1) = Bài 7: Giải hệ phương trình ( ) 2 2 5 2 3 1 x 3x y 1 3 x 5x y 2y 4 y 1 (1) (2) − + − − = − = + − + Phân tích tìm lời giảiTÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 10 + ĐK: 2 2 2 1 x 0 1 x 1 3x y 1 0 y 1 3x y 1 0 y 1 − ≥ − ≤ ≤ − − ≥ ⇔ + ≤ + ≥ ≥ − + Quan sát thấy phương trình (2) cô lập được x và y sang mỗi vễ, hơn nữa đa thức trong căn bậc hai là bậc nhất nên ta sẽ nghĩ đến việc biến đổi (2) theo PP “hàm đại diện”. ( ) ( ) ( ) 5 2 5 2 5 5 x 5x y 2y 4 y 1 x 5x y 1 5 y 1 x 5x y 1 5 y 1 (3) − = + − + ⇔ − = + − + ⇔ − = + − + + Xét hàm số f (t) t 5t = − 5 + Ta cần tìm điều kiện của : 2 x 1;1 y 1 3x t 1; 3 y 1 0; 3 y 1 0 ∈ − + ≤ + ≥ ⇒ + ∈ ⇒ ∈ − + Ta có f (t) 5t 5 5 t 1 = − = − 4 4 ( ), rõ ràng với t 1; 3 ∈ − thì ta chưa thể xác định được hàm f(t) đơn điệu, điều này chứng tỏ ĐK của t tìm chưa sát (vẫn còn thiếu). Bây giờ ta phải nghiên cứu kỹ hơn để tìm ĐK cho t thật sát. + Xét (1) ta thấy: 2 2 2 2 2 2 3 3. 1 x 1. 3x y 1 3 3. 3 3x 1. 3x y 1 3 3 1. 3 3x 3x y 1 1 3 3 3 2 2 y y y 1 0 y 1 4 4 2 = − + − − ⇔ = − + − − ⇔ ≤ + − + − − ⇔ ≤ − ⇔ ≤ − ⇔ + ≤ ⇔ ≤ + ≤ + Như vậy cuối cùng ta có x 1;1 3 t 1;1 y 1 0; 2 ∈ − ⇒ ∈ − + ∈ ⇒ f (t) 5 t 1 0, t 1;1 f (t) = − ≤ ∀ ∈ − ( 4 ) ⇒ là hàm nghịch biến. + Từ (3) f x f y 1 x y 1 ( ) ( ) 0 x 1 2 2 x y 1 y x 1 ≤ ≤ ⇒ = + ⇒ = + ⇔ = + ⇒ = − thay vào (1) ta được: 3 1 x 2x 3 − + = 2 2 , đặt X x X 0;1 3 1 X 2X 3 = 2 ⇒ ∈ ⇒ − + = (4) + Phương trình (4) giải bằng cách bình phương 2 vế 2 lần KL: HPT có nghiệm là (x; y) (0; 1); ; 6 2 49 11 121 = − ± − Qua bài này ta thấy việc tìm ĐK cho hàm “đại diện” f(t) sẽ lấy hợp các ĐK của 2 hàm số ở VT và VP, đôi khi chúng ta cần tìm thật sát ĐK của f để chứng minh hàm số f(t) đơn điệu.TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 11 Bài 8 (KA2013): Giải hệ phương trình ( ) 4 4 2 2 x 1 x 1 y 2 y x 2x y 1 y 6y 1 0 (1) (2) + + − − + = + − + − + = Phân tích tìm lời giải + ĐK: x 1 ≥ + Ta thấy phương trình (1) có thể cô lập x và y sang từng vế, vậy rất có thể sẽ sử dụng được PP “hàm đại diện” để giải quyết, thật vậy: ( ) 4 4 4 4 4 4 4 x 1 x 1 y 2 y x 1 x 1 y 2 y x 1 2 y 2 y (3) + + − − + = ⇔ + + − = + + ⇔ − + = + + + Xét hàm số f (t) t 2 t = + + 4 , do y R, x 1 t R ∈ ≥ ⇒ ∈ 3 4 2t f (t) t t 2 ⇒ = + + , rõ ràng với t R ∈ thì hàm số f(t) không đơn điệu, vậy ta cần tìm điều kiện sát hơn đối với t như sau. + Xét (2) x 2x y 1 y 6y 1 0 x 2xy 2x y 6y 1 0 2 2 2 2 + − + − + = ⇔ + − + − + = ( ) ( ) 2 2 2 x y 1 2xy 2x 2y 4y x y 1 4y 4y 0 y 0 ⇔ + + + − − = ⇔ + − = ⇒ ≥ ⇒ ≥ + Như vậy với x 1 t 0 y 0 ≥ ⇒ ≥ ≥ 3 4 2t f (t) t 0, t 0 f (t) t 2 ⇒ = + ≥ ∀ ≥ ⇒ + là hàm đồng biến. + Từ (3) ⇒ f x 1 f y x 1 y x y 1 ( 4 4 − = ) ( ) ⇒ − = ⇒ = + 4 thay vào (2) ta được: y y 2y y 4 0 ( ) 7 4 y 0 7 4 y 2y y 4 0 (4) = + + − = ⇔ + + − = + Ở phương trình (4) ta thấy có 1 nghiệm y 1 = , mặt khác xét hàm số ở vế trái của (4) ta có: g(y) y 2y y 4 g (y) 7y 8y 1 0 = + + − 7 4 6 3 ⇒ = + + > nên g(y) là hàm đồng biến, vậy y 1 = là nghiệm duy nhất của (4). KL: HPT có nghiệm (x; y) (1;0),(2;1) = Bài 9: Giải hệ phương trình 3 2 2 2 2 2y 2x 1 x 3 1 x y 5x 2y 12x 7 x y 19 5y (1) (2) − + = + − + + + − − − = Phân tích tìm lời giải + ĐK: 2 2 2 2 x 1 5x 2y 12x 7 0 x y 19 0 ≥ − + + + ≥ − − ≥ + Nhận thấy phương trình (1) có thể cô lập x và y sang từng vế, hơn nữa đa thức trong căn là bậc 1, y bậc 3 nên ta sẽ nghĩ đến PP sử dụng “hàm đại diện”, thật vậy: https:www.facebook.comluyenthipro.vnTÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 12 ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 2y 2x 1 x 3 1 x y 2y y 2x 1 x 3 1 x 2y y 2 1 x 1 1 x 3 1 x 2y y 2 1 x 1 x 3 1 x 2y y 2 1 x 1 x (3) − + = + − ⇔ + = + + + ⇔ + = + − + + + ⇔ + = + − + + + ⇔ + = + + + + Xét hàm số f (t) 2t t, t R f (t) 6t 1 0, t R = + ∈ 3 2 ⇒ = + > ∀ ∈ ⇒ f (t) là hàm đồng biến, từ (3) f y f 1 x y 1 x ( ) = + ⇔ = + ( ) thay vào (2) ta có: 2 2 2 2 5x 14x 9 x x 20 5 x 1, x 5 5x 14x 9 5 x 1 x x 20 + + − − − = + ≥ ⇔ + + = + + − − + Bình phương 2 vế ta được: 2x 5x 2 5 x 1 x 5 x 4 2 − + = + − + ( )( )( ) (4) + Đối với dạng phương trình (4) ta sẽ giải bằng PP đặt 2 ẩn phụ như sau: Đặt ( )( ) 2 2 2 a x 1 x 5 0 a x 5x 5 b x 4 0 b x 4 = + − ≥ = − − ⇒ = + > = + thay vào (4) ta có: 2 2 2 a a 2a 3b 5ab 2 5 3 0 b b + = ⇔ − + = a 1 b a b a 3 2a 3b b 2 = = ⇔ ⇔ = = ( )( ) ( )( ) ( ) x 1 x 5 x 4 5 61 7 61 x y 2 2 4 x 1 x 5 9 x 4 x 8 y 3 + − = + = + + ⇒ = ⇒ ⇔ + − = + = ⇒ = KL: HPT có nghiệm ( ) x; y ; ; 8;3 5 61 7 61 ( ) 2 2 = + + Bài 10: Giải hệ phương trình ( ) ( ) 3 x y 2 10 xy 2 2 1 2 ( ) x y 1 2x 5 x y (1) (2) + + = − − + = − Phân tích tìm lời giải + ĐK: x y ≠ + Nhận thấy dạng HPT trên sẽ nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để giải quyết, thật vây : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 3 x y 2 10 xy 2 x y x y 20 x y x y 1 1 2x 5 x y x y 5 x y x y + + = − + + − + = − − ⇔ + = + + − + = − − https:www.facebook.comluyenthipro.vnTÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 13 + Đặt ( ) ( ) a x y 2 2 a 3 b 2 2a b 2 20 1 1 14 a b 5 a bb x y x y 3 3 = + = ⇒ = ⇒ + = + − = ⇔ = ⇒ == − + − KL: HPT có nghiệm là ( ) ( ) x; y 2;1 ; ; ; ; 8 10 1 10 8 10 1 10 3 3 3 3 + − − + = Bài 11 (KA2008): Giải hệ phương trình ( ) 2 3 2 4 2 5 x y x y xy xy 4 5 x y xy 1 2x 4 (1) (2) + + + + = − + + + = − Phân tích tìm lời giải + HPT đã cho nếu biến đổi một chút ta sẽ thấy xuất hiện nhân tử chung: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2 2 4 2 2 5 5 x y x y xy xy x y xy xy x y 4 4 5 5 x y xy 1 2x x y xy 4 4 + + + + = − + + + + = − ⇔ + + + = − + + = − + Đặt 2 2 2 3 2 5 5 5 a b ab b a a 0 b a x y 4 4 4 b xy 5 a 1 3 a b a a 0 a b 4 4 2 2 = + + + = − = − − = ⇒ = − ⇒ ⇔ ⇔ = + = − + + = = − ⇒ = − + Với 2 3 5 3 x y 0 x 5 4 a 0,b 5 4 xy 25 4 y 16 + = = = = − ⇒ ⇔ = − = − + Tương tự với a ;b x 1; y 1 3 3 2 2 2 = − = − ⇒ = = − KL: HPT đã cho có nghiệm ( ) x; y ; ; 1; 3 5 25 3 3 4 16 2 = − − Bài 12 (KA2012): Giải hệ phương trình 3 2 3 2 2 2 x 3x 9x 22 y 3y 9y 1 x y x y 2 (1) (2) − − + = + − + − + = Phân tích tìm lời giải + Nhận thấy (1) có x và y cô lập sang từng vế, hơn nữa bậc của đa thức với biến x và y đều là 3, vậy ta sẽ biến đổi (1) theo PP “hàm đại diện” ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 3 x 3x 9x 22 y 3y 9y x 1 12 x 1 y 1 12 y 1 (3) − − + = + − ⇔ − − − = + − + + Xét hàm số f (t) t 12t, t R f (t) 3 t 4 = − ∈ 3 2 ⇒ = − ( ) , ta thấy f(t) không phải hàm đơn điệu, do đó ta cần đi tìm điều kiện sát hơn đối với biến t như sau: + Từ (2) ta biến đổi sẽ thấy: https:www.facebook.comluyenthipro.vnTÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 14 2 2 2 2 1 3 1 1 x 1 x 1 1 1 1 3 3 2 2 2 x y x y x y 1 t 2 2 2 2 2 1 1 3 1 y 1 y 1 2 2 2 − ≤ − ≤ − ≤ − ≤ + − + = ⇔ − + + = ⇒ ⇔ ⇒ − ≤ ≤ − ≤ + ≤ − ≤ + ≤ + Như vậy với điều kiện của t là 3 3 t f (t) 0 f (t) 2 2 − ≤ ≤ ⇒ < ⇒ là hàm nghịch biến. + Vậy từ (3) ⇒ f x 1 f y 1 x 1 y 1 y x 2 ( − = + ) ( ) ⇒ − = + ⇔ = − thay vào (2) và biến đổi ta được: 2 1 3 x y 2 2 4x 8x 3 0 3 1 x y 2 2 = ⇒ = − − + = ⇔ = ⇒ = − KL: HPT có nghiệm ( ) x; y ; ; ; 1 3 3 1 2 2 2 2 = − − Nhận xét: Ta có thể giải HPT trên bằng PP đặt ẩn phụ như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 2 2 2 x 3x 9x 22 y 3y 9y x y 3xy x y 3 x y 2xy 9 x y 22 0 1 1 x y x y 2 x y 2xy x y 2 − − + = + − − + − − − + − − + = ⇔ + − + = − + − − = + Đặt 3 2 2 a 3ab 3a 6b 9a 22 0 a x y 1 b xy a 2b a 2 (1) (2) + − − − + = = − ⇒ = + − = + Từ (2) 2a 2a 1 2 b 4 − − ⇒ = thay vào (1) và biến đổi ta được: 3 2 2 3 a 2 b 2a 6a 45a 82 0 4 a 2a 41 0 (3) = ⇒ = − + − + = ⇔ − + = + Do phương trình (3) vô nghiệm nên với 3 1 a 2 x y 2 x y 2 2 3 3 b xy 1 3 4 4 x y 2 2 = + = = ⇒ = − ⇒ ⇔ = = = ⇒ = − KL: HPT có nghiệm ( ) x; y ; ; ; 1 3 3 1 2 2 2 2 = − − Bài 13: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 x y 6 y x 3 7xy x x 3 y y 6 2 x y (1) (2) + + + = + + + = + + Phân tích tìm lời giải + Nhận thấy HPT đã cho có thể giải bằng PP đặt ẩn phụ, tuy nhiên để đặt được ẩn phụ, ta cần biến đổi một chút như sau: Nhận thấy x y 0 = = không phải là nghiệm của HPT nên ta chia 2 vế của (1) cho xy 0 ≠ , còn (2) ta chuyển vế và nhóm nhân tử, ta sẽ được: https:www.facebook.comluyenthipro.vnTÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 15 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y 6 x 3 x y 6 y x 3 7xy 7 y x x x 3 y y 6 2 x y x x 3 x y y 6 y 2 () + + + + + = + = ⇔ + + + = + + + − + + − = + Ở phương trình () ta biến đổi tiếp bằng cách “nhân liên hợp” ( 2 2 ) ( ) 2 2 2 2 x x 3 x y y 6 y 2 3x 6y 2 x 3 x y 6 y 3 6 2 x 3 y 6 1 1 x y + − + + − = ⇔ + = + + + + ⇔ + = + + + + + Đến đây ta đặt 2 2 y 6 a a b 7 a 5 b 2 y 3 6 7 7 2 a b b x 3 b 1 a 1 2 2 x + = + = = ⇒ = + ⇒ + = ⇔ = ⇒ = = + + + Đoạn cuối bạn đọc tự giải, cuối cùng ta có đáp số ( ) x; y ; ; 1; 4 8 1 15 15 2 = Bài 14: Giải hệ phương trình ( ) 3 3 2 2 3 x 1 x 3x y 6y 9y 2 ln 0 y 1 y log x 3 log y x 1 (1) (2) − − − − − − + = + − + = + Phân tích tìm lời giải + ĐK: x 3 y 0 > > + Quan sát (1) ta thấy có thể cô lập được x và y sang từng vế, mặt khác x và y đều có mũ cao nhất là 3, vì vậy ta sẽ sử dụng PP “hàm đại diện” để giải quyết, thật vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 x 1 x 3x y 6y 9y 2 ln 0 y 1 x 3x 2 ln x 1 y 6y 9y ln y 1 x 1 3 x 1 ln x 1 y 1 3 y 1 ln y 1 (3) − − − − − − + = + ⇔ − − + − = + + + + ⇔ − + − + − = + + + + + + Xét hàm số f (t) t 3t ln t = + + 3 2 , do x 3 t 0 y 0 > ⇒ > > 2 1 f (t) 3t 6t 0, t 0 t = + + > ∀ > ⇒ f(t) là hàm đồng biến. + Từ (3) ⇒ f x 1 f y 1 x 1 y 1 y x 2 ( − = + ) ( ) ⇒ − = + ⇔ = − thay vào (2) ta được: https:www.facebook.comluyenthipro.vnTÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 16 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 x 2 log x 3 log x 2 x 1 x 1 log x 3 log x 2 0 x 2 (4) − − + − = + + ⇔ − + − − = − + Nhận thấy phương trình (4) không dễ gì giải quyết được, vậy la dùng phương pháp hàm số. Ta thấy (4) có 1 nghiệm là x 5 = , mặt khác ta xét hàm số: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 x 1 g(x) log x 3 log x 2 , x 3 x 2 1 1 3 g (x) 0, x 3 x 3 ln 2 x 2 ln 3 x 2 + = − + − − > − ⇒ = + + > ∀ > − − − Vậy g(x) là hàm đồng biến ⇒ x 5 = là nghiệm duy nhất của (4). ĐS:(x; y 5;3 ) = ( ) Bài 15: Giải hệ phương trình 3 2 ( ) 2 3 2 2 y 3x 2x 1 4y 8 y x 4y x 6y 5y 4 + − + = + − + = Phân tích tìm lời giải + Ta nhận thấy hệ đã cho có thể cô lập được x và y sang từng vế để sử dụng PP “hàm đại diện” giải HPT. + Do y 0 = không phải là nghiệm của HPT nên: ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 3 3 2 8 4 3x 2x 1 y 3x 2x 1 4y 8 y 3x 2x 1 8 4y y y y x 4y x 6y 5y 4 y x 4x 5 4 6y x 4x 5 4 6 y y (1) (2) + − + = + − = − + − = − ⇔ ⇔ + − + = + + = + + + = + + Ta cộng vế của (1) và (2) ( ) ( ) 3 3 2 3 3 8 6 2 2 x 3x 6x 4 x 1 3 x 1 3 y 6 y y ⇒ + + + = + ⇔ + + + = + (3) + Xét hàm số f (t) t 3t, t R f (t) 3t 3 0, t R f (t) = + ∈ 3 2 ⇒ = + > ∀ ∈ ⇒ là hàm đồng biến + Từ (3) f x 1 f x 1 ( ) 2 2 y y ⇒ + = ⇒ + = thay vào (2) ta có: x 4x 5 x 1 3 x 1 x 1 3 + + = + + + ⇔ = ± ( ) ( ) 2 (với x 1 = − không tìm được y) ⇒ (x; y) (1;1) = Bài 16: Giải hệ phương trình ( ) 2 3 2 2 y x x y x y 2 x y 3 2x 1 11 (1) (2) − − = − + − − = Phân tích tìm lời giải + ĐK x x y 0 2 x y 0 1 x 2 − − ≥ − ≠ ≥ https:www.facebook.comluyenthipro.vnTÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 17 + Ở phương trình (1) ta nhận thấy: Nếu cho x 2 = 3 y 2 y 0 2 y ⇒ − − = − , bấm máy tính giải PT này ta có y 1 = Nếu cho x 3 = 3 y 6 y 0 3 y ⇒ − − = − , bấm máy tính giải PT này ta có y 2 = ⇒ ta thấy y luôn kém x là 1 đơn vị ⇒ y x 1 = − ⇒ như vậy (1) sẽ có nhân tử chung là y x 1 x y 1 − + = − − − ( ) , bây giờ ta sẽ biến đổi (1) để ép nhân tử chung: + Ta thấy x x y 0 2 − − ≠ vì : nếu x x y 0 2 − − = thì theo (1) 1 x 0 y 0 2 x 1 ⇒ = ⇒ = < = ⇒ x 0; y 0 = = không là nghiệm của HPT, vậy từ (1) thực hiện nhân liên hợp ta có: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 3 3 y y y y x x y x x y x y x y 1 1 x y x x y x x y x x y x y 1 x y y 1 x x y x y 1 y x x y x x y 1 x y x y 1 0 x y x y 1 y x x y x x y () − − − − − = ⇔ − = ⇔ − − = − = − − − − − − − − − + + − ⇔ = − + − + + − − − − + ⇔ − − + = − + − + + − − − − + Đến đây ta cần tìm cách chứng minh cho phương trình ở dấu ngoặc vuông vô nghiệm. ( ) ( ) 3 2 3 ( 2 2 ) 1 x y 0 x y x y 1 y x x y x x y + + ≠ − + − + + − − − − + Ta thấy 3 ( )2 3 2 2 1 0 x y x y 1 x x y 0 x x y 0 x 0 > − + − + − − > − − > > vậy ta chỉ còn chứng minh cho y 0 > + Giả sử y 0 < , vậy từ (1) 3 x y 0 x y 0 x y 1 2 ⇒ − < ⇔ − < ⇔ ≤ < (vô lý) ⇒ y 0 > + Như vậy với hàng loạt dữ kiện có được là 3 ( )2 3 2 2 1 0 x y x y 1 x x y 0 x x y 0 x 0, y 0 > − + − + − − > − − > > > thì ta luôn có: https:www.facebook.comluyenthipro.vnTÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 18 ( ) ( ) 3 2 3 ( 2 2 ) 1 x y 0 x y x y 1 y x x y x x y + + > − + − + + − − − − , vậy từ () x y 1 0 y x 1 − − = ⇔ = − + Thay y x 1 = − vào (2) ta được: 2 2x 2x 1 3 2x 1 11 2x 1 3 2x 1 10 0 ( 2 − + + − = ⇔ − + − − = ) ( )2 + Đặt t 2x 1 t 3t 10 0 t 2 2x 1 2 x y 4 5 3 2 2 = − ⇒ + − = ⇔ = ⇒ − = ⇔ = ⇒ = Bài 17 (KB2014): Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 1 y x y x 2 x y 1 y 2y 3x 6y 1 2 x 2y 4x 5y 3 (1) (2) − − + = + − − − + + = − − − − Phân tích tìm lời giải + ĐK: x y 0; y 0;x 2y 0;4x 5y 3 0 − ≥ ≥ − ≥ − − ≥ () + Ta thử với phương trình (1) thì thấy quy luật sau: Cho x 1 1 y 1 y 1 y y 0 ( ) y 0 y 1 = = ⇒ − − − + = ⇔ = Cho x 2 1 y 2 y y 1 y 0 y 1 = ⇒ ( − − + − = ⇔ = ) ( ) Như vậy ta có quy luật y x 1 = − , điều này chứng tỏ (1) sẽ có nhân tử chung là − − − (x y 1) + Bây giờ ta sẽ biến đổi (1) để ép nhân tử chung là − − − (x y 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 y x y x 2 x y 1 y 1 y x y 1 1 y x 2 x y 1 y 0 1 y x y 1 x y 1 1 y 0 x y 1 1 y x y 1 x y 1 1 y 0 x y 1 1 y 1 1 1 y x y 1 0 x y 1 1 y − − + = + − − ⇔ − − − + − + − − − − = − − − ⇔ + − − − = − + − − − − − − ⇔ + = − + + ⇔ − − − + = − + + + Với y 1 = thay vào (2) ta có 9 3x 0 x 3 − = ⇔ = + Với y x 1 = − thay vào (2) ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2x x 3 2 x 2 x x 1 x 1 2 x 0 1 x x 1 2 0 x 1 2 x 1 5 x x 1 x 2 − − = − ⇔ − − + − − − = ⇔ − − + = − + − ± ⇔ − − ⇔ = Kết hợp ĐK: ( ) ( ) x; y 3;1 ; ; 1 5 1 5 2 2 + − + = https:www.facebook.comluyenthipro.vnTÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 19 Bài 18: Giải hệ phương trình 2 2 2 3 y 1 2y 1 x x xy 3y 2x 11x 21 3 4y 8 (1) (2) − + + = + + + − + = − Phân tích tìm lời giải + ĐK: y 1; x 0 ≥ ≥ + Ở phương trình (1) ta làm phép thử sau: Cho x 1 y 1 2y 1 4y = ⇒ − + = + 2 , bấm máy tính giải PT này ⇒ y 2 = Cho x 4 y 1 2y 17 7y = ⇒ − + = + 2 , bấm máy tính giải PT này ⇒ y 5 = + Đến đây ta dự đoán quy luật y x 1 x y 1 0 = + ⇔ − + = ⇒ (1) sẽ có nhân tử chung là x y 1 − + , bây giờ ta biến đổi (1) để ép nhân tử chung: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 y 1 2y 1 x x xy 3y x y 1 x xy 3y 2y 1 0 x y 1 x xy 3y 2y 1 0 x y 1 (3) − + + = + + + ⇔ − − + + + − − = − + ⇔ + + + − − = + − + Ta coi x xy 3y 2y 1 0 2 2 + + − − = là phương trình bậc 2, ẩn x ⇒ ∆ = − ( ) 3y 2 2 x y 1 x y 1 0 x xy 3y 2y 1 x y 1 x 2y 1 2 2 ( )( ) x 2y 1 x 2y 1 0 = − − + = ⇒ ⇔ ⇒ + + − − = − + + − = − + + − = + Vậy phương trình (3) tương đương với: ( ) ( ) x y 1 2 2 x xy 3y 2y 1 0 x y 1 1 x y 1 x 2y 1 0 x y 1 (4) − + + + + − − = + − ⇔ − + + + − = + − + Căn cứ vào ĐK của bài ta có : 1 x 2y 1 0 x y 1 + + − > + − , vậy từ (4) ⇔ = + y x 1 + Thay y x 1 = + vào (2) ta được: 2x 11x 21 3 4x 4 2 − + = − 3 (5) + Ở phương trình (5) ta thấy có 1 nghiệm x 3 = (nhẩm hoặc bấm máy), vì vậy ta cần biến đổi (5) để ép nhân tử chung là (x 3 − ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 2 2 3 3 2 3 3 2x 11x 21 4x 4 3 4x 4 8 2x 11x 15 12 x 3 x 3 2x 5 4x 4 2 4x 4 4 12 x 3 2x 5 0 4x 4 2 4x 4 4 (6) − + = − ⇔ − − = − + − ⇔ = − − − + − + ⇔ − − − = − + − + + Đến phương trình (6) ta lại gặp khó khăn khi xử lý phương trình trong dấu ngoặc vuông ( ) ( ) 3 3 2 2 3 3 ( ) 12 12 2x 5 0 2x 5 4x 4 2 4x 4 4 4x 4 2 4x 4 4 − − = ⇔ = − (7) − + − + − + − + https:www.facebook.comluyenthipro.vnTÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 20 + Đặt t 4x 4 = − 3 ta xét hàm số f (t) 2 12 t 2t 4 = + + ( ) ( ) 2 2 24 t 1 f (t) t 2t 4 + ⇒ = − + + + Ta cần phải tìm ĐK cho t để đánh giá hàm f(t), nhận thấy từ (5) ta có: 2 2 3 3 3 3 11 47 2x 11x 21 3 4x 4 2 x 3 4x 4 4 8 47 47 47 3 4x 4 4x 4 t f (t) 0 8 24 24 − + = − ⇔ − + = − ⇒ − ≥ ⇔ − ≥ ⇒ ≥ ⇒ < ⇒ f (t) là hàm nghịch biến 3 ( )2 3 12 f (x) 4x 4 2 4x 4 4 ⇒ = − + − + là hàm nghịch biến, mặt khác hàm số g(x) 2x 5 = − là hàm đồng biến, hơn nữa nhận thấy phương trình (7) có 1 nghiệm x 3 x 3 = ⇒ = là nghiệm duy nhất của (7). + Từ (6) ⇒ x 3 = . ĐS: (x; y 3;4 ) = ( ) Bài 19: Giải hệ phương trình ( ) ( ) x x 3 y y 3 2 2 3 x 2 y y 8 (1) (2) − − + = − − = + Phân tích tìm lời giải + Quan sát hệ ta thấy (1) có thể cô lập được x và y sang từng vế, hơn nữa x có mũ 3, y nằm trong biểu thức chứa căn bậc 2 đây là loại toán phổ biến ta sẽ nghĩ ngay đến việc dùng “hàm đại diện” để làm. Cụ thể (1) biến đổi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 3 x 3x 2 y y 3 x 1 3 x 1 y 3 3 y 3 x 1 3 x 1 y 3 3 y 3 ⇔ − + = + ⇔ − − − = + − + ⇔ − − − = + − + + Đến đây thì ổn rồi, coi như là có lối thoát, ta xét hàm f (t) t 3t = − 3 + Các bạn chú ý tìm điều kiện của t căn cứ vào ĐK của x và y nhé, cụ thể như thế này: Do x 2 x 1 1 t 1 y 0 y 1 1 ≥ ⇒ − ≥ ⇒ ≥ ≥ ⇒ + ≥ , xét f (t) 3t 3 0, t 1 = − ≥ ∀ ≥ 2 ⇒ f(t) đồng biến Vậy f x 1 f y 3 x 1 y 3 x 1 y 3 ( ) − = + ⇔ − = + ⇔ = + + ( ) thay vào (2) và bình phương 2 vế ta được: 9 y 3 y 8y 9 + = + + 2 () + Phương trình () ta có thể dùng quy tắc giải phương trình cơ bản rồi bình phương 2 vế, tuy nhiên cách đó sẽ ra phương trình bậc cao, hơn nữa ta chỉ giải được nếu pt đó có nghiệm nguyên. + Bạn lấy máy tính bấm ta thấy pt () có nghiệm y = 1, vậy ta sẽ dùng cách thêm bớt rồi nhân liên hợp để xuất hiện nhân tử chung là y 1 như sau: ( ) ( )( ) ( ) 9 y 3 y 8y 9 y 3 2 y 8y 9 2 2 y 1 9 9 y 1 y 9 y 1 y 9 0 y 3 2 y 3 2 + = + + ⇔ + − = + − () 9 − ⇔ = − + ⇔ − − − = + + + + + Ta dễ thấy với y 0 ≥ thì 9 y 9 0 y 3 2 − − < + + . Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;1) https:www.facebook.comluyenthipro.vnTÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 21 Bài 20: Giải hệ phương trình ( )( ) 2 2 2 2 x y xy 1 4y x 1 2 x x y (1) (2) + + + = + − = Phân tích tìm lời giải Nhận xét: Đối với pt (1) vế trái là đẳng cấp bậc 2, mà vế phải bậc 1, như vậy dạng toán này ta thường nghĩ đến việc khử ẩn bậc 1 nằm ở vế phải như sau: + Ta thấy y = 0 không phải là nghiệm của hệ nên chia 2 vế của (1) cho y 0 ≠ được phương trình : x 1 2 x y 4 + y + + = () + Ở phương trình () đã xuất hiện đại lượng 2x 1+ y , điều này có nghĩa là ta sẽ biến đổi (2) để làm xuất hiện 2x 1+ y và dẫn đến việc suy nghĩ sẽ giải hệ bằng cách đặt ẩn phụ, trong đó có 1 ẩn phụ là x 1 2 a + y = + Bây giờ ta thực hiện mở dấu ngoặc từ pt(2) sẽ được : x x x y 2x 2 0 3 2 2 + + − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x 1 x y 2 x 1 0 x x 1 x y y y 2 x 1 0 x x 1 y x 1 2 x 1 y x 1 x y 2 y x 1 x y 2 1 y () ⇔ + + − + = ⇔ + + + − − + = ⇔ + + + − + = ⇔ + + − = + ⇔ + − = + Như vậy sau khi biến đổi pt(2) để làm xuất hiện đại lượng 2x 1+ y , ta thấy xuất hiện thêm một đại lượng nữa là (x y 2 + − ), do đó từ () ta thêm bớt để thành như sau : x 1 2 x y 4 + y + + = () ( ) x 1 2 x y 2 2 y + ⇔ + + − = + Vậy cuối cùng thì hệ phương trình đã cho đã trở thành : ( ) ( ) ( ) 2 2 x 1 x y 2 2 y x 1 x y 2 1 y + + + − = + + − = Bài toán đến đây sẽ giải bằng cách đặt ẩn phụ x 1 2 a + y = , b x y 2 = + − quá dễ rồi nhé. Các bạn giải đoạn cuối sẽ có đáp số (x; y 2;5 , 1;2 ) = − ( ) ( ) Bài 21: Giải hệ phương trình 2 3 3 3 3 2 2 2 3x y 2xy y 8 4y x y 4y x 6y 5y 4 + − = − + − + = Phân tích tìm lời giải + Trước hết, ta thấy mỗi PT của hệ đều có thể cô lập được x, y nên ta biến đổi như sau: https:www.facebook.comluyenthipro.vnTÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 22 ( ) ( ) 3 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3x y 2xy y 8 4y y 3x 2x 1 8 4y x y 4y x 6y 5y 4 y x 4x 5 4 6y + − = − + − = − ⇔ + − + = + + = + + Nhận thấy y = 0 không phải là nghiệm của hệ nên ta biến đổi tiếp : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 2 3 3 2 8 4 3x 2x 1 y 3x 2x 1 8 4y y y y x 4x 5 4 6y x 4x 5 4 6 y y (1) (2) + − = − + − = − ⇔ + + = + + + = + + Quan sát (1) và (2) rõ ràng ta cần phải cộng vế của chúng lại (sẽ làm mất đi lượng 4 2 y ) 3 2 3 8 6 x 3x 6x 4 y y ⇒ + + + = + () + Phương trình () nhận thấy VT và VP có “hình thức” gần giống nhau rồi, vậy chắc chắn đến đây sẽ dùng “hàm đại diện” để làm, vậy biến đổi tiếp tục nhé: ( ) ( ) 3 3 2 3 3 8 6 2 2 x 3x 6x 4 x 1 3 x 1 3 y y y y + + + = + ⇔ + + + = + Ổn rồi nhé, giờ xét hàm số f(t) t 3t, t R f (t) 3t 3 0, t R = + ∈ 3 2 ⇒ = + > ∀ ∈ . Vậy f(t) là hàm đồng biến f (x 1) f x 1 2 2 y y + = ⇒ + = thay vào (2) …(bạn tự làm đoạn cuối vì nó không khó). Cuối cùng có đáp số (x; y) (1;1) = Bài 22: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 x 2y 8(x y) 3xy 4 2 x 3 y 2x y 5 (1) (2) + = + − − + − = − + Phân tích tìm lời giải + ĐK: x 2; y 3 ≤ ≤ + Ta thấy ở phương trình (1) ⇒ x x(8 3y) 2y 8y 0 2 2 − − + − = () + Ta coi () là phương trình bậc 2 với ẩn x, tính ∆ = − − − = = − ≥ ( ) 8 3y 4.1 2y 8y ... y 8 0 2 2 ( 2 ) ( ) , từ đây tìm được 2 nghiệm x 8 2y x 2y 8 0 x y x y 0 = − + − = ⇔ = − + = , vậy () ⇔ + − + = (x 2y 8)(x y) 0 + Với x 2y 8 + = ta thấy: với đk đề bài x 2 x 2 x 2y 8 x 2y 8 y 3 2y 6 y 3 ≤ = ⇒ + ≤ ⇒ + = ⇔ ≤ ⇒ ≤ = (như vậy ta đã dùng cách đánh giá kết hợp với đk để có x = 2 ; y = 3, nếu bạn không biết kỹ thuật đặc biệt này thì từ x 2y 8 + = ⇔ = − x 8 2y thay vào (2) giải sẽ rất dài dòng) Bây giờ thay x = 2; y = 3 vào (2) ta thấy không thỏa mãn. Vậy loại bỏ trường hợp này + Với y x = − thay vào (2) và biến đổi ta được : 4 2 x 3 x x 5 − + + = + 2 (). Gặp dang phương trình (), ta dùng máy tính để bấm nghiệm và thấy phương trình có 1 nghiệm là x = 1, như vậy ta sẽ nghĩ đến dùng PP “nhân lên hợp” để xuất hiện nhân tử chung là (x 1) − . Thật vậy, từ () https:www.facebook.comluyenthipro.vnTÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 23 4 2 x 1 3 x 2 x 1 4 (x 1)(x 1) ( ) ( ) 2 1 x x 1 2 x 1 3 x 2 4 1 (1 x) x 1 0 2 x 1 3 x 2 − − ⇔ − − + + − = − ⇔ + = − + − + + + ⇔ − − + + = − + + + TH1: 1 x 0 x 1 y 1 − = ⇔ = ⇒ = − TH2: Xét f (x) x 1; 3 x 2 4 1 2 x 1 3 x 2 = − + + − ≤ ≤ − + + + Nhận thấy f(x) có 1 nghiệm x 2 = − , mặt khác: ( )2 2 ( ) 2 1 f (x) 0 2 x 2 x 1 2 3 x 3 x 1 = + > − − + + + + ⇒ f(x) là hàm đồng biến ⇒ x 2 = − là nghiệm duy nhất của f(x). Vậy HPT có nghiệm (x; y) (1; 1);( 2;2) = − − Bài 23: Giải hệ phương trình 2 2 3 2 2x 11x 2y 9 0 22x 21 y 3y y (2x 1) 2x 1 (1) 4x (2) − − + = − + + + + = + − Phân tích tìm lời giải + ĐK: x 1 2 ≥ + HPT ( ) 2 2 3 2 2x 11x 2y 9 11x 21 y 3y y (2x 1) 2x 1 (1) 4 2x (2) − = − ⇔ − + + + + = + − Thay (1) vào (2) ta có: y 3y 5y 3 (2x 1) 2x 1 3 2 + + + = + − () Nhận thấy () có vế trái là đa thức bậc 3, vế phải có căn bậc 2, hơn nữa x và y đều cô lập ở mỗi vế, do đó ta sẽ nghĩ đến PP hàm số để giải quyết tiếp, thật vậy từ () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 y 1 2 y 1 2x 1 2 2x 1 y 1 2 y 1 2x 1 2. 2x 1 ⇔ + + + = − + − ⇔ + + + = − + − Đến đây ổn rồi, ta xét hàm f (t) t 2t f (t) 3t 2 0 = + 3 2 ⇒ = + > ⇒ f(t) là hàm đồng biến ⇒ f y 1 f 2x 1 y 1 2x 1 ( ) + = − ⇔ + = − ( ) thay vào (1) ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2x 11x 11 0 x 1 y 0 2 2x 1 2x 11x 11 4 2x 1 2x 11x 11 x 5 y 2 − + ≥ = ⇒ = − = − + ⇔ ⇔ − = − + = ⇒ = Bài 24: Giải hệ phương trình 3 3 3 2x 3x y 1 xy 2x 3 + = − = Phân tích tìm lời giải + Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của hệ nên sẽ biến đổi như sau: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 2 3y 2 3y 2x 3x y 1 x x y 2 2 3y y 2 3. 2 3y xy 2x 3 3 1 y 2 3 y 2 x x 3 () + = + = = + − ⇔ ⇔ ⇒ + = ⇒ − = + − = − = = − + Đặt ẩn phụ t 2 3y t 2 3y t 2 3y = + 3 ⇒ 3 3 = + ⇔ − = , mặt khác từ () có y 2 3t 3 − = . https:www.facebook.comluyenthipro.vnTÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 24 Như vậy ta có HPT 3 3 y 2 3t 2 3y (3) t (4) − = − = , lấy (3) (4) ta được: y t 3(t y) (y t)(y yt t 3) 0 y t 3 3 2 2 − = − ⇔ − + + + = ⇔ = (do (y yt t 3) 0 2 2 + + + > ) Đến đây thì coi như bài toán giải quyết xong. ĐS: (x; y) ( 1; 1); 1; 1 2 = − − Bài 25: Giải hệ phương trình : 2 2 2 2 2 2 x 2y 7xy 6 x 2x 5 y 2y 2 x 2xy y 9 − − = + + + − + = + + + Hướng dẫn làm bài Từ (2) ⇔ + + + − + = + + ( ) x 1 2 y 1 1 x y 3 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) () Xét u (x 1;2), v (y 1;1) u v (x y;3) = + = − ⇒ + = + Từ () ta có | | | | | | 2 2( 1) 1 2 1 1 + + ≥ + ⇔ = ⇔ + = − − x u v u v x y y thay vào (1) và giải hệ ta có (x; y) ( 1;1); ; 7 1 2 4 = − − − Bài 26 (KA2014) Giải hệ phương trình : 2 3 x 12 y y(12 x ) 12 x 8x 1 2 y 2 − + − = − − = − Hướng dẫn làm bài Từ (1) ⇔ − + − = x. 12 y y. 12 x 12 2 Xét u (x; 12 x ), v ( 12 y; y) u 12, v 12 = − = − 2 ⇒ = = Ta có u.v u.v u . v x. 12 y y. 12 x 12 ≤ ≤ ⇔ − + − ≤ 2 Dấu “=” khi 2 x 12 x 2 y 12 x 12 y y − = ⇔ = − − thay vào (2) để giải hệ phương trình … Bài 27: Giải hệ phương trình: ( )( ) ( ) ( ) 2 4 2 3 3 1 1 4 8 1 3 2 26 2 14 2 xy x y y x y x y x x + + + − = − + + = − Hướng dẫn làm bài ĐK: y ≥ 0 Ta có 4 0 + − > − = y y y y do đó từ phương trình (1) suy ra x>0; y>0 ( ) 1 1 1 4 4 8 4 ⇔ + + + − + + = + + xy x y y y y y y ( 2 )( )( ) ( ) xy x y y x x x ( ) 1 1 2 4 1 1 2 2 ( ) 2 2 4 y y y ⇔ + + = + + ⇔ + + = + + 2 2 2 2 2 x x x 1 1 y y y ⇔ + + = + + (3) https:www.facebook.comluyenthipro.vnTÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 25 Xét hàm số f t t t t ( ) = + + 1 2 trên (0;+∞) . Có ( ) ( ) 2 2 2 1 1 0 0; 1 t f t t t t = + + + > ∀ ∈ +∞ + Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên (0;+∞) . Mà phương trình (3) có dạng f x f x y ( ) 2 2 42 y y x = ⇔ = ⇔ = Thay y 42 x = vào phương trình (2) ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 12 26 8 2 14 6 13 4 14 2 2 14 14 4 x x x x x x x x x x − + + = − ⇔ − + + = − ⇔ − + − = − + − Xét hàm số g u u u ( ) = + 3 trên R Có g u u u R 3 1 0 ( ) = + > ∀ ∈ 2 Suy ra hàm số g(u) đồng biến trên R mà phương trình (4) có dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 2 1 2 2 14 2 14 6 12 6 0 1 2 x nhaän g x g x x x x x x loaïi = + − = − ⇔ − = − ⇔ − + + = ⇔ = − ⇒ y = − 12 8 2 . Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1 2;12 8 2 + − ) Bài 28: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 4 2 6 11 10 4 2 0 + − = − − − − − + − − = x x y y x y x x Hướng dẫn làm bài Điều kiện: 2 2 4 2 0 2 4 10 0 y y x x + + ≥ − − + ≥ Áp dụng bất đẳng thức AMGM ta có: 2 2 2 4(10 4 2 ) 14 4 2 6 11 10 4 2 4 x x x x y x x x − − − − − + = − − = ≤ Rút gọn ta được: 4( 6 11) 14 4 2 10 2 15 0 y x x x x x y − + ≤ − − ⇔ − + + ≤ 2 2 (3) Tương tự phương trình (1) : 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 4 4 3 0 2 y y x x y y x x y y − − − + − = − − − ≤ ⇔ + + + − ≤ (4) Cộng vế với vế của (3) và (4) ta được: 2 2 2 2 1 3 6 6 12 0 3( 1) ( 3) 0 3 x x x y y x y y = − + + + ≤ ⇔ − + + ≤ ⇔ = − Kết hợp với điều kiện đề bài, suy ra nghiệm hệ phương trình là S = − (1, 3) Bài 29: Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 (1) 1 2. (2) x xy y y x y x y x + + = + − + + = Hướng dẫn làm bài ĐK: x y − + ≥ 1 0. https:www.facebook.comluyenthipro.vnTÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 26 2 2 2 (3) (1) 2 2 0 ( )( 2 2) 0 2 2 (4) x y x y xy y y x x y x y x y = ⇔ − + − + − = ⇔ − + − = ⇔ = − • Từ (3) (2) ta có x = y = 1. • Từ (4) (2) ta có 2 2 0; 2 1 8 3 3 2 ; . 3 3 y x x y y y y y x = = = − − = ⇔ = − = Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 1;1 ; ; 2;0 ; ; ; . 8 1 3 3 x y x y x y = = = − Bài 30: Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 4 3 7 4 5 6 3 2 3 10 34 47 x xy y x xy y x xy y x xy y + − + + − = − − + + = Hướng dẫn làm bài ĐK: 2 2 2 2 3 2 0 4 3 7 0 x xy y x xy y − − ≥ + − ≥ Chuyển vế nhân liên hợp ở phương trình (1), ta được: ( ) 2 2 5 6 4 0 2 2 2 2 1 6 4 3 7 3 2 x y x xy y x y x xy y x xy y + − + = ⇔ + − + − − = = − + Với x y = thay vào (2), ta được: x 2 = ⇔ 1 x y x y = ⇒ = = − ⇒ = − 1 1 1 1 + Với x y = −6 thay vào (2), ta được: 2 47 47 6 82 82 82 47 47 47 6 82 82 y x y y x = ⇒ = − = ⇔ = − ⇒ = ; KL: S = − − − − ( ) ( ) 1;1 , 1; 1 , ; 6 ; ;6 47 47 47 47 82 82 82 82 Bài 31: Giải hệ phương trình sau 3 2 2 2 1 3 1 1 2 2 1 y x x x y y x xy x + − = − − + = + + Hướng dẫn làm bài Đk: − ≤ ≤ 1 1 x Hệ phương trình 3 ( )3 2 2 2 1 1 1 2 2 1 y y x x y x xy x + = − + − ⇔ + = + + ( ) 2 ( ) 1 1 , 0 1 2 2 1 2 y x y y x xy x = − ≥ ⇔ + = + + Ta có (2) ⇔ − + = + − 1 1 2 2 1 x x x x 2 2 ⇔ + − − − − = 2 2 1 1 1 0 x x x x 2 2 (Do hàm f t t t ( ) = + 2 3 luôn đồng biến) https:www.facebook.comluyenthipro.vnTÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 27 Đặt x t = cos với t ∈0; π , ta có cos 1 2sin 1 2 sin 2 2 2 t t x t x = = − ⇒ − = Nên phương trình (2) trở thành 2 os 2cos sin 2 sin 1 0 2 t 2 c t t t + − − = 2 sin 2 2 sin 4 2 t t π ⇔ + = ( ) 4 3 3 4 5 5 k t k k t π π π π = − + ⇔ ∈ = + ℤ ( ) os 0; 5 5 2 sin 10 x c t t l y π π π π π = ∈ = ⇔ ⇔ = = là nghiệm của hệ phương trình. Bài 32: Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 x y xy 1 x y x y x y + + = + + = − Hướng dẫn làm bài ÑK : x y 0 + > , ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 + + = + + = − xy x y x y x y x y ( ) ( ) 1 2 1 0 2 2 0 ⇔ + − + − = ⇔ + − + + − + = 2 3 2 ( ) ( ) ( ) + xy x y xy x y xy x y xy x y x y ⇔ + + − − + − = ( ) ( ) x y x y xy x y ( 2 1 2 1 0 ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 ( ) 1 1 2 0 1 3 0 4 ⇔ + − + + + − = + = ⇔ + + + = x y x y x y xy x y x y x y Dễ thấy (4) vô nghiệm vì x + y > 0. Thế (3) vào (2) ta được x y 2 − = 1 Giải hệ 2 1 1; 0 1 2; 3 + = = = ⇒ − = = − = x y x y x y x y (nhận) Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (1;0) và (2;3). Bài 33: Giải hệ phương trình: x 3 +12y2 + x + 2 = 8y3 +8y x 2 +8y3 + 2y = 5x Hướng dẫn làm bài Error Objects cannot be created from editing field codes. + Ta có (1) x x (2y 1) (2y 1)() ⇔ + = − + − 3 3 + Xét hàm số f (t) t t, t R = + ∈ 3 ⇒ f (t) 3t 1 0 = + > 2 . Vậy hàm số f(t) đồng biến trên R. Từ () ta có: f (x) f (2y 1) x 2y 1 = − ⇒ = − + Thế x = 2y 1 vào (2) giải ra được y = 1 hoặc y = 6 thoả mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;1), (11;6) https:www.facebook.comluyenthipro.vnTÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 28 Bài 34: Giải hệ phương trình 2 2 3 5 4 4 2 1 1 x xy x y y y y x y x + + − − = + − − + − = − Hướng dẫn làm bài Đk: 2 2 0 4 2 0 1 0 xy x y y y x y + − − ≥ − − ≥ − ≥ Ta có (1) ⇔ − + − + − + = x y x y y y 3 1 4( 1) 0 ( )( ) Đặt u x y v y = − = + , 1 (u v ≥ ≥ 0, 0 ) Khi đó (1) trở thành : u uv v 2 2 + − = 3 4 0 4 ( ) u v u v vn = ⇔ = − Với u v = ta có x y = + 2 1, thay vào (2) ta được : 4 2 3 1 2 y y y y 2 − − + − = ⇔ − − − − + − − = 4 2 3 2 1 1 1 0 y y y y 2 ( ) ( ) ⇔ ( ) 2 2 2 2 0 4 2 3 2 1 1 1 y y y y y y − − + = − − + − − + ( ) 2 2 1 2 0 4 2 3 2 1 1 1 y y y y y ⇔ − + = − − + − − + ⇔ = y 2 (vì 2 2 1 0, 1 4 2 3 2 1 1 1 + > ∀ ≥ − − + − − + y y y y y ) Với y = 2 thì x = 5. Đối chiếu đk ta được nghiệm của hệ PT là (5;2) Bài 35: Giải hệ phương trình 2(2 1) 2 1 (2 3) 2 3 4 2 2 4 6 + + + = − − + + + = x x y y x y Hướng dẫn làm bài Điều kiện xác định: 1 , 2 2 x y ≥ − ≥ Xét hàm số: f t t t t ( ) 2 0; = + ∈ +∞ 3 ( ) Suy ra f t t ( ) 6 1 0 = + > 2 nên đây là hàm số đồng biến Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có f x f y x y (2 1) ( 2) 2 1 2 + = − ⇔ + = − Thay vào phương trình thứ hai ta được: 4 4 8 2 4 6 () y y − + + = Xét hàm số g y y y y ( ) 4 8 2 4 6, 2; = − + + − ∈ +∞ 4 ( ) ( ) 4 1 1 ( ) 0 2; 4 8 2 4 = + > ∀ ∈ +∞ − + g y y y y nên g(y) đồng biến Hơn nữa g(6) = 0 nên () có duy nhất 1 nghiệm là y = 6 Với y = 6 ta có 1 2 x = https:www.facebook.comluyenthipro.vnTÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 29 Bài 36: Giải hệ phương trình : 7 1 78 x y y x xy x xy y xy + = + + = Hướng dẫn làm bài ĐK: x, y> 0. ( ) 7 78 x y xy xy x y + = + ⇔ + = . Đặt t xy = . (ĐK: t>0) ( ) 7 78 x y t t x y + = + ⇔ + = ⇒ t t 2 + − = 7 78 0 . ( ) ( ) 13 l 6 n t t = − ⇔ = ⇔ t = 6 13 36 x y xy + = ⇔ = 4 9 9 4 = = ⇔ = = x y x y . Vậy hệ pt có 2 nghiệm là : (4;9) ; (9;4) Bài 37: Giải hệ phương trình 2 3 2 3 3 (1 )( 3 3) ( 1) . ( , ) 2 4 2( 2) y x y x y x x y R x y x y − − + − = − ∈ − + − = − . Hướng dẫn làm bài ĐKXĐ: 2 2 0 0, 1 1, 1 x y x y x y x y − ≥ ≥ ⇔ ≥ ≥ ≥ ≥ Nhận xét x y ≥ = 1, 1 không là nghiệm của hệ. Xét y >1 thì pt (1) của HPT x x y y y x y 2 2 + − − − + − − = ( 1) 3( 1) ( 1) ( 1) 0 2 3 0 1 1 1 x x x y y y ⇔ + − + = − − − , 0 1 x t t y = > − . Khi đó, pt (1) trở thành:t t t t t t t t 4 2 3 2 + + − = ⇔ − + + + = ⇔ = 3 0 1 2 3 0 1. ( )( ) Với t = 1, thì 1 1 1 x y x y = ⇔ = + − , thế vào pt(2), ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 3 3 2 2 3 3 3 2 3 2 1 2 4 2 1 1 2 4 1 0 1 1 6 0 4 1 4 1 − − + − = − ⇔ − − + − − − = − − ⇔ − − + = − + + − − + − x x x x x x x x x x x x x x x x ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 33 3 2 6 1 1 1 0 4 1 4 1 − − ⇔ − − + = − + + − − + − x x x x x x x x https:www.facebook.comluyenthipro.vnTÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 30 2 1 0 1 1 5 ( ) 2 x x x x + ⇔ − − = ⇔ = ≥ . Với 1 5 3 5 . 2 2 x y + + = ⇒ = Đối chiếu ĐK, HPT có nghiệm ( ) ; ; . 1 5 3 5 2 2 x y + + = Bài 38: Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 2 1 x 1 8y 2 x y 2 4 3 2 y x 3 7 2 x y 2 2 + + + − = − + + = Hướng dẫn làm bài Điều kiện: x 0; y 0 ≥ ≥ (1) 2 3 x 2 3 2 y f ( x ) f (2 y) ⇔ + = + ⇔ = ( ) x 1 2 y 1 4 4 + + ( ) ( ) ( ) Xét hàm số f (t) 2 3t, t 0 = + ≥ t 1 4 + có f (t) 4t .2 .ln 2 3 0, t 0 = + > ≥ 3 t 1 4 + Do đó: f ( x ) f (2 y) x 4y = ⇔ = thế vào phương trình (2) ta có: 2 5y (3) (5y)2 3 7 2 2 + = Xét hàm số g(y) 2 5y g (y) 50y.2 .ln 2 0, y 0 ( ) 5y 5y 2 2 3 3 ( ) 2 4 y = + ⇒ = + > ∀ > Mà g 1 7 5 2 = ; suy ra phương trình có nghiệm duy nhất y = 1 5 Do đó hệ có nghiệm x ; y 4 1 5 5 = = Bài 39: Giải hệ phương trình: 3 3 2 3 3 4 2 0 (1) 3 2 2 (2) x y y x y x x x y − + + − + = + − = + + Hướng dẫn làm bài Điều kiện: x ≥ −2. (1) 2 3 4 2 1 1 2 ⇔ + + = − + ⇔ + + = − + − + x x y y y x x y y 3 3 2 3 ( ) ( ) 3 . Xét hàm số f t t t ( ) = + + 3 2 trên − +∞ 2; ). Ta có: f t t t 3 1 0, 2; ( ) = + > ∀ ∈ − +∞ 2 ) . Suy ra hàm số f t ( ) đồng biến trên − +∞ 2; ). Do đó: x y = −1. Thay y x = +1 và phương trình (2) ta được: x x 3 − = + + 3 2 2 1 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 8 2 2 2 2 2 4 2 2 x x x x x x x x + − + + ⇔ − = + − ⇔ − + + = + + ( )( ) ( ) ⇔ − + + = ⇔ − + + − = x x x x x x 2 2 4 2 2 4 0 2 2 ( ) 2 2 x x + + + + x − 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 x x y − = ⇔ = 2 0 2 3 ⇒ = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 0 2 4 2 2 2 2 x x x x x x + + − = ⇔ + + = + + + + () https:www.facebook.comluyenthipro.vnTÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 31 Ta có 2 2 4 1 3 3; 1, 2; ( )2 2 ) 2 2 VT x x x VP x x = + + = + + ≥ = ≤ ∀ ∈ − +∞ + + Do
CẨM NANG CHO MÙA THI TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH (ÔN THI THPT QUỐC GIA) NGUYỄN HỮU BIỂN LỜI GIỚI THIỆU Các em học sinh thân thân mến, đề thi ĐH môn Toán năm gần thường xuyên xuất câu giải hệ phương trình, câu hỏi thường thuộc hệ thống câu hỏi khó, có tính chất phân loại đề thi, mốc đạt điểm từ đến 10 Phương pháp suy luận để giải loại câu hỏi đa dạng, thầy kể số phương pháp phổ biến sau: (1) Phương pháp rút - (2) Phương pháp nhóm nhân tử chung (3) Phương pháp dùng hàm số đạo hàm (4) Phương pháp dùng BĐT vec - tơ (5) Phương pháp dùng số phức (6) Phương pháp nhân liên hợp đánh giá (7) Phương pháp lượng giác hóa Sự phân chia liệt kê phương pháp nói mang tính chất tương đối, thực tế đề thi thường phải vận dụng kết hợp nhiều phương pháp đan xen hợp lý để giải tập (rất đề thi dùng phương pháp độc lập) Vậy câu hỏi đặt “làm nhận biết tập cho dùng phương pháp nào?”, có tập có vài cách giải khác nhiên có cách hay nhất, dễ hiểu Để giảm bớt “nỗi lo âu” em học sinh loại tập này, thầy biên soạn tài liệu TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH, tài liệu bao gồm 120 tập giải hệ phương trình - minh họa đầy đủ kỹ thuật giải hệ phương trình đề thi đại học, đặc biệt 24 tập đầu thầy không hướng dẫn làm mà quan trọng sâu vào phân tích, tìm hiểu kỹ thuật giải tương ứng, em tích lũy thành kinh nghiệm - “bí kíp” cho riêng Sau 24 tập, thầy đưa loạt tập tự luyện kèm hướng dẫn giải bám sát cấu trúc đề theo xu để em tự thực hành đối chiếu hướng dẫn giải Phương châm mong muốn thầy học xong tài liệu này, em giải tốt câu giải hệ phương trình đề thi tới (nếu có) TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ) x 4y3 + 3y + 5y − x = y x + 4y + (1) Bài : Giải hệ phương trình x + 12 − 2x = 2y − y − (2) ( ( ) Phân tích tìm lời giải x ≤ 5y + ĐK: 0 < x ≤ y ≥ + Trước hết quan sát ta thấy phương trình (2) có hình thức đơn giản (1) Tuy (2) có biến x y cô lập vế ta biến đổi để sử dụng “hàm đại diện” Vì vậy, ta “mò nghiệm” để tìm quan hệ x y Thật vậy: - Từ (2) ta cho y = ⇒ x + 12 − 2x = 24 , bấm máy ta thấy phương trình vô nghiệm, ta bỏ qua việc suy luận từ (2) + Bây ta cách quay (1) để “nghiên cứu” Ta thấy sau: ( - Từ (1) ta cho y = ⇒ x ( 38 + ) - Từ (1) ta cho y = ⇒ x + − x = x + 12 , bấm máy giải phương trình có x = ) ( ) 20 − x = x + 24 , bấm máy giải phương trình có x = Vậy với giá trị ta nhận thấy dự đoán x = 2y ⇔ x − 2y = , điều khiến ta có suy luận rằng, biến đổi (1) cách khéo léo, ta ép nhân tử chung ( x − 2y ) Bây ta “ép nhân tử chung” từ (1) sau: ) ( ( x 4y3 + 3y + 5y − x = y x + 4y + ) ⇔ 4xy3 + 3xy + x 5y − x = x y + 4y + 8y ( ) ) ( ( − y ) + y ( 4x + 2xy ) ⇔ 2xy3 − 4y + x 5y − x − xy + 4xy + 2xy3 − 8y − x y = ⇔ 2y3 ( x − 2y ) + x ⇔ 2y3 ( x − 2y ) − ( 5y − x x ( x − 2y )( x + 2y ) 5y − x − y ) − 8y − x y = + y ( x − 2y )( + xy ) = x ( x + 2y ) ⇔ ( x − 2y ) 3y3 − + y ( + xy ) = 5y − x + y + Như ta ép nhân tử chung ( x − 2y ) từ (1), nhiên ngoặc vuông “khổng lồ” gắn kèm ta khó để chứng minh khác Có lẽ cách làm không khả thi cho + Sau hồi suy luận nhiều thời gian công sức, ta biết x = 2y ⇔ x − 2y = Bây đường cuối ta đổi hướng làm theo kiểu “đánh giá”, ý phải “biến đổi ép” để có ( x − 2y ) Thật vậy, từ (1) ta biến đổi sau: Trang TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ) ( ( x 4y3 + 3y + 5y − x = y x + 4y + ) ⇔ 4xy3 + 3xy + x 5y − x = x y + 4y + 8y ⇔ 3xy + x 5y − x − 8y = x y + 4y − 4xy3 ( ⇔ 3xy + x 5y − x − 8y = 2y − xy ) (3) + Nhận thấy ( 2y − xy ) ≥ , từ (3) ⇒ 3xy + x 5y − x − 8y ≥ x x x ⇔ 3 + 5− −8 ≥ y y y x x x ⇔ − ≥ − (4) y y y x x x + Mặt khác, từ ĐK x ≤ 5y ⇔ ≤ ⇔ < ≤ ⇒ − > , BPT (4) có vế y y y 2 không âm nên bình phương vế biến đổi ta kết quả: x x x x + − 48 + 64 ≤ , đặt t = ≥ y y y y ( ) ⇒ t + 4t − 48t + 64 ≤ ⇔ ( t − ) t + 4t + 16 ≤ ⇔ ( t − ) ≤ (do t + 4t + 16 > 0, ∀t ≥ 0) ⇔ ( t − 2) = ⇔ t = ⇒ x = ⇔ x = 2y y + Cuối ta tìm hướng làm đúng, thay x = 2y vào (2) ta có: 2y + 12 − 4y = 2y − y − ⇔ − y + y = y2 − y − y − y − ≥ ⇔ y ≥ (do y ≥ 0) ⇔ 2 − y + y = y − y − (5) ( ) ( ) + Từ (5) biến đổi ta được: y − 2y3 − 3y + 4y + = y ( − y ) (6) + Phương trình (6) thật không dễ giải được, bình phương vế tiếp tục, phương trình bậc (ghê gớm quá) nên không làm !!! + Bây bạn quan sát bậc bên phải, ta đoán tạo lượng thích hợp để nhân liên hợp đoán nhân tử chung, trước hết ta nghĩ đến việc tạo lượng ( ) ( y (3 − y ) −1 ⇒ ) (y (3 − y ) − 1) y (3 − y ) −1 = − y − 3y + ⇒ đoán nhân tử chung ( y − 3y + 1) + Vậy vấn đề ta phải ép cho vế trái (6) có nhân tử chung ( y − 3y + 1) : Trang TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH y − 2y3 − 3y + 4y − = ( ) y (3 − y ) −1 ⇔ y + y3 − y − 3y3 − 3y + 3y + y + y − = 2 ( ) ( ) ( ( ) ⇔ y y + y − − 3y y + y − + y + y − = ( )( ) ⇔ y + y − y − 3y + + ( ) y (3 − y ) −1 ( ) −2 y − 3y + y (3 − y ) + ) =0 y − 3y + y (3 − y ) + y2 + y −1 + =0 ⇔ y − 3y + y (3 − y ) + 1 ⇔ y − 3y + = y + y + + >0 y (3 − y ) + ( ) 3− ⇒ y − x − = ⇒ y = x + thay y −1 + x vào (1) ta được: x + x + + = x − x + + (4) , bấm máy thấy phương trình có nghiệm x = , ta biến đổi để xuất nhân tử chung ( x − ) : Bình phương vế biến đổi ta được: x − = 7x − 7x + − 3x + 3x + ⇔ x−2= ⇔ x−2= 4x − 10x + 7x − 7x + + 3x + 3x + ( x − )( 2x − 1) 7x − 7x + + 3x + 3x + 4x − ⇔ ( x − ) 1 − =0 7x − 7x + + 3x + 3x + + Đến xuất nhân tử chung ( x − ) , nhiên đại lượng dấu ngoặc thứ hai 1 − ta chứng minh cho ≠ , 7x − 7x + + 3x + 3x + 4x − Trang TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH = việc giải phương 7x − 7x + + 3x + 3x + 4x − xét phương trình 1 − trình khó + Bây ta phải quay trở phương trình (4) để đổi hướng làm sau: x + x + + = x − x + + (4) ⇔ x + x + − x − x + = − (5) + Ý tưởng làm lúc ta chứng minh cho VT (5) hàm đơn điệu để suy x = nghiệm (5) - Xét hàm số : f (x) = x + x + − x − x + ⇒ f '(x) = 2x + ⇔ f '(x) = ( 2x + 1) t - Xét hàm số f (t) = t +3 2 x + x +1 ( 2x − 1) , t ∈ R ⇒ f '(t) = ( t2 + ) ( 2x + 1) − +3 2x − ( 2x − 1) 2 x2 − x +1 > 0, ∀t ⇒ f (t) hàm đồng biến 2x + ( 2x + 1) 2x + 2x − +3 - Mặt khác ta có 2x + > 2x − ⇒ g(2x + 1) > g(2x − 1) ⇒ ⇒ f '(x) = − 2x − − +3 2x + 2x − > ( 2x − 1) +3 +3 > ⇒ f (x) hàm đồng biến +3 Vậy x = nghiệm (5) KL: (x; y) = (2;3) x + x − x + = x ( y − 1)3 + (1) Bài 3: Giải hệ phương trình 3 2 3 x − y + x + x + y = 2y y − x + x (2) ( ) Phân tích tìm lời giải x3 − x + ≥ + ĐK: y ≥ + Ở phương trình (1) đa thức có hạng tử nên ta loại trừ PP nhân lượng liên hợp, ta xuất phát từ (2) để biến đổi rắc rối xem hình dạng biểu thức thu ! + Từ (2) ta biến đổi: ( x − y + x + x + y3 = 2y y − x + x ⇔ x + 2x x + ( ⇔ (x + ⇔ x+3 ) ( x ) − 2y y − ( x + x ) + y − y = x ) − 2y y − ( x + x ) + ( y y − ) = x − y y −1) = 3 3 2 ⇔ x + x − y y −1 = Trang TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ( x) ⇔( x) ⇔ 3 + x = ( y − + 1) y − +3x= ( ) y − + y − (3) + Như sau biến đổi (2) kết thu tự nhiên tốt, điều may mắn ngẫu nhiên + Đến ta xét hàm số f (t) = t + t ⇒ f '(t) = 3t + > ⇒ f (t) hàm đồng biến Vậy từ (3) ⇒ f ( x)=f ( ) y − ⇒ x = y − ⇒ ( y − 1) = x thay vào (1) ta được: x + x3 − x + = x3 + ⇔ ( ) x3 − x2 + − x4 ⇔ ( ) x3 − x + − x + x − x3 + x −1 = x − x +1 + x ( ) + x − x3 + x −1 = ⇔ x − x + x − 1 − =0 x3 − x + + x ( ) x − x3 + x −1 = ⇔ x3 − x2 + + x2 = x = ⇔ 1 − x ≥ 2 x − x + = − x ( ) x = ⇒ y = ⇔ x = ⇒ y = KL: HPT có nghiệm (x; y) = (1; 2), (0;1) 3x + 3y + = ( y − x ) y + xy + x + (1) Bài 4: Giải hệ phương trình ( x + y − 13) 3y − 14 − x + = (2) ( ( ) ) Phân tích tìm lời giải x ≥ −1 + ĐK: 14 y ≥ + Quan sát phương trình (1), ta thực mở dấu ngoặc chuyển vế cô lập x y sang vế, thật vậy: ( 3x + 3y + = ( y − x ) y + xy + x + ) ⇔ 3x + 3y + = ( y − x ) y + xy + x + 2 3 ⇔ 3x + 3y + = y − x + ( y − x ) ( ) ⇔ x + 3x + 6x + = y3 − 3y + 6y (3) Trang TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH + Ở phương trình (3) cô lập x y sang vế, mặt khác vế có dạng đa thức bậc ba, với hình thức phương trình kiểu này, ta thường nghĩ đến phương pháp sử dụng “hàm đại diện” x + 3x + 6x + = y3 − 3y + 6y 3 ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = ( y − 1) + ( y − 1) (4) + Đến ổn rồi, xét hàm số f (t) = t + 3t ⇒ f '(t) = 3t + > ⇒ f (t) hàm đồng biến Vậy từ (4) ⇒ f (x + 1) = f (y − 1) ⇔ x + = y − ⇔ y = x + thay vào (2) ta được: ( 2x − 11) ( ) 3x − − x + = ⇔ 3x − − x + = ⇔ 3x − − x + − 2x − 11 11 =0 (5); ≤ x ≠ 2x − 11 + Ở phương trình (5) ta nhẩm thấy (hoặc dùng máy tính) phương trình có nghiệm x = 3; x = , nhiên việc giải phương trình (5) khó Trong trường hợp ta dùng phương pháp đồ thị để chứng tỏ phương trình (5) có nghiệm x = 3; x = 11 ; ≤x≠ 2x − 11 3 10 ⇒ f '(x) = − + 2 3x − x + ( 2x − 1) + Xét hàm số f (x) = 3x − − x + − x + − 3x − 10 11 + > 0, ∀x ≥ ; x ≠ 2 3x − x + ( 2x − 1) ⇔ f '(x) = + Ta có bảng biến thiên sau: x 11 +∞ + f'(x) + f(x) + Từ BBT ta thấy hàm số f(x) cắt Ox tối đa điểm, phương trình (5) có nghiệm x = 3; x = KL: HPT có nghiệm (x; y) = (3;5); (8;10) Nhận xét: Nếu ta giải phương trình ( 2x − 11) ( ) 3x − − x + = phương pháp nhân liên hợp ta biến đổi sau: ( 2x − 11) ( ⇔ ( 2x − 11) ⇔ ) 3x − − x + = ( ) 3x − − − ( 2x − 11) ( ( 2x − 11) ( x − 3) ( 2x − 11) ( x − 3) ( ) 3x − + − ( x +1 + ) ) x + − − ( x − 3) = − ( x − 3) = Trang TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2x − 11 ( ) ⇔ ( x − 3) − 3x − + ( − 2 = x +1 + ( 2x − 11) ) ( ) + Tuy nhiên đến ta gặp khó khăn lý luận cho phương trình dấu ngoặc vuông có nghiệm x = 2x − 11 ) ( − 3x − + ( ) ( − 2 = x +1 + ( 2x − 11) ) y + y2 + 6 ln = ( x − y ) x + xy + y − (1) x + x2 + Bài 5: Giải hệ phương trình 4y − 6y + − 4x − = (2) ( ) Phân tích tìm lời giải + ĐK: < x ≤ + Nhận thấy (1) có dạng đặc biệt nên biến đổi (1) ta được: ( ⇔ ln ( y + + Xét hàm số f (t) = ln ( t + ) ) ( y + ) + y − 2y = ln ( x + x + ) + x − 2x (3) t + ) + t − 2t, t ∈ R ⇒ f '(t) = + 3t − t +5 ⇔ ln y + y + − ln x + x + = x − y3 − 2x + 2y 2 3 2 + Đến ta chưa chứng minh f(t) hàm đơn điệu, ta tính f’’(t) sử dụng PP “min - max”, thật vậy: ⇒ f ''(t) = 6t 1 − (t +5 ) , xét f ''(t) = ⇔ t = , ta có bảng biến thiên sau: t -∞ f''(t) - +∞ + f'(t) + Từ BBT ta thấy f '(t) ≥ -2 − > ⇒ f '(t) > ⇒ f (t) hàm đồng biến + Vậy từ (3) f (x) = f (y) ⇒ x = y thay vào (2) ta có: 4x − 6x + − 4x − = (4) Trang TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH (1) ⇔ x + y + = x + + y ⇔ ( x + y + ) = x + + y + y ( x + ) ⇔ ( x+2 − y - Thay (3) Vào (2) ta được: (4) ⇔ ( ) =0⇔ y = x+2 ( 3) x + − − x + − x = (4), ( -1 ≤ x ≤ 4) ) ( ) x + − + − − x + − x2 = x −3 x−3 + + (9 − x2 ) = x +1 + − x +1 x = ⇒ y = ⇔ 1 + = x + (5) x +1 + − x +1 ⇔ 1 x +1 + ≤ Xét (5) Ta có : ⇒ ≤1 − x +1 1 + ≤ , ∀x ∈ [ -1;4] x +1 +1 − x +1 Mặt khác x + ≥ 2, ∀x ∈ [ -1;4] Vậy phương trình (5) vô nghiệm 1 + x + y + = ( x + y )2 + x + y Bài 96: Giải hệ phương trình: 2 ( x + 1) x − x + + x + xy = Hướng dẫn làm bài: Điều kiện: x + y ≥ (1) ⇔ − ( x + y ) + x + y + − x + y = ⇔ (1 + x + y )(1 − x − y ) + − 4x − y =0 x + y + + 6x + ⇔ (1 − x − y ) (1 + x + y ) + =0 x + y + + 6x + - Do điều kiên x + y ≥ nên + ( x + y ) + >0 2x + y + + 6x + ⇒ x + y − = ⇔ x + y = vào phương trình (2) ta ( x + 1) x − x + + x ( x + y ) = ⇔ ( x + 1) x − x + + x − = - Đặt f ( x ) = ( x + 1) x − x + + x − ( x + 1)( x − 1) + = x + x + > 0, ∀x ∈ ℝ f ' ( x) = 2x − x + + 2 2x − x − 2x − x − 1 ⇒ hàm số đồng biến R mà f = nên x = nghiệm 2 1 1 Với x = ⇒ y = − (thỏa đk) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ; − 2 2 2 Trang 61 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH x3 − y + y + x − y + = (1) Bài 97: Giải hệ phương trình ( x, y ∈ ℝ ) x + x − = x + + y (2) Hướng dẫn làm bài: Điều kiện: x ≥ −2 (1) ⇔ x + x + = y − y + y ⇔ x3 + x + = ( y − 1) + ( y − 1) + Xét hàm số f ( t ) = t + t + [ −2; +∞ ) Ta có: f ' ( t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ [ −2; +∞ ) Suy hàm số f ( t ) đồng biến [ −2; +∞ ) Do đó: x = y − Thay y = x + phương trình (2) ta được: x3 − = x + + ⇔ x3 − = ( ) ( ) x + − ⇔ ( x − ) x2 + x + = ( ) ⇔ ( x − 2) x2 + x + = ( x+2 −2 ( x+2 +2 x+2+2 ⇔ ( x − 2) x2 + x + − x+2 +2 ( x − 2) ( )( ) ) ) =0 x+2 +2 ( ) * x−2=0⇔ x = 2⇒ y =3 * x2 + x + − ( x+2 +2 ) = ⇔ x2 + x + = ( 2 Ta có VT = x + x + = ( x + 1) + ≥ 3;VP = x+2 +2 x+2 +2 ) (*) ≤ 1, ∀x ∈ [ −2; +∞ ) Do phương trình (*) vô nghiệm Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 2;3) 3x + 12 y + 24 xy − ( x + y ) xy = (1) Bài 98: Giải hệ phương trình 2 5 x − y + xy = 15 (2) ( x, y ∈ ℝ ) Hướng dẫn làm bài: + ĐK xy ≥ (1) ⇔ ( x + y ) + xy = ( x + y ) xy (3) + Ta có x = y = không nghiệm hệ nên xy > + Chia hai vế (3) cho ( x + y ) xy ta + Đặt t = x + y 2 xy + = 3(4) xy x + y x + 2y ≥ ta t + = ⇔ t = t xy x + 2y = ⇔ x = 2y t =2⇒ 2xy Thay x = y vào (2) ta y = ⇔ y = Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 62 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 12 − y + 3x Bài 99: Giải hệ phương trình: + 12 y + 3x Hướng dẫn làm bài: 12 12 − x =2 1 − y + 3x y + 3x ⇔ + Điều kiện: x > y > 1 + 12 + 12 y = y + 3x y + 3x - Lấy (1) + (2): = + ⇔ 1= + (*) x y x y x =2 y =6 x = y = (1) (2) 12 (*) 12 = − ⇔ = − + y + 3x y + 3x y y x x y x y = 3x 12 ⇔ = − ⇔ y + 6xy − 27x = ⇔ y + 6xy − 27x = ⇔ y + 3x y x y = −9x - So với điều kiện, nhận y = 3x (*) ⇔ x = + ⇒ y = 12 + - Lấy (2) – (1): x = + Vậy hệ phương trình có nghiệm y = 12 + x + xy + y = Bài 100: Giải hệ phương trinh x + xy − x − y + = Hướng dẫn làm bài: Cộng hai vế pt ta : (x + y – )2 + x( x + y – ) – (x + y – ) = x + y − = ⇔ ( x + y − ) ( x + y − 3) = ⇔ 2 x + y − = x + y − = x = ⇔ y =1 x + xy + y = - Với x + y – =0 , ta có hệ : 2 x = 2 x + y − = y = - Với 2x + y – =0 , ta có hệ : ⇔ x = x + xy + y = y = −1 x3 (4 y + 1) + 2( x + 1) x = (1) Bài 101: Giải hệ phương trình: 2 x y + y + = x + x + (2) Hướng dẫn làm bài: ĐK: x ≥ ( https://www.facebook.com/luyenthipro.vn ) Trang 63 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH * Do x = nghiệm nên x > ⇒ x + x + > Từ PT (2) ⇒ y (2 + y + 1) > Chia hai vế pt (2) cho x , ta : (2 y) + (2 y) (2 y) 2 1 1 1 +1 = + + ⇔ f (2 y ) = f (3) x x x x * Xét hàm số : f (t ) = t + t t + khoảng ( 0; +∞ ) ⇒ f '(t ) = + t + + t2 t2 +1 > 0, ∀t > ⇒ hàm số đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) (4) Từ (3) (4) ⇒ y = * Thay y = x vào pt (1), ta : x3 + x + ( x + 1) x = (5) x Ta thấy x = nghiệm pt (5) Xét hàm số : f ( x) = x3 + x + ( x + 1) x khoảng ( 0; +∞ ) Có f '( x) = 3x + x + x x + x2 + > 0, ∀x > ⇒ hàm số đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) (6) x Từ (5) (6) ⇒ x = nghiệm pt (5) 1 * x = ⇒ y = Vậy nghiệm hệ : 1; 2 x − y − x + y + = Bài 102: Giải hệ phương trình: ( x, y ∈ ℝ ) 2 −7 x + 12 x y − xy + y − x + y = Hướng dẫn làm bài: Ta có: −7 x3 + 12 x y − xy + y − x + y = ⇔ ( y − x ) x − x ( y − x ) + ( y − x ) + = ( ) x + Vì x − x ( y − x ) + ( y − x ) + = y − x − + x + > 0, ( ∀ x, y ) nên: 2 ( ) ⇔ x − y = hay x = y 2 y = x y = x y = x ⇔ ⇔ x = ⇒ Hệ tương đương: 2 2 x − y − x + y + = x − 5x + = x = Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 2;2 ) ( x; y ) = ( 3;3) 4 x + y − x − = x + + x + x + y − (1) Bài 103: Giải hệ phương trình: x 12 − y + y (12 − x ) = 12 (2) Hướng dẫn làm bài: https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 64 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH x ≥ − + Điều kiện: y ≤ 12 y (12 − x ) ≥ x2 + 5x + y − ≥ ( *) Ta có : x 12 − y ≤ 12 y (12 − x ) = 12 − x 12 − y ⇔ 12 x − 24 x 12 − y + 12 (12 − y ) y = 12 − x x 12 − y ≤ 12 ⇔ ⇔ x − 12 − y = − ≤ x ≤ 3; ≤ y ≤ 12 Thay vào phương trình (1) ta được: x − x + = x + + x + ( 2) ⇔ ( ) ( ) ( ) ⇔ ( x − x ) + x + − 3x + + x + − x + = 1 ⇔ ( x2 − x ) + + =0 x + + 3x + x + + x + ⇔ x − x = ⇔ x = x = Khi ta nghiệm ( x; y ) ( 0;12 ) (1;11) x + y + x + y + = (x + y)2 + x + y (1) Bài 104: Giải hệ phương trình: x + x + y + + x − y = (2) x + y ≥ (*) x − y ≥ Hướng dẫn làm bài: Điều kiện: + Đặt t = x + y ≥ , từ (1) ta có: t + ⇔ t(1 − t) + t + = t2 + t ⇔ t − t2 + t + − t = = ⇔ (1 − t) t + t+3 +2 t ⇔ t = (Vì t + + Thay (3) vào (2) ta có: 3(1 − t) t+3 +2 t =0 t+3 +2 t > 0, ∀t ≥ ) ⇒ x + y = ⇔ y = − x (3) x2 + + 2x − = x2 − ⇔ ( x + − 2) + ( 2x − − 1) = ⇔ x +3 +2 + 2x − 2x − + =0 x +1 ⇔ (x − 1) + =0 2x − + x +3 +2 https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 65 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH x +1 ⇔ x = (Vì + x2 + + 2 2x − + > 0, x ≥ ) ⇒ (x = 1; y = 0), thoả mãn (*) Vậy hệ cho có nghiệm ( x = 1; y = 0) xy( x2 + y ) − = ( x − y)2 (1) Bài 105: Giải hệ phương trình 3x y − x y( x + y) + x = 3xy 81x − (2) Hướng dẫn làm bài: Xét phương trình (1): xy( x + y ) − = ( x − y)2 ⇔ xy( x + y ) − = x2 + y − xy ⇔ xy( x + y ) − ( x2 + y ) + xy − = ⇔ ( x + y )( xy − 1) + 2( xy − 1) = ⇔ ( xy − 1)( x2 + y + 2) = ⇔ xy = thay vào (2) ta : 3 2 81x − 81x − x − x + x − = 81x − ⇔ ( x − )3 + 3( x − ) = + (*) 3 3 Xét f (t ) = t + 3t , f(t) đồng biến R Khi PT (*) trở thành: x = 81x − 2 81x − − 24 f (x − ) = f ⇔ x − = 81x − ⇔ x = ⇔ x− = 3 3 + 24 x = − x = + x= , ⇒ hệ phương trình cho có hai nghiệm: 3 y = y = 3+ 3− (1 − y )( x − y + 3) − x = ( y − 1)3 x (1) Bài 106: Giải hệ phương trình 3 x − y + x − = 2( y − 2) (2) Hướng dẫn làm bài: x2 − y ≥ x2 ≥ y ⇔ + ĐKXĐ: x ≥ 0, y ≥ x ≥ 1, y ≥ Nhận xét x ≥ 1, y = không nghiệm hệ Xét y > pt (1) hệ (I) x + x( y − 1) − 3( y − 1)2 + ( y − 1) x( y − 1) = x x x x ⇔ −3+ = ,t = ,t > + y −1 y −1 y −1 y −1 Khi đó, pt (1) trở thành t + t + t − = ⇔ ( t − 1) ( t + t + 2t + 3) = ⇔ t = https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 66 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH x = ⇔ y = x + , vào pt(2), ta y −1 - Với t = 1, x − x − + x3 − = ( x − 1) ⇔ x − x − + x − − ( x − 1) = x2 − x −1 ⇔ x − x −1 + =0 2 3 3 ( x − ) + + ( x − 1) x − + ( x − 1) ⇔ x − x − 1 + ⇔ V ới x = =0 x − + ( x − 1) x2 − x − (x − ) + + ( x − 1) x2 − x − = ⇔ x = 1+ ( x ≥ 1) 1+ + 1+ 3+ ⇒y= Đối chiếu ĐK, hệ phương có nghiệm ( x; y ) = ; 2 9 x + xy + x − y + y = (1) Bài 107: Giải hệ phương trình x − y + + = ( x − y ) + x − y (2) Hướng dẫn làm bài: Đk : x ≥ y ≥ Nếu x = y (2) vô nghiệm nên x > y, từ (2) ⇔ x − y + - x − y + – [3(x- y )] = ⇔ − 6x + y x − y + + 7x − y + (1 − x + y )(1 + x − y ) = ⇔ (1 − x + y ) + (1 + x − y ) = x − y + + 7x − y + x > y ≥ nên + (1 + x − y ) > suy 1–3x + 3y =0 x − y + + 7x − y + Thay y = x – vào phương trình (1) ta 1 9x2 + 9x(x - ) + 5x – 4(x - ) + x − = 3 ⇔ 18x – 8x + 6x - + x− - = 3 (9x – ) +3( x − - ) = x > ⇔ (9x – ) x + + = ⇔ x = 9x − +1 4 1 Với x = y = Vậy hệ có nghiệm (x;y) = ( ; ) 9 9 ⇔ 2x(9x – ) + https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 67 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH x + y + = − y (1) Bài 108: Giải hệ phương trình 9 + x + xy + y = (2) Hướng dẫn làm bài: x + y + ≥ +) Đk: x ≥ −1 +) Nếu y ≥ , để hệ có nghiệm ≥ y ≥ VT (1) = x + y + ≥ ⇒ VT (1) > VP(1) hệ vô nghiệm VP(1) = − y ≤ +) Nếu y < 0, từ (2) suy x > + x + xy + y = ⇔ 9+ = ( − y ) + ( − y ) (3) x x + 2t Xét hàm số f (t ) = t + t , t > 0; f '(t ) = > 0∀t > + t2 (3) ⇔ f = −y ⇔ x = = f (− y) ⇔ y x x 9 + y + = − y (4) Hàm số g ( y ) = 2 + y + y y đồng biến ( −∞;0 ) ; hàm số h(y)=1-y nghịch biến ( −∞;0 ) phương trình có ngiệm y = -3 nên pt(4) có nghiệm y = -3 Vậy hệ có nghiệm (1;-3) x y + x + = x x y + (1) Bài 109: Giải hệ phương trình: ( x, y ∈ R ) 2 y ( x − 1) + y ( x − 2) + y + = (2) Hướng dẫn làm bài: Điều kiện: x y ≥ −2 Từ (2) Thế vào pt(1) ta có phương trình ⇔ x y + x y = y − y + y − + 3( y − 1) ⇔ ( x y ) + x y = ( y − 1) + 3( y − 1) (3) - Xét hàm số f (t ) = t + 3t có f '(t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ R - Do (3) ⇔ f ( x y ) = f ( y − 1) ⇔ x y = y − 1, ( y ≥ −1) - Thế vào (1) ta x y + x + = x y + ⇔ x ( y + 1) − x y + + = ⇔ ( x y + − 1) = ⇔ x y + = x y + x = y = − x x y + = Do hệ cho tương đương với ⇔ x y = y − ⇔ x ( − x ) + x = ( 4) x y = y −1 x > x > 2 2 ( 4) ⇔ x − x + = ⇔ ( x − 1) − x = ⇔ ( x − x − 1)( x + x − 1) = https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 68 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1± x = − 1+ 1+ Do x > nên x = x = ⇔ 2 −1 ± x = 1+ 1− −1+ 1+ ⇒y= Với x = ⇒y= 2 2 1 + − −1 + 1+ , ( x; y ) = Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = ; ; 2 Với x = (1 − y ) x + y + x + y = + ( x + y − 1) y (1) Bài 110: Giải hệ phương trình: y + x + y − y = (2) ( x ∈ ℝ, y ∈ ℝ ) Hướng dẫn làm bài: - Đặt u = x + y ; v = y ( u ≥ 0; v ≥ ) ( x = u − v ) - Pt (1) hệ trở thành: (1 − v ) u + u − v + 2v = + ( u − 1) v ⇔ ( u − 1)( v − 1)( u + v + ) = * TH : u = ⇒ x + y = ⇒ x = − y Thế vào pt thứ hai hệ ta được: y2 + − y + y4 − y2 = ⇔ y2 − y + ( ) y4 − y2 − = y4 − y2 − ⇔ y ( y − 2) + ⇔ ( y − 2) y + (y (y (y =0 − 2y) + y − 2y + 4 − y) =0⇔ y=2 + y − 2y + 4 + 2) ( y + 2) Khi x = -1 * TH 2: v = Suy y = 1; x = * TH 3: u + v + = 0: Vô nghiệm Vậy hệ cho có hai nghiệm: ( x; y ) = ( −1; ) , ( 2;1) (x + 1)y + = 2xy (y3 − 1) Bài 111: Giải hệ phương trình: với x, y ∈ ℝ 4 xy (3xy − 2) = xy (x + 2y) + Hướng dẫn làm bài: xy − xy − x y − y = 1(1) + Hpt ⇔ 2 3 x y − xy − x y − xy = 1(2) Lấy (2) trừ (1) ta được: 3x2y6 – 4xy5 + y4 = y = y4 = ⇔ ⇔ xy = 3 ( xy ) − xy + = xy = + Với y = thay vào pt (1) không thỏa mãn Suy hệ vô nghiệm https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 69 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH + Với xy = thay vào pt (1) Ta được: y = ( y + 1) ⇔ y = 1± 1+ 5 −1 1− − −1 ⇒x= ; y= ⇒x= 2 2 + Với xy = thay vào pt (1) ta được: 3y4 + (y + 3)2 = vô nghiệm −1 1+ − −1 1− Vậy hệ có nghiệm ; ; 2 2 + Vớ i y = x + 2x + − y − 2y + = y − 3x − (1) Bài 112: Giải hệ phương trình: 2 y − 3y + = x − x (2) Hướng dẫn làm bài: Phương trình (2) ⇔ y2 - 3y + = x2 - x ⇔ y - 3x - = y2 - x2 - 2y - 2x vào phương trình (1) ta có: ( x + 1) +4− ( y − 1) ( y − 1) ⇔ ( x + 1) +4− ⇔ ( x + 1) + +(x+1)2= + = y2 - x2 - 2y - 2x + = (y-1)2-(x-1)2 ( y − 1) + +(y-1)2 (*) Xét hàm số f(t) = t + +t [0;+ ∞ ), f’(t) > ∀ t≥0 ⇒ f(t) đồng biến [0;+ ∞ ) x = y − 2 2 ⇒ phương trình (*) ⇔ f((x+1) ) = f((y-1) ) ⇔ (x+1) = (y - 1) ⇔ x = − y - Với x = y - 2, vào (2) giải được: x = − ; y = 2 3 - Với x = - y, vào (2) giải được: x = − ; y = 4 3 Vậy (x;y) ∈ − ; , − ; 2 4 y − x + y + = x3 + y ( x + xy + y − 1) + (1) Bài 113: Giải hệ phương trình : y + y − x = (2) Hướng dẫn làm bài: y > ( y = không thỏa HPT), từ (1) x + y ≥ −1 −( x + 1) ⇔ = ( x + 1)( x − x + 1) + y ( x + 1)( x + y − 1) y + x + y +1 ⇔ ( x + 1)[ x − x + xy + y − y + + ] y + x + y +1 ⇔ ( x + 1)[ x + (3 y − 1) x + y − y + + ] (3) y + x + y +1 Xét A = x2 + (3y – )x + 3y2 – 3y + ∆ = -3(y - 1)2 ≤ ∀x ∈ R ⇒ A ≥ ∀x, y ∈ R Điều kiện : - Vậy từ (3) ⇔ x = -1 ,thay x = -1 vào (2) ta có : y + y + = https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 70 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH −1 + 17 y = −1 + 17 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( - ; ) ⇔ −1 − 17 (l ) y = x x + y + y = x + x3 + x (1) Bài 114: Giải hệ phương trình x + y + x − + y ( x − 1) = (2) x ≥ , từ (1) Hướng dẫn làm bài: Đk: y ≥ (x,y ∈ R ) ⇔ x ( x + y − x + x) + ( x − y ) = y−x ⇔x + x − y = ⇔ ( x − y )( x + y + x + x − x) = x +y+ x +x + Do x = y thay vào pt (2) : x + x + x − + x( x − 1) = + Đặt t = x + x − 1(t ≥ 0) ⇒ t = x − + x( x − 1) PT trở thành t + + 2t = hay t + 2t − = lấy t = ⇒ x − + x = 25 x ≤ ⇔ x( x − 1) = − x ⇔ ⇔x= 16 4 x − x = 25 − 20 x + x 25 25 Vậy hệ có nghiệm ( ; ) 16 16 x − 3x + = y + y Bài 115: Giải hệ phương trình: 3 x − = y + y y + 3y ≥ x ≥ Hướng dẫn làm bài: Điều kiện: y + y ≥ ⇔ y ≥ x − ≥ Khi đó: x − x + = y + y ⇔ ( x − 1) − ( x − 1) = ⇔ f ( x − 1) = f ( ( y+3 ) −3 y +3 ) y + với hàm số f (t ) = t − 3t - Xét hàm số f (t ) = t − 3t với t ∈ [1; +∞ ) có f '(t ) = 3t − = ( t − 1) ≥ - Hàm số f (t ) = t − 3t đồng biến [1; +∞ ) ⇒ f ( x − 1) = f - Từ x − = ( ) y + ⇒ x −1 = y + ⇔ x − = y + −1 y2 + y ⇒ ( x − 2) = y2 + y ⇔ https://www.facebook.com/luyenthipro.vn ( ) y + − = y2 + y Trang 71 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ⇔ y + = y + y + Với điều kiện y ≥ , bình phương vế phương trình biến đổi thành: y + 16 y + 72 y + 63 y − 162 = ⇔ ( y − 1) ( y + 17 y + 99 y + 162 ) = x = y =1 Suy y = x = Kết luận: Hệ có nghiệm nhất: x + y + x2 + y = xy(x + 1)(y + 1) = m Bài 116: Tìm m để hệ sau có nghiệm Hướng dẫn làm bài: x + x + y + y = 2 (x + x)(y + y) = m + Hệ ⇔ u + v = (1) u.v = m (2) u; v ≥ 1 33 Từ (1) ⇒ v = − u (Do v ≥ − ⇒ − u ≥ − ⇒ u ≤ ) thay vào (2) ta có : 4 33 − u + 8u = m (*);- ≤ u ≤ 4 33 Để hệ cho có nghiệm phương trình (*) phải có nghiệm thỏa mãn - ≤ u ≤ 4 33 f (u) = − u + 8u; − ≤ u ≤ ⇔ đồ thị 4 phải cắt y = m - Có f '(u) = −2u + 8;f '(u) = ⇔ u = u = x + x ≥ − + Đặt ta có hệ : v = y2 + y ≥ − Ta có BBT: u - 4 f'(u) + - f(u) 33 16 - 33 16 Từ BBT suy giá trị m cần tìm : − - 33 16 33 ≤ m ≤ 16 16 1 x + x + y + y = Bài 117: (KD-2007) Tìm m để hệ sau có nghiệm x + + y + = 15m − 10 x3 y3 https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 72 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Hướng dẫn làm bài: * ĐK: x, y ≠ 1 x + x + y + y = + Hệ ⇔ 3 x + − x + + y + − y + = 15m − 10 x x y y u = x + x , u ≤ −2 ∪ u ≥ Đặt thay vào hệ ta có : v = y + , v ≤ −2 ∪ v ≥ y v ≤ −2 u + v = (1) 3 u − 3u + v − 3v = 15m − 15 (2) u ≥ − u ≤ −2 + Từ (1) ⇒ v = − u Do ⇒ ⇔ , v ≥ 5 − u ≥ u ≤ kết hợp với u ≤ −2 ∪ u ≥ ⇒ u ≤ −2 ∪ ≤ u ≤ ∪ u ≥ , thay v = - u vào (2) ta được: u − 5u + = m, u ≤ −2 ∪ ≤ u ≤ ∪ u ≥ (*) + Để hệ phương trình cho có nghiệm PT (*) phải có nghiệm thỏa mãn u ≤ −2 ∪ ≤ u ≤ ∪ u ≥ f (u) = u − 5u + 8,u ≤ −2 ∪ ≤ u ≤ ∪ u ≥ phải cắt ⇔ đồ thị y = m - Ta có f’(u) = 2u - 5, f’(u) = ⇔ u = 5 u -∞ -2 f'(u) f(u) +∞ +∞ +∞ 22 2 22 7 ≤m≤2 Từ BBT suy giá trị m cần tìm m ≥ 22 2x − (y + 2)x + xy = m (*) x + x − y = − 2m Bài 118: (KD-2011) Tìm m để hệ sau có nghiệm Hướng dẫn làm bài: + Từ (*) ⇔ 2x − yx − 2x + xy = m ⇔ x (2x − y) − x(2x − y) = m ⇔ (2x − y)(x − x) = m (2x − y)(x − x) = m Hệ ⇔ x − x + 2x − y = − 2m https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 73 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH u.v = m (1) u = x − x ≥ − + Đặt hệ ⇔ u + v = − 2m (2) v = 2x − y u ≥ − Từ (2) ⇒ v = − 2m − u thay vào (1) có : 1 −u + u m(2u + 1) = − u + u,u ≥ − ⇔ = m (**), u ≥ 2u + + Để hệ cho có nghiệm phương trình (**) phải có nghiệm thỏa mãn u ≥ − −u + u f (u) = =m ,u ≥ ⇔ đồ thị 2u + phải cắt y = m −1 + u = −2u − 2u + - Có f '(u) = ,f '(u) = ⇔ (2u + 1) −1 − (lo¹i) u = -1- u -∞ f'(u) - - - + -1+ + + +∞ - 2- f(u) - Từ BBT suy giá trị m cần tìm m ≤ -∞ 2− x + + − y = (1) Bài 119: Giải hệ phương trình y + + − x = (2) Hướng dẫn làm bài: * ĐK: −1 ≤ x;y ≤ - Lấy (1) - (2) ta có : x + − y + + − y − − x = ⇔ ( x+1 − y +1 ( )( x+1 + y +1 x+1 + y +1 ) )+( 7−y − 7−x ( )( 7−y + 7−x 7−y + 7−x ) ) =0 1 ⇔ (x − y) + =0⇔x=y 7−y + 7−x x+1 + y +1 - Thay y = x vào (1) có : x + + − x = ⇔ x + + (x + 1)(7 − x) + − x = 16 ⇔ (x + 1)(7 − x) = ⇔ x = = y https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 74 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH x y + m = y (1) Bài 120: Tìm m để hệ sau có nghiệm y x + m = x (2) m < Hướng dẫn làm bài: + Lấy (1) - (2) ta có : (x − y)(xy + y + x) = ⇔ x = y (do m < nên xy + y + x > 0) Thay y = x vào (1) có : − x + x = m, x > (*) - Để hệ cho có nghiệm phương trình (*) phải có nghiệm f (x) = − x + x , x > phải cắt điểm ⇔ đồ thị y = m x = (ktm) - Có f '(x) = −3x + 2x,f '(x) = ⇔ x = -∞ x +∞ f'(x) - + - f(x) 27 -∞ Từ BBT suy giá trị m cần tìm m < NGUYỄN HỮU BIỂN Fb: https://www.facebook.com/ng.huubien Nhóm ôn thi đại học online: https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien https://www.facebook.com/luyenthipro.vn Trang 75